BÀI 2 ôn tập TRỤ nón

Mặt phẳng qua trục của  N cắt  N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2.. Một mặt phẳng chứa trục của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện c

TAEducation CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2018

Môn: Toán

ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY Câu 1: Cho hình nón  N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 Mặt phẳng qua trục của  N cắt

 N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 Tính thể tích

V của khối nón  N

Câu 2: Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm, độ dài đường sinh bằng 26cm Tính thể tích V của

khối nón tương ứng

A V 800 3

3

3

Câu 3: Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích

bằng 2?

A S 2 2 B S4 C S2 D S 4 2

Câu 4: Một hình nón có thể tích là 4

3



và diện tích xung quanh bằng 2 5 Một mặt phẳng chứa trục của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

Câu 5: Cho mặt cầu tâm O , bán kính R  Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là a

đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H

sao cho 3

2

a

SH  Độ dài đường sinh của hình nón bằng:

Câu 6: Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước

vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 1

3

chiều cao của phễu Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược

phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng

chiều cao của phễu là 15cm

A 0,188(cm) B 0,216(cm) C 0,3(cm) D 0,5 (cm)

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 2a Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập

phương ABCD A B C D     bằng

A

3

2

a

 B 8 a 3 C 4 a 3 D 2 a 3

Câu 8: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2πa2 và bán kính đáy bằng a Độ dài đường sinh

của hình trụ đã cho bằng

2

a

Câu 9: (Đề minh họa lần 1 THPTQG năm 2017): Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có

1

AB  và AD 2 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và BC Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Câu 10: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng, ta được một  H như hình vẽ bên Biết rằng thiết diện là

một elip có độ dài trục lớn bằng 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện

gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần

lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ) Tính thể tích của  H

A V 176 B V 275

C V 192 D V 704

Câu 11: Cho một hình vuông xếp chồng lên một hình tròn có bán kính R 2 sao cho một

cạnh của hình vuông là đường kính của hình tròn Cho hình phẳng thu được xoay đều

quanh trục đối xứng của nó được một vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

A 64

3

V  

B 28

3

V  

C 40

3

V  

D V 8

Câu 12: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD EFGH Tính tỉ số k giữa thể tích khối trụ

ngoại tiếp và thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ trên

A k  2 B k 2 C k 2 2 D k 4

Lời giải: Hai khối trụ có chung đường cao nên

2 2

1 2 2

2

R h r

k





 

AC AB

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy;

2

AB

r  là bán kính đường

tròn nội tiếp đáy Chọn B

Câu 13: Cho hình thang ABCD vuông A và B với

2

AD

ABBC a Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

A

3

4 3

a

V  

B

3

5 3

a

V  

C

3

7 3

a

V  

D V a3

Lời giải: Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích hình trụ có bán kính đáy AB và

đường sinh AD trừ đi phần thể tích hình nón có bán kính đáy ODAB và đường cao

OCAD BC Vậy

3

a

V AB AD OD OCa a a a 

Câu 14: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam

giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt

phẳng SAB bằng 30 0 Đường cao h của hình nón bằng

A ha 2 B ha 3

C 3

2

a

4

a

h 

Lời giải: Gọi E là trung điểm AB Tam giác SAB vuông cân tại S nên AB2SE

SAB

S  AB SE a  SE SESE a Dễ dàng xác định được: 0  

30 SO SAB, OSE

Tam giác vuông SOE, có SOSE.cosOSEa 3. Chọn B

Câu 15: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau

theo đơn đặt hàng Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành

khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD

(xem hình vẽ) Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7, 2 cm;

đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm

Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình

cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

Lời giải: Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm:

• Thể tích của hình nón cụt có lớn R 3, 2 cm, r 0,8 cm và h 7, 2 cm

• Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R 3, 2 cm Suy ra 1  2 2 2 3 3

170 cm

V  h R Rrr  R 

Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là: 170.10 cm3 3170 dm 3 Chọn B

