Đề HSG Toán tuổi thơ 2

Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứng với cạnh Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có Ổ=45°.. Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam gi

BE THI HOC SINH GIGI TP HAI PHONG

NAM HOG 2004-2005 Môn thi : Toán lớp 9 - Bảng B - Thời gian làm bài : 150 phút

a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là

nghiệm của phương trình bậc hai (m - 2)x? - 2(m - 1)x + m =0

Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứng với cạnh

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có Ổ=45°

Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt ở

MvàN

a) Chứng minh MN vuông góc với OC

b) Chứng minh v2 -MN = AB

Bài 4 : (2,0 điểm)

Cho hình thoi ABCD 6 B = 60° Một đường thẳng qua D

không cắt hình thoi, nhưng cắt các đường thẳng AB,BC lần lượt

tại E và F Gọi M là giao điểm của AF và CE Chứng minh rằng

đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF

Bài 5 : (0,5 điển)

Mỗi điểm của mặt phẳng được gắn với một trong hai màu :

xanh hoặc trắng Chứng minh rằng tổn tại một tam giác đều, với

cạnh bằng 1 hoặc +3 (đơn vị dài), có ba đỉnh cùng màu

ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI QUẬN 1, TP

Môn : Toán lớp 6 - Thời gian : 9D phút

Cho đoạn thẳng AB = 7 cm ; điểm C nằm giữa A và B sao cho AC = 2 cm ; các điểm

D, E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB Gọi I là trung điểm của DE Tính độ dài

của DE va Cl

HÃY QUYÊN GÓP SÁCH GIÁO KHOA TẶNG CÁC BẠN VÙNG BÃO LŨ

Nhiều bạn ở vùng bị bão lũ đang rất

khó khăn để tiếp tục học tập Bão lũ đã

cuốn trôi nhiều nhà cửa, tài sản của gia

đình các bạn Nhưng điều đặc biệt là các

cuốn sách giáo khoa, các cuốn vở viết và

đồ dùng học tập cũng không còn nữa !

Tạp chí Toán Tuổi thơ kêu gọi bạn đọc

trong cả nước hãy quyên góp những

cuốn sách giáo khoa mà mình đã sử

dụng năm học trước gửi về địa chỉ của

Tạp chí (theo đơn vị trường) để Tạp chí

thay mặt các bạn gửi tới các bạn vùng bão lũ

Các bạn ở Hà Nội có thể trực tiếp mang

đến Tòa soạn (số 38, ngõ 61 Trần Duy Hưng, Hà Nội)

Hãy làm ngay một việc rất có ý nghĩa

để giúp các bạn mình lại có sách học Tạp chí Toán Tuổi thơ rất mong các bạn ủng hộ lời kêu gọi khẩn cấp này !

Chân thành cắm ơn các bạn !

Tạp chí Toán Tuổi thơ

Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2 ; 3 ; 4 Ba chiéu cao

tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào 2

Cho tam giác ABC có Â = 60° Tia phan giác của Ô cắt AC

tai D, tia phân giác của Ê cắt AB tại E Các tia phân giác đó

DE THI HOC SINH GIỎI LỚP 9, NAM HOC 2004-2005

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : (3,5 điểm)

1) Gọi x,, x, là nghiệm của phương trình x2 + 2004x + 1 = 0 và xa, x„ là nghiệm của phương trình x2 + 2006x +- 1 =0 Tính giá trị của biểu thức : (x; + xa)(X; + Xạ)(X — X;)(X; —X¿)- 2) Cho a, b, c, d là các số thực và a2 + b2 < 1 Chứng minh rằng : phương trình

(a2 + b2 - 1)x2 - 2(ac + bd - 1)x + c2 + d2 - 1 = 0 luôn có nghiệm

m+1 n+1

Bài 2 : (7,5 điểm) Cho hai số tự nhiên m và n thỏa mãn ta là số nguyên

Chứng minh rằng : ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn x/m+n

Bài 3 : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O,) và (O„) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O,) và (O,)) tai C và D Qua A

kẻ đường thẳng song song với CD, lần lượt cắt (O,) và (O„) tại M và N Các đường

thẳng BC, BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q ; các đường thẳng CM và DN cắt

nhau tại E Chứng minh rằng :

1) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD ;

2) Tam giác EPQ là tam giác cân

Hướng dẫn giai dé ki trước (TTT2 số 31)

DE THI HOC SINH GIOI LOP 9, TP, HAT PHONG (2004-2005)

Xét hai khả năng xy > 0 va xy < 0 ta đều dẫn đến kết quả P = 1

b) Với điều kiện 0 < x < 4, quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu ta đưa phương trình về

Suy ra m < 0 hoặc m > 2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : -~.+-~=— —_ từ đó m =4

b) Ta có 3x + 5y = 7 suy ra x = re 2-2y+ ay

Ta thấy x, y nguyén <> y +1 chia hét cho 3

a) Điều kiện cần : Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì CBA = ADF (cùng bù với ADC)

