Chứng minh điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp một đường tròn là các đường thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh của tứ giác và vuông góc cạnh đối diện thì đồng quy.. Cho hai đường t
Trang 1T1/270 Tìm tất cả các số nguên dương x, y, z sao cho: 3x + 4y = 7z.
T2/270 Chứng minh rằng: (1-b+ca )(1-c+ab )(1-a+bc ) ≤ 18
T3/270 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
(x + 16|x| + 48)(x + 12|x| + 27)
x
T4/270 Chứng minh điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp một đường tròn là
các đường thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh của tứ giác và vuông góc cạnh đối diện thì đồng quy
T5/270 Cho hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại điểm A Trên yy' lấy
điểm B (khác A) cố định Với mỗi điểm N trên xx' lấy điểm M trên yy' sao cho BM
= AN Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi N di động trên xx'
T6/270 Tìm số các nghiệm của hệ phương trình:
x = y
x + y + 988 x y = 2000
T7/270 Dãy số (un)(n ∈ N) xác định bởi: u0 = 1, u1 = -1, un+1 = kun - un-1 Tìm tất cả các giá trị hữu tỉ của k để (un) tuần hoàn
T8/270 Tìm tất cả các hàm số tăng thực sự f: N* → N* thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a) f(2n) = f(n) + n, ∀n ∈ N*
b) Nếu f(n) là số chính phương thì n là số chính phương
T9/270 Cho ∆ABC có ba góc nhọn và trực tâm H Gọi diện tích các tám giác HAB,
HBC, HCA lần lượt là S1, S2, S3 Chứng minh rằng ∆ABC đều khi và chỉ khi
3
1 2 3
8(S + S + S ) = 4R
T10/270 Một điểm P nằm trong tứ diện ABCD Ký hiệu d1, d2, d3, d4 là khoảng cách từ P đến các đỉnh tứ diện và h1, h2, h3, h4 là khoảng cách từ P đến các mặt tứ diện Chứng minh:
d1+d2+d3+d4 ≥ 2( h h + h h + h h + h h + h h + h h )1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
Đẳng thức xảy ra khi nào?