Định lý burnside và ứng dụng

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Định lý Burnside và ứngdụng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân,không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ NỘI 2019

Trước khi trình bày khóa luận của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới ThS Đỗ Văn Kiên – Giảng viên Khoa Toán – Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉbảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi cóđược kết quả như ngày hôm nay.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo và côgiáo trong Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tìnhgiúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học tại khoa và trong thờigian làm khóa luận

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinhviên và bạn đọc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019

Sinh viênNguyễn Thị Hồng Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo ThS Đỗ Văn Kiên

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Định lý Burnside và ứngdụng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân,không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai tôi xinchịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019

Sinh viênNguyễn Thị Hồng Thúy

3.1 Định lý Burnside và ứng dụng 273.2 Những ví dụ ít thông dụng hơn 38

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài: Lý thuyết nhóm là một trong các lĩnh vựcđặc biệt quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực của toán học nhất là trongđại số Luận văn này chủ yếu nghiên cứu về nhóm hữu hạn, tác độngcủa nhóm lên tập hợp Mục đích chính của đề tài là đưa ra một cáchchứng minh định lý Burnside dựa vào tác động của nhóm lên tập hợp

và tìm hiểu các ứng dụng của Định lý trong nhiều lĩnh vực khác nhau

2 Lịch sử nghiên cứu vấn đề: Định lý Burnside được giới thiệu

và chứng minh đầu tiên bởi William Burnside (1904), ở đó ông đã sửdụng lý thuyết biểu diễn của các nhóm hữu hạn Một số trường hợpđặc biệt của Định lý trước đó đã được chứng minh bởi Burnside, Jordan

và Frobenius Trong công trình của John Thompson về định lý N-nhómcũng ẩn chứng minh định lý Burnside mà không sử dụng lý thuyết biểudiễn Chứng minh này đã được Goldschmidt (1970) thực hiện một cách

rõ ràng hơn cho các nhóm cấp lẻ và Bender (1972) cho các nhóm cấpchẵn

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu: Bước đầu làm quen vớicông việc nghiên cứu khoa học Đối tượng chính của đề tài là về nhómhữu hạn và tác động của nhóm lên tập hợp Tìm hiểu những ứng dụngcủa định lý Burnside trong toán sơ cấp nói chung

4 Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu các tài liệu có liên quanđến đề tài Tổng hợp, phân tích đánh giá, phát triển và giải quyết vấnđề

i) (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c thuộc G;

ii) Tồn tại e thuộc G sao cho xe = ex = x với mọi x thuộc G;

iii) Với mọi x thuộc G, tồn tại x0 thuộc G sao cho xx0 = x0x = e

ii) Giả sử x1, x2 là các phần tử nghịch đảo của x Ta có

x1 = x1.e = x1.(x.x2) (do x2 là nghịch đảo của x)

Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước) Giả sử G là một nhóm Khi đó mọi

a, b, c thuộc G, ac = bc kéo theo a = b và ca = cb kéo theo a = b

Chứng minh Giả sử ac = bc Nhân hai vế với c−1 từ bên phải, ta có

i) ϕ chuyển đơn vị của G thành đơn vị của G0, tức là ϕ(e) = e0.ii) ϕ chuyển nghịch đảo của phần tử x ∈ G thành nghịch đảo củaϕ(x) ∈ G0, tức là ϕ(x−1) = ϕ(x)−1.

Chứng minh i) Vì e.e = e và ϕ là một đồng cấu nhóm, nên

ϕ(e.e) = ϕ(e).ϕ(e) = ϕ(e).e0

Theo luật giản ước, hệ thức này kéo theo ϕ(e) = e0

ii) Tác động của đồng cấu ϕ vào các vế của hệ thức x.x−1 = x−1.x = e,

Định nghĩa 1.5 (Nhóm con chuẩn tắc) Một nhóm con A của mộtnhóm G được gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x−1ax ∈ A với mọi a ∈ A

và x ∈ G

Định nghĩa 1.6 Giả sử S là một nhóm con của nhóm G Với mỗi

a ∈ G, các tập hợp aS = {as : s ∈ S} và Sa = {sa : s ∈ S} được gọitương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của S bởi a

Mệnh đề 1.4 Hai lớp kề trái của S hoặc trùng nhau hoặc không cóphần tử nào chung Các lớp kề phải cũng vậy Như thế, nhóm G đượcphân hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng, các lớp kề phải).Chứng minh Giả sử Sa và Sb có chung phần tử c (a, b, c ∈ G), tức là

c = s1a = s2b, s1, s2 ∈ S Với mọi s ∈ S ta có

sa = ss−11 s1a = ss−11 s2b ∈ Sb

Vì vậy Sa ⊆ Sb.