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, cắt EF tại điểm thứ hai M, ta có CBA = AME

(cùng bù với EBA), suy ra ADF = AME tứ giác MADF nội tiếp

=> AEMA c2 AEDF và AFAM d2 AFEB = EA.ED = EM.EF và FA.FB = FM.EF

= EA.ED + FA.FB = EM.EF + FM.EF E

= (EM + FM).EF = EF2

b) Điều kiện đủ : Nếu EA.ED + FA.FB = EF, vẽ 7À

các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và DAF, M

giả sử chúng cắt EF lần lượt tại M, N Ta sẽ chứng NAN L7

minh M tring véi N

Dễ thấy OECF là tứ giác nội tiếp Để chứng

tổ BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tứ giác đó, ta phải chứng minh BF? = BE.BC

Ta có BE.BC = 3a.6a = 18a2 (1)

Kẻ FH vuông góc với BC, ta 06 FH I! AE, suy ra C4 OF 3 _, oy Sep 8

BỈ II TIVỂI SIll

(OP 10 THT TP Hd co mM

Năm học: 2008 = 2010 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút

4) Tim m 8 phutng tinh có nghiệm

b) Gol x,, xo là là các nghiệm tương ứng

của phương tránh Tìm giá trị lồn nhất và giá

2) Cho x, y, z là các số dương thẻa mẫn

xyz = 2 Tĩnh giá trị cña biểu thức

Câu 4 (2 đ) Cho hệ phương trình

[ax+by =8

aie (a, bnguy8n dutng vit a # b},

Tim a, b để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y

Câu B (3 đ) Cho AABC (AB < AC) có

đường trung tuyến AM và đường phân giác

AD (M, De BC) Bung tron ngoại ếp AADM cất các canh AB, AC ifn lugt tal E và F

Chứng minh BE = CF

Glu 6 (3 đJ Cho ABCD là một hình thoi

có cạnh bằng 1 Giả sữ tồn tại điểm M thuộc

cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD sao cho

chu vi ACMI bling 2 va BAD = 2MAN Tinh

các góc của hình thoi

Câu 7 (2 đj Cho a, b là các số dương

” thỏa min tp Chứng mình bể < i

Nếu y 0, phuong trinh là phương trình bậc hai, có nghiệm khi và chỉ khi :

y#0

Ax>0 (4-y(y-3)20 © [y?-3y <4 03

Vậy tập giá trị cla y la [-1 ; 4] nén gid tri nhd nhat cia y la -1 và giá trị lớn nhất của ylà4

[-1 <y <0

|0 <y <4

Bài 3 : a) Dễ thấy tam giác OAB vuông cân tại O

nên OAB = OBA = 45° va O thuộc đườngtròn đường

kính AB Như vậy OMAB là tứ giác nội tiếp, suy ra

ỐMC = OBA =ACB =45° = OM L CN Tương tự

ta có ON L CM Suy ra O là trực tâm của tam giác

CMN, suy ra OC L MN

b) Các bạn hãy chứng minh OMBN là hình thang

Bài 4 : Ta sẽ chứng minh AD2 = AM.AF

Thật vậy : AAED c2 ACDF (g.g)

AE _CD_ AE _ CA suy ra TC =C ==—= =— (doAC =AD = CD)

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Cho ham s6 y = x? c6 dé thi (P) va hai

điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là

~1 và 2

a) Viết phương trình đường thẳng AB

b) Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ của điểm M

thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam

giác MAB có diện tích lớn nhất

Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

tâm O và có trực tâm H Phân giác trong của góc A cắt đường tròn (O) tại M Kẻ đường cao AK của tam giác Chứng minh rằng :

a) Đường thẳng OM đi qua trung điểm N

tưởng dẫn giải đề kì trước

(Xị + Xạ)Œ; + Xa)(X; — Xạ)(X; — Xạ) = (X:X; + ŒXị + Xa)X; + Xa2)(XiX; — (Xị + X;)X; + Xạ2)

= (1 = 2004x, + x32)(1 + 2004x, + x,7) = (xq? + 2005x, + 1 ~ 4009x.)(x¿2 + 2005x, + 1 — x¿)

= (- 4009x,)(-x,) = 4009x,x, = 4009 (do x, x, là nghiệm của phương trình x” + 2005x + 1 =

2) Phương trình (a2 + b2 - 1)x? - 2(ac + bd - 1)x + c? + d? — 1 = 0 luôn có nghiệm khi

va chi khi A’ > 0 <> (ac + bd — 1)? - (a2 + b? - 1)(c? +d? - 1)>0

là bất đẳng thức đúng vì ((a - c)? + (b - d)2 + u + v)2 > (u + v)2 > 4uv với mọi a, b, c, d vi

với mọi u, v dương Vậy (*) là bất đẳng thức đúng, phương trình (*) luôn có nghiệm

