Với Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh được chia sẻ dưới đây, các bạn học sinh được ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học, rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải bài tập để chuẩn bị cho kì thi HSG sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo đề thi!
Trang 2Câu 1 Xét phương trình: (s in os )(sin 2 3) sin 2 os2 1
0
x
ĐK
2
3 2
2 4
≠ +
≠ +
Khi đó phương trình (1)⇔(s inx c x− os )(sin 2x− −3) sin 2x c− os2x+ =1 0
s inx c xos sin 2x 3 2sin x cosx 2sin x 0
(s inx c xos )(sin 2x 3) 2sin (s inx x cosx) 0
(s in os )(sin 2 2 sin 3) 0 s in os 0 (2)
sin 2 2 sin 3 0 (3)
x c x
− =
+ − =
PT (2) sin( ) 0
⇔ − = ⇔ = + , đối chiếu điều kiện ta có 5 2 ( )
4
x= π +k π k∈
ℤ
PT(3) sin2 +2 sin 3 sin2 =1( )
x
x
=
4
x= π +k π k∈
ℤ
x∈ − π π ⇔ − π < π +k π < π ⇔ − < + k<
Do k∈ℤ nên k∈ −{ 1009, −1008, ,1008} suy ra có 2018 nghiệm
lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 )
→−∞
3 2 3
3 2 2 3 2 2 2
3
x
+
2
lim 4 2 3 2 lim
2
4 2 3 2
x
6
Nếu m< −3 thì (3 3 2 2 )
lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) ( 3)
→−∞
Nếu m> −3 thì (3 3 2 2 )
lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) ( 3)
→−∞
Câu 2a Theo giả thiết ta có
2 1 3 1
2 1 3 1
Trang 3
11
2
n
=
− − − − + = ⇔ − + = ⇔
=
Với n=11, thử lại thỏa mãn cấp số cộng
Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )22 2 23
1
2
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )1 2
2
1
2
Đồng nhất hệ số của n
x của đẳng thức trên ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 3 2 ( )2
2
C + C + C + C + C =C (1)
Do n lẻ và
1 1
−
nên ( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 3 2 ( )2 ( ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )1 2)
Thay vào (1) ta có ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )1 2
2
1
2
Câu 2b Kiến muốn đi đến B thì bắt buộc phải
đi qua D
I
K H
E D
B C
A
Gọi m là số cách đi từ A đến D
Gọi n là số cách đi từ D đến B
Gọi k là số cách đi từ D đến B mà không đi
qua C
Ta có số cách đi từ A đến B là mn ; số cách đi từ A đến B mà không đi qua C là mk
Ta có xác suất mà kiến đi được đến B là p mk k
mn n
= = Các cách đi từ D đến B mà có đi qua C là: DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy ra số cách đi từ D đến B có
mà không đi qua C là 3
Vì tính đối xứng của lưới ô vuông 2x2 nên số cách đi từ D đến B mà không qua C là 3
Suy ra k=3,n=6 Do đó 1
2
k p n
= =
Câu 3a Vì SA=SC nên SO⊥ AC
Vì SB=SD nên SO⊥BD
Do đó SO⊥(ABCD)
I
P
K
S
A
B
C D
M
N O
H
MH ⊥ AC H∈AC MH SO
Theo giả thiết thì MNH =600
Trang 4Ta có: 3
;
a
= + = + =
Q
H
N
O
D
C B
A
4
a
4
a
2
a
SO= MH =
S∆ = S∆ = SK AB;
2
2 2 39 2 43
Suy ra
2
SMB
a
S∆ = SK AB=
Câu 3b Gọi P là trung điểm của SD, ta có tứ giác MPCN là hình bình hành suy ra MN//CP
Gọi α là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD), ta thấy α bằng góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng (SBD)
Kẻ CI ⊥BDCI ⊥(SBD)α =CPI
Tam giác BCD vuông tại C có CI là đường cao, suy ra
a CI
CI =CB +CD = a +a = a =
2
a
CP=MN = NH =
4 sin
65
CI
CP
Câu 4a Xét dãy:
1
1
1 2
n n
n
u
u
u
+
=
Bằng quy nạp ta chứng minh được u n > ∀0 n
1
2
5
n n
n
n
u u
u
u
+
+ −
+ +
4
5
2 2 2 2 2
S =u + + + +u u u =u + u −u = − u
Ta sẽ chứng minh (u n) là dãy giảm
Thật vậy có 2 2( 6 1) 1
5
u = − <u
, giả sử u k >u k+1, thay vào công thức xác định dãy ta thấy u k+1>u k+2 Vậy (u n) là dãy giảm, mà u n > ∀0 n suy ra tồn tại giới hạn limu n =l l( ≥0)
2 5u + −1 1 2 5l+ −1 1
Trang 5Câu 4b 4
2
C
Ta lại có
2
2
− ≤
C
C
có “ = ” khi
1 arccos 3
1 cos
3
A B
C C
C
A B C
=
=
=