Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Du

Mời các em cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Du dưới đây giúp các em dễ dàng hơn trong việc ôn tập và nâng cao kiến thức để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi cấp trường sắp diễn ra. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì kiểm tra!

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU



ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN LỚP 12

Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (4, 5 điểm)

1) Tìm m để hàm số ycos 3x6 cos 2m x21cosx2m8 đồng biến trên khoảng 0;  2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 ( 2 ) 2

f x = x + m - x+m +m - có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2

2

y = x

-Câu 2 (4, 5 điểm)

1) Giải phương trình tan3xtan2x4 tanxcot3xcot2x4 cotx 8

log x 7x3 log x 7x4 , x   3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau

Câu 3 (4, 0 điểm)

1) Giải phương trình 3x3 3x2  32x24x332x24x2 , x  

2

0

log 2 sin cos

1 cos 2

x









Câu 4 (6, 0 điểm)

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y 3 2 3 0 và hai đường tròn   2 2

C x y  x y  ;   2  2

C x  y  Viết phương trình đường tròn  C

tiếp xúc với đường thẳng d, tiếp xúc ngoài với đường tròn  C1 , đồng thời  C cắt  C2 tại hai điểm A B, phân biệt mà ABd

2) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thoi, ·ABC 90o Góc giữa A C' và mặt đáy ABCD bằng 30o; góc giữa hai mặt phẳng A BC'  và ABCD bằng 45o; khoảng cách từ điểm '

C đến mặt phẳng A CD'  bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE'

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;9;0), (4;3;25)

M và cắt hai tia Ox Oz, lần lượt tại hai điểm B C, khác O sao cho OB +OC nhỏ nhất

Câu 5 (1, 0 điểm) CMR , , , 0,







- HẾT -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)

Câu Hướng dẫn giải Điểm

1.1

(2.5

điểm)

cos 3 6 cos 2 21cos 2 8

Đặt t = cosx, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;  khi và chỉ khi hàm số 

f t = t + m t - t- m - nghịch biến trên (- 1;1)

2

Û + - £ " Î

-0.5

( ) ( )

'

f

f

m

ïï

ïï

ïï

ïïî

=

m

m m

ìï - - £

ï

ïî

Kết luận

0.5

1.2

(2.0

điểm)

Ta có y'3x2m23. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m2 3 0 m  3 0.5 Giả sử A x y( ;1 1), (B x y2; 2)là hai điểm cực trị

Tính được hệ số góc của đường thẳngAB là 1 2  2 

3 3





0.5

Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2

2

y = x- suy ra

 2 

k    m    m

0.5

2.1

(1.5

điểm)

tan xtan x4 tanxcot xcot x4 cotx8

2

Phương trình tương đương

(tanxcot )x (tanxcot )x (tanxcot )x 60 (1)

0.5

Đặt ttanxcot , | | 2x t  , phương tình (1) trở thành

Giải được t  2

Suy ra

4

tanxcotx2sin 2x 1 x k (thỏa mãn)

4



   là nghiệm của phương trình đã cho

0.5

2.2

(1.5

điểm

4

log x 7x3 log x 7x4

Điều kiện:

2

2







Viết lại phương trình dưới dạng

log x 7x 3 log x 7x 4 (1)

0 5

Đặt ylog (4 x27x4) Từ phương trình (1) ta có hệ:

2

2

y

y



f y      

là hàm nghịch biến

Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Nhận thấy y=1 là một nghiệm

8

x

x





 Vậy phương trình có nghiệm x 8 àv x1

0.5

2.3

(1.5

điểm)

13 !

Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1 đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế

số 1,5,9,13

Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn

Hải và bạn Minh không ngồi cạnh nhau”

0.25

Xét các trường hợp

- Bạn Minh ngồi ở ghế 1

+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!

+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải

+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn lại

Suy ra số cách xếp là 3!.8.8!

- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là 3!.8.8!

