phan 2 gom 50 de HSG toán 8

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

100 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi học sinh giỏi môn toán lớp 8, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 của các huyện trên cả nước có hướng dẫn giải cụ thể Đây là bộ đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 8 có một tài liệu bám sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để giúp con em mình học tập Hy vọng Tuyển tập

100 đề thi học sinh giỏi lớp 8 này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 8 ở các huyện trên cả nước

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này!

ĐỀ SỐ 1 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8

Câu 1 (3 điểm)

a) Phân tích đa thức a b c2( − +) b c a2( − +) c a b2( − )

thành nhân tửb) Cho a,b,clà ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: ( )2 2 2 2

Cho hình bình hành ABCDcó góc ABCnhọn Vẽ ra phía ngoiaf hình bình

hành các tam giác đều BCEvà DCF.Tính số đo ·EAF

Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABCnhọn có các đường cao AA ',BB',CC'và H là trực tâma) Chứng minh

2BC'.BA CB'.CA BC+ =

b) Chứng minh rằng:

HB.HC HA.HB HC.HA 1AB.AC+ BC.AC + BC.AB =

c) Gọi D là trung điểm của BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắtAB,AC

lần lượt tại M và N Chứng minh H là trung điểm của MN.

Câu 5 (1 điểm)

Cho hình vuông ABCDvà 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình

vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng

2.3Chứng minh rằng có ítnhất 505đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

a) a b c2( − +) b c a2( − +) c a b2( − ) =a b c2( − −) b a c2( − +) c a b2( − )

n 18 p

và n 41 q p,q− = 2( ∈¥)

Chứng minh được

· ·ABE ECF=

Chứng minh được ∆ABE= ∆FCE c.g.c( )⇒AE EF=

AB BB'

Chứng minh

BH BA 'BHA ' BCB' BH.BB' BC.BA ' (2)

SS

AH.BH ;AH.CHCB.CA = S CB.AB = S

ABC ABC

SHB.HC HA.HB HC.HA

1AB.AC AC.BC BC.AB S

Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)

Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a,

biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm Ithuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BCsao cho

IOM 90=

(I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông) Gọi N là giao điểm của AMvà CD, K

là giao điểm của OM và BN.

1) Chứng minh ∆BIO= ∆CMO

và tính diện tích tứ giác BIOMtheo a2) Chứng minh

Cho tam giác ABC AB AC ,( < )

trọng tâm G.Qua G vẽ đường thẳng dcắt

các cạnh AB,ACtheo thứ tự ở Dvà E Tính giá trị biểu thức

AB AC.

AD AE+

y 3

 =



Nên thay x 1;y= = −3

vào biểu thức

( ) ( )

x3

t 3

5x3

3) Qua Akẻ tia Axvuông góc ANcắt CD tại E.

Chứng minh ∆ADE= ∆ABM g.c.g( ) ⇒AE AM=

Câu 6.

Gọi M là trung điểm của BC

Qua B vẽ đường thẳng song song với dcắt AM tại I, ta có:

a) Giải phương trình:

4 2

x +x +6x 8 0− =b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

x +2x 10 y− =c) Cho

a) Chứng minh tam giác AHBđồng dạng với tam giác BCD

b) Anguyên, mà xnguyên nên 2 1 2x ,M( − )

Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán: 707;518;329;770;581;392 ;133;322;511;700 ;266

2

x y z 1 y

7x,y,z 0 4

x7

a) Chứng minh được ∆AHB: ∆BCD(g.g)

Câu 5.

Ta có BMN là tam giác đều , nên G là trọng tâm của ∆BMN.

Gọi P là trung điểm của MN,

Từ (1) và (2) suy ra

· ·GPI GNC(c.g.c) PGI NGC

và

1

GI GC2

=

Điều này chứng tỏ ∆GIC

vuông tại IVậy

GIC 90 ;IGC 60 ;GCI 30= = =

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)

2 2

10n 9n 420n 20n 9

x y z

Câu 5 (3 điểm) Cho biểu thức :

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Pkhi x 1>

Câu 6 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD,gọi E,Fthứ tự là trung điểm của

AB,BC

a) Chứng minh rằng: CE DF⊥

b) Gọi Mlà giao điểm của CEvà DF.Chứng minh rằng: AM AD=

Câu 7 (3 điểm) Cho tam giác ABC.Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE,ACFH

chia hết cho các đa thức x 2;x 1− +

b) Gọi dlà ƯCLN của

210n +9n 4+

và

220n +20n 9+

10n 9n 4 d 20n 18n 8 d

2n 1 d20n 20n 9 d 20n 20n 9 d

x 1

=

−

câu a), KN / /CM⇒KN ⊥DM

Tam giác ∆ADM

có ANlà đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác

cân tại A.

