Số phức và ứng dụng

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ bộ môn Đại Số cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ bộ môn Đại Số cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em có thể thực hiện tốt khóa luận của mình.

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận.

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên.

Em xin chân thành cảm ơn !

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp “Số phức và ứng dụng” được hoàn thành là do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của Ths Dương Thị Luyến Trong quá trình nghiên cứu bản khóa luận em có tham khảo một số tài liệu có ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Em xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp cũng như sao chép kết quả của các đề tài khác.

Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Đào Thế Nam

Lời mở đầu 1

1.1 Xây dựng trường số phức 3

1.2 Biểu diễn hình học của số phức 4

1.3 Số phức liên hợp và môđun của số phức 5

1.3.1 Số phức liên hợp 5

1.3.2 Môđun của số phức 6

1.4 Dạng lượng giác của số phức 6

1.5 Các phép toán trên trường số phức 7

1.6 Nâng lên lũy thừa 8

1.7 Khai căn 9

1.7.1 Khai căn bậc hai 9

1.7.2 Khai căn bậc n 11

2 Một số dạng toán của số phức và ứng dụng 12 2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức 12

2.1.1 Số phức và biểu diễn hình học của số phức 12

2.1.2 Tính toán trên các số phức 19

2.1.3 Phương trình với nghiệm phức 29

2.1.4 Các bài tập ở dạng lượng giác của số phức 34

2.2 Ứng dụng số phức vào giải toán 39

2.2.1 Các bài toán liên quan đến tổ hợp và nhị thức

Newton 392.2.2 Ứng dụng số phức giải toán tìm giới hạn của dãy số 44

3.1 Hệ thống bài tập trắc nghiệm 483.2 Giải toán số phức bằng máy tính casio 54

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Số phức là một nhánh được mở rộng cuối cùng của hệ thống số, đượchình thành từ thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học Từ khi

ra đời, số phức đã thúc đẩy sự phát triển không những của toán học

mà còn cả các ngành khoa học khác Ngày nay, số phức không thể thiếutrong các ngành khoa học kĩ thuật và được giảng dạy trong chương trìnhtoán bậc trung học ở hầu hết các nước trên thế giới

Tuy nhiên, đối với học sinh bậc THPT thì số phức là nội dung cònmới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết những kiếnthức cơ bản của số phức Các bài toán về số phức mới chỉ được trìnhbày sơ lược, chưa được phân loại, hệ thống một cách chi tiết Tài liệu

về các bài toán và ứng dụng của số phức còn ít nên việc nghiên cứu còngặp nhiều khó khăn

Trước đây, các bài toán số phức chỉ dừng lại ở mức độ thông hiểu trong

đề thi THPT Quốc gia Hiện nay, hình thức thi đã thay đổi chuyển sangthi trắc nghiệm nên các bài toán về số phức sẽ chiếm một lượng khôngnhỏ và mức độ yêu cầu cũng đã tăng lên ở mức độ vận dụng và vận dụngcao

Để đáp ứng việc dạy và học hiện nay về số phức, cùng với mong muốnđược nghiên cứu sâu hơn về số phức, một số dạng toán về số phức, ứngdụng số phức để giải một số bài toán, em đã chọn đề tài “Số phức vàứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận trình bày cách xây dựng trường số phức, một số dạng toánthường gặp về số phức và ứng dụng số phức vào giải một số bài toán.Trên cơ sở đó xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về số phức

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung dạy học số phức trong chương trình Toán phổ thông

Hệ thống hóa và phân loại các bài tập về số phức

Hệ thống hóa một số bài toán sử dụng số phức để giải

Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, so sánh, tổng hợp và khái quát cácvấn đề

Khi đó, tập C cùng với hai phép toán xác định ở trên lập thành mộttrường, gọi là trường các số phức.

• Phần tử đối của (a, b) là (−a, −b)

• Phần tử nghịch đảo của (a, b) 6= (0, 0) là

a

a2 + b2, −b

a2 + b2



Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Xét ánh xạ

Φ : R −→ C

a 7−→ Φ(a) = (a, 0),khi đó với mọi a, b ∈ R ta có

Φ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = Φ(a) + Φ(b)

Φ(a.b) = (a.b, 0) = (a, 0).(b, 0) = Φ(a).Φ(b)

