Định lý 3.1. Cho G là một nhóm hữu hạn tác động lên tập hữu hạn X. Nếu N là số các quĩ đạo rời nhau trong X thì
N = 1
|G|
X
g∈G
|Fix(g)|,
ở đó Fix(g) là tập các giá trị của x ∈ X cố định g.
Chứng minh. Đặt T = {(g, x) ∈ G×X|gx = x}. Cố định x ∈ X. Khi đó số phần tử g ∈ G sao cho (g, x) ∈ T là |Gx|. Do đó, |T| = P
x∈X
|Gx|.
Cố định g ∈ G. Khi đó số phần tử x ∈ X sao cho (g, x) ∈ T là
|Fix(g)|. Do đó, |T| = P
g∈G
|Fix(g)|. Vì vậy X
x∈X
|Gx| = X
g∈G
|Fix(g)|.
Gọi O(x1), ..., O(xN) là các quĩ đạo rời nhau trong X. Ta có X
x∈X
|Gx|
|G| = 1
|G|
X
g∈G
|Fix(g)|.
Mặt khác
X
x∈X
|Gx|
|G| = X
x∈O(x1)
|Gx|
|G| +...+ X
x∈O(xN)
|Gx|
|G| . Đặt O(x1) ={a1, a2, ..., am}. Suy ra
X
x∈O(x1)
|Gx|
|G| = |Ga1|+ |Ga2|+ ...+|Gam|
|G| .
Nhưng |G|
|Gx| = [G : Gx] = |O(x)|,∀x ∈ X. Suy ra|Gx| = |G|
|O(x)|,∀x ∈ X. Suy ra
|Gai| = |G|
|O(ai)| = |G|
|O(x1)| = |G|
m . Do đó, P
x∈O(x1)
|Gx|
|G| = 1. Tương tự ta có X
x∈O(x2)
|Gx|
|G| = ...= X
x∈O(xN)
|Gx|
|G| = 1.
Vì vậy
X
x∈X
|Gx|
|G| = X
x∈O(x1)
|Gx|
|G| +...+ X
x∈O(xN)
|Gx|
|G| = N.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Trong Mệnh đề 2.3, ta đã chỉ ra rằng nếu một nhóm G tác động lên một tập có n phần tử và C là tập bất kì thì G cũng tác động lên tập của tất cả các chuỗi n phần tử tạo thành từ các phần tử của C. Mệnh đề này có thể được viết lại trong vấn đề tô màu.
Mệnh đề 3.1. Nếu một nhóm G tác động lên một tập X = {1,2, ..., n}
và nếu C là tập q màu thì G tác động lên Cn.
Định nghĩa 3.1. Một quỹ đạo của (c1, c2, ..., cn) ∈ Cn được gọi là một (g, G)-cách tô màu của X.
Sử dụng kí hiệu này trong định lý Burnside, hãy xét một ví dụ đơn giản của việc đếm số cách tô màu khác nhau cho các đỉnh của hình 6 cạnh với 2 màu.
Ví dụ 3.1.1. Xác định số cách tô màu 6 đỉnh của hình lục giác bởi 2 màu. Ta có thể sử dụng một màu cho cả 6 đỉnh.
Cho X = {1,2,3,4,5,6} là tập gồm 6 đỉnh của hình lục giác. Cho C gồm hai màu và C6 là tập các dãy 6 phần tử của các màu. Nếu x ∈ C6 thì x = (c1, c2, c3, c4, c5, c6), ở đó c1, c2, c3,c4, c5, c6 là một trong hai màu đã cho.
Tưởng tượng lục giác đang nằm trong một mặt phẳng. Vì lục giác trong không gian hai chiều nên chỉ có cách là quay lục giác đó. Cho τ là một hoán vị trong S6 liên kết với phép quay lục giác góc quay 60o cùng chiều kim đồng hồ.