AM AD

Câu 7.

a) Chứng minh được: ∆EAC= ∆BAH c.g.c( ) ⇒EC BH ,AEC ABH= · =·

Gọi K và O thứ tự là giao điểm của ECvới BA và BH

Vậy tam giác MINvuông cân tại I

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)

Tính giá trị của biểu thức

để A 0<

Câu 4 (1,5 điểm)

Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy

số học sinh đội tuyển Toán bằng

34

số học sinh đội tuyển

Anh và bằng

45

số học sinh đội tuyển Văn Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh Tính số học sinh của mỗi đội tuyển ?

Câu 4 (1,5 điểm) Cho x(m n) y(n p) z(p m)+ = + = +

b) Trên BC lấy điểm Psao cho BP 2CP.=

Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Pxsao cho

Gọi Elà điểm đối xứng với Bqua PD⇒EP PB 2PC= =

Chứng minh được EDlà phân giác ngoài tại đỉnh E của ∆PCE

Biết x2−2y2=xy x y 0;y 0( + ≠ ≠ )b) Tìm

a) Cho avà b thỏa mãn : a b 1.+ =

Tính giá trị của biểu thức

3 3

B a= +b +3abb) Cho các số thực dương x,y,zthỏa mãn x y z 3+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Thương của A chia cho B là

Gọi alà số học sinh chỉ giải được Câu A, b là số thí sinh chỉ giải được Câu B, c là

số thí sinh chỉ giải được Câu C, d là số thí sinh giải được 2 Câu B và C nhưng không giải được Câu A Khi đó số thí sinh giải được Câu A và thêm ít nhất một

trong hai Câu B và C là : 25 a b c d− − − −

Vậy số thí sinh chỉ giải được Câu B là 6 thí sinh

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)

là 3 cạnh của một tam giác thì A 0>

Cho hình thang ABCD (AB/ /CD ,)

hai đường chéo ACvà BDcắt nhau tại O.Một đường thẳng dqua O song song với 2đáy cắt hai cạnh bên AD,BClần lượt

tại Evà F Chứng minh rằng

1 1 2 .

AB CD EF+ =

Câu 5 (2 điểm)

Cho hình bình hành ABCD.Các điểm M ,Ntheo thứ tự thuộc các cạnhAB,BC

Kẻ DI,DJlần lượt vuông góc với AK ,CK

KD

⇒

là tia phân giác ·AKC

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)

n 1

+ +

=+

3 3

Chứng minh rằng biểu thứcsau không phụ thuộc vào các biến x,y,z:

a)

2BCBD.CE

4

=

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc ·BDE

và ·CEDc) Chu vi tam giác ADEkhông đổi

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax,Bycùng vuông góc với AB Trên tia Axlấy điểmC

(C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt Bytại D Từ Ohạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD)

a) Chứng minh

2

OA =AC.BDb) Chứng minh tam giác AMBvuông

c) Gọi N là giao điểm của BCvà AD.Chứng minh MN / /AC

là tích của 7số nguyên liên tiếp ⇒A 7 nM∀ ∈¢

và ∆OMD

có:

a) Chứng minh

2BC.AD a=

b) Chứng minh DOvà CO lần lượt là tia phân giác của ·ADC

và ·BCDc) Vẽ OH⊥CD H CD ( ∈ )

Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của

AH và DO, F là giao điểm của BH và CO Chứng minh ba điểm E,I,Fthẳng hàng

d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Axđể tích DO.COcó giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5 (2 điểm)

Cho hai số

x,ythỏa mãn điều kiện ( 2 2)2 2 2 2 2

x −y +4x y +x −2y =0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:

( )1 ⇒2010x x 1 x( + ) ( 2− + −x 1 2010x x 1 x) ( − ) ( 2+ + =x 1) 2011

2010x x 1 2010x x 1 2011 2010x x 1 x 1 2011

20112010x.2 2011 x (TM)

và AD a.=

Câu 5.

HC lấy điểm D sao cho HD HA.=

Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng: ∆BEC: ∆ADC.