Bài 2 : Gọi d là ƯCLN(m, n) suy ra m2, n2, mn cùng chia hết cho d2

Suy ra m +n chia hét cho d? => m+n>d? => Jm+n2d

Bai 3: 1) Do MN// CD nén EDC =ENA,

m&t khac CDA =DNA (cling chan DA),

suy ra EDC = CDA hay CD là phân giác

của EDA ;

Tương tự, CD cũng là phân giác của ECA

Suy ra A và E đối xứng nhau qua CD

(các bạn tự chứng minh) = AE 1 CD

2) Do PQ// CD nén AE 1L PQ )

Goi I là giao điểm của AB và CD thì

AAID c2 ADIB (chung AID và iAD = IDB do

ID _IB

ap?” =1AIB Tuong ty, IC? = IAIB, suy ra IC? = ID? => IC =

Ta có AI, CP, DQ đồng quy tai B, PQ // CD va | la trung diém của CD, A thuộc PQ suy

ra A là trung điểm của PQ

cùng chắn 6B), suy ra

Kết hợp với (*) suy ra AE là trung trực của

PQ và EPQ là tam giác cân tại E

: Giải hệ phương trình :

x+y=1

P +yŠ =1

Vìx+y= 1, ta có :

xŠ+yŠ=&Ẽ + x5) + x52 + y5) — 2y? + x3y?)

GÊ + y2 + y2) - x2V2& + y)

(+ y)02 — xy + y2)Ẽ + y2) - xây?

(œ + y)Ê ~ 3xy)((x + y)? - 2xy) — x?y?

(1 3xy)(1 - 2xy) - x2y2

5(xy)?— 5xy + 1= 11

Do đó xŠ+yŠ

(Thời gian : 150 phút)

Bài 1 : (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố

lớn hơn 3 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương

trình : xy - 2x - 3y + 1=0

Bài 2 : (2 điểm) Cho các số a, b, c khác

0 và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện

a3 + b3 + c3 = 3abc Tinh:

(2 điểm) a) Tìm a để phương trình

3)x| + 2ax = 3a ~ 1 có nghiệm duy nhất

b) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +

thỏa mãn điều kiện [f(x)| < 1 với mọi x e [-1; 1]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4a2 + 3b2

xy xy=2

Suy ra hệ phương trình tương đương với : gz hoặc {

xy=-1

=#=w-2=0]

xty=1 xy=2

nghiệm của hai phương trình t2 - t

vat?-t+2=0

Phương trình t2 - t + 2 = 0 vô nghiệm ;

phương trình tÊ - t ~ 1 = 0 có hai nghiệm là

Bài 4 : (1,5 điểm) Cho xÖy và hai điểm

A; B lần lượt nằm trên hai tia Ox ; Oy, thỏa mãn OA - OB = m (m là độ dài cho trước Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọng

tâm G của tam giác ABO và vuông góc với

AB luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Gọi h„„ h„, h„ lần lượt là các đường

cao và mạ, mạ, m, lần lượt là các đường

trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB ; R và

r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC

m mẹ Ret hoo

Chứng minh rang : 2+

hạ họ

Hướng dẫn giải đề kì trước (TT số 34)

(Kì thi tuyển sinh vào lớp 10, 2005 - 2006, môn Toán chung,

trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bình

b) Gọi m là hoành độ của Ma có M(m ; m?),

trong đó m e [-1, 2] Goi C, D, N lần lượt là

hình chiếu của A, B, M trên trục hoành ta có

-âm? +3m+6 _ 3(_ ———_———=-)Im-~| 1Ÿ” 27 27 +S<“

Đẳng thức xảy ra khi m = ; e1; 2], suy ra

Mộ ; 3) khi đó Suap đạt giá trị lớn nhất là Zz

Câu 4 : a) Ta có BAM=CAM suy ra BM=CM =>

OM 1 BC tại N là trung điểm của BC

b) Ta có AK // OM (cùng vuông góc với BC) suy ra

KAM = AMO (so le trong) Mat khac AMO=MAO

\(AOAM c&n) suy ra KAM = MAO

c) Gọi E là trung điểm của AC Ta có EN là đường trung bình của AABC = EN // AB EN= 2B,

2

Mặt khác, AH // ON (cùng vuông góc BC), BH // OE (cùng vuông góc AC), do đó

NO _ NE _ 1 AAHB c2 ANOE (g.g), œ (9.9), suy ra ¬m “ae 2 = AB = 2: Vậy AH = 2NO =p: Vay

Cau 5: Vik(k +1) =k +k, tacé :

S=1.⁄2+2.3+3.4+ +nín + 1)=(1+2+3+ +n)+(12+22+32+ +n2) (1)

Ta chứng minh được 12+ ZÊ +3 + +nê= TÚ! Tiền + @)

(bằng phương pháp quy nạp theo n, với n < N*) và 1 +2 +3 + +n = 3, @)

nín+1) „ nịn+9(2n+1) _ nín+1)(n+2)

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra S=

Thời gian : 150 phút

Bài 1 : (2,0 điểm)

Cho bidu the P=——*— Y Xxy —_

(&x+y)-y) &x+y)đ+x) (14+x)(1-y)

1 Tìm điều kiện của x, y để P xác định Rút gọn P

2 Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2

Bài 2 : (2,0 điểm) Cho phương trình : (x + m - 2)|x2 + 2(m + 2)x + 4m - 8]=0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm

Bài 4 : (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm

thuộc đường tròn (C z A ; C z B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB

có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q, tia AM cắt

đường thẳng cố định

tưởng dẫn giải đề kĩ trước (mrasẽa8) ©

(Ki thi ac sinh gigi lớp 9, 2003 - 2004, tinh Pha Tho) <> <>

Bai 1 : a) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, không chia hết cho 3 Do đó : 2k +1 (k € Z, k > 1) suy ra A= (p — 1)(p + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k +1) > AB;

Bài 2 : Ta có aŠ + bŠ + cổ = Sabo <> 2(@ + b + )(@ ~ ĐÊ + (b - c)Ê + (c— a)2]= 0

Vì x = 3 không là nghiệm của phươngtrình đã cho nên (*) cs y =

©>a+b+c=0 (do a, b, c đôi một khác, nhau)

Suyra_3 „_Ð „©_ _€-)@-b)+b/b~e)J(e~b)+e(b~e)(e=a)

_ (88 +bÊ +e?)(a +b +e)~2(a3 + bŠ + c3) —3abc _ ~9abc

+ Nếu x > 0 thì (1) c> 3x + 2ax = 3a - 1 cọ x(2a + 3) = 3a — 1 (2)

Voi a=—3, ta có (2) vô nghiệm ;

Vớia z—Š, nghiệm của (2) là x, = 22 ~” và x, sẽ là nghiệm của (1) nếu S5 —` > 0,

b) Từ điều kiện |f(x)| < 1, với mọi x e [~1, 1], ta có :

I0) — f(1)| < 2= (a + b)ˆ <4; If(0) — f(-1)| <2 (a - b)° < 4

Mặt khác 4a? + 3b2 = 2(a + b)2 + 2(a — b)2 — b2 < 2(a + b)2 + 2(a - b)2 < 16

Vậy 4a? + 3b? dat gid tri lớn nhất bằng 16, khi và chỉ khi : (a ; b ; c) nhận giá trị là

(2; 0; -1) hoặc (_—2 ; 0; 1)

Bài 4 : Lấy điểm C thuộc đoạn OA sao cho OC = m (C cố định)

Vẽ đường tròn ngoại tiếp AABO và

trung trực của AB, cắt nhau tại M

Đường thẳng qua trọng tâm G của

AABO vuông góc với AB cắt OM tại N

Ta có AMAC = AMBO (c.g.c) suy ra

MO = MC;

OMB = CMA => ONC = BMA = AOB =a

không đổi = M cố định (là giao điểm của

đường trung trực của OC và cung OC

chứa góc a)

Gọi | là trung điểm của AB Xét AOMI,

N thuộc OM và G thuộc OI Vì G là trọng

tâm của AABO nên oe 2 ;NG/MI

thẳng qua trọng tâm G của AABO vuông góc với AB đi qua điểm N cố định (đpcm)

Bài 5 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC và Ai, Bị, Cy lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Ta có AA, = m, < R + OA; (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = AC) ;

BB, = my < R + OB; (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = AC) ;

CC; =m, < R + OC, (đẳng thức xảy ra khi và chi khi AB = AC)

Thay (2), (3) vào (1) và biến đổi ta được : “2 hạ + hạ hẹ r

Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều

(3)

m mẹ Ret

DÀNH cho học siNh rhỉ vào chuyén ToAn - Tin, thoi gian làm bai 190 phir

Tìm tất cả các giá trị của m để phương

trình có nghiệm đều là những số nguyên

2 Cho 3 số ø, 8, y Đặt a = ơ + 8 + y,

b= af + By+ ya, c= apy

Chứng minh các phương trình sau đều

có nghiệm :

x? + 2ax + 3b = 0 ; ax2 ~ 2bx + 30 = 0

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC

1 Gọi M là trung điểm của AC Cho biết

BM = AC Gọi D là điểm đối xứng của B

qua A, E là điểm đối xứng của M qua C

Chứng minh DM vuông góc với BE

2 Lấy một điểm O bất kì nằm trong tam

giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm

D, E, F Chứng minh rằng :

OD _OE _OF a) OE OE a,

phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm

Chứng minh rằng P(2005) > x

Bai 5 (0,75 diém)

Có hay không 2005 điểm phân biệt trên

mặt phẳng mà bất kì ba điểm nào trong

chúng cũng đều tạo thành một tam giác

có góc tù

Hướng dẫn giải đề kì trước (rrr2 số 36)