Hình 3.1: Phép quay hình lục giác với các đỉnh 1, 2, 3, 4, 5, 6
Các hoán vị trong S6 có thể được viết như sau:
τ = (1,2,3,4,5,6) τ2 = (1,3,5)(2,4,6) τ3 = (1,4)(2,5)(3,6) τ4 = (1,5,3)(2,6,4) τ5 = (1,6,5,4,3,2)
Hình 3.1 chỉ ra 5 phép quay tác động lên lục giác.
Cho G =< τ > là tập các tác động lên X. Khi đó |G| = | < τ > | = 6.
Ta có thể xem các màu của các đỉnh của lục giác là (2, G)-cách tô màu của X. Vì G tác động lên X, từ Mệnh đề 2.1, ta có G tác động lên C6, tập các dãy 6 phần tử của các màu. Quĩ đạo của(c1, c2, c3, c4, c5, c6) ∈ C6 tương ứng với 6 cách trông lục giác. Do Định lý Burnside, số N của cách tô màu vào đỉnh là:
N = 1
6[|F ix((1))|+|F ix(τ)|+|F ix(τ2)|+|F ix(τ3)|+|F ix(τ4)|+|F ix(τ5)|].
Phép hoán vị đồng nhất (1) cố định mọix thuộc C6, nên |F ix((1))| = 26 vì mỗi đỉnh có hai cách tô màu.
Nếu x = (c1, c2, c3, c4, c5, c6) ∈ C6 được cố định bằng τ thì c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6; có 2 cách chọn màu cho c1, nhưng c2, c3, c4, c5, c6 lại liên kết với c1 nên c2, c3, c4, c5, c6 chỉ có 1 cách chọn màu. Vì vậy
|F ix(τ)| = 21.
Tương tự, vì τ5 = τ−1 nên |F ix(τ5)| = |F ix(τ)| = 21.
Tiếp theo, nếu x = (c1, c2, c3, c4, c5, c6) được cố định bởi τ2, c1 = c3 = c5 và c2 = c4 = c6 thì c1, c2 mỗi đỉnh có 2 cách chọn màu. Tuy nhiên, c3 và c5 lại liên kết với c1, c4 và c6 lại liên kết với c2 nên các phần tử này chỉ có một cách tô màu. Từ đó suy ra |F ix(τ2)| = 22.
Tương tự, vì τ4 = τ−2 nên |F ix(τ4)| = |F ix(τ2)| = 22.
Cuối cùng nếu x = (c1, c2, c3, c4, c5, c6) được cố định bởi τ3, c1 = c4, c2 = c5, c3 = c6 thì c1, c2, c3 mỗi đỉnh có 2 cách tô màu. Tuy nhiên, c4 liên kết với c1, c5 liên kết với c2, c6 liên kết với c1 nên mỗi đỉnh này chỉ có một cách tô màu. Do đó, |F ix(τ3)| = 23. Vì vậy, số cách tô màu thỏa mãn là
N = 1
6(26 + 21 + 22 + 23 + 22 + 21) = 84
6 = 14.
Ví dụ 3.1.2. Có bao nhiêu lá cờ có 5 dải với độ rộng bằng nhau, mỗi dải được tô bởi một trong q màu.
Cho C5 là tập các dãy 5 phần tử là các màu, nếu x ∈ C5 thì x = (c1, c2, c3, c4, c5)
ở đó, c1, c2, c3, c4, c5 là một trong q màu.
Hình 3.2: Đảo ngược lá cờ
Tưởng tượng rằng lá cờ đang ở trên cột cờ. Lá cờ chỉ có thể bị thay đổi bởi việc lật lá cờ để tô ra màu mới. Điều này được mô tả ở hình 3.2.
Cho τ là hoán vị mà đảo ngược tất cả các dải cờ, mô tả sự đảo hướng của lá cờ.
τ = 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
!
= (1,5)(2,4)(3), một tích của các chu kì rời nhau.
Nhóm xyclic G =< τ > định nghĩa các tác động lên mỗi dãy gồm 5 phần tử x của các dải màu. Đây là một nhóm tác động (do Mệnh đề 2.3). Do đó τ = (1,5)(2,4)(3),
τ2 = (1,5)(2,4)(3)(1,5)(2,4)(3) = (1)(2)(3)(4)(5) = τ0.