0.5

- Bạn Minh ngồi ghế 5 (ghế 9 làm tương tự)

Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại

Suy ra số cách xếp là 3!.7.8!

0.5

3 !.7.8 ! 3 !.8.8 ! 3 !

( ) 2.15.3 !8 1

! 58

3.1

(2.0

điểm)

x   x   x  x   x  x 

Phương trình đã cho trở thành 3u3 1 u 3v3 1 v

0 5

Xát hàm số f t( )3t3  Có 1 t

2

2 3 3

1

t

t

Suy ra hàm số f t( ) luôn đồng biến Nên f u( ) f v( )uv 0.5

2

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 0; 3.

2

3.2

(2.0

điểm)

2

2



Đặt

2

ln 2 sin cos 1

cos

x

ïï

ïï

í

ïïïî

2 os sin

2 sin cos 1

t an

2

-ïï =

ïï

Þ í

ïïïî

2 os sin

2 sin cos

2 sin os

2 cos

v

x

-ïï =

ïï

Þ íï

+

ï = ïïïî

0.5

4 4

0 0

4

0

x dx x













0

ln





0.5

4.1

(2.0

điểm)

 C1 có tâm I -1( 1; 3) , bán kính R =1 2 ;  C2 có tâm I2(0; 3- ) , bán kính R =2 1

Khẳng định tâm I của đường tròn  C nằm trên đường thẳng l qua I2 và song song

với d , l có phương trình x- y- 3= 0

0.5

Gọi I t( + 3;t)Î l Sử dụng II1 = R + R1= 5 được t = 0 hoặc t = - 1

( )3; 0

Kiểm tra  C cắt  C2 tại hai điểm phân biệt, ta có I(2; 1 - )

4.2

(2.0

điểm)

G

B'

A'

A

C'

D

D'

C F

B I

J H

Hạ A I ^ BC suy ra góc( (A B C' ) (; A B CD) ) = góc(A I A I' , ) = A IA =·' 45o(1)

Góc (A C A B CD' ;( ) )=·' 30o

Hạ A J ^ CD, A H ^ A J'

Khẳng định khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng A CD bằng '  A H = a

0.5

Từ (1) suy ra A I = A A' Đáy A BCD là hình thoi nên A J = A I

Xét tam giác vuông A A J' , từ A H = a được A J = a 2

Đặt A B = x,(x > 0)Þ B C = x Từ (2) suy ra A C = a 6

0.25

A IC IC = A C - A I = a IB = IC - BC = 2a- x

:

2

a

Û = + - Û = ×

0.5

2

a

A C ÇB D = O Þ B O = ;

2

3 ' ' ' '

3 2

a

Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A DE và đường thẳng d qua F vuông

góc với (A BCD)

Mặt phẳng trung trực của A A cắt d tại G thì G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ' AA DE '

0.25

Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE' là 2 2

GA = GF + FA với

2

a

4

a

2

2

A DE

FA

Vậy

2

ç

0.25

4.3

(2.0

điểm)

Giả sử B a( ; 0;0), (0; 0; )C b (a b , 0)

Phương trình mặt phằng (P )qua các điểm A(0;9; 0), ( ; 0; 0), (0;0; )B a C b có dạng

1

9

a b 

0.5

Điểm M(4;3;25)Î (P ) nên 4 25 2

3

Mà 3  4 25 87 3 4 25 87 30 147.

Dấu ‘=’ đạt được khi 21; 105

2

a b

0.5

Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là 2 1

21 9 105

b x

a x

b x







b

a b

 

 

 

/

b x



b x





Đặt

( ) b a lna x

g x

2 2

=> g(x) nghịch biến (0,+oo) , lim ( ) 0

 

=> g(x)>0 , x>0

=> f’(x)>0, x>0

=> f(c)>f(0) , c>0

=> đpcm

0.25

0.25

0.25

0.25

20 điểm

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng

- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng