Số phức, hàm biến phức ứng dụng trong toán học phổ thông

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS.Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp đại học “Số phức, hàm biến phức và ứng dụng trong toán phổ thông” được hoàn thành theo nhậ

MỤC LỤC

Lời nói đầu……… ……….……

Chương 1 Một số kiến thức chẩn bị……….……… …

1 Định nghĩa số phức……… …….6

2 Các dạng biểu diến số phức……… 6

2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp…… ……… …6

2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số……… … 7

2.3 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức……… …9

2.4 Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann……… 10

Chương 2 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính…… …

1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính……… … 14

2 Đẳng cấu phân tuyến tính……… …16

3 Phương trình hàm sinh bởi phân tuyến tính……… ….26

4 Số phức và lời giải phương trình sai phân……… 30

Chương 3 ứng dụng số phức trong lượng giác…….………

1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức 35

2 Chứng minh các thức lượng giác …… ….… … 40

Kết luận……… …

Tài liệu tham khảo…… ……….……… …

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức để em có thể hoàn thành khóa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình Đặc biệt, em xin bày tỏ

biết ơn sâu sắc tới ThS.Phùng Đức Thắng, người đã dịnh hướng đề tài và tận

tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và còn có thiếu xót nhất định Em xin chân thành cảm ơn và tiếp thu những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS.Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp đại học “Số phức, hàm biến phức và ứng dụng trong toán phổ thông” được hoàn thành theo nhận thức vấn đề của riêng tôi, không trùng với bất

kì khóa luận nào khác

Trong quá trình thực hiện và nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

LỜI NÓI ĐẦU

Từ thế kỉ XVI, khi giải phương trình bậc hai G.Cardano và R.Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu 1 là lời giải hình thức của phương trình x2  1 0, xét biểu thức b 1

là nghiệm hình thức của phương trình x2 b2 0.Khi biểu thức tổng quát hơn dạng

1, 0

ab  b

xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là ,

i   Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss (năm 1831) Vào thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát ứng dụng của chúng

Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực

có thứ tự  a b a; , ,b được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là

W.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ

tự - cặp  0;1 , tức là đơn vị “ảo” được lý giải một cách hiện thưc Cho đén thế kỉ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của K.Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức  mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số)  của trường số thực  thu được bằng phép ghép đại số cho 

nghiệm i của phương trình

các ứng dụng của số phức còn hạn chế Vì vậy tôi chọn đề tài: “số phức, hàm biến phức và ứng dụng trong toán phổ thông”

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nếu a0 thì zbi gọi là số thuần ảo, b0thì được số thực za

Cho số phức z a bi Số phức a bi gọi là số phức liên hợp của z Kí hiệu z

2 Các dạng biểu diễn số phức

2.1 Biểu diễn số phức đưới dạng cặp

Mỗi số phức abi hoàn toàn được biểu diễn bởi việc cho hai số thực avà

b thông thường a b,  gọi là các thành phần của chúng 

Định nghĩa 1.1 Một cặp số thực có thứ tự  a b a; , ,b được gọi là một ,

số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân

2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số

Mọi số phức  a b;  đều biểu diễn dưới dạng

          a b;  a;0  0;b  a;0  b;0 0;1 a bi ,

trong đó cặp  0;1 được kí hiệu bởi chữ i Từ tiên đề iii) suy rằng

2 0;1 0;1 0.0 1.1;0.1 1.0 1;0 1

Thành phần thứ nhất của số phức z a bi được gọi là phần thực của số đó

và được kí hiệu Re z, thành phần thứ 2 được gọi là phần ảo và được gọi là phần

ảo và được kí hiêu là Im z Phần thực và phần ảo của những số phức là những số thực

Biểu thức  a b;  a bi được gọi là dạng đại số hay dạng Descartes của số phức

Các số phức viết dưới dạng đại số z1: a1 b i z1 ; 2:a2 b i2 ,các phép toán (i) – (iii) được định nghĩa như sau:

(a) Độ dài bán kính vectơ r: z z z  a2 b2;

(b) Góc cực  Arg z đƣợc gọi là acgumen của ,z

arg z

 

xác định với điều kiện bổ sung

arg z

   

hoặc

0argz 2Đặt

2, 0;1; ; 1

k i

 