Khi đó, |G| = | < τ > | = 2, và quỹ đạo của dãy 5 phần tử x gồm có 1 hoặc 2, τ cố định x hoặc không. Số các lá cờ khác nhau là số N quĩ đạo.
Do Định lý Burnside,
N = 1
2[|Fix((1))|+|Fix(τ)|].
Phép hoán vị đồng nhất (1) cố định với mọixthuộc Cn, nên|Fix((1))|= q5 vì có q màu, mỗi dải có một cách chọn trong q màu. Nếu x = (c1, c2, c3, c4, c5) được cố định bởi τ = (1,5)(2,4)(3) thì c1 = c5, c2 = c4. Suy ra |Fix(τ)|= q3, do có q cách chọn cho mỗi c1, c2, c3. Vì màu c5 liên kết với c1, c4 liên kết với c2 nên c4 và c5 chỉ có một cách chọn màu.
Vì vậy, số cách tô màu lá cờ là:
N = 1
2(q5 +q3).
Ví dụ 3.1.3. Ta chỉ ra có N = 1
2(qn+qdn2e) lá cờ với n mảnh, mỗi mảnh được tô bởi một trong q màu.
Ta có hai trường hợp:
1. n chẵn.
2. n lẻ.
Xét n chẵn: Cho X = {1,2, ..., n} là tập tất cả các dải của lá cờ, C là tập q màu, Cn là tập các dãy n phần tử của các màu. Nếu x ∈ Cn thì x = (c1, c2, ..., cn), c1, c2, ..., cn là một trong q màu.
Cho τ là hoán vị làm đảo ngược tất cả các hệ số trong Ví dụ 3.1.2, biểu diễn việc lật lá cờ.
τ = 1 2 ... n−1 n n n−1 ... 2 1
!
= (1, n)(2, n−1)...(n 2,n
2 + 1)
Nhóm xyclic G =< τ > tác động lên Cn được chỉ ra trong Ví dụ 3.1.2.
τ = (1, n)(2, n−1)...(n 2,n
2 + 1), nên τ2 = (1, n)(2, n−1)...(n
2,n
2 + 1)(1, n)(2, n−1)...(n 2,n
2 + 1)
= τ0.
Do phép nhân của các chu trình rời nhau, n2 + 1 biến thành n2, sau đó biến thành chính nó. Tương tự, n2 biến thành n2 + 1 và lại biến thành chính nó.
Tương tự với mỗi i ∈ X, ở đó 1 ≤ i ≤ n. Vì vậy, τ2 = τ0, nên
|G| = | < τ > | = 2.
Quĩ đạo của dãy bất kìn phần tử x gồm 1 hay 2 phần tử, τ cố định x hoặc không. Số lá cờ khác nhau vì vậy là số N quĩ đạo.
Do Định lý Burnside, N = 12[|F ix((1))| + |F ix(τ)|]. Phép hoán vị đồng nhất (1) cố định với mọi x thuộc Cn nên |F ix((1))| = qn vì mỗi một dải có thể được tô bởi q màu.
Nếu x = (c1, c2, ..., cn) được cố định bởi τ = (1, n)(2, n−1)...(n2,n2+ 1) thì c1 = cn, c2 = cn−1, ..., cn
2 = cn
2+1. Điều này kéo theo |F ix(τ)| = qn2, vì có q cách chọn mỗi c1, c2, ..., cn
2. Số lá cờ N = 1
2(qn+qn2).
Xét n lẻ: Cho X = 1,2, ..., n biểu diễn số dải của lá cờ.
Đặt C là tập q màu, và Cn là tập tất cả dãy n màu. Nếu x thuộc Cn, thì x = (c1, c2, ..., cn), c1, c2, ..., cn là một trong q màu. Đặt τ là hoán vị làm đảo ngược tất cả các hệ số
τ = 1 2 ... n−1 n n n−1 ... 2 1
!
