định lý engel và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học.. Đặc biệt nó dược xem như m

21 Đại số Lielũy linh 21

Lời nói đầu

Vào cuối thế kỷ 19, trong các công trình của Xôphux Lie (1842-

1899) và Phêlix klein (1849-1925) đã xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riman

Sự kết hợp này được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết

mới, đó là lý thuyết nhóm Lie và đại Lie Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và dại số Lie là sự kết hợp của các chuyên ngành Hình học-Tôpô,

Giải tích và Dại số Do đó đại số Lie là một bộ phận của toán học

hiện dại

Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong

các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học Đặc biệt nó dược xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp

Riemamn

Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã dược trình bày trong các tài liệu

và được viết bởi các nhà toán học nổi tiếng như Serre, Helgason, và

một phần mở dầu dược trình bày trong các bài giảng về dại số Lie

và nhóm Lie cho các lớp cao học chuyên ngành Hình học -Tôpô ở các

trường đại học

Nội dung chính của luận văn là trình bày chỉ tiết chứng mỉnh định

lý Engel và tìm hiểu một số ứng dụng của định lý Luận văn được chia

Chương 1 Đại số

Chuong 2 Dinh ly Engel va tng dung

Nội dung của chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về

đại số như idean dại số, đồng cấu đại số và một số tính chất về dại số

Lie

Noi dung của chương 2, chúng tôi trình bày chứng minh chỉ tiết định lý Engel và một số ứng dụng của định lý đó Nội dung chương 2 được chia làm ba phần:

2.1 Đại số Lie luỹ linh 2.2 Dinh ly Engel

2.3 Ung dung

Luận văn được hoàn thành tại khoa sau đại học Dại học Vĩnh, dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác

giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ bảo của thầy trong quá

trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo đã giảng dạy tác

giả học tập và nghiên cứu tại khoa Sau dại học trường Dại học Vinh

Trường THPT Bán công Nông Cống, gia đình và bạn bè đã tạo điều

thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

Chương 1

Đại số Lie

Trong chương này, ta luôn giả thiết K là trường có đặc số 0, G là

một môdun trên trudng K

1 Kí hiệu Afn(K) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n

trên trường ϧ, với các phép todn A+ B,A.B,a.A với A,B € Mn(R),a € K Khi do Mn(K) 1a mot dai s6

2 Gỉa sử MI là đa tạp khả vi thực n chiều Khi đó, tập hợp các hàm

số khả vi trên MI là một đại số trên ÏR

e Thật vậy ta kí hiệu F(M) = {/|/ : M — R, f khả vi } là tập các

ham kha vi trén da tap M Cac phép toán được trang bị trên /(MI)

4

> Nhu ta da biét (Xem/3/)

e Gỉa sử G là một đại số trên K, 4 là một môdun con của G Khi

đó 4 dược gọi là đại số con của G nếu Va,b € 4 thì a.b € A

e Dại số con 4 của G được gọi là iđêan trái (phải) của G nếu 4 là

môdun con và với Va € Á,z € G thì az € A(aa € A)

e« 4 được gọi là iđêan của G nếu 4 vừa là iđêan trái, vừa là iđêan

œ+A,u+AcG/4; khi đó G/A được gọi là đại số thương của

đại số G theo iđêan A

Định nghĩa 1.1.2 (cem/3]) Gia sit G.G' la hai dai số trên trường K,

một ánh xạ tuyến tính ƒ từ dại số G đến đại số G' được gợi là đồng

cấu đại số Nếu V+z, € G thà ƒ(ụ) = f(x) f(y)

Chú ý

e Nếu f là đơn ánh thì f dược gọi là dơn cấu Nếu f là toàn ánh thì

£ được gọi là toàn cấu và nếu f là một song ánh thì f được gọi là

một đẳng cấu

e Nếu có một ánh xạ ƒ : G — G7 đẳng cấu thì ta nói hai đại số G,G/ đẳng cấu với nhau và kí hiệu G © G'.

Mệnh đề 1.1.1 (zem (3j) Cho Ƒ:G —¬ GI là một toàn cấu khá đó:

1 kerf 1a idéan ca G voi kerf = {x € GI f(x) = 0} = f71(0)

2 G/kerf =G

Chứng minh

1 Ta có kerƒ là môdun con của G Thật vậy Vz,€G.Vae,3e€K

taco f(ax + By) = af (x) + Bf(y) =0 > ax + Øụ = ƒT}(0) suy ra (ax + By) € kerf

Voi Vx € kerf, Vy © G ta c6 f(xy) = f(x) f(y) = 0.f(y) = 0 suy

g|la(œ + kerƒ) + 8(w + kerƒ)] = g(a + Øụ + ker Ƒ)

= f(ax + By) ( f tuyến tính)

= ag(œ + kerƒ).3g(u + ker ƒ)

Vậy g là đồng cấu

Ta chứng minh g là song ánh thật vậy:

V6i Va,y € G ta c6 g(x + kerf) = g(y + kerf)

=> I(x) =S(y)

=ƒ(œ—w)=0

=œ=€ ƒ 1(0) ou-—ye€ékerf

Ta suy rax+kerf =y+kerf hay g la một đơn ánh (1)

Véi Vz € G’, vi f la toan Anh, do đó 3z € G để ƒ(z) = z khi đó

Từ (1) và (2), ta có ø là song ánh Vậy G/ker ƒ = G’ L] Mệnh đề 1.1.2 (Xem {3]) Gia sử A, B là bai iđêun của đại số G

va AC B Khi dé B/A = {b+ Alb © B} là idéan của G/A tà (G/A)/(B/A) = G/B

Chứng minh

e B/A la idéan cia G/A Ta có B/A là môdun con của G/A thật

vậy: Vhị + A,ba + AC H/A,a,Ø€ K ta có a(bị + 4) + 0(b¿ + 4) = ab; + bo + A € B/A

V6i Vb) + A, bo + A € B/A khi do:

-(by + A)(b2 + A) = bjbo + A € B/A

-(by + A)(by + A) = bob) + A © B/A vi (by b2, bod) € B)

Vay B/A là iđêan của G/A

1 Trong khong gian Oclit G = R? véi [a,b] = a Ab la mot dai sé Lie

trén R (A 1a tich có hướng trong ïR)

2 Gia stt G = M,,(R) véi tich Lie [A, B] = AB — BA là một đại số

Lie trén R

e Thật vậy ở đây ta kiểm tra (2) ta có G = M,(R) là một đại số trên

R, vì G là không gian véc tơ trên ÏR và

=a{A,BỊ voi VA, B,C € M,(R),a ER

¢ Ta chttng minh M,,(R) 1a dai sé Lie:

i Voi VA € M,(R) ta c6: [A, A] = A.A- AA=0

ii V6i VA, B.C € G thi [A, [B.C] + [B [C, Al] +[C, [A, B]] = 0

=[A, BƠ — CB) +[B,CA~— AC] + [C, AB — BA]

= A(BC — CB) — (BC — CB)A + B(CA — AC) — (CA - AC)B + C(AB — BA) — (AB — BA)C

= ABC — ACB — BCA —-— CBA+ BCA —- BAC — CAB — ACB + CAB — CBA — ABC — BAC =0

Nhận xét 1.2.1

G là một đại số Lie, khi đó uới V+,,z € G ta có:

1 [x,y] = —[y, 2]

2 |z, [, z]] = [lz ], z] + [u le 2].

3 Đại số cơn, đại số thương, tích trực tiếp của các đại số Lie là các dai s6 Lie

4 Dai sd doi ctia dai 86 Lie la dai s6 Lie

(G la dai 86 Lie vdi phép nhan (x,y) — [x,y] thi dại số đối của

dai s6 G la G' vdi phép nhan (x,y) — [y, a])

ð Cho V là không gian téc tơ trên K Chitng minh End(V) la dai sé

Le uới phép nhân (ƒ, g) —— LÍ g] = fq— gÏ uới VỊ, g € End(Ÿ)

= l>, |u z]] = —[y- [2,2] — [z, fe yl]

Mat khac ta c6 [A, B] + [A,C] = [A, [B,C] do đó

[u [z z]] + ly [2,21] = ly fe z] + [z, zÌÌ

= [y, 0] = 0

suy ra |#, [y.z|] = [y [2,2] + [ley], zÌ: Oo

3 Goi A là đại số con của đại số Lie G khi đó A ổn định với phép nhân |z, ý] V+, € G Do do

i Ta c6 [a,a] =0

ii.{a, [b, cl] + [b, [c, a] + [e, [a, b]] = 0 Vai Va, b,c € A

Vay A la dai so Lie

e Ga sử A là iđêan của đại số Lie G ta chứng minh G/A là đại số Lie

với phép nhân [a + A, + 4] = [z, |] + A Thật vậy:

i Vi Va + Avy t+ A € G(A ta có: [# + Ava + A] = [xz] + A= A .Với Vư + A,u+ A,z+ AC G(A ta có:

l# + A.[u+ A,z + All = lz+ A.Í[ø z] + A] = |>.|u.z]+ A (1)

ly + A [z + A,a + Al] = [y+ A, [z, 2] + A] = [y [z, a] + A (2) [2 + A, [x + A,y + Al] = [2 + A, [x,y] + A] = [2, [x,y] + A] (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ thức Jacôbi Vậy G/A là đại số Lie

e Gọi (G); là họ các đại số Lie với phép nhân [z;, 1]

Xét G = [] G = {w = (%)|œ¡ € G¡, Ví € J} là tích trực tiếp của (G,),

ta định nghĩa phép nhân trên G là [z,g|] = ([(;) (;)])¡ Ta có:

] ]

*G là đại số với phép nhân [x,y]

nhân (#,) — [y, a] Thật vay:

5 /nd(V) là đại số Thật vậy !nd(V) là một môdun trên KK, ta có:

End(V) x End(V) —> End(V)

(f.g) > [f,g] lA mot anh xa song tuyén

Tương tu ta c6 [f,ag] = alf,g],a € K

e//nd(V) la dai s6 Lie That vay, véi Vf,g,h € End(V) ta cé:

1 Nếu ¿ là đồng cấu Lie và ¿ là song ánh thì ¿ được gọi là đẳng

D duoc goi la énh xa vi phan néu D(x.y) = D(x)y+xD(y) ;Vx,y € G

Mệnh đề 1.2.1 Gia sử Gìị,G¿ là các 0i phân trên G khi dó

1.œDi+ ga là một vi phân trên G tới œ, 3 € J

2 D= DịDạ— D;Ù\ cũng là một ui phân trên G

Chứng minh

1 Dat f = (aD, + 8D») ta chttng minh f là ánh xạ vi phân tuyến tinh, véi Vx, y € G ta cd

f(x,y) = (aD, + BD2)(x,y)

= aD, (x,y) + BDo(x, y)

= a(D() + zDi(0)) + 8(Da()y + zD3(0))

= (aD (x) + BD2(x))y + x(aDo(y) + BPo(y))

= (aD, + BDo)(x)y + «(aD + Do) (y)

= f(x)y+af(y) Vay f la mot ánh xa dao ham L]

2 Ta có D là ánh xạ tuyến tinh That vay véi Vz,y € G,a,3 € K ta

CÓ:

D(ax + By) = (Di D2 — Di D2)(ax + By)

= (Dy Dy — D,D2)(ax) + (Di D2 — DỊHD2)(8Øu)

= a(1D1D; — Dị Do) (a) + BD, Da — Dị D2)(y)

=aD(«)+ 8D(y)

Ta chứng mình D là ánh xạ vi phan, that vay véi Vx,y € G ta có:

D[r,] = (DịDa — DayDn)[z, ]

= D,(Dalx, ]) — Da(DI[z+, g]Ì)

= D,([Do(x), y] + [x, Da(y)] — Do({[Pi(z) y] + [x Pr(y)]

= D,[D2(x), y] + Di[x, Da(y)] — D2[Di(x),y] + Dax, Di(y)]

= [Di D2(2),y]+[D2(2), " )]+[Pi(a), Do(y)| + lw, Di Po(y)]

~[D›sTDi(#) w] — [IDì() Da(w)| — [Da(+), D1(w)] — [#, D2 Piy)]

= [(Di[D2 — D2D1)(x), ủ- [x, (Di[D2— D2Di)(y)]|

Ménh dé 1.2.2 Ta ky hiệu DerG = {D|D là vi phan trén G} Khi

đó DerG uới phép nhân [Dì, Da] = Dị.Dạ — Dạ.Dị là một dại số Lác

trên K

Chứng mình

eTa có DerG là dại số

Thật vậy, 2erG là một môdun trên K, ta có:

DerG x DerG —> DerG (D;, Dz) +> [Di, Do] là một ánh xạ song

tuyén tinh

x V6i VD, Do, Ds € G ta có:

Di + Do, D3) = (Di + Dz) D3 — D3(D1 + D2)

= (D,D3 — D2D3) + (D3D1 — D3Dz2)

Tương tự ta có [Dị,œDa] = a[D\, Da], œ € K

eV6i VD), Do, Dạ € DecrG ta có:

i (D1, Di] = D\D1 — DD, = 0

ii [D}.[D2, Dạ]] + [Da [Dạ Dị] + [D3 [D1 Dal]

=[Dị.DạDạ — DạD;] + (D2, D3D, — Dy D3] + (Dy, D D2 — D2Dy)

= DỊD¿D;— Dị Dạl¿— Dạ + D; ¿Dị + D2 D3D, — D2), D3 —- D3D, D2 + Dy D3D2 + D3D1D3 — D3D2D\, — Dy D2D3 + DD, D3 = 0

Vay DerG la dai s6 Lie véi phép nhân [Dị, Dạ] = DịDạ T— DạD.T

» Gỉa sử Œ là đại số Lie, với mỗi z € Œ ta xét ánh xa ad,

ad,;:G—+>G

yr ad,(y) = [x,y]

Khi d6 anh xa ad, có các tính chất

Dinh ly 1.2.1

1 ad, 14 4nh xa dao ham

2 Anh xa f : G — DerG xác định bởi ƒ(z) = ad, là một đồng

cấu đại số Lie

Chứng minh

1.Ta có adz([g #]) = [z, [ z]Ì

= [ley] v] + [u [z ÌÌ

= [adz(w) z] + [u ad„(2)]