     (1.7) đƣợc gọi là công thức Moivre Nếu r1 thì công thức Moivre có dạng đặc biệt r c osisinn cosn isinn (1.9)

Các công thức (1.10) được gọi là công thức Euler

2.4 Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann

Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc

  ; ;  ta xét mặt cầu với bán kính bằng 1

2 với tâm tại điểm

1(0;0; )

sao cho nó tiếp xúc với mặt phẳng z tại gốc tọa độ và trục thực của mặt phẳng

z trùng với trục 0; 0 , còn trục ảo thì trùng với trục 0; 0  Ta xét phép chiếu  với cực bắc tại điểm P0;0;1  Giả sử z là điểm tùy ý Nối

điểm z với cực bắc P bằng đoạn thẳng, đoạn thẳng này cắt mặt cầu S tại

điểm A z Và ngược lại, giả sử A S   là điểm tùy ý của mặt cầu Khi đó tia

PA sẽ cắt mặt phẳng phức tại điểm z Hiển nhiên đó là một phép tương ứng đơn trị một – một

Định nghĩa 1.3 Phép tương ứng

Thật vậy, vì ba điểm P0;0;1 ,    z    ; ;  và zx y; ;0 cùng nằm trên

một đường thẳng nên các tọa độ của chúng phải thỏa mãn hệ thức

Để ý rằng

2 2 2

z z

Chương 2 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính

Trong chương này chúng tôi đi khảo sát lớp các phương trình hàm với acgumen

biến đổi sinh bởi hàm phân tuyến tính thực dạng

1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính

Trước hết, ta khảo sát phương trình đại số với hệ số thực dạng

m x m, 0

 (2.1) Phương trình (2.1) tương đương với phương trình bậc 2

x2 x m 0,m0 (2.2) Phương trình (2.2) có nghiệm thực khi và chỉ khi 2

:  4m 0

   Trong trường hợp khi  0 thì phương trình (2.2) có hai nghiệm phức liên hợp

2

t t

tức hàm  x là phép biến đổi đối hợp

2 Đẳng cấu phân tuyến tính

Ánh xạ phân tuyến tính đƣợc xác định bởi hệ thức

az b,ad bc 0

cz d

 (2.6) Trong đó , , ,a b c d là các số phức

Với điều kiện adbc0 ta có cons t Trong công thức (2.6) nếu c0còn 0

Ta thấy rằng (2.6) liên tục trên 

Định lý 2.2 Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên 

Bây giờ giả sử hai đường cong 1 và 2 đi qua điểm z d

c

  và  là góc giữa 1

 và 2 tại điểm ấy Suy ra rằng góc giữa các ảnh 1* và 2* của 1 và2 tương

ứng qua ánh xạ (2.6) tại điểm   (tương ứng với z d

Định lý 2.3 Tập hợp mọi đẳng cấu phân tuyến tính lập thành một nhóm với phép

toán lập hàm hợp, nghĩa là

1) Hợp (tích) các đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính

2) Ánh xạ ngược của đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính

Chứng minh

Khẳng định 2) là hiển nhiên Ta chứng minh 1).Giả sử

Nhận xét 2.1 Hiển nhiên rằng nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính là nhóm

không giao hoán Thật vậy, giả sử   1  

thẳng trên  là đường tròn trên  đi qua điểm ), và gọi hình tròn, phần ngoài hình tròn và nửa mặt phẳng (hình tròn với bán kính vô cùng) đều là “hình tròn” trên 

Định lý 2.4 Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến “hình tròn” (“đường tròn”)

 Đối với các ánh xạ tuyến tính

định lý 2.4 là hiển nhiên Ta chỉ cần xét phép nghịch đảo 1

  2 2

Định lý 2.5 Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền

Chứng minh

Giả sử B là miền,    z là ánh xạ phân tuyến tính, D B

1 Chứng minh D là tập mở Với mọi 0D tồn tại duy nhất điểm z0B

sao cho  z0 0 Giả sử U z 0  Blà lân cận của điểm z (hình tròn với tâm 0

0

z nếu z0   hoặc phần ngoài hình tròn nếu z0   Khi đó theo định lý 2.4 ta

có U z 0  là “hình tròn” chứa điểm 0 cùng với một lân cận nào đó của nó Nhƣ vậy 0 là điểm trong của D và do đó D là tập hợp mở