= (1, n)(2, n−1)...(dn
2e−1,dn
2e+1)(dn 2e).
Nhóm xyclic G =< τ > tác động lên Cn τ = (1, n)(2, n−1)...(dn
2e −1,dn
2e+ 1)(dn
2e) nên τ2 = τ0.
Bằng phép hoán vị các chu trình rời nhau, dn2e biến thành chính nó.
Giống như trường hợp trước, dn2e+ 1 biến thành dn2e −1, sau đó lại biến thành chính nó. Mỗi phần tử i ∈ X, 1 ≤ i ≤ n biến thành chính nó trong tích.
Vì vậy, τ2 = τ0, nên |G| = | < τ > | = 2. Quỹ đạo của dãy n phần tử x bất kì gồm 1 hay 2 phần tử, τ cố định x hoặc không. Vì vậy số lá cờ khác nhau bằng N các quĩ đạo. Bởi Định lí Burnside,
N = 1
2[|Fix((1))|+|Fix(τ)|]
Hoán vị đồng nhất (1) cố định với mọi x thuộc Cn nên |Fix((1))| = qn vì mỗi dải trong n dải có thể có q cách tô màu. Nếu x = (c1, c2, ..., cn) được cố định bởi τ = (1, n)(2, n−1)...(dn2e −1,dn2e+ 1)(dn2e) thì c1 = cn, c2 = cn−1, ..., cdn
2e+1 = cdn
2e−1. Vì cdn
2e không liên kết với bất kì mầu nào trong x nên cdn
2e có q cách chọn. Vì có q cách chọn cho mỗi dải c1, c2, ..., cdn
2e nên |Fix(τ)| = qdn2e. Số lá cờ là N = 1
2(qn+ qdn2e).
Định nghĩa 3.2. Hai chu kì α = (x1, x2, ..., xr), β = (y1, y2, ..., ys) ∈ Sn là rời nhau nếu không có phần tử nào của {1,2, ..., n} là di chuyển bởi cả α và β. Cách viết khác, hai chu trình là rời nhau nếu với mọi i ∈ {1,2, ..., n} thì một trong những điều sau đúng:
α(i) = i và β(i) =i;
hoặc nếu α(i) 6= i thì β(i) = i;
hoặc nếu β(i) 6= i thì α(i) = i.
Ta có mọi hoán vị của một tập hữu hạn có thể được viết như một chu kì hoặc một tích của các chu kì rời nhau. Khi viết τ như tích của các chu kì rời nhau, điều này là quan trọng để phân tích hoàn tử τ thành nhân tử.
Định nghĩa 3.3. Một sự phân tích hoàn toàn thành nhân tử của một hoán vị α thành tích của các chu kì rời nhau là một sự phân tích thành nhân tử của τ, chứa 1-chu kì (i) với mọi i được cố định bởi τ.
Tầm quan trọng của 1-chu kì được thể hiện ở Ví dụ 3.1.2. Ở ví dụ này, khi tính |Fix(τ)|, phải nhớ rằng c3 không liên kết với bất kì phần tử nào của n-chuỗi. Vì vậy c3 có thể là một trong q màu, giống c1 và c2. Vì không chứa 1-chu kì, ta đã quên tính đến các màu có thể của c3 khi tính |Fix(τ)|. Vì vậy, tất cả các hoán vị nên được phân tích hoàn toàn thành tích của các chu kì rời nhau.
Ví dụ, xét
τ = 1 2 3 4 5 2 4 3 1 5
! .
Viết thành tích các chu kì rời nhau, nhưng không thành nhân tử hoàn toàn, τ = (1,2,4). Tuy nhiên ta sẽ phải viết τ thành τ = (1,2,4)(3)(5).
Cho q bằng số màu trong tập. Ta sẽ chỉ ra |F ix(τ)| bằng qt(τ), ở đó t(τ) là số chu kì trong sự phân tích hoàn toàn của τ thành tích các chu kì rời nhau. Điều này sẽ cho phép ta viết lại Định lí Burnside.
