Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Trang 1GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN NGÀY THI 11/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT
ĐỀ BÀI
Câu 1 (6, 0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1
2 2ln
1
3 2x 3y 2 1
y y
x y x xy y
x x
Câu 2 (4,0 điểm).
Xét sự hội tụ của dãy số ( ) xn biết x0= 2, 1 2
,
n
n n
x x
+ = + ∀ ∈ ¥
Câu 3 (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi G là giao điểm của AQ và BM , H là giao điểm của AN và CP Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn ( ) O )
a) Chứng minh rằng ba điểm A E F , , thẳng hàng
b) Chứng minh rằng bốn điểm B, , , C O E cùng thuộc một đường tròn
Câu 4 (4,0 điểm)
Bạn Thanh viết lên bảng các số 1,2,3, 2019. Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và b bất kì.
Trên bảng và viết thêm số .
1
ab
a b + + Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số
1 2019
HẾT.
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (6, 0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1
2 2ln
1
3 2x 3y 2 1
y y
x y x xy y
x x
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Nguyên ; Fb: Ngọc Giang Nguyên
( )
2
2
1
2 2ln 1
1
3 2x 3y 2 1 2
y y
x y x xy y
x x
Điều kiện xác định: ,x y ∈ ¡
Phương trình (1) ⇔ − − x3 y3 2 ( x y − = ) 2ln ( y + y2+ − 1 2ln ) ( x + x2+ 1 )
⇔ − + x3 2 x 2ln ( x + x2+ = − + 1 ) y3 2 y 2ln ( y + y2+ 1 )
Xét hàm số f t ( ) = − + t3 2 2ln t ( t + t2+ 1 ) , ta có:
Suy ra f t ( ) là hàm số đồng biến trên ¡
Do đó ( ) 1 ⇔ f x ( ) ( ) = f y ⇔ = x y.
Thay x y = vào phương trình (2) ta được : 3 (2 1) 2 1 3x x − = + x ( ) .
Nhận xét:
1 2
x = không là nghiệm của (3).
Do đó ( ) 3 3 2 1 0
x x x
+
Trang 3Xét hàm số ( ) 3 2 1
2 1
x x
g x
x
+
= −
− , ta có:
4
(2 1)
x
g x
x
x
Suy ra g x ( ) đồng biến trên mỗi khoảng ( ; ) −∞ 1 2 , ( ; 1 )
Suy ra phương trình (3) có không quá 2 nghiệm
Mà g ( ) ( ) 1 = − = g 1 0 do đó (3) có đúng hai nghiệm là x = ± 1
Vậy tập nghiệm của hệ là: { 1 ; 1 ; 1 ; 1 } ( ) ( − − ) .
Câu 2 (4,0 điểm). Xét sự hội tụ của dãy số ( ) xn biết x0= 2, 1 2
,
n
n n
x x
+ = + ∀ ∈ ¥
Lời giải
Tác giả: Phan Thị Hiền; Fb: Phan Hiền
Cách 1:
+) Ta thấy xn> ∀ ∈ 0, n ¥
0 2
x = ; 1
2, 239
f x
x x
2 2 3
x x
′ = − − < ∀ ∈ + ∞
nên y f x = ( ) nghịch biến trên ( 0; + ∞ ) .
+) Xét dãy số ( ) x2n là một dãy con của dãy số ( ) xn .
Dãy số ( ) x2n là một dãy số tăng.
Thật vậy:
-) x x0< 2
-) Giả sử x2 2k− < x k2k, ∈ ¥ Vì y f x = ( ) nghịch biến trên ( 0; + ∞ ) nên
2 1k 2k 2 2k 2 1k 2 2k 2 1k 2 1k 2k
x + = f x < f x − = x − ⇒ x + = f x + > f x − = x Vậy x2k < x2 2k+
Theo nguyên lí quy nạp, ( ) x2n , n ∈ ¥ là một dãy số tăng và ngoài ra x2n ≥ ∀ ∈ 2, n ¥ .
+) Giả sử ∃ lim x a = ⇒ lim x = a và a ≥ 2
Trang 4Do 1 2
,
n
n n
x x
+ = + ∀ ∈ ¥
n n
+
= + ÷ ÷ ⇒ = +
( )( a 3 a a2 3 1 0 ) a 3
⇔ − + + = ⇔ = (mâu thuẫn với a ≥ 2)
Vậy giả sử sai Dãy số ( ) xn là dãy số phân kì.