2 Chứng minh D là tập hợp liên thông Vì B là tập liên thông nên từ định lý

2.1 suy ra rằng D là tập hợp liên thông

Nhƣ vậy D là tập hợp mở liên thông, nghĩa là D là một miền

Định lý 2.6 Tồn tại đẳng cấu phân tuyến tính duy nhất biến ba điểm khác nhau

Đa thức bậc hai ở vế trái chỉ có ba nghiệm khác nhau z1 x2 z3khi mọi hệ số

của nó đều bằng 0, tức là ad b,  c 0 và  2 1 z z hay là

1 z 2 z

2 Sự tồn tại Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lý được xác

định theo công thức (2.8) Thật vậy, giải phương trình (2.8) đối với  ta thu được hàm phân tuyến tính Ngoài ra khi thế cặp z z1và   1 vào (2.8) thì cả hai vế của (2.8) đều bằng 0 Thế cặp zz3 và   3 vào (2.8) ta thu được cả hai vế đều bằng 1 và cuối cùng, thế cặp zz2 và   2 ta thu được cả hai vế đều bằng 

2 Mọi điểm trên đường tròn được xem là đối xứng với nó qua 

Định lý 2.7 Tính đối xứng tương hỗ giữa các điểm là một bất biến của nhóm các

đẳng cấu phân tuyến tính

Chứng minh

Kết luận của định lý được suy ra từ định lý 2.2 và 2.4

Định lý 2.8 Đẳng cấu phân tuyến tính bất kì biến nửa mặt phẳng trên lên hình

z do đó c0 (vì nếu c0 thì điểm  sẽ tương ứng với điểm )

Các điểm 0, sẽ tương ứng với các điểm b

a

 và d

c

 Do đó có thể viết ,

Ta chứng minh rằng đó là đẳng cấu phải tìm Thật vậy nếu z x  thì hiển nhiên Nếu Im z0 thì z gần  hơn so với  (tức là z   z  )

Giả sử đẳng cấu phân tuyến tính    z biến hình tròn z 1lên hình tròn

 1 sao cho   0, 1  Theo tính chất bảo toàn điểm đối xứng, các điểm 0,  sẽ tương ứng với các điểm liên hợp  và 1 ,  1

Vì các điểm của đường tròn đơn vị phải biến thành các điểm của đường tròn đơn

vị nên  1 khi z 1 Vì z z  z2 nên z z1khi z 1 Vì số 1z và

1z liên hợp với nhau và 1z  1 z nên nếu z 1 thì

1z  1 z  1 zz  z 

Do đó khi z 1 thì ta có:

11

z z

Nhận xét 2.4 Phép đẳng cấu biến hình tròn tròn z Rlên hình tròn  '

3 Phương trình hàm sinh bởi phân tuyến tính

Bài toán tổng quát 2.1 Xác định các hàm số f x thỏa mãn điều kiện  

Ta khảo sát bài toán tổng quát (2.11) trong ba trường hợp sau:

(i) Phương trình  x x có hai nghiệm thực phân biệt

(ii) Phương trình  x  x có 1 nghiệm kép (thực)

(iii) Phương trình không có nghiệm thực

Ta chuyển bài toán tổng quát 2.1 về bài toán tổng quát sinh bởi hàm bậc nhất

quen biết mà cách giải đã biết

Bài toán tổng quát 2.2 Xác định hàm số f x thỏa mãn điều kiện sau  

f a x b  a f x   b, x  \  (2.12)

trong đó , , ,  a b là các hằng số thực, a0, 0

Bài toán tổng quát 2.3 Xác định hàm số f x thỏa mãn điều kiện sau  

x

t x

11

có nghiệm z1,2  1 i Sử dụng phép đổi biến tx 1 t, ta thu được

t

 và phương trình sinh tương ứng  t t có hai nghiệm thuần ảo i Ta viết

 

