slide bài tập đồ họa ( ĐHBKHN)

III- Bài toán 5Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đường thẳng cắt mặt phẳng... 4.1.1- Sự vuông góc với các đường đồng mứca Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc v

III- Bài toán 4 Tìm hình dạng thật của

hình

Ví dụ : Tìm hình dạng, độ lớn thật của

tam giác

ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)

Giải:

- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ

thống(П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng

chiếu bằng

Muốn vậy, vẽ đường mặt Af

Chọn trục x’A1f1

 Tìm A’2B’2C’2?

- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ

thống(П’1, П’2) thì (ABC) là mặt

phẳng mặt

Muốn vậy, chọn trục x’A’2B’2C’2

 Tìm A’1B’1C’1?

- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn

thật của tam giác ABC

Π1

Π2

C1

C2

x

A2

B1

A1

A’2 A’x

Π’2Π’1

B’2 B’x

C’2 C’x

B2

C’1

A’1 B’1

x’’

x’

Ax

B”x

A”x

C”x

Π

’

2

Π

1

Hình 4.8 Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABC

f2

f1

11

12

III- Bài toán 5

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng cắt mặt phẳng

4.1.1- Sự vuông góc với các đường đồng mức

a) Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu

thành một góc vuông (Hình 2.20)

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình

chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa

mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

Hình 2.20 Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông















Oy//

, Ox

3)

90 y' O' x' 2)

90 xOy ) 1

O’

y’ O

x’

x

y

a) П

4.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

b)- Chuyển sang đồ thức

- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì

một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt,

đường cạnh)

Hình 2.21 Ví dụ 1

I1

a 1

a 2

I2 x

h 1

h 2

K1

b 1

b 2

K2 x

f 1

f 2

Hình 2.22 Ví dụ 2



















90 h

I

a //

h

90

aIh

2 2 2 2



















90 f

K

b //

f

90

bKf

1 1 1 1

Hình 2.23 Ví dụ 3

a 1

a 2

x

h 1

h 2

b 1

b 2

x

f 1

f 2

Hình 2.24 Ví dụ 4

Ví dụ 3: (Hình 2.23)

(a và h chéo nhau)

Ví dụ 4: (Hình 2.24)

(b và f chéo nhau)

2 2

2

h

a //

h

h

a















1 1

1

f

b //

f

f

b















c) Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

*- Định nghĩa

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một

mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả

các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Hình 3.38.a)

*- Định lý

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng

đó vuông góc với mặt phẳng (Hình 3.38.b)

*- Chuyển sang đồ thức

- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau

của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường

mặt, đường cạnh)

- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà

cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt

nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó

) ( a )

l

Hình 3.38 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

α

β

a

a

l

b O

l

a)

b)

4.1.2 Cách dựng đường thẳng l

vuông góc với mặt phẳng

anpha

a) Mặt phẳng bất kỳ cho bởi 2

đường thẳng α(a,b)

l vuông góc với mặt phẳng α khi và

chỉ khi : l1┴ f1 và l2┴ h2 ( trong

đó h là đường bằng thuộc mặt

phẳng α, f là đường mặt thuộc mặt

phẳng α)

Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l

vuông góc với mặt phẳng α(a,b)

K 1

2 2

K 2

h 1

f 1

h 2

f 2

1 1

1 2

2 1

a 1

b 1

a 2

3 2

3 1

b 2

M 1

M 2

l 1

l 2

l 2

4.1.2 Cách dựng đường thẳng l vuông góc

với mặt phẳng anpha (tiếp)

b) Mặt phẳng α là mặt phẳng chiếu (α vuông

góc với Π1 hoặc α vuông góc với Π2)

* Trường hợp α vuông góc với Π1

l vuông góc với mặt phẳng α khi và chỉ khi :

l1┴ α1 và l2// x

* Trường hợp α vuông góc với Π2

l vuông góc với mặt phẳng α khi và chỉ khi :

l2┴ α2 và l1// x

Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l vuông

góc với mặt phẳng α(α1)