2.Với Vư, € G,a, Ø € K ta có f(az+zy) = @d(or4gy) tuyén tính

Thật vậy Ví € G ta có ad(¿z;z„)(†) = [az + đụ t]

= laz.f] + ly

= alz,f] + Ø|{u, t]

= aad,(t) + Ø8ad,()

= (aad, + Øad,)(L)

Suy ra ad(ar4gy) = aad, + Bady

Mat khac adr ye) = [[z y], 4

= [x, [y 4] — [y, fe, 4]

= |x, ad,(t)] — [y,ad.(t)]

= ad,(ady(t)) — ad,(ad,(1))

= ad,ady — adyad;

Suy ra f((0 yl) = adjay) = adsady—adyad, = (ad,,ady) = [f(2), (0)

Dinh lý 1.2.2 Néu D € DerG thi [D, ad,] = ad},,,Vx € G

=[D¿).t]= adø,„(t) Vậy [D, ad,] = adp,,- O

> Gia stt A, B là hai tập con của dại số Lie G trên trường K, ta ki

hiéu[A, B] = ({a, b]|a € A,b € B) Khi do:

1 Gia st A la môđun con của đại số Lie G, A được gọi là iđêan của

G nếu [A,G] C 4A

2 Gia sử A là một idêan của G Khi đó 41 dược gọi là tâm của G

nếu và chỉ nếu 4 là iđêan cực đại và [4, G] = 0

Nhận xét 1.2.2

Nếu A, B,C là các không gian uéc tơ con của G thà:

1 [A+ B,C] Cc [A,C] + [B,C]

2 [A, B] = —[B, A]

3 [G, [A, B]] ¢ [[G, A], B] + [A [G, B]]

4 Néu A,B la hai idéan ctia dai sé Lie G thi [A, B] cting la mét

iđêun của G

Chứng minh

Ở dây ta chứng mình (4) thật vậy, [A, ] là môdun con của dại

s6 Lie G Ta c6 [[A, B],G] [[A.G], 8] + [A.[B.G]] do[A.G]c A4, [B.G] CB suy ra [L4,G], B] C [A, BỊ và [A.[B G]| C [A, BỊ

Vay [[A, B],G] c [A, B] suy ra [A, B] 1a idéan cia G L]

Nhận xét 1.2.3

a Gia sử (G uà G' là hai dại số Lie va anh ca gy : G —> G' la một

dong cau Lie Khi dé Kery = {x € Gl¢(x) = 0} la mét idéan cia G

b Ga = {ad,|a € G} khi dó G, la mét idéan ctia DeG

c Xét énh tay : G — G,

—> ad,

Khi đó ta có các khẳng định sau:

1 @ là một đồng cấu Lic

2 Kerg la tam ctia G(Kery = Teg)

1 pới w la ding cau tu G dén G

3 ad(2) = y.ad py”

Chứng mình

a Véi Vx € Kery,y € G xét [x , y] ta cd:

gle y] = [¢(x) o(y)]

= [0, o(y)] = 0

Vay [x,y] € Kerg suy ra Kerg 1a idéan cia G L]

b Lấy D bat ky, D € DerG và ad, € Gu, Va € G Ta c6 [D, ada] = Ga suy ra D € G, ( dinh ly 1.2.2) Vay G„ là mot idéan cla DerG O

c Ta chi ra ¿ là đồng cấu Lie

xTa chứng minh ¿ là đồng cấu Thật vậy, ta cần chỉ ra Vz € G thì:

adzyj(2) = [adz, ad];

[x.y], <] = (ad,, ad, — ad,ad,)(z)

= ad,([y, z]) — ady([x, z])

= Íz [y <]] — [y fe <]]

© [ley], 2] = Le, ly ll — Ly [2]

© [x, [y, 2] = (lv, y] 2] + [u fe 2]

Chương 2

Định lý Engel và ứng dụng

Trong chương này, ta giả thiết G là đại số Lie hữu hạn chiều trên

trường K có đặc số 0

2.1 Đại số Lie lũy linh

Định nghĩa 2.1.1 Cho G là đại số Láe Một dãy giảm các iđêøn của

G G= A, D Ay D Ay ^ được gọi là dãy tâm, nếu A;/A;,\ thuộc

vao tam của G/A;¿

Bồ đề 2.1.1 Ga sửG là đại s6 Lie va dãy giảm các iđêun của G G =

Ay D Ag D An D khi dé Aj/Aiyi thuéc ào tâm của G/A;¿¡ ©

[G, Ai] Cc Ajai

Chứng minh

Ta có: 4;/4;;¡ thuộc vao tam của G/4;,¡

© [x + Aisi, g + Aisi] = 0; voi g € Gx € A;