Câu 16: Từ một tấm tôn hình chữ nhật người ta cuộn thành một chiếc thùng

hình trụ không đáy (như hình vẽ) Biết tâm tôn có chu vi bằng 120 cm

Để chiếc thùng có thể tích lớn nhất thì chiều dài, rộng của mảnh tôn lần

lượt là

Lời giải: Gọi chiều dài tấm tôn là x cm 0 x 60  Suy ra chiều rộng: 60x  cm

Giả sử quấn cạnh có chiều dài là x  bán kính đáy

2

x r



 và chiều cao h60 x

cm

V r h

 

Dấu " " xảy ra  x 120 2 x x 40 cm   Chọn C

Câu 17: Cắt một miếng tôn hình vuông cạnh 1 m thành hai

hình chữ nhật, trong đó một hình có chiều rộng x  m ,

gọi miếng tôn này là miếng tôn thứ nhất Người ta gò

miếng tôn thứ nhất thành một lăng trụ tam giác đều,

miếng còn lại gò thành một hình trụ (như hình vẽ) Tìm

x để tổng thể tích khối lăng trụ và khối trụ thu được là nhỏ nhất

x





1

x





9

x





1 3

x







Lời giải: Chu vi tam giác đáy của lăng trụ là x, mà đáy của lăng trụ là tam giác đều nên có diện tích bằng

2

3

36

x

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ Suy ra 2 1 1

2

x







   





Đây là hàm bậc hai nên   9  





Câu 18: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A B, nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ góc 45 như hình vẽ Thể tích khối trụ

bằng

A

3 16

a



B

3 2 16

a



C

3

3 16

a



D

3

3 2

16

a



2

a

IM 

IOOM  OO Tam giác cân OAB, có: 2 2

a OM

AB a





 6

4

a

3

16

a

Câu 19: Một thùng hình trụ có chiều cao h 3m, bán kính đường tròn đáy R 1m chứa một lượng nước Biết rằng nếu đặt thùng nằm ngang ta được chiều cao mực nước trong thùng là d 0, 5m Hỏi thể tích lượng nước có trong thùng gần nhất với kết quả nào sau đây ?

Lời giải: Xét mặt cắt vuông góc với trục của hình trụ và kí hiệu như hình vẽ

2

OH R d



Suy ra quat 1

3

AOB

S  hình tròn đáy 1

3

Suy ra diện phần gạch sọc bằng: quat 1 3

AOB AOB

S S S   

Vậy thể tích lượng nước trong thùng: 3 3 1,84m 3

4

V S h   Chọn C

Câu 20: Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón

có chiều cao 10 cm (mô tả như hình vẽ) Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa

đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ

nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn

5 cm Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển

(độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như

không hao hụt khi chuyển Tính gần đúng h với sai số không quá 0, 01 cm)

Lời giải: Gọi r1, r2 vàr3 theo thứ tự là bán kính của chiếc ly, bán kính

của khối chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất và bán kính của khối chất

lỏng trong ly thứ hai (sau khi chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai) Ta có 2 1

2 1

1

r

r   

3 1

r

Thể tích của khối chất lỏng được chuyển từ ly thứ nhất sang ly thứ hai là

 2 2  2

V   r r  r  1

Mặt khác, ta có

2

r h

V  r h   h r h

300r h 12r h   h Chọn C

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Câu 1: (Sở GD và ĐT TP HCM) Một người dùng một cái ca hình bán

cầu có bán kính là 3cm để múc nước đổ vào trong một thùng

hình trụ chiều cao 10cm và bán kính đáy bằng 6cm Hỏi người

ấy sau bao nhiêu lần đổ nước thì đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ,

nước trong ca luôn đầy)

A 24 lần B 10 lần C 12 lần D 20 lần

Câu 2: Cho hình nón có thể tích bằng 12, bán kính đáy là 3 Diện tích toàn phần của hình nón là?

A S12 B S24 C S15 D S21

Câu 3: Cho tam giác đều có cạnh bằng a Cho tam giác xoay đều quanh một cạnh của nó ta thu được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

A

3

4

a

V 

B

3 3 12

a

V 

C

3

8

a

V 

D

3 3 24

a

V 

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R lấy các điểm A B, sao cho góc

AOB trong đó  cos 7

25

   Hình quạt được tô màu như hình vẽ bên khi xoay đều quanh trục đối xứng của nó cho ta một khối tròn xoay

có thể tích là bao nhiêu?