M 1

M 2

α 1

l 1

l 2

x

n  

Π1

x

α1

Π2

α

l 2

l 1

l

4.1.3 Cách dựng mặt phẳng anpha

vuông góc với đường thẳng l

a) Đường thẳng l bất kỳ

Mặt phẳng α vuông góc với l được

xác địn bởi đường bằng h và

đường mặt f Trong đó: f1┴ l1,

f2//x và h2┴ l2 , h1//x

Ví dụ: Qua điểm M dựng mặt phẳng α

vuông góc với l

h 1

f 1

h 2

f 2

M 1

M 2

l 1

l 2

4.1.3 Cách dựng mặt phẳng anpha

vuông góc với đường thẳng l (tiếp)

b) Đường thẳng l là đường đòng mức

* Trường hợp l // Π1

mặt phẳng α vuông góc với l thì α phải

vuông góc với Π1 , α1 suy biến thành

đường thẳng , α1┴ l1

* Trường hợp l // Π2

mặt phẳng α vuông góc với l thì α phải

vuông góc với Π2, α2 suy biến thành đường

thẳng , α2┴ l2

Ví dụ: Qua điểm M dựng mặt phẳng α vuông

góc với l

x

n  

Π1

x

α1

Π2

α

l 2

l 1

l

M 1

M 2

α 1

l 1

l 2

4.2- Đường thẳng cắt mặt phẳng

4.2.1 Tìm giao của hai mặt phẳng

Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Giải:

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g 1 ≡ α 1

- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g 2 ≡ β 1

β 2

α 1

g 1

g 2

x

Hình 3.24 Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Cho α(α ) , β(β )

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Ví dụ 2: Cho α(α 1 ) , β(β 1 ) (Hình 3.25)

Giải:

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡α1

- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡β1

- Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng:

+ g1≡ α1∩ β1

+ g2 x

β 1

α 1

g 1

g 2

x

1 1

1 g )

(

)

(

























Hình 3.25 Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Cho α(α ) , β(β )

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Giải:

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡α1

- Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng

thuộc mặt phẳng

A1

B1

A2

C2

B2

C1

1 2

1 1

2 1

2 2

g 1 ≡

g 2

Hình 3.26 Vẽ giao tuyến g của hai mặt

phẳng (α) và (β) cho trước

Cho α(α 1 ) ,β(ABC)

α 1

4.2.2- Đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau

Vấn đề đặt ra:

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài toán:

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và

mặt phẳng (α)

Ví dụ 1: Cho l(l1,l2 ), α(α 2 ) (Hình 3.33)

Giải:

(α)П2  K2 α2

Mà K2 l 2

 K 1 l 1

 K(K1 ,K 2 ) ≡ l ∩(α)

l 1

x

K1

K2

2 2









Hình 3.33 Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l 1 ,l 2 ), α(α 2 )

Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)

Giải:

- l П1  K1 ≡ l 1

- Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1

(điểm thuộc mặt phẳng)

 K2 ≡ l’ 2 ∩l 2

l 2

a 2

l 1

x

K1 ≡

a 1

b 1

Hình 3.34 Ví dụ tìm giao điểm của

đường thẳng và mặt phẳng

Cho l П 1 , α(a,b)

l’ 1

l’ 2

12

22

11

21

4.1.2 Trường hợp tổng quát

Ví dụ 3: Tìm giao của l(l 1 ,l 2) và mặt phẳng α(ABC)

Giải:

- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: (Hình 3.35)

+ Tìm giao tuyến g của (φ) và (α)

+ Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)

Hình 3.35 Phương pháp mặt phẳng phụ

g

l

K

α

φ

Chú ý:

Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt

phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để

dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g

Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l

và mặt phẳng (α)

Ví dụ 4: Cho l(l 1 ,l 2), mặt phẳng α(ABC).

(Hình 3.36)

Giải:

- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ

Tìm được K ≡ l ∩ (α)

* Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt

phẳng (ABC)

-Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P 1l ,P 2l) và

Trên hình chiếu đứng P 1l cao hơn P 1BC 

trên hình chiếu bằng P 2l thấy, P 2BC khuất

- Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l )

Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12l 

trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất 

1 1l K 1 khuất.

A1

B1

A2

C2

B2

C1

12

11

21

22

φ 1 ≡ l 1

K1

K2

l 2

P

2

l

Pl 1

P1 BC

g 2

≡ g 1

Hình 3.36 Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) và mặt phẳng α(ABC).

≡ 11l

12l