Chứng minh hoàn toàn tương ta cũng có Sb ⊆ Sa Kết quả là Sa =Sb

Đối với các lớp kề trái, chứng minh được tiến hành tương tự

Định nghĩa 1.7 Giả sử U là một tập con của một nhóm X Nhóm con

A bé nhất của X chứa U được gọi là nhóm con sinh ra bởi U Kí hiệu

là hU i

Định nghĩa 1.8 Một nhóm X gọi là xyclic nếu và chỉ nếu X được sinh

ra bởi một phần tử a ∈ X, tức là X = hai Phần tử a gọi là một phần

tử sinh của X

Định nghĩa 1.9 Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G Nếu

am 6= e ∀m > 0 thì ta nói a có cấp vô hạn Nếu trái lại thì số nguyêndương nhỏ nhất m sao cho am = e được gọi là cấp của a và được kí hiệu

Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S

là một nhóm con của nó Khi đó |G| là một bội của |S|

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4, hai lớp kề trái của S trong G hoặctrùng nhau hoặc không có phần tử nào chung Do đó G được phân tíchthành hợp rời của các lớp kề trái của S

Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng số phần tử của mỗi lớp kề trái làkhông đổi, cụ thể là số phần tử của aS bằng |S| với mọi a ∈ G Thật

[G : S] = |G|/|S|.

Định nghĩa 1.13 (Nhóm đối xứng) Cho X là một tập hợp khác rỗng.Gọi S(X) là tập tất cả các song ánh từ X tới X Khi đó S(X) cùng vớiphép hợp thành ánh xạ lập nên một nhóm gọi là nhóm đối xứng trêntập hợp X

Mỗi nhóm con của S(X) được gọi là một nhóm các phép thế trên X.Đặc biệt, nếu X = {1, 2, , n} thì nhóm S(X) được kí hiệu là Sn vàđược gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử

Định nghĩa 1.14 i) Giả sử x1, x2, , xk là các phần tử đôi một khácnhau trong {1, 2, , n} Ta kí hiệu bởi (x1, x2, , xk) phép thế giữ nguyêncác phần tử khác x1, x2, , xk và tác động trên x1, x2, , xk như sau

x1 7→ x2, x2 7→ x3, , xk 7→ x1 Nó được gọi là một xích với độ dài k trêntập nền {x1, x2, , xk}

ii) (x1, x2, , xk) được gọi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tácđộng giống như (x1, x2, , xk) trên các phần tử x1, x2, , xk

Định lý 1.2 Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cả các xích khác

nhau của nó Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau củatập {1, 2, , n}.

Chứng minh Với mọi x1 ∈ {1, 2, , n}, nếu α(x1) = x1 thì (x1) là mộtxích của α

Trái lại nếu α(x1) 6= x1, ta đặt x2 = α(x1) Giả sử x1, x2 = α(x1), ,

xk = α(xk−1) là những phần tử đôi một khác nhau, còn α(xk) thì trùngvới một trong các phần tử x1, x2, , xk Ta khẳng định rằng α(xk) = x1.Thật vậy, nếu α(xk) = xi với i > 1 thì α(xk) = α(xi−1)

Do đó xi−1 = xk (mâu thuẫn với giả thiết x1, x2, , xk đôi một khácnhau)

Như thế (x1, x2, , xk) là một xích của α

Mỗi phần tử của tập {1, 2, , n} đều thuộc một tập con, là tập nềncủa một xích của α Hai tập con như thế nếu có một phần tử chung thìphải trùng nhau Thật vậy, phương trình α(x) = y hoàn toàn xác định

y theo x và x theo y (do α là một song ánh)

Tác động của nhóm lên tập hợp

Chương này trình bày về tác động của một nhóm lên một tập hợp, quĩđạo của một phần tử, nhóm con ổn định của một phần tử, Nội dungchính của chương này trình bày dựa trên [3]