Ki thi tuyén sinh vio lép I0, năm học 200ð - 2006

trường THPT năng khiếu Trân Phú, Hải Phòng”

+ Với m = 2, phương trình (1) không có

nghiệm dương nên không thỏa mãn

+ Với m>2, nghiệm x=2~m<0 Mặt khác

(2) có A'„= mỂ + 12 > 0, S=~2(m + 2) < 0,

P= 4m — 8 >0, nên (2) có hai nghiệm âm

tức là (1) không có nghiệm dương Do đó

m> 2 không thỏa mãn

+ Với m < 2, nghiệm x = 2 - m > 0 Mặt

khác (2) có P = 4m - 8 < 0 nên (2) có hai

nghiệm trái dấu Vì m < 2 nên £(2 - m) =

4 ~ mÊ z0, suy ra x= 2 ~ m không phải là

nghiệm của (2) Vậy với m < 2 thì (1) có

hai nghiệm dương và một nghiệm âm thỏa

nên hệ có nghiệm duy nhất e> m z 1, khi

đó nghiệm của hệ là x = 1 ; y=—m - 1 Do

Bài 4 1 Xét hai tam giác ABM và NBM,

ta có AB là đường kính của (O) nên

AMB = NMB = 90 ; M là trung điểm của

cung nhổ AC nên ABM = NBM, suy ra MAB = MNB Suy ra tam giác BAN cân

tại B

Ta lại có ABCM là tứ giác nội tiếp nên

MCN = MAB = MNB, suy ra tam giác MCN

cân tại M

2 Từ kết quả trên cùng với giả thiết

MQ = MB ta suy ra hai tam giác MQN và

MBC bing nhau (c.g.c), suy ra QN = BC

Mặt khác ta có AC vuông góc với BC nên

BA2=BC.BQ=BC(BN+ QN) = BC(AB+ BO)

= BC(BC + 2R) = 4R? => BC = (V5-1)R

Bai 5 1 Ta c6 (1;2;3;

=41;3; ¡2P ~ 1} (2.1; 2/2 ;2

¡ 2.2" T), Tổng các ước số lẻ lớn nhất ! của các số 2.1 ; 2.2 ; 2.3

2 Qua B, kẻ đường thẳng ơ” song song

với đường thẳng d, cắt CC, tại C Lấy M'

thuộc đ' sao cho ABM'M là hình bình hành

Kẻ M'H vuông góc với BC tại H Ta có :

a) Phân tích đa thức f{n) thành nhân tử

b) Chứng minh rằng đa thức trên chia hết

cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n

Câu 3 (3 điểm) Giải phương trình sau :

V7 =x +x +4 = x? -6x +13

không đổi Suy ra H cố định = Mĩ thuộc ¡

đường thẳng qua H, vuông góc với BC (cố Ì

định) => M cũng thuộc một đường thẳng cố !

định (vuông góc với BC)

i Lene,

Câu 4 (2 điểm) Cho a, b, e > 0 Chứng minh rằng :

8bŠ~aŠ 5c3—bŠ 5a°-c® +— <a+b+e ab+3b? be+3c2 2

Câu 5 (4 điểm) Cho hình thoi ABCD 6 A = 120° Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15° va cat cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N cma mi 1 1 4 Chứng mình : 2 12+ 2 saat"

Câu 6 (4 điểm) Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với

đường thẳng CD Chứng minh rằng nếu

AD iI CB thì đường tròn đường kính CD tiếp

xúc với đường thẳng AB

ca+3a

Hướng dẫn giải đề th kả trước mm <> €

Ki thi tuyén sinh ào trường THPT chuyên, tỉnh Thái Bình, re

ex =} (thuộc tập xác định) Đây là nghiệm duy nhất của phương trình

2) Đáp số : M;(1 ; 3) và Maly : > Biém M(x ; y) thỏa mãn 3 điều kiện : x > 0 (1) ;

y=2x+1 (2); y? -5yVx +6x =0 (3)

Do x > 0 ta 06 (3) <> (y—2Vx)(y -3Vx) =0 < y =2Vx hoặc y = 3vx

Nếu y =2vx thi thay vào (2) ta c6 2x -2Vx +1=0 (phuong trinh v6 nghiém) ;

Nếu y =3vx thi thay vào (2) ta có

2x ~3Jx +1=0 cs Vš =1hoặc Íx =7 cox eft 34

Bài 2 1) Đáp số : me(-1;~Ƒ ¡3)- Với m=~1, thỏa mãn yêu cầu ; Với mz~1, điều

kiện để phương trình có hai nghiệm Xa>xị là A >0 ();

m-1 „m+ 3_

=2 m+1 m+1

xị+1=1 x;+1=-8 _ Íxị=0 xị=-4 Dixy +1) =3 hoặc hoặc

2 (x + (xp +1) “Na OB tet xg? MH Lye =

suy ra m=-3 hoặc m= -3 (đều thỏa mãn điều kiện (*))

