Học sinh giỏi toán bình thuận 1819

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019

SỞ BÌNH THUẬN

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x y �  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2

P

 



 

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x  3 3 x2 3 mx m 

có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un biết u1 và 2 un1 2 un 5,  �� n *.

b) Cho dãy số   vn thỏa mãn 1 1 ,

2018

1 2018n

n

n

v v

v

 

  �� n * Chứng minh rằng vn1� vn,  n ��*.

Bài 3 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình

.

�

�

�

�

   

Bài 4 (5,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  và hai đường cao BE CF cắt nhau ,

tại H Các đường tròn   O1 ,   O2 cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại

,

B C Gọi D là giao điểm thứ hai của   O1 và   O2 .

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC HD đồng quy. ,

- HẾT

-Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1a. Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x y �  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2

2

P

 



 

Lời giải

Tác giả: Bùi Văn Lượng; Fb: luonghaihaubui

Ta có

2 2

1 , 1

t t P

t t

 



  với

1 2

x t y

 �

Xét hàm số   22

1 1

t t

f t

t t

 



  với

1 2

t�

Tính được

 

2 2 2

1

t f

t t



� 

 

  0

1

1 2

f t

t t

� 

�

�

�

�

� Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng

1

3, không có giá trị lớn nhất.

Câu 1b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3x2 3mx m có hai điểm

cực trị nằm khác phía đối với trục hoành

Lời giải

Tác giả: Phùng Đức Cường; Fb: Phùng Đức Cường

Tập xác định D �

Đạo hàm của hàm số là y' 3 x26x3m.

Yêu cầu bài toán � Phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn2

y x y x 

Phương trình y�0 có hai nghiệm phân biệt �1 m 0�m 1 (*).

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A x y 1; 1

, B x y 2; 2

Ta có 1 2 1

3 3

x

y��  � ��y  m x

Do đó y1 y x 1  2m1x1, y2  y x 2  2m1x2

     2

1 2 0 4 1 1 2 0

y x y x  � m x x 

x x   m m

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m thỏa mãn bài toán.0

Câu 2a Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un

biết u1 2 và un1 2 un 5,  �� n *.

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thanh Thủy ; Fb: Phạm Thủy

*,

n

 �� ta có u n12u n5�u n1 5 2u n5

Đặt w n u n  ��5, n *.

Khi đó w n12 ,w n  ��n *

Do đó  w n

là cấp số nhân có w1   công bội u1 5 7, q2

Suy ra 1 n 1 7.2 ,n 1 *

n

w w q     ��n

Vậy u n 7.2n1  ��5, n *.

Câu 2b. Cho dãy số   vn

thỏa mãn 1 1 ,

2018

1 2018

n n

n

v v

v

 

  �� n *. Chứng minh rằng

*

n

v  � v  n ��

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng

Chứng minh được v n   ��0, n *.

Khi đó

*

1 2108 2 2018 2018

n

Mặt khác,  �� ta có n *,

3

1 2018

0







Vậy vn1� vn,  n ��*.

Câu 3. Giải hệ phương trình

 

2 2

xy x y x y

�

�

Lời giải

Điều kiện xy�0.

Ta có x2    , x1 x 0  �� nên y0 không thõa mãn  2

Do vậy y�0 Suy ra x 0 không thõa mãn  1

Nếu x y, cùng âm thì  1 vô lí Do đó x y, cùng dương.

Xét hàm số f t  t 1 t2 t trên khoảng 0;�

2

1

t

t

 Suy ra hàm số f t 

đồng biến trên0;�.

Khi đó  3 f 1 f y  1 y xy 1

Thay xy1 vào  1

ta được:

2 x y  1 x y � x1  y1 0�x y 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    x y;  1;1 .

Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  và hai đường cao BE CF , cắt nhau tại H . Các

đường tròn   O1 ,   O2

cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B C , Gọi D là giao điểm thứ hai của   O1

và   O2 . a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng BC , EF HD , đồng quy.

Lời giải

Tác giả: Trần Công Dũng ; Fb: Dung Tran

a Gọi I là giao điểm của AD và BC.

Ta có IB2 IA ID IC.  2.

Suy ra IB IC .

Do đó I là trung điểm của BC Hay đường thẳng . AD đi qua trung điểm I của BC. b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC HD , đồng quy.

Ta có BHC BDC� � Suy ra tứ giác BCDH nội tiếp đường tròn  O3

Ta có �AFH �ADH �AEH 900 Suy ra tứ giác AFHD nội tiếp đường tròn  O4

Ta có BFC BEC� � 900 Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn  O5

đường kính BC

Ta có HDlà dây cung chung của hai đường tròn    O3 & O4

HD là trục đẳng phương hai đường tròn    O3 & O4

Tương tự ta được:

EF là trục đẳng phương hai đường tròn    O3 & O5

BC là trục đẳng phương hai đường tròn    O5 & O4

Suy ra ba đường thẳng BC , EF HD , đồng quy