Định nghĩa 2.1 Giả sử X là một tập và G là một nhóm, G được gọi

là tác động lên X nếu có hàm τ : G × X → X, kí hiệu τ (g, x) = gx với

g ∈ G, x ∈ X thõa mãn:

i) (gh)x = g(hx), với mọi g, h thuộc G, x thuộc X

ii) 1x = x, với mọi x thuộc X, 1 là phần tử đơn vị trong G

Ta cũng gọi X là một G-tập nếu G tác động lên X

Nhận xét 2.1 Ánh xạ τ ở định nghĩa trên là một toàn ánh (do ∀x ∈

X, ∃1 ∈ G sao cho τ (1, x) = x) Nói chung τ không là một đơn ánh (chẳnghạn từ bảng 2.1, ta thấy τ (ρ0, s1) = τ (µ1, s1) = s1 nhưng ρ0 6= µ1)

Ví dụ 2.0.1 Đặt G là nhóm D3 = {ρ0, ρ1, ρ2, µ1, µ2, µ3} của các phépđối xứng của một tam giác đều, ρi tương ứng là phép quay ngược chiềukim đồng hồ một góc i2π3 của tam giác với tâm C và µi là phép đối xứngqua đường phân giác mi của cạnh si

Trong Hình 2.1, ta có tam giác với đỉnh 1, 2, 3 và kí hiệu các cạnh s1,

s2, s3, trục đối xứng m1, m2, m3, tâm C và trung điểm pi của cạnh si

1, 2, 3, 4 và kí hiệu các cạnh s1, s2, s3, s4, đường chéo d1, d2, trục nằmngang m1, m2, tâm C và trung điểm Pi của cạnh si.

Chú ý rằng ρi tương ứng là phép quay hình vuông ngược chiều kim

đồng hồ góc quay iπ2 , tâm C, µi tương ứng là phép đối xứng hình vuôngqua mi, δi là phép đối xứng hình vuông qua di.

Mệnh đề 2.1 Cho X là một G-tập với x1, x2 thuộc X, g thuộc G Nếu

D4, gy thuộc Y với mọi y thuộc Y Ta có thể dễ dàng thấy được điềunày

Trong Bảng 2.2, p0m1 = p2m1 = µ1m1 = µ2m1 = m1 Các phần tửcòn lại của D4 ánh xạ m1 đến m2 : p1m1 = p3m1 = δ1m1 = δ2m1 = m2.Tương tự, p0m2 = p2m2 = µ1m2 = µ2m2 = m2 và các phần tử còn lạicủa D4 ánh xạ m2 đến m1 : p1m2 = p3m2 = δ1m2 = δ2m2 = m1 Vì vậy,

Y là đóng dưới tác dộng của D4 lên X Bởi vậy, D4 tác động lên Y

Mệnh đề 2.2 Nếu nhóm G tác động lên tập X thì G tác động lên tậplũy thừa P (X)

Chứng minh Giả sử G tác động lên X Với g ∈ G, Y ∈ P (X), địnhnghĩa gY = {gy|y ∈ Y } Đặt φ : G × P (X) −→ P (X) được định

nghĩa là φ(g, Y ) = gY với mọi g ∈ G, Y ∈ P (X) Ta sẽ chỉ ra φ địnhnghĩa một tác động của G lên P (X) Với g, h ∈ G, Z ∈ P (X), đặtgh(Z) = {(gh)z|z ∈ Z} Vì Z là một tập con của X và G tác động lên

X, gh(z) = g(hz) với mọi z ∈ Z (vì Định nghĩa 2.1) thì

Chứng minh Ta cần chứng minh µ là một tác động Đầu tiên, với x =(c1, c2, , cn), ta có

µ(gh, x) = (c(gh)1, c(gh)2, , c(gh)n) = (cg(h1), cg(h2), , cg(hn))

(do G tác động lên X) Lại có

µ(g, µ(h, x)) = µ(g, (ch1, ch2, , chn)) = (cg(h1), cg(h2), , cg(hn))

Do đó µ(gh, x) = µ(g, µ(h, x)) Hơn nữa

µ(1, (c1, c2, , cn)) = (c11, c12, , c1n) = (c1, c2, , cn)