Cách 2:
+) Ta thấy xn> ∀ ∈ 0, n ¥
0 2
x = ; 1
2, 239
+) Ta chứng minh x2n ≥ ∀ ∈ 2, n ¥ , 1 ( )
Thật vậy: Với n = 0 thì x0 = > 2 3 nên ( ) 1 đúng với n = 0
Giả sử ( ) 1 đúng ∀ = n k k , ∈ ¥ tức là x2k ≥ 2 ta chứng minh ( ) 1 cũng đúng với n k = + 1
Ta có:
x ≥ ⇒ <x + ≤ + = + ⇒x + ≥ + >
Theo nguyên lí quy nạp ta có x2n ≥ ∀ ∈ 2, n ¥.
+) Xét dãy số ( ) x2n là một dãy con của dãy số ( ) xn .
Giả sử ∃ lim x an = ⇒ lim x2n = a và a ≥ 2
,
n
n n
x x
+ = + ∀ ∈ ¥
n n
+
= + ÷ ÷ ⇒ = +
( )( a 3 a a2 3 1 0 ) a 3
⇔ − + + = ⇔ = (mâu thuẫn với a ≥ 2)
Vậy giả sử sai Dãy số ( ) xn là dãy số phân kì.
Câu 3 (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi G là
Trang 5giao điểm của AQ và BM , H là giao điểm của AN và CP Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn ( ) O )
a) Chứng minh rằng ba điểm A E F , , thẳng hàng
b) Chứng minh rằng bốn điểm B, , , C O E cùng thuộc một đường tròn
Lời giải
Tác giả: Hoàng Duy Thắng; Fb: Hoàng Duy Thắng
Gọi ( ) ( ) O1 , O2 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp của tam giác GMQ, HNP suy ra EF là trục đẳng phương của ( ) ( ) O1 , O2 .
Gọi D là giao điểm của BM và CP suy ra AGDHlà hình bình hành
Vì ∆ ABN : ∆ CAP ⇒ ( AB AN , ) ( = CA CP , )
( BA ,BD ) ( = AB ,AN ) ( = CA CP , ) ( = CA CD , )
, , ,
A B C D
Suy ra ( CA CB , ) ( = DA DG AB AC , ) ( , , ) ( = DG DC , ) ( = GD GA , )
Suy ra hai tam giác ABC và GADđồng dạng
AB GD AH
Trang 6Mà
AB CP
CA AN
( ) 1 ( ) 2
A O A O
AH CP AQ
AG AN AN
AH AN AG AQ
Mà EF là trục đẳng phương của ( ) ( ) O1 , O2 ⇒ ∈ A EF.
Vậy A E F , , thẳng hàng
b) Gọi F MN PQ ′ = ∩
Ta có: ( F M F Q ′ , ′ = ) ( AB AC , ) ( = GM GQ , ).
Suy ra F ′∈ ( ) O1 Tương tự F ′∈ ( ) O2 Suy ra F F ′ ≡
Ta có E F M G , , , ′ đồng viên⇒ ( GB GE , ) ( = GM GE , ) ( = FM FE , ) ( = AB AE , )
Suy ra A B E G , , , đồng viên
Tương tự A E ,C, ,H đồng viên
Suy ra ( EB EC , ) ( = EB EA , ) ( + EA EC , ) ( = GB GA , ) ( + HA HC , ) ( = 2 DB DC , )
Mà A B C D , , , đồng viên suy ra D O ∈ ( ) ( ⇒ OB OC , ) ( = 2 DB DC , ) .
( EB EC , ) ( DB DC , )
Suy ra B, , , C O E đồng viên
Câu 4 (4,0 điểm)
Bạn Thanh viết lên bảng các số 1,2,3, 2019. Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và b bất kì.
Trên bảng và viết thêm số .
1
ab
a b + + Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số
1 2019
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung
Cách 1.
Với mỗi tập T = { a a1; ; ;2 an} các số viết trên bảng thì đặt
Trang 71 2
n
A T
= ç ç ç è + ÷ ÷ øè ç ç ç + ÷ ç ÷ ø è ç ç + ÷ ÷ ø
( { 1;2; ;2019 } ) 1 1 1 1 1 1 2020
A æ öæ ç ÷ ç ö æ ÷ ç ÷ ö
Ta thấy:
1
a b
ab
a b
+ +
Suy ra nếu xóa hai số a và b và thay bởi 1
ab
a b + + tập T biến thành tập T ' thì:
A T = A T
Giả sử sau khi thực hiện 2018bước ta được số thực x ta có:
2019
x
Vậy trên bảng luôn còn lại số
1 2019
Cách 2.
-Thực hiện xóa
; 1
ab c
a b + + thì sẽ thêm
( 1)( 1)
-( 1)( 1)( 1) -1
( 1)( 1)
-ab
c
abc
c
+ +
Sau 2018lần thực hiện, trên bảng còn lại là 1 số là:
2.3.4 2020 1.2.3 2019 = 2019
-HẾT.