Nếu Φ(a) = Φ(b) thì (a, 0) = (b, 0) hay a = b

Vậy Φ là một đơn cấu trường

Do đó, có thể đồng nhất mỗi số thực a với ảnh Φ(a) ∈ C tức là (a, 0) = a

Ta được trường số phức C là một mở rộng của trường số thực R

Dạng đại số của số phức

Trong C, đặt i = (0, 1), ta có

i2 = (0, 1).(0, 1) = (0.0 − 0.1, 1.0 + 1.0) = (−1, 0) = −1

Khi đó, mọi z = (a, b) ∈ C ta có thể viết

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi

Ta gọi z = a + bi là dạng đại số của số phức Trong đó: a được gọi làphần thực, b được gọi là phần ảo, i được gọi là đơn vị ảo

1.2 Biểu diễn hình học của số phức

Ta đã biết điểm biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên mộttrục số Đối với các số phức, ta xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức

z = a + bi với mọi a, b ∈ R được biểu diễn bởi điểm M (a, b) Ngược lại,mỗi điểm M (a, b) biểu diễn một số phức z = a+bi Ta còn viết M (a+bi)

hay M (z).

Hình 1.1

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặtphẳng phức Gốc tọa độ là điểm O Các điểm trên trục hoành Ox biểudiễn các số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực Các điểm trêntrục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo

1.3 Số phức liên hợp và môđun của số phức

1.3.1 Số phức liên hợp

Định nghĩa 1.1 Số phức liên hợp của z = a + bi với mọi a, b ∈ R là

a − bi và được kí hiệu là z Như vậy z = a + bi = a − bi Rõ ràng z = znên người ta nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là sốphức liên hợp)

Tính chất 1.1 Với mọi số phức z, z0 ta có

z + z0 = z + z0,z.z0 = z.z0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

số thực đó z = 0 khi và chỉ khi |z| = 0

Nhận xét 1.2 Môđun của số phức là mở rộng của khái niệm trị tuyệtđối của một số thực

1.4 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) Trên mặt phẳng phức ta xác địnhđược duy nhất điểm M (a, b) và vectơ −−→

OM = (a, b) Gọi ϕ là góc tạo bởichiều dương của Ox và vectơ −−→

OM Gọi r là độ dài của vectơ −−→

OM , kíhiệu r =

a = r cos ϕ,

b = r sin ϕ,

z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Ta gọi z = r(cos ϕ + i sin ϕ) là dạng lượng giác của số phức z Ta gọi r

là môđun của số phức z Góc ϕ sai khác một số nguyên lần 2π được gọi

là argumen của số phức z Kí hiệu: arg z

Ta có

r = pa2 + b2,cos ϕ = a

r =

a

√

a2 + b2,sin ϕ = b

r =

b

√

a2 + b2

Hình 1.2

1.5 Các phép toán trên trường số phức

Cho số phức z = a + bi, z0 = a0 + b0i với a, b, a0, b0 ∈ R

Ta có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia theo quy tắcsau:

z + z0 = (a + a0) + (b + b0)i

z − z0 = (a − a0) + (b − b0)iz.z0 = (aa0 − bb0) + (ab0+ a0b)iz

OM biểudiễn số phức đó

Dễ thấy nếu −→u ; −→u0 theo thức tự biểu diễn số phức z thì −→u + −→u0 biểudiễn số phức z + z0 và −→u − −→u0 biểu diễn số phức z − z0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

1.6 Nâng lên lũy thừa

Cho số phức z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) Ta cần tính zn, n ∈ N

Ta có thể thực hiện theo hai cách :

Cách 1 Ta dựa vào công thức khai triển nhị thức Newton

zn = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn(cos nϕ + i sin nϕ)

Trong công thức trên nếu r = 1 thì ta được

cos nϕ + i sin nϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)n

gọi là công thức Moivre Từ công thức này ta có thể biểu diễn cos nϕ vàsin nϕ theo cos ϕ và sin ϕ

Ví dụ Với n = 3, công thức khai triển lũy thừa bậc ba của nhị thứccos ϕ + i sin ϕ cho ta

(cos ϕ + i sin ϕ)3 = cos3ϕ + 3 cos2ϕ(i sin ϕ) + 3 cos(i sin ϕ)2 + (i sin ϕ)3

= cos3ϕ − 3 cos ϕ sin2ϕ + i(3 cos2ϕ sin ϕ − sin3ϕ)

Mặt khác, theo công thức Moivre ta có

(cos ϕ + i sin ϕ)3 = cos 3ϕ + i sin 3ϕ

Từ đó suy ra

cos 3ϕ = cos3ϕ − 3 cos ϕ sin2ϕ = 4 cos3ϕ − 3 cos ϕ,

sin 3ϕ = 3 cos2ϕ sin ϕ − sin3ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin3ϕ