Vì vậy µ là một tác động hay G tác động lên Cn bởi µ

Định lý 2.1 Một nhóm G tác động lên tập X nếu tồn tại đồng cấu

(gh)0(x) = (gh)x

g0◦ h0(x) = g0(hx) = g(hx) = (gh)x

Suy ra (gh)0 = g0◦ h0 Vậy µ là một đồng cấu

(⇐) Giả sử µ : G → SX là một đồng cấu Đặt

τ : G × X → X(g, x) 7→ µ(g)(x),

là tác động của G lên X Thật vậy ta có,

Vậy G là một tác động lên X

Định lý 2.2 Mọi nhóm G là đẳng cấu với một nhóm con của nhóm conđối xứng SG Đặc biệt, nếu |G| = n thì G là đẳng cấu với một nhóm concủa Sn

Chứng minh Cho τ là một hàm τ : G × G → G, với τ (g, h) = gh với mọi

g, h thuộc G Ta cần chỉ ra G tác động lên chính nó Với mọi j, k, l ∈ G,(jk)l = j(kl) (do tính chất kết hợp trong G) Với mọi x ∈ G, 1.x = x (1

là phần tử đơn vị của G) Vì vậy, G tác động lên chính nó

Như chứng minh trong Định lý 2.1, ta có một đồng cấu ϕ : G → SGtrong đó ϕ được định nghĩa là ϕ(g) = g0, g0(x) = gx, g, x ∈ G Rõràng là {ϕ(g)|g ∈ G} = ϕ(G) là tập con của SG Thực tế ϕ(G) cũng lànhóm con của SG Cho H = ϕ(G) Để chỉ ra H là nhóm con của SG,

ta cần chứng minh H đóng với phép nhân và nghịch đảo Nếu a, b ∈ Hthì tồn tại c, d ∈ G sao cho a = ϕ(c), b = ϕ(d) Nhân a với b ta được

ab = ϕ(c)ϕ(d) = ϕ(cd) vì ϕ là một đồng cấu Vì vậy, ab = ϕ(cd) ∈ H

nên ϕ(G) đóng đối với phép nhân Cho a ∈ H, tồn tại c ∈ G để a = ϕ(c).

Vì ϕ là một đồng cấu, a−1 = ϕ(c−1) ∈ H vì c−1 ∈ G Nên ϕ(G) đóng đốivới phép nghịch đảo Vì vậy ϕ(G) là nhóm con của SG

Tiếp theo, ta cần chỉ ra hàm φ : G → H là một song ánh Vì cho

x ∈ H, x có dạng ϕ(z), tồn tại z ∈ G Vì vậy ϕ là toàn ánh Bây giờ ϕ

là đơn ánh nếu với a, b ∈ G mà ϕ(a) = ϕ(b) thì a = b Cho g, h ∈ G,giả sử ϕ(g) = ϕ(h) suy ra g0 = h0 và vì vậy g0(x) = h0(x) với mọi x ∈ G.Đặc biệt khi x = 1 suy ra g = h (thỏa mãn) Vì vậy ϕ là đơn ánh Do

đó ϕ : G → ϕ(G) là một song ánh và vì vậy G đẳng cấu với ϕ(G), mộtnhóm con của nhóm đối xứng SG

Nếu G là hữu hạn với n phần tử thì ta có thể biểu diễn G = {1, 2, , n}

và ta kí hiệu (SG, ◦) = Sn Vì vậy nếu |G| = n thì G là đẳng cấu vớinhóm con của Sn

Định lý 2.3 Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G có chỉ số

n Khi đó tồn tại một đồng cấu φ : G → Sn mà ker(φ) ⊆ H

Chứng minh Ta kí hiệu họ tất cả các lớp trái của H trong G là G/H

Ta định nghĩa hàm τ : G × G/H → G/H, ở đó τ (g, xH) = g(xH)với mọi g ∈ G, xH ∈ G/H Cho xH ∈ G/H Khi đó x ∈ G, và vì

g ∈ G suy ra gx ∈ G ⇒ (gx)H ∈ G/H Vì vậy, ta có thể định nghĩag(xH) = (gx)H Ta cần chỉ ra G tác động lên G/H qua τ Với mọi

