Phân giác trong các góc của tam giác АВС cắt các cạn ВС, СА và АВ tại các điểm P, Q và R tương ứng.. Р1 – là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm Р song song với АВ, và cạnh СА.Tương
Trang 1Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX năm học 0809.
Đề bài:
Bài 1 Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho có thể định về dạng mn
m n
+ +
1
, ở đó m
và n – cũng là các số tự nhiên.
Bài 2 Tính giá trị biểu thức x x+−y y , nếu x2 + y2 = 6xy và x ≠ y
Bài 3 Giải hệ phương trình: x y
2
2
= − + =
,
Bài 4 Giả s ử а, b, x v à y thoả mãn đẳng thức :
(a + b)(x + y) = 1 và (a2 + b2)(x2 + y2) = 1
Chứng minh rằng ax + by ≥ 0
Bài 5 Phân giác trong các góc của tam giác АВС cắt các cạn ВС, СА và АВ tại
các điểm P, Q và R tương ứng Р1 – là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm
Р song song với АВ, và cạnh СА.Tương tự như vậy với các điểm Q1 và R1
PP +QQ +RR , nếu độ dài các cạnh của tam giác bằng а, b và с.
Bài 6 Tr ên c ạnh huyền АВ của tam gíac vuô ng câ n АВС lấy điểm М
và N sao cho góc МСN bằng 45° (điểm M nằm giữa А và N)
Chứng minh : АМ2 + BN2 = MN2.
-Lời giải:
Trang 2Bài 1 Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho có thể định về dạng mn
m n
+ +
1
, ở đó m và
n – cũng là các số tự nhiên.
Trả lời: có thể định được bất kỳ số tự nhiên nào
Giả sử m = n + 2, ở đó n – là số tự nhiên.
Khi đó mn
m n
+ +
1 =
n n
n n
+ +
+ +
2
1 ) 2 (
= ( ) ( 1)
2
1 2
+
+
n
n
= 2
1 +
n
Suy ra có thể thoả mãn với bất kỳ số tự nhiên nào
Thật vậy giả sử: x =
2
1 +
n
Khi đ ó n = 2x – 1, m = 2x + 1 ta c ó mn
m n
+ +
1 = x
V í d ụ : 1 =
1 1
1 1 1 +
+
⋅
Bài 2 Tính giá trị biểu thức x x+−y y , nếu x2 + y2 = 6xy và x ≠ y
Trả lời: ± 2
Cách 1: Bởi vì x y
x y
+
−
2
= ( ) (x x y y)
+
−
2
2 2
+ +
− + =
8 4
xy
xy = 2, nên x x+−y y
= ± 2
Cách 2: Giả sử y
x =t (x ≠ 0, vì nếu ngược lại thì từ điều kiện của đẳng
thức kéo theo y = 0) Khi đóta chia cả hai vế của đẳng thức cho x2, và được phương trình bậc hai t2 – 6t + 1 = 0 Nghiệm của phưuơng trình này là: t = 3 ± 2
2; Suy ra x x+−y y = 1
1
+
−
t
t = ± 2
Bài 3 Giải hệ phương trình: x y
2
2
= − + =
, Trả lời: (1; 1); (−1; 1)
Giải:
2
2 1
2
= −
+ =
,
⇔
=
−
− +
+
−
=
≥
0 1 4
4
, 1 4
4
, 5 , 0
2 4
2 4
y y
y
y y
x
y
Vì y = 1 là một nghiệm của phương trình đầu, nên chia vế trài của phưưong trình sau với (y – 1), nhận được phương trình: y3 + y2 + 5y + 1 = 0
Với y ≥ 0,5 vế trái của phương trình chỉ nhận giá trị dương nên trong truờng hợp này hệ không có nghiệm
y = 1, th ì x4 = 1 ⇔ x = ±1
Bài 4 Giả s ử а, b, x v à y thoả mãn đẳng thức :
Trang 3(a + b)(x + y) = 1 và (a2 + b2)(x2 + y2) = 1.
Chứng minh rằng ax + by ≥ 0.
Gi ải:
Đưa đ i ều kiện c ủa b ài to án v ề d ạng :
( ) ( ) ( ) ( )
= + + +
= + +
+
1
,1 2 2 2 2
by ay bx ax
by ay bx
ax
( ) ( )
= + +
−
= + +
+
.1
,1
2 2
ay bx by ax
ay bx by ax
t ư ừ đ ă ẳng th ư ức th ư ứ hai suy ra (bx+ay)2 ≤ 1 ⇔ bx+ay ≤ 1,
khi đ ó từ đẳng thức thứ nh ất : ax + by = 1 – (bx + ay) ≥ 0,
l à điều phải chứng minh
Bài 5 Phân giác trong các góc của tam giác АВС cắt các cạn ВС, СА và АВ tại
các điểm P, Q và R tương ứng Р1 – là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm
Р song song với АВ, và cạnh СА.Tương tự như vậy với các điểm Q1 và R1
Tính tổng 1 1 1
PP +QQ +RR , nếu độ dài các cạnh của tam giác bằng а, b và с.
+ +
c b a
1 1 1
Giải:
Từ các tam giác đồng dạng АВС và P1PC
suy ra
BC
PC AB
PP
=
a
c
PP1 = ( xem hình 1)
Tính PC qoa các cạnh của tam giác АВС
Theo tính chất của phân giác ta có:
c
b AB
AC PB
Và từ đẳng thức PB+PC =BC =a
Ta có hệ phương trình
= +
=
a PC
b PB PC
Nên
c b
ab PC
+
= Suy ra PP1 c a PC b bc c b1 1c
1
+
= +
=
⋅
Tương tự QQ1 c ac a 1c a1
1
+
= +
b a ab
b a RR
1 1 1
1
+
= +
Рис 1
P 1
P A
Trang 4Vậy : 1 1 1
+ +
c b a
1 1 1
Bài 6 Tr ên c ạnh huyền АВ c ủa tam gíac vu ô ng c â n АВС lấy điểm М v
à N sao cho góc МСN b ằng 45° (đi ểm M nằm giữa А và N)
Gi ải:
Từ tam gi ác АВС ta dựng h ình vuô ng KАCB, tia СМ v à CN cắt các cạnh hình vuông tại Р и Q (xem h ình 2)
Chứng minh đi ểm С là t â m đường tròn bàng ti êp tam giác PKQ, ti ếp xúc với cạnh PQ
Th ật v ậy ta x ét hai y ếu t ố:
1) Đi ểm С n ằm tr ên ph ân gi ác g óc PKQ;
2) góc giữa phân gi ác ngoài của góc P v à Q tam gi ác PKQ bằng :
(∠APQ+ ∠BQP)
−
2
1
= − (180 − ∠KPQ+ 180 − ∠KQP)
2
1
= 45° = ∠PCQ.
K ẻ đ ư ờng vu ông góc CD v ới đo ạn PQ, là
b án k ính c ủa đ ường tr òn bàng ti ếp
v ì CA = CD = CB, n ên ∆САР = ∆СDР và ∆СBQ = ∆СDQ
theo tr ường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông
Suy ra, DM = AM и DN = BN
Ngoài ra , ∠MDC = ∠MAC = 45° và ∠NDC = ∠NBC = 45°
Vậy tam giác MDN – vuông cân Suy ra điều phải chúng minh.
-45°
D P
Q N
M
h ình2