Định lý 3.2. Cho C là một tập q màu, G là nhóm con của Sn. Nếu τ ∈ G thì
|Fix(τ)| = qt(τ),
ở đó t(τ) là số các chu kì trong sự phân tích hoàn toàn của τ thành tích của các chu kì rời nhau.
Hệ quả 3.1. Cho G là một nhóm con của Sn tác động lên tập hữu hạn
X. Nếu N là số phần tử của (q, G)-cách tô màu của X thì N = 1
|G|
X
τ∈G
qt(τ)
ở đó t(τ) là số chu kì trong phân tích hoàn toàn của τ thành tích của các chu kì rời nhau.
Sử dụng công thức mới, xét ví dụ hình vuông 5×5 có 25 ô vuông, mỗi ô được tô bởi một trong hai màu.
Ví dụ 3.1.4. Tô mỗi ô của hình vuông 5×5 bởi một trong hai màu đỏ hoặc đen. Cho X là tập gồm 25 ô vuông và C là tập hai màu đỏ và đen.
Hình 3.3: Phép quay hình vuông 5×5 góc quay 90o cùng chiều kim đồng hồ.
Quay hình vuông theo chiều kim đồng hồ góc quay 90o tạo ra một cách tô màu mới như hình 3.3. Ta sẽ sử dụng hệ quả định lí Burnside (Hệ quả 3.1) để tính số cách tô màu khác nhau của hình vuông 5×5.
Cho τ là phép quay theo chiều kim đồng hồ góc quay 90o. Khi đó τ được viết
τ =(1,5,25,21)(2,10,24,16)(3,15,23,11)(4,20,22,6)(7,9,19,17) (8,14,18,12)(13)
Nhân các chu kì ta được
τ =(1,5,25,21)(2,10,24,16)(3,15,23,11)(4,20,22,6)(7,9,19,17) (8,14,18,12)(13)
τ2 =(1,25)(5,21)(2,24)(10,16)(3,23)(15,11)(4,22)(20,6)(7,19)(9,17) (8,18)(14,12)(13)
τ3 =(1,21,25,5)(2,16,24,10)(3,11,23,15)(4,6,22,20)(7,17,19,9) (8,12,18,14)(13)
τ4 =(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19) (20)(21)(22)(23)(24)(25)
=τ0.
Hình vuông là 1-mặt, đối lập với lá cờ ở Ví dụ 3.1.2 và 3.1.3, là 2-mặt.
Ta hình dung hình vuông đang ở không gian 2 chiều, vì vậy chỉ có cách để thay đổi vị trí của các ô vuông là quay hình vuông. Phép quay theo chiều kim đồng hồ góc quay 900 là τ1, 1800 là τ2, 2700 là τ3 và 3600 là τ4. Vì vậy, τ0 = τ4 là vị trí ban đầu.
Quĩ đạo của(c1, c2, ..., c25) ∈ C25 tương ứng với 4 cách trông của bảng.
NhómG =< τ > tác động lên X nên theo Mệnh đề 3.1, Gcũng tác động lên C25, tập gồm các 25-bộ của các màu. Theo Hệ quả 3.1, số các hình vuông là
1
4[qt(τ0)+qt(τ)+qt(τ2) +qt(τ3)].
Sử dụng công thức trên sẽ dễ dàng để tính số hình vuông hơn sử dụng mệnh đề gốc của Định lí Burnside. Có 25 chu kì ở phép phân tích hoàn toàn của τ0 vì có 25 phần tử ở hình vuông ban đầu. Vì vậy qt(τ0) = 225. Tiếp tục, qt(τ) = 27 vì có 7 chu kì trong phép phân tích hoàn toàn của τ. Tương tự, qt(τ2) = 213 và qt(τ3) = 27. Do đó số các hình vuông là
N = 1
4(225+ 27 + 213+ 27) = 8390720.
Cuối cùng, xét một ví dụ tổng quát hơn, một hình vuông n×n với mỗi ô vuông được tô màu đỏ hoặc đen.