Kí hiệu 1 là phần tử đơn vị của G, với mọi xH ∈ G/H,

1(xH) = (1x)H do định nghĩa,

= xH vì 1 là đơn vị của G

Vì vậy, G tác động lên G/H Theo Định lý 2.1, ta được một đồng cấu

φ : G → SG/H, φ(g) = g0 với mọi g ∈ G Ta định nghĩa g0 bởi g0(h) = gh,

gh ∈ G, g cố định Vì |G/H| = n, SG/H ∼= S

n nên ta giả sử φ : G → Sn.Tiếp theo ta cần chỉ ra ker(φ) ⊆ H Cho a ∈ ker(φ), ta có φ(a) =

1SG/H Ta có thể viết φ(a)H = 1SG/HH = H Vì vậy

φ(a)H = τaH

= aH = H

Vì vậy aH = H, nên a ∈ H Vì vậy ker φ ⊆ H

Định nghĩa 2.2 Nếu G tác động lên X và x ∈ X thì quĩ đạo của x kíhiệu là O(x) là tập

Vì vậy Gx là đóng đối với phép nhân.

Hơn nữa cho a ∈ Gx, ta có ax = x, với a−1 là nghịch đảo của a trongG

ax = x

a−1(ax) = a−1x

(a−1a)x = a−1x (do Định nghĩa 2.1),

x = a−1x

Vì vậy ∀a ∈ Gx, a−1 ∈ Gx Do đó Gx là nhóm con của G

Định nghĩa 2.4 Cho nhóm G tác động lên tập X Cho g ∈ G, x ∈ X

Ta nói g cố định x nếu gx = x và g dịch chuyển x nếu gx 6= x Địnhnghĩa Fix(g) = {x ∈ X|gx = x} với g ∈ G để mô tả tập các phần tử x

mà cố định g Số phần tử x mà cố định g là | Fix(g)|

Ví dụ 2.0.4 Cho X = {1, 2, 3, s1, s2, s3, m1, m2, m3, C, P1, P2, P3} là D3tập của ví dụ 2.0.1 với bảng tác động là bảng 2.1 Cho G = D3 ={ρ0, ρ1, ρ2, µ1, µ2, µ3}

-Hãy tìm tập cố định Fix(σ) cho mỗi σ ∈ D3, tức là Fix(ρ0), Fix(ρ1), , Fix(µ3) Nhắc lại ρi tương ứng là phép quay tam giác ngược chiềukim đồng hồ góc quay i2π3 tâm C và µi tương ứng là phép đối xứng tamgiác qua đường phân giác mi Tập cố định Fix(ρ0) = X vì ρ0 đưa tamgiác về vị trí ban đầu của nó Vì vậy, tất cả các phần tử của X đềukhông đổi

ρ1 quay tam giác quanh tâm góc 2π3 , nên mọi vị trí đều thay đổi trừtâm Vì vậy Fix(ρ1) = {C} Tiếp tục như vậy Fix(ρ2) = {C} Tiếp,

µ1 nghịch đảo tam giác qua đường phân giác m1 Khi đó Fix(µ1) ={1, s1, m1, C, P1} Tương tự µ2 nghịch đảo tam giác qua đường phângiác m2 nên Fix(µ2) = {2, s2, m2, C, P2} và cuối cùng µ3 nghịch đảo tamgiác qua đường phân giác m3 nên Fix(µ3) = {3, s3, m3, C, P3}

Bây giờ hãy tìm nhóm con ổn định Gx cho mỗi x ∈ X, tức là tìm G1,

G2, , GP3 Do Định nghĩa 2.4, Gx = {g ∈ G|gx = x} với x ∈ X Ta cóthể xác định mỗi nhóm con ổn định bởi bảng 2.1

µ2(1) = 3, µ3(1) = 2 Nên O(1) = O(2) = O(3) = {1, 2, 3}

Tương tự O(s1) = {s1, s2, s3} = O(s2) = O(s3); O(m1) = {m1, m2, m3} =O(m2) = O(m3); O(C) = {C}; O(P1) = {P1, P2, P3} = O(P2) = O(P3)