2) Phuong tin 2+ 2ax-+ 3b =0 068'= 22 3b= 2| (ø =BỆ +(8~y +(r~ M >0;

Phương trình ax2 - 2bx + 3c = 0 :

Với a z0 ta có At= 2 |(eb~B)Ê +(Mr~reÖ?+|qe«=aBÊ >0;

Với a = 0, nếu b = 0 thì a2 - 3b = 0 suy ra ơ = B = y = 0 = e = 0 nên phương trình

thỏa mãn với mọi x, nếu b #0 thì phương trình có nghiệm duy nhất Tóm lại, hai phương

trình trên luôn có nghiệm

Bài 3 1) Lấy F đối xứng với M qua A ta có BFDM là hình bình hành, suy ra

DM II BF ; MF = ME = MB (= AC) suy ra tam giác EBF vuông tại B = BF vuông góc với BE = DM vuông góc với BE

2 a) Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và O tới BC (OK // AH)

Ị =1+(X+y +2) + (xy + yz + zx) + xyz >1+38Jxyz + 3Ÿ(xyz) + Äyz = (1+ xyz? > 64

Ị Bài 4 Gọi xạ, xạ, xạ là ba nghiệm phân biệt của phương trình P(x) = 0 suy ra

PUR) = (X= 4) (X=) = Hq) => P(Q69) = (AUX) — X (QU) — %)(QLX) — x) Do PLQ(X)) = 0

vô nghiệm nên Q(x) - x, = 0 vô nghiệm (/ e {1 ; 2 ; 3}) = x? + x + 2005 - x,= 0 vO

nghiệm © A,< 0 eo 1 ~ 4(2006 - x) <0 <2 2005 - x,> +

Suy ra P(2006) = (2005 - x,)(2005 — x,)(2005 — x3) > =

Bài 5 Luôn tổn tại 2005 điểm thỏa mãn điều kiện đề bài, sau đây là một cách xác

định các điểm đó : Trên mặt phẳng dựng nửa đường tròn đường kính AB, trên đó lấy

2005 điểm đôi một khác nhau, khác A hoặc khác B Như vậy, ba điểm bất kì trong

chúng đều không thẳng hàng, là ba đỉnh của một tam giác tù vì tam giác đó luôn có

| một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn

‡ a) Đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4)

¡ _ b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ

1 y =32 ~1 và cắt trục hoành tại điểm có

tích la 720 m?, nếu tăng chiều dài thêm

6m và giảm chiều rộng đi 4 m thì diện tích

Cho nửa đường tròn (O) đường kính

AB =2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và

By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn

lax? + xy +2y? + Jay? +yz +22? +

+ 2z? + zx +2x2 > vJB

Hướng dẫn giải đề thí kĩ trước œrzsss) <

ì thí Học sinh giải Wp 9, quin Ciu Gidy, Ha Noi

Câu 2 Cho đa thức f{n) = nŠ - 5nŠ + 4n

với n nguyên dương

a) fín) = n(n — 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)

b) ffn) là tích của 5 số nguyên liên tiếp

Trong 5 số đó chắc chắn có một số chia

hết cho 3 vâ một số chia hết cho 5 ;

Trong 5 số đó có ít nhất hai số chấn liên

tiếp, một số chia hết cho 2 còn số kia chia

hết cho 4 nên tích của hai số này chia hết

cho 8

Vay f(n) chia hét cho 120 = 3 x 5 x 8 vì

3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau

5c? — b>

be+3c2 5a° — c3 ca+3a2

'Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có bất đẳng thức cần chứng

minh

Câu 5 Trên cạnh DC lấy điểm E sao

cho DAE = 15°, suy ra NAE = 90°

= ADAE = ABAM (g.c.g) = AE = AM

Xét tam giác đều ADC, đường cao AH,

ta có AH2 =ŠApẺ = SAB? (2)

Câu 6 Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AB, CD Kẻ NH, MK lần lượt vuông

góc với AB, CD

Nếu AB// CD thì ABCD là hình thang có

MN là đường trung bình, MN // AB 1/ CD

Suy ra Suap = Swap i Suac = Suc

= Syas = Saeco ~ Swap ~ Swac

= Sasco~ Swap ~ Suac = Suco

=— H thuộc đường tròn đường kính CD

Ta lại có NH vuông góc với AB nên AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD

a) Xác định giá trị của m để phương

trình trên luôn có hai nghiệm x:, x

2xx; +3 b) Tinh A = theo m

b) Giả sử PO = d Tinh AH theo R và d Bài 6 (2 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 42, đường cao An-Š Chứng minh rằng

ABC là tam giác vuông cân

tiưông dẫn giải để kĩ trước : masso CS <>

Ki thi tuyén sinh nào trường THPT, tỉnh Thái Bình <> nam hoc 2005-2006

Bài 2 (đ) : y=(2m~ 3)x+n~4 (me,

1.a) Ta 06 (d) đi qua A(1 ; 2), B(3 ; 4)