A

3

2 15

R

3

4 15

R



C

3

4 5

R

V  

D

3

5 9

R

V  

Câu 5: Một hình nón có bán kính đáy R2cm Một mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón theo thiết diện có diện tích là bao nhiêu?

4

S   D S 

Câu 6: Hình nón có đường sinh 2a và hợp với đáy góc 600 S của hình nón bằng: tp

A 4 a 2 B 3 a 2 C 2 a 2 D  a2

Câu 7: Chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy góc 600 và độ dài cạnh đáy là a Tính thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho

O

A

B

A

3 3 4

a

V 

B

3 2 3

a

V 

C

3 6 3

a

V 

D

3 6 12

a

V 

Câu 8: Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một hình nón Thể tích khối nón bằng

A

3 3 27

a

3 6 27

a

C

3 3 9

a

D

3 6 9

a

Câu 9: Hình chữ nhật ABCD có ABa AD, b Quay hình chữ nhật quanh đường thẳng AB được hình trụ có thể tích là V1 Quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng AD được hình trụ có diện tích thể tích là V2 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A 1

2 1

V

2

2

2 1

2

 

  

 

Câu 10: Tính thể tích khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a

A

3

4

a

V 

B

3

2

a

V 

C

3

3

a

V 

D

3

2 2

a

V  

Câu 11: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy O cm; 2  và O'; 2cm Một mặt phẳng vuông góc với

'

OO và cắt đoạn thẳng OO theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi là? '

Câu 12: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là O R;  và O R'; , OO' Gọi h  P là mặt phẳng chứa

'

OO Thiết diện tạo bởi hình trụ với mặt phẳng đó có chu vi là?

A h2R B 2h2R C h4R D 2h4R

Câu 13: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ là?

A 2

2

3

1 2

Câu 14: Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích của mặt cầu nội tiếp hình trụ?

1

1 4

Câu 15: Tính diện tích xung quanh khối trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chu vi bằng chu vi của đường tròn đáy và diện tích bằng  2

2 2

xq

S    B S xq 2 2  2 C S xq  2  2 D  2

2

xq

S   

Câu 16: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt (như hình vẽ) có kích thước bán kính R  và chu vi 5 của hình quạt là P810, người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:

Cách 1 Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

Cách 2 Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi

gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu Gọi V1 là thể tích

của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở

cách thứ hai Tỉ số 1

2

V

V bằng

A 1

2

2 7

V

2

2 2 7

V

2

21 7

V

2

2 21 7

V

V 

Lời giải: Chu vi của hình quạt  độ dài cung 2 R Suy ra độ dài cung tròn 8 

Cách 1: Chu vi đường tròn đáy của cái phễu là 8 

Ta có 2 1 8 1 4 1 2 12 3 1 1 4 3 16 2

3

Cách 2: Chu vi đường tròn đáy của mỗi phễu nhỏ là 4 

1

2

2 21 7

V

Câu 17: Bé Bách có một tấm bìa có chiều dài 20 cm; chiều rộng

1 cm Bé muốn gấp một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào

hộp đó tặng quà cho mẹ ngày 20 tháng 10 Anh Siêu đã chỉ cho

bé hai cách gấp hộp Cách thứ nhất là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có hai đáy

có thể tích V1. Cách thứ hai là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích V2 có các kích thước như hình vẽ Hãy tìm tỉ số thể tích của hai hộp để biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích lớn hơn

A 1

2

4

V

V V



2

1 4

V

2 4

V

V 

Lời giải: Chiều dài của tấm bìa là 20 cm, suy ra

• 20 2 R R 10



   (R là bán kính đường tròn đáy hình trụ)

• Theo đề bài thì hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (hình vẽ) nên cạnh của hình vuông bằng 20 5