Ví dụ 2.0.5 Cho

X = {1, 2, 3, 4, s1, s2, s3, s4, m1, m2, d1, d2, C, P1, P2, P3, P4}

là D4-tập của ví dụ 2.0.2, nhóm

G = D4 = {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, µ1, µ2, δ1, δ2}

tác động của D4 lên X có thể xem ở bảng 2.2

Đầu tiên hãy tìm tập cố định Fix(σ) với mỗi σ ∈ D4, tức là tìmFix(ρ0), Fix(ρ1), , Fix(δ2) Nhắc lại ρi tương ứng là phép quay hìnhvuông ngược chiều kim đồng hồ góc quay iπ2 tâm C, µi tương ứng là phépđối xứng hình vuông qua trục mi, δi tương ứng là phép đối xứng hìnhvuông qua đường chéo di Tập Fix(ρ0) = X vì ρ0 đưa hình vuông về vị

trí ban đầu của nó Vì vậy, mọi phần tử của X cố định ρ1 quay hìnhvuông góc π2, nên mọi vị trí của hình vuông bị thay đổi ngoại trừ tâm.

Vì vậy Fix(ρ1) = {C} Tiếp tục như vậy, Fix(ρ2) = {m1, m2, d1, d2, C},Fix(ρ3) = {C}

Tiếp theo, µ1 đối xứng hình vuông qua trục m1 nên

Bây giờ, tìm nhóm con ổn định Gx cho mỗi x ∈ X, tức là tìm G1, G2, , GP3, GP4 Nhóm ổn định của x, kí hiệu Gx, là nhóm con Gx = {g ∈G|gx = x} bởi Định nghĩa 2.4 bằng việc xem bảng, ta có thể xác địnhcác nhóm con ổn định

Cuối cùng, hãy xác định quĩ đạo trong X đối với D4 Quĩ đạo trong

X đối với D4 được định nghĩa là tập con của X, O(x) = {gx|g ∈ D4}

Ta có ρ0(1) = 1, ρ1(1) = 2, ρ2(1) = 3, ρ3(1) = 4, µ1(1) = 2, µ2(1) = 4,

δ1(1) = 3, µ2(1) = 1 nên O(1) = O(2) = O(3) = O(4) = {1, 2, 3, 4}.Tương tự, O(s1) = {s1, s2, s3, s4} = O(s2) = O(s3) = O(s4); O(m1) ={m1, m2} = O(m2); O(d1) = {d1, d2} = O(d2); O(C) = {C}; O(P1) ={P1, P2, P3, P4} = O(P2) = O(P3) = O(P4)

Mệnh đề 2.4 Cho một nhóm G tác động lên một tập X Định nghĩamột quan hệ ≡ trên X kí hiệu x ≡ y với x, y ∈ X nếu tồn tại g ∈ G saocho y = gx Khi đó, quan hệ ≡ là một quan hệ tương đương trên X.Chứng minh Cho G là một nhóm tác động lên X Định nghĩa một quan

hệ ≡ trên X kí hiệu x ≡ y với x, y ∈ X nếu tồn tại g ∈ G sao cho y = gx.Với mọi x ∈ X, x ≡ x nên ≡ có tính chất phản xạ Cho x, y ∈ X, x ≡ y.Khi đó tồn tại g ∈ G sao cho y = gx Vì G là một nhóm và đóng đối vớiphép nghịch đảo nên có g−1 ∈ G

∅ Hệ quả là X được phân hoạch thành các quĩ đạo rời nhau.

ii) Giả sử nhóm G tác động lên tập X, x, y ∈ X, g ∈ G sao cho y = gx(x, y trong cùng quĩ đạo) Khi đó O(x) = O(y) và vì vậy |O(x)| = |O(y)|.Chứng minh i) Giả sử O(x) ∩ O(y) 6= ∅ ⇒ ∃z ∈ O(x) ∩ O(y) ⇒ z ∈O(x) và z ∈ O(y) ⇒ z ≡ x và z ≡ y

Bây giờ, ∀t ∈ O(x) ⇒ t ≡ x ⇒ t ≡ z (vì ≡ là quan hệ tương đương)

mà z ≡ y nên t ≡ y ⇒ t ∈ O(y)

Suy ra O(x) ⊆ O(y) Tương tự có O(y) ⊆ O(x) Vậy, O(x) = O(y)