3(2m-3)+n~4 6m+n=17

(2 ; 5)

<= (mn) 1.b) Ta c6 (d) đi qua (0 ; 3V2 -1)

Bài 3 Gọi chiều dài mảnh vườn là x (mét),

suy ra chiều rộng mảnh vườn là = (mét

Theo giả thiết ta có phương trình :

(+(25 -4) =720 x

<> x? + 6x - 1080 = 0

Do x > 0, giải ra ta được x = 30 (mét) 'Vậy kích thước mảnh vườn là 30 m x24 m Bài 4 1.a) Ta có CD = CM + DM ; CM=CA; DM= DBsuy ta CD=AC+-BD

tương ứng vuông góc), OM L CD (theo giả

thiết), suy ra AC-BD = CM-DM = OM? = R?

(hệ thức lượng trong tam giác vuông COD)

2 Ta thấy ABDC là hình thang vuông

NEN 2S pan = AB(AC + BD) = 2R-CD

Suy ra Spano = RCD > R-AB = 2R’,

Vậy ABDC có diện tich nhé nhdt la 2R2

«© AB = CD «> M là trung điểm của nửa

đường tròn (O) đường kính AB

3 Từ kết quả trên ta tính được CD = 16 cm

suy ra 2Scop = OM:CD => Scop = 16 cmổ

Hãy chứng minh AABM <2 ACDO Suy ra

SAau _ AB?

Sopo _ CD?

Bài 5 Ta có nhận xét :

A(2x2 + xy + 2y?) = 5(x + y)? + 3(x - y)? >

> B(x + y) Do x, y dương, suy ra :

Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số

trên cùng đi qua điểm (~1 ; 2) Với giá trị

mtim được, xác định tọa độ giao điểm thứ

+Ÿ và 4

hai của hai đồ thị đó

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường phân giác BE và CF

cắt nhau tại / (E trên AC, F trên AB) sao cho tứ giác AEIF nội tiếp một đường tròn

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, đường thẳng OH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N

1) Tính BAC ; 2) Chứng minh năm điểm B, H, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn ;

3) Chứng minh BM + CN = MN

Bài 5 (1,5 điểm)

Cho phương trình ax2 + bx + e = 0

(a z 0) có hai nghiệm là x;, x„ thỏa mãn

ax, + bx, + c=0 Tính giá tri của biểu thức M=a?c + ac? + b? — 3abe.

tưởng dẫn giải để kì trước : œmzssso © <>

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán,

THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, tỉnh Vĩnh Long,

Với x >2 suy tax~2>0 7 A=—1—; x+2

Với x<2 suy tax~2<0 A=——1_,

x+2

Bài 2 Các số nguyên dương x, y, z, f đều

lớn hơn 1 vì nếu một trong các số đó không

P

SX, Ss

, (XIN 5

h EH _ CH

tam giác CPB ta có PB“C8: (1)

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc

với AB) nên POB = ACB, suy ra hai tam giác

vuông ACH và POB đồng dạng

PB OB

Do CB = 208, kết hợp với (1) và (2) ta

suy ra AH = 2EH > EA = EH hay E là trung

điểm của AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao

Giải hệ phương trình ệ phương {e v2 =2

ta được x = y = 1 Vậy ABC là tam giác

vuông cân (chú ý x > 0 và y > 0)

Năm học 2008- 2006 ; Thời gian : 150 phút

d) Xác định giá trị của m sao cho

phương trình có hai nghiệm bằng nhau về

giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Bài 3 (2 điểm)

Một ca nô đi xuôi dòng 48 km rồi đi ngược

dòng 22 km Biết rằng thời gian đi xuôi dòng

lớn hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và

vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là

5 kmh Tính vận tốc ca nô lúc đi ngược dòng

b) Chứng minh Bï // AD

c) Chứng minh ba điểm J, B, E thẳng hàng Bài 6 (2 điểm)

Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 120° Goi M là một điểm trên cạnh AB Các đường thẳng DM và BC cắt nhau ở N a) Chứng minh hai tam giác AMD và CDN đồng dạng, từ đó suy ra hệ thức :

AC? = AM-CN

b) Hai đường thang CM va AN cat nhau

ở E Chứng minh tứ giác AEBC nội tiếp được trong một đường tròn

©) Khi hình thoi ABCD cố định, M chuyển động trên cạnh AB Chứng minh rằng điểm E chuyển động trên một cung tròn cố định

Hưởng dẫn giải đề kì trước :

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10, OO

THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương <

năm học 2005-2006 (Đề đăng trên TTT2 số 41)

Bài 3 Đồ thị hàm số y = mx +mÊ +Ÿ đi

qua điểm (1 ; 2) © 2=-m+mÊ +Š °

Vậy với m =} thì đồ thị hai hàm số trên

đi qua điểm (-1 ; 2)

Với m= ; thì hoành độ giao điểm của đồ

thị hai hàm số trên là nghiệm của phương

trình ear creda aa)