1.7 Khai căn

1.7.1 Khai căn bậc hai

Cho số phức z = a + bi Tìm α = x + yi sao cho α2 = z

(1.1)

Nếu b dương thì x, y cùng dấu Nếu b âm thì x, y trái dấu

Bình phương hai vế các phương trình của hệ (1.1) rồi cộng vế với vế ta

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

được (x2 + y2) = a2 + b2 Do đó hệ (1.1) tương đương với

1.7.2 Khai căn bậc n

Cho số phức z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Ta tìm α = x + iy = s.(cos ψ + i sin ψ) sao cho αn = z Ta được

[s(cos ψ + i sin ψ)]n = r(cos ϕ + i sin ϕ)

⇔sn(cos nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ)

2.1.1 Số phức và biểu diễn hình học của số phức

Ví dụ 2.1 Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau:

b z = (2x − 5) − (3y − 1), z0 = (2y − 1) + (3x − 5)i.

⇔

(

x = 2

y = 0Vậy x = 2, y = 0

Ví dụ 2.3 Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Vì thế tập hợp các điểm biểu diễn là đường thẳng x = 3 (Hình 2.2.a)

b Ta thấy, phần ảo luôn bằng 5 còn phần thực là a chạy trên R do đócác điểm biểu diễn số phức z = a + 5i là đường thẳng song song với trụchoành, cắt trục tung tại điểm y = 5

Vì thế tập hợp các điểm biểu diễn là đường thẳng y = 5 (Hình 2.2.b)

(a) (b)

Hình 2.2

Ví dụ 2.5 Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giácđều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnhbiểu diễn số i.

Lời giải

Gọi điểm A biểu diễn số i nên suy ra A(0, 1) Điểm D đối xứng với

A qua O nên D biểu diễn số −i Vì ABCDEF là lục giác đều nên

AO = OF = F A Do đó 4ABC đều nên [AOF = 60◦ vì thế [F Ox = 30◦

Ta thấy, F có tọa độ

cos π

6, sin

π6



=

√3

2 ,

12

Ví dụ 2.6 Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di Tìm điều kiện của

a, b, c, d để các điểm biểu diễn hai số phức z1, z2 thỏa mãn

a Đối xứng qua trục thực

b Đối xứng qua trục ảo

c Đối xứng nhau qua gốc tọa độ

d Đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Lời giải.

a Theo giả thiết, phần thực bằng phần ảo nên x, y thỏa mãn: y = x.Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức nằm trên đường thẳng y = x

Hình 2.4

b Theo giả thiết, phần thực bằng 1

2 phần ảo cộng thêm 1 thì x, y thoảmãn : x = 1

2y + 1 ⇔ y = 2x + 2.

Vậy tập hợp các điểm (x, y) biểu diễn số phức nằm trên đường thẳng

y = 2x + 2

Hình 2.5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

c Theo giả thiết, tổng bình phương của phần thực và phần ảo bằng 1,lại có phần thực không âm nên x, y thỏa mãn

(

x2 + y2 = 1

x ≥ 0Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là nửa đường tròn nằm phía bênphải trục tung, tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1

Bài 4 Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O,

các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài bằng 4 Hãy xácđịnh điều kiện của a và b để điểm biểu diễn của z thỏa mãn:

a Nằm trong một hình vuông

b Nằm trên đường chéo của hình vuông

Bài 5 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các sốphức có phần thực thuộc đoạn [−2, 2], phần ảo thuộc đoạn [−1, 1].Hướng dẫn giải

Bài 4 a |a| ≤ 2, |b| ≤ 2 b |a| = |b| = 2

Bài 5 Một số phức z = x + iy; x ∈ [−2; 2] , y ∈ [−1, 1] được biểu diễnbởi một điểm M (x, y), −2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1 các điểm này thuộc mộthình chữ nhật

2.1.2 Tính toán trên các số phức

Nhận xét Đối với các bài tập thực hiện tính toán các biểu thức phức

ta sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức, tính chấtcủa các phép toán của số phức và số phức liên hợp

Ví dụ 2.8 Thực hiện các phép tính sau:

a (4 − i) − (−1 − 3i) + (2 − i)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

z − z = i

√

6 −√

22z.z =

√

6 +√

24

!2

= 1

√

6 +√

24

!2 =

√3

2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

c Ta có i(2−i)(3+i) = (2i−i2)(3+i) = (1+2i)(3+i) = 3−2+7i = 1+7inên ta có phần thực bằng 1, phần ảo bằng 7