Tính độ dài đoạn BE theo m AB=

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác

BHM , BEC

đồng dạng Tính số đo của ·AHM

3 Tia AM cắt BCtại G Chứng minh :

4.1 ∆CDE

và ∆CAB

có: µCchung;

Câu 5.

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH

Ta có M ,Olần lượt là trung điểm của AH ,BH nên: MO là đường trung bình

1 CMR với a,b,clà các số dương, ta có:

Đường vuông góc với BCtại D cắt ACtại E.

1) Chứng minh rằng hai tam giác BECvà ADCđồng dạng Tính độ dài đoạnBE

theo m AB=

2) Gọi Mlà trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHMvàBEC

đồng dạng Tính số đo của ·AHM

3) Tia AM cắt BCtại G Chứng minh

Vậy phương trình ( )1

có một nghiệm duy nhất x 1=2.2

1) Hai tam giác ADCvà BECcó: µC

ra sử dụng hai lô đất hình vuông

AMEH,BMIK

để xây dựng phòng làm việc và nhà để xe Diện tích còn lại

Cho hình chữ nhật ABCDcó AB 8cm,AD 6cm.= =

Gọi H là hình chiếu của A trên BD Gọi M ,Nlần lượt là trung điểm của DH ,BC

a) Tính diện tích tứ giác ABCH

b) Chứng minh AM MN.⊥

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

2 2

( ) ( ) ( )

2 2

thành hiệu hai bình phương

2 2

a b

Câu 5 (3,00 điểm)

Cho tam giác ABCcó AB 2a;AC 3a;BC 4a.= = =

Đường phân giác ADvà BEcắt nhau tại I Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a

( ) ( )

có giá trị là số nguyên.

Câu 3 (2,5 điểm)

1 Giải phương trình:

2 2

21 x 4x 6 0

x 4x 10− + − =

2 Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi” Bắc trả

lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10 Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”

Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ?

1 Chứng minh ∆OMN: ∆OEC

2.Chứng minh ONvuông góc với NC.

Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là 10 2y+

tuổi

Câu 4.

Gọi N là trung điểm AB, P là trung điểm CD

Chứng minh ANPDvà NBCPlà các hình thoi

Suy ra Nlà giao điểm của phân giác các góc Cvà D

Suy ra Ntrùng với M

Vậy A ,M ,Bthẳng hàng

Giải các phương trình sau:

b) Tính giá trị của biểu thức Mkhi x= −1

c) Với giá trị nào của x

x 2x 3 0

x 1

x 1 2x 5 02x 3x 1 4

5x2

AB AEABE ACF(g.g) AB.AF AC.AE

AE AF AEF ABC(c.g.c)

AB AC= ⇒ ∆ : ∆

c) Vẽ HD BC⊥

( ) ( )

BH BDBHD BCE g.g BH.BE BC.BD (1)

BC BE

CH CDCHD CBF g.g CH.CF BC.CD (2)

2 Tìm các số nguyên x,ythỏa mãn:

x +2x +3x 2 y+ =

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm đa thức f(x)biết rằng: f(x) chia cho x 2+

dư 10, f(x) chia cho x 2−

dư

24, f(x)chia cho

2

x −4được thương là −5x

1) Chứng minh rằng tứ giác AEMDlà hình chữ nhật

2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng AC 2EF=

và còn dư ax b+

Khi đó : f(x)=(x2−4 5x) ( )− +ax b+

Theo đề Câu, ta có:

7f(2) 24 2a b 24 a

2f( 2) 10 2a b 10 b 17

2 CBH

CBH EAH

1) Phân tích đa thức thành nhân tử: M=(x 2 x 3 x 4 x 5 24+ ) ( + ) ( + ) ( + −)

2) Cho a,b,cđôi một khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng:

b) Tính giá trị của P khi x

là nghiệm của phương trình

Câu 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD,AB 2AD.=

Trên cạnh AD lấy điểm

M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM CP.=

Kẻ BHvuông góc với AC tại H Gọi

Q là trung điểm của CH ,đường thẳng kẻ qua P song song với MQcắt AC tại N.a) Chứng minh tứ giác MNPQlà hình bình hành

b) Khi M là trung điểm của AD.Chứng minh BQvuông góc với NP

c) Đường thẳng APcắt DC tại điểm F Chứng minh rằng

2 Các ước dương của Alà

2 3 41;p;p ;p ;p

x 9

+

=+

1x4

Chứng minh được ∆AHD= ∆CKB⇒DH BK= (2)

Xét ∆AQB

có BK và QE là hai đường cao của tam giác nên Elà trực tâm của tam

giác nên AElà đường cao thứ ba của tam giác AE BQ⊥ ⇒BQ NP⊥

là các số nguyên dương) Ta có

số áo còn lại Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo

Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ?