2 2

Vì vậy, phương trình hàm (2.17) - (2.18) đưa về hệ phương trình tuyến tính và có

nghiệm duy nhất g t   5 f x    5, x  \ 2 

4 Số phức và lời giải phương trình sai phân

Một trong những khó khăn thường gặp phải khi giải phương trình sai phân

tuyến tính là khi phương trình đặc trưng tương ứng không có đủ n nghiệm thực

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp (bậc) k dạng

là các hằng số hoặc các hàm số đối với n và g n là một hàm số đối với   n Để

tìm được y ta phải biết trước n k giá trị ban đầu liên tiếp của hàm y là các điều n

kiện ban đầu Khi đó mọi giá trị của đều có thể tính được dựa vào công thức

truy hồi và các điều kiện ban đầu

Nếu g n 0 thì (2.19) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không

thuần nhất Nếu a a0; ; ;1 a k, a0 0;a k 0 là các hằng số thì (2.19) được gọi là

phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số hằng số Phương trình

a y0 n k a y1 n k 1  a y k n 0 (2.20) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình (2.19)

Định lý 2.10 Nghiệm tổng quát y n của (2.19) bằng tổng của nghiệm tổng quát của (2.20) với một nghiệm riêng của (2.19)

Ta sẽ tìm nghiệm riêng của (2.20) dưới dạng y n Cn,C0; 0 

Tính chất 2.3 Nếu phương trình đặc trưng (2.21) có nghiệm thực phân biệt

thì nghiệm tổng quát của (2.20) có dạng

trong đó C1C2   C k 0 là các hằng số tùy ý

Nhận xét rằng khi phương trình đặc trứng (2.21) có đủ k nghiệm thực, trong đó

có nghiệm j là nghiệm bội bậc s thì công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.20) sẽ là

khi phương trình đặc trưng (2.21) có nghiệm phức bội s:

Ví dụ 2.5 Phương trình sai phân

3 7 2 16 1 12 0

y   y   y   y 

có phương trình đặc trưng

372 1612  0  2 (bội 2)   3

nên có nghiệm tổng quát

y n C1C n2 2n C33nvới C C C là các hằng số tùy ý 1, 2, 3

Ví dụ 2.6 Giải phương trình sai phân tuyến tính

Chương 3 Ứng dụng số phức trong lượng giác

1 Tính toán và biểu diến một số biểu thức

Ví dụ 1 Tìm Arg 3i

Lời giải Mối giá trị argument của số  3i đều thỏa mãn phương trình

1tan

3

  

Từ đó suy ra

,6

Ví dụ 3 Tính giá trị các biểu thức sau:

Ví dụ 2 Biểu diễn tuyến tính 5

sin  qua các hàm lƣợng giác của góc bội

Lời giải Đặt z cosisin  Khi đó z1cos isin 

k k

.16

   

1 2

2 os135 sin135 2 os 45 sin 45 ;

2 os 255 sin 255 2 os15 sin15

  0 1 os 1sin os sin

A x a a c x b x a c nx b nx

luôn tìm được các đa thức đại số P t và n  Q n1 t lần lượt có bậc không quá n

và n1 đối với t sao cho

A x P c x  xQ c x

Tính chất 3.2 Đối với mọi đa thức lượng giác theo sin bậc n n 1 dạng

  0 1sin 2sin 2 sin

S x  b b x b x b nx luôn tìm được đa thức đại số Q n1 t sao cho

C x P c x Ngược lại, với mọi đa thức đại số P t với hệ số bậc cao nhất bằng 1, qua phép n 

đặt ẩn phụ t cosx đều biến đổi được về dạng C n x với a n 2 1n

Lời giải Gọi P là vế trái của đẳng thức

x  và 2m2 nghiệm phức Kí hiệu k là nghiệm phức của phương trình

với k 0,1,2, ,2m1, ta có cos2 sin2

m m

m k

1

2

21

n k

2

xc x A

n n

2 1

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ khóa luận “số phức, hàm biến phức và ứng dụng trong toán phổ thông” Khóa luận đã trình bày

1 Một số vấn đề cơ bản về số phức và các dạng trình bày của số phức

2 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính, đăng cấu phân tuyến tính, phương trình hàm sinh bởi phân tuyến tính và lời giải phương trình sai phân

3 Một số ứng dụng của số phức trong lượng giác như tính toán và biểu diễn

số phức, tổng và tích sinh bởi các đa thức lượng giác