Khi đó

2

2





Câu 18: Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài 4m, chiều rộng 1m Một người thợ muốn cắt tấm tôn này thành hai phần như hình vẽ Người thợ gò phần 1 thành hình trụ có đáy hình vuông và phần 2

thành hình trụ có đáy hình tròn Tìm x để tổng thể tích của hai khối trụ là nhỏ nhất

4





8 4

x





16 4

x





16 4







2

x







   

Tổng thể tích của hai khối: 2 4 2 1 1 2 2 4  





Đây là hàm bậc hai nên   16  

, 0; 4 4





Câu 19: Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào

trong một chiếc thùng hình trụ có chiều cao h 2m, bán kính đường tròn đáy bằng

0, 5m

R  và chứa một lượng nước có thể tích bằng 1

8 thể tích khối trụ Sau khi thả

khối cầu đá vào khối trụ người ta đo được mực nước trong khối trụ cao gấp ba lần

mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu Hỏi diện tích xung quanh của khối cầu gần

bằng kết quả nào được cho dưới đây ?

2

V R h  Suy ra thể tích lượng nước 1

V

V   

V  V R    R  Vậy diện tích xung quanh của khối cầu là S4RCau2 2, 6m 2 Chọn C

Câu 20: Một bình đựng nước dạng hình nón không nắp đựng đầy nước Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào

ra ngoài là 16 dm 3

9



Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón

và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ) Tính bán

kính đáy R của bình nước

Lời giải: Gọi h h, lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ; R r, lần lượt là bán kính đáy của khối nón và khối trụ Khi đó h3 ,R h2 R

Xét phần mặt cắt và gọi các điểm như hình vẽ Theo giả thiết tru 2 16

9

V r h 

Ta sẽ

chuyển Vtru theo R Cụ thể:

2

 











Khi đó

2 tru

16

R

V    R   R

Chọn A

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hình nón  N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 Mặt phẳng qua trục của  N cắt

 N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 Tính thể tích V của

khối nón  N

Lời giải

Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón

Ta có SAB đều nên 3

2



SO R,với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB

3

2

3

AB

Câu 2: Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm, độ dài đường sinh bằng 26cm Tính thể tích V của

khối nón tương ứng

A V 800 3

3

3

V   3

Lời giải

Bán kính đáy của hình nón: 2 2

10

R l h  cm Vậy thể tích khối nón tương ứng là: 1 2 1 100.24 800

Câu 3: Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích

bằng 2?

A S 2 2 B S4 C S2 D S 4 2

2 2

2

AB

Suy ra: S xq .2 22 2

Câu 4: Một hình nón có thể tích là 4

3



và diện tích xung quanh bằng 2 5 Một mặt phẳng chứa trục của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

2

R

Câu 5: Cho mặt cầu tâm O , bán kính R  Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là a đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao

2

a

SH  Độ dài đường sinh của hình nón bằng:

S

O

60

A  a B a 2 C a 3 D 2a

Lời giải: Ta có:

2

R AO OH  a   

 

 

Suy ra:

2 2

3

Câu 6: Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước

vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 1

3

chiều cao của phễu Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược

phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng

chiều cao của phễu là 15cm

A 0,188(cm) B 0,216(cm) C 0,3(cm) D 0,5 (cm)

Lời giải: Gọi chiều cao cột nước sau là x Thể tích phần không chứa nước là 1 26

27

V  V

1

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 2a Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập

phương ABCD A B C D     bằng

A

3

2

a

 B 8 a 3 C 4 a 3 D 2 a 3

Lời giải: Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D     có chiều cao h2a và bán kính đáy

2 2

AC

R a Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương là:

2 2 4

V R h a a a

Câu 8: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2πa2 và bán kính đáy bằng a Độ dài đường sinh

của hình trụ đã cho bằng

2

a

Lời giải

2π

xq

S  rl

2π

xq

S l r

2π

a a

Câu 9: (Đề minh họa lần 1 THPTQG năm 2017): Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có

1

AB  và AD 2 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và BC Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Lời giải: R1,h 1 S tp 2 1 1 1    4