Câu 3 (3 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n

để (1 n+ 2017+n2018)

là số nguyên tố

Câu 4 (3 điểm)

Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận) Biết đội thứ nhất thắng a1trận và thua b1trận, đội thứ 2 thắng a2trận và thua b2trận, …., đội thứ 9 thắng a9trận và thua9

Cho đoạn thẳng ABdài a cm ( )

Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B) Vẽ tia Cxvuông góc với AB Trên tia Cxlấy hai điểm Dvà E sao cho CD CA=

và CE CB.=

a) Chứng minh AE vuôn góc với BD

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AEvà BD Tìm vị trí của điểm C trênđoạn thẳng AB để đa giác CMEDNcó diện tích lớn nhất

c) Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến ABkhông phụ thuộc vào vị trí điểm C

Câu 6 (2 điểm)

Hình vuông có 3 3×

ô (như hình bên ), chứa 9 số mà tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau được gọi là hình vuông kỳ diệu Chứng minh rằng số ở tâm ( )×

của một hình vuông kỳ diệu bằng trung bình cộng của hai số còn lại cùng hàng, hoặc cùng cột , hoặc cùng đường chéo

Câu 3 Đặt:

2017 2018

A 1 n= + +nVới n 1=

thì A 3=

là số nguyên tốVới n 1,>

ta có:

là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện

Suy ra ∆DHE: ∆DCB g.g( ) ⇒DHE CDB 90· =· = 0

xảy ra khi và chỉ khi AC CB=

hay C là trung điểm ABc) Gọi J,M ',N 'lần lượt là hình chiếu vuông góc của I,M ,Nlên AB

Ta có: IJlà đường trung bình của hình thang MNN 'M 'nên

2) Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2− ( − ) ( + ) ( + =) 4

a) Tính diện tích hình thang ABCDtheo a

b) Gọi Ilà trung điểm của BC,H là chân đường vuông góc kẻ từ DxuốngAC

Chứng minh

HDI 45=2) Cho tam giác ABCcó BC a,CA b,AB c.= = =

Độ dài các đường phân giác

trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A ,B,Clần lượt là l ,l ,l a b c Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1 1 1 1

l + + > + +l l a b c

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho hai số không âm avà b thỏa mãn:

2 2

a +b = +a b

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41= = =

và m n 2 m n 2+ + > − −

nên có các trường hợp sau:

Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M

Vậy GTLNcủa S là 1, dạt được khi a b 1= =

(Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa)

ĐỀ SỐ 22 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 8

Câu 1 Cho biểu thức

là bình phương của một số tự nhiênb) Tìm các số nguyên

x,ythỏa mãn

Câu 5 Trong bảng ô vuông kích thước 8 8×

gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kỳ Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4

ô được đánh dấu không có điểm chung (hai ô có điểm chung là hai ô có chung đỉnh hoặc chung cạnh)

Từ đó tìm được hai cặp số ( )x,y

thỏa mãn Câu toán là: (−1;0 ; 1;2) ( )

Câu 3.

Dấu “=” xảy ra ⇔ =y 2x

Tương tự:

z x 1

,16x z 2+ ≥

BD CMBMD CEM

Tương tự chứng minh được: ∆CEM : ∆MED⇒CE.MD a.ME(2)=

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:

BD.ME CE.MD a.DM a.ME a DM ME+ = + = + <a.DE

d) Kẻ MH ,MI,MKlần lượt vuông góc với AB,DE,ACtại H ,I,Ksuy ra

MH MI MK= =

Suy ra DI DH ,EI EK.= =

Suy ra chu vi ∆ADE 2AH=

Câu 5 Chi 64 ô vuông của bảng 8 8×

thành 4 loại như hình vẽ (các ô cùng loại được đánh số giống nhau) Khi đó theo cách chia này rõ ràng các ô trong cùng loại sẽ không có điểm chung

Khi đánh dấu 13 điểm bất kỳ, thì 13 điểm này sẽ thuộc 4 loại ô vừa chia Vì

x x x 1

+

=+ + +