Hệ quả 2.2 Nếu một nhóm G tác động lên một tập X thì X là hợprời nhau của các quĩ đạo Nếu X là hữu hạn thì

i

|O(xi)|,

ở đó mỗi xi được chọn từ mỗi quĩ đạo

Chứng minh Vì các quĩ đạo là rời nhau, không có phần tử nào trong Xđược đếm hai lần Vì vậy, tổng các cấp của tất cả các quĩ đạo sẽ bằngcấp của X, X hữu hạn

Thực tế, với x ∈ X bất kì, số phần tử trong quĩ đạo của x nhân với

số phần tử trong nhóm con ổn định của x bằng số các phần tử của G.Định lý 2.4 Nếu một nhóm G tác động lên tập X và x ∈ X thì

|O(x)| = [G : Gx],chỉ số của nhóm con ổn định Gx trong G

Chứng minh Cho G tác động lên X và cho x ∈ X Cho G/Gx có nghĩa

là tập tất cả các lớp trái của Gx trong G Một phần tử của G/Gx códạng gGx với g ∈ G Định nghĩa ϕ : G/Gx → O(x) bởi ϕ(gGx) = gx

Ta phải chỉ ra ϕ là định nghĩa tốt Hàm ϕ được định nghĩa tốt nếu khi

gGx = hGx với gGx, hGx ∈ G/Gx, ϕ(gGx) = ϕ(hGx) Nếu gGx = hGx,thì h−1g ∈ Gx và tương tự g−1h ∈ Gx Ta có

vì |G/Gx| = [G : Gx] Khi đó cho X là G-tập, x ∈ X, nếu G hữuhạn thì |G| = |O(x)|.|Gx| (vì |O(x)| = |G/Gx| (do Định lí 2.4) nên

|O(x)| = |G|/|Gx| (do Định lí Lagrange), vì |G| hữu hạn nên |G| =

Lấy s1 ∈ D3 (ở Ví dụ 2.0.1) Đặt G = D3 Dễ thấy O(s1) = {s1, s2, s3}

và Gs1 = {p0, µ1} Vì |G| = 6 và |Gs1| = 2, |O(s1)| = |G|/|Gs1| = 6/2 =3

Mệnh đề 2.5 Cho G là nhóm hữu hạn tác động lên tập X Nếu x, y ∈ Xnằm trên cùng một quĩ đạo thì |Gx| = |Gy|

Chứng minh Cho G là nhóm hữu hạn tác động lên tập X Giả sử x, y ∈

X nằm trên cùng quĩ đạo Khi đó vì G là nhóm hữu hạn tác động lêntập X, bởi Định lý 2.4 |O(x)| = [G : Gx] và |O(y)| = [G : Gy] nên

Chứng minh Cho x ∈ X, h ∈ G Ta chỉ ra h(Gx)h−1 ⊆ Ghx.

Cho a ∈ h(Gx)h−1 Ta có h(Gx)h−1 = {a ∈ G/(∃g ∈ Gx) (a =hgh−1)} Vì vậy nếu cố định g ∈ Gx thì a = hgh−1 Vì a = hgh−1,

ah = hg Khi đó ta phải chỉ ra a(hx) = hx

a(hx) = (ah)x (Định nghĩa 2.1),

= (hg)x (phép thế),

= h(gx) (Định nghĩa 2.1),

= hx (vì g ∈ Gx)

Vì vậy a ∈ Ghx Bây giờ ta chỉ ra Ghx ⊆ h(Gx)h−1 Giả sử a ∈ Ghx, ta

có a(hx) = hx Ta phải chỉ ra tồn tại g ∈ G sao cho a = hgh−1 và g cótính chất gx = x Đặt g = h−1ah thì

Mệnh đề 2.7 Cho nhóm G tác động lên tập X và giả sử rằng x, y ∈ Xnằm trên cùng quĩ đạo: y = gx, g ∈ G thì Gy = gGxg−1.

Chứng minh Giả sử x, y ∈ X nằm trên cùng quĩ đạo y = gx, g ∈ G Ta

Vì vậy, a ∈ Gy Do đó Gy = gGxg−1.

Định lý Burnside và ứng dụng

Chương này trình bày một định lý rất nổi tiếng về ứng dụng của lýthuyết nhóm vào tổ hợp đó là Định lý Burnside Sau đó chúng tôi trìnhbày một số ứng dụng của lý thuyết nhóm thông qua định lý này vào cácbài toán tổ hợp và số học Nội dung chính của chương này trình bày dựatrên [3]