BAC + EIF =180° = BAC + BI = 1809

= BAC = BC + [6a - ^8© +ACE

= Bat = 90° -FAE -, Baie = 60°

B

2) Ta nhận thấy : BOC =2BÄC =1209 ; BIC = BHC = 180° - BAC =120°

=> BOC = BIC = BHC =120° = 5 điểm

B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn

3) Ta có ABOC cân tại O, BÖC =120%

nén BCO = €BO =30°, suy ra

BHM = BCO = 30° ; CHO = CBO = 30°

(vì tứ giác BHOC nội tiếp)

Mặt khác, ABH = ACH = 90° - BAC = 30°

Suy ra AMBH cân tại M, ANCH cân tại N

a) Tim gia tri của m để đường thẳng (d)

song song với đường thẳng y = x - 5

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua

tại A và B Một đường thẳng qua 8 cắt (O)

và (O) theo thứ tự tại C va D

a) Chứng tỏ góc CAD có số đo không đổi b) Tiếp tuyến của (O) tại C và (O) tại D

cắt nhau tại E Chứng minh rằng bốn điểm

A, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn Câu 5 (7 điểm)

Chứng minh rằng : x - xŠ + x2 - x+ 1 >0

với mọi x e R

tHưông đẫn giải đề kì trước :

Khối THPT chuyên, Đại học Sư phạm Ha Nội,“

năm lọc 2006-27 (ẻ đăng trên TTT2 số 43)

phương = b =+jxịx¿ eZ” = a= bn e Z*

<Q= x¡x; là số chính

Mặt khác, x2 =a+JA' e Z* ;aZ* suy

ra xJA'=m là số nguyên không âm Như

va? — b2 = bàn ~1

> ln2~1=<0=nẺ~1 k? (với k là vậy ta có m=xJA'

1) Ta có MBA = EMN ; NBA = ENM

=> MBN = MBA + NBA = EMN + ENM =

=180° - MEN => MBN +MEN =180

=> EMBN là tứ giác nội tiếp

2) Gọi / là giao điểm của AB và 0,0,

(AB L 0,0, tai / la trung diém cita AB)

Dễ thấy AO;AB đều, có cạnh bằng 1 cm

Từ đó ta có độ dài các cạnh của AAO;O;

3) Vì EMBN là tứ giác nội tiếp nên theo

định lí Ptô-lê-mê ta có

EM-BM + EN-BM = EB-MN (1)

Mặt khác, hai tam giac BMN ; AO,O,

đồng dang do BIN = AO,O, = 3408 :

BÑM = ÃÐ;O, = 3A0) Suy ra

BN : BM: MN = AO, : AO, : 0,0,

22:1; 8248, (2) Tir (1) va (2) suy ra

2EM+EN =5 J5 ep @)

Dựng BH L BN, xét ABHE vuông tại H, ta

có ÊP - sinBEH = sinBNlN = sin309 = 2 BE 2

MBE = EMN = ENM = NBE, suy ra

MO,A = NO2A => MAO, = NAO,

=> fAN = NAO, => MN hay (d) là phân giác

ngoài của Ó,ÄO¿

Câu 5 Đặt 7 = {0 ; 3 ; 9), ta nhận thấy

T có tính chất : Nếu u ; v e T và ư > v thì u-veE=(3;8;9)

Giả sử a,, a, a;og là tất cả 700 số

nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số

không lớn hơn 2006 của X Xét tập hợp :

Y={(u;a)|u e T,a,e X,¡ e {1;2; ; 700}

Vì T có 3 phần tử ; X có 700 phần tử nên Y c6 2100 phần tử Với mỗi phần tử (u ; a) = Y

Nếu u> v thì a~ a,= u~ ve E;

Nếu u < v thì a~ a,= V~ u e E

Vậy trong tập hợp X luôn tìm được hai

phần tử x, y sao cho x - y thuộc tập hợp

E={3; 6; 9}

Năm học 2006- 2007 ; Thời gian : 150 phút

b) Nếu bỏ chữ số 6 cuối ấy và thêm chữ

số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số

mới nhận được gấp 4 lần số ban đầu Câu 5 (6 điểm)

Cho đường tròn (O) và dây AB không

qua tâm O Điểm C thuộc cung lớn AB Vẽ

đường tròn (O,) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A Vẽ đường tròn (O,)

đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB

tại 8 Hai đường tròn (O,) và (O;) cắt nhau tại giao điểm thứ nhì là E Gọi F là giao điểm của CE và đường tròn (O) (khác

điểm C)

a) Tứ giác AEBF là hình gì 2 b) Khi C lưu động trên cung lớn AB thì

Edi chuyển trên đường cố định nào ?

Câu 6 (2 điểm)

Cho tam giác ABC không có góc tù,

có hai đường cao AH và BK Cho biết

AH > BC và BK > AC Hãy tính các góc

của tam giác ABC