Ví dụ 2.13 Cho a ∈ R, phân tích các số sau thành các thừa số phức

Nhận xét Đối với các bài tập phân tích các số thành các thừa số phứcthì ta dựa vào định nghĩa i2 = −1 sau đó phân tích một số thành cácthừa số trong đó có một thừa số là i2 và sau đó sử dụng các hằng đẳngthức để khai triển

b 4a2 + 9b2 = 4a2 + 9b2i2 = (2a − 3bi)(2a + 3bi)

Ví dụ 2.14 Cho các số phức 3 + 2i, 2 + i, 1 − 3i

a Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức

b Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặtphẳng phức

c Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳngphức

Lời giải

a Các điểm

A(3, 2) biểu diễn số phức 3 + 2i

B(2, 1) biểu diễn số phức 2 + i

C(1, −3) biểu diễn số phức 1 − 3i

b Các số phức liên hợp của 3+2i, 2+i, 1−3i lần lượt là 3−2i, 2−i, 1+3iđược biểu diễn bởi các điểm A(3, −2), B(2, −1), C(1, 3)

c Các số đối của 3 + 2i, 2 + i, 1 − 3i lần lượt là −3 − 2i, −2 − i, −1 + 3iđược biểu diễn bởi các điểm A0(−3, −2), B0(−2, −1), C0(−1, 3)

Hình 2.7

Ví dụ 2.15

a Tìm nghịch đảo của số phức z biết z = 3 + 4i

b Tính môđun của số phức z biết z = 1 +

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

⇔

(

x2 − y2 +px2 + y2 = 02xyi = 0

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu là z1 = 0, z2 = i, z3 = −i

Ví dụ 2.16 Chứng minh với mọi số phức z1, z2 ta có

Vậy |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2|.

Vậy |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| với mỗi z1, z2

Ví dụ 2.17 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tựbiểu diễn số 4i

i − 1, (1 − i)(1 + 2i),

2 + 6i

3 − i

a Chứng minh 4ABC là tam giác vuông cân

b Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hìnhvuông

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Vậy ABC là tam giác vuông cân tại B

b Gọi D là đỉnh thứ tư của hình vuông ABCD, ta có

Hình 2.8

Nhận xét Đối với các bài tập xác định dạng của hình trên mặt phẳng

ta có phương pháp chung

1 Đưa số phức về dạng z = x + iy với x, y ∈ R

2 Tìm mối liên hệ giữa x, y qua điều kiện cho trước

Ví dụ 2.18 Cho z = a + bi Tìm tập hợp điểm biểu diễn của z thỏamãn điều kiện |z − 2 − i| = 1

Bài 1 Cho đa thức P (z) = z3 + 2z2 − 3z + 1

Tính giá trị của P (z) khi z = 1 − i; z = 2 + i√

3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Bài 2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 + 3i| = 3

2.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Bài 3 Cho n số phức z1, z2, , zn bất kì Chứng minh

2.1.3 Phương trình với nghiệm phức

Mọi phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (a 6= 0) đều có hai nghiệmphức (có thể trùng nhau) Cụ thể, xét biệt thức 4 = b2 − 4ac

Nếu 4 6= 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

z1 = −b + δ1

2a và z2 =

−b − δ22atrong đó δ1, δ2 là hai giá trị căn phức của 4

Nếu 4 = 0 thì phương trình có nghiệm kép z1 = z2 = −b

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

4 z1 =

−1

4 − i

√23

4 .

b Xét phương trình z2 − (5 − i)z + 8 − i = 0 có biệt thức

4 = (5 − i)2 − 4(8 − i) = 25 − 10i + i2 − 32 + 4i = −8 + 6i = (1 − 3i)2

Căn bậc hai của 4 là ±(1 − 3i).

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là:

z3 + 3z2 + 3z − 63 = 0

⇔ (z − 3)(z2 + 6z + 21) = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đào Thế Nam

Ta có z12+ z22 = (z1 + z2)2− 2z1z2 nên −5 + 2i = (z1+ z2)2− 2(−5 − 5i).Suy ra (z1 + z2)2 = −15 − 8i = (1 − 4i)2

z2 − (1 − 4i)z − 5 − 5i = 0 hoặc z2 + (1 − 4i)z − 5 − 5i = 0

Giải từng phương trình trên ta được nghiệm (z1, z2) của hệ là

(2 − i; −1 − 3i) , (−1 − 3i; 2 − i) , (−2 + i; 1 + 3i) , (1 + 3i; −2 + i)

Bài 2 Cho phương trình z2 − 3(1 + i)z + 5i = 0

a Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình Chứng minh |z1| = |z2|