C uón sách này dược: ch ia làm hai tập.. Các ván dè phối hợp giữa nguồn với kẻnh sẻ dược x ét sau khi đ ã có những hiển biết về nguồn và kẽnh... Do cảc b it đ àu ra chi phụ thuộc vào cá
Trang 2Đ Ặ N G VĂN C H Ư Y Ế T (c h ủ biên) - N G U Y Ê N T U Ấ N ANH
Trang 3- - - 3 1 7 5 0 / 1 0 5 - 0 3
G D - 0 4
M ã s ó : 7 B 5 14 T 4
Trang 4Mục lục
9-1 M õ h ỉn h kênh và thông lượng k ê n h 9
9-1-1 C àc m ô hỉnh k ê n h 10
9-1-2 T h ô n g lượng kẽnh 12
9-1-3 Sử d ụng các tin hiệu trự c giai) tro n g tru y ề n t h ô n g 16
9-1-4 Hàrn an toàn c ủ a k ê n h 18
9-2 M ả hỏa ng&u n h i ê n 19
9-2-1 Mả h ó a ngảu nhiẽn d ự a vào tin hiệu m â nhị p h ả n M i n ử c 19
9-2-2 M ả hóa ngảu n h iẽn d ự a vào tín hiệu đ a biên độ M m ữ c 23
9-2-3 So sá n h R q với thông lượng c ủ a kênh A V V G N 25
9-3 T h iẹt kế hộ th ố n g truyền tin d ự a vào tóc độ giởi h ạ n 26
10 M Ả H Ó A K Ê N H 32 10-1 M ả khối tuyén t ỉ n h * 32
10-1-1 M a trậ n sinh và rna trậ n kiểm t r a p a r i t y 34
10-1-2 M ột sổ loại m ả khối tu y ến t i n h 36
10-1-3 M à v ò n g 37
10-1-4 G iải in ả xác đ ịn h m ềm tối ưu đói với m ã khói tuyén tỉn h 48
'10-1-5 Giải m ã xác định c ứ n g 52
10-1-6 So sánh vè hiộu q u ả củ a hai phương p h á p giải m ã 57
10-1-7 Giới h ạn vồ khoàng cách tói th iể u củ a m ả khói tu y ến t í n h 61
10-1-8 M à khối không nhị ph ân và rnâ khói g h é p 62
10*1-9 G h ép m à sổ liệu đói với kênh có nhiễu chùm 65
10-2 M ã c h ập 65
10-2-1 H àm tru y ề n c ủ a m ả c h ậ p 68
10-2-2 G iải m ả tói ưu m à c h ặ p -T h u ậ t toán V i t e r b i 71
10-2-3 X ác s u ấ t lỗi củ a giải m ã xác định m èm 73
10-2-4 Xốc s u ấ t lỗi củ a giải m ả xốc định c ứ n g 74
10-2-5 Cốc tín h c h á t ví‘ khoảng cầch c ủ a m ả c h ập 76
10-2-6 M à kờp k k hống nhị phân và m à g h é p 79
10-2-7 Thuật, to án F a n o 81
10-2-8 M ột số ván (lè tro n g thực té c ủ a việc á p d ụng m ã c h ậ p 83
10-3 M ả d iều ché cho kênh cỏ d ải tà n hạn c h é 85
Trang 511-1 Dạc trư n g củ a kênh cố bang tàn hữu h ạ n 93
11-2 T ín hiệu cho kẽnh có dải tà n hữu hạn 95
11-2-1 T h iế t ké tỉn hiệu cỏ độ rộng phổ hữu h ạn d ể khổng có ISI 96 11-2-2 T h iổ t kế tín hiệu có dộ rộng p hổ hữu h ạn dổ ISI dièn khiển d ư ợ c 99
11-2-3 X ác đ ịn h sổ liệu tro n g trư ờng hợp ISI dièu khiển d ư ợ c 102
11-2-4 T ín hiệu cho kênh cố suy h a o 105
11-3 Xác s u á t lỗi khi sử d ụng tin hiệu P A M 107
11-3-1 Xác s u á t lrti khi khổng có I S I 107
11-3-2 Xác s u ắ t lỏi khi sử đ ụng tin hiệu d á p ứng từ n g p h ả n 108
11-3-3 X ác s u á t lỏi trẽ n kẽnh cố suy h a o 109
11-4 M ả (itèu ché làm nhọn phổ tín h i ệ u 110
12 T R U Y Ề N T I N Q U A K Ê N H T U Y Ế N T Í N H C Ó B Ả N G T Ằ N H Ữ U H Ạ N 115 12-1 Bộ th u tối ưu cho kênh cố ISI và nhiỂu A W G N 115
12-1-1 Bộ th u ML tói tíu .115
12-1-2 Mô hình rời rạc cho kênh I S I 117
12-1-3 T h u ậ t toốn V iterbi cho m ô hình rời rạc tương dương cò nhiéu trá n g 119
12-1-4 Hiệu q u ả c ủ a ước lượng ML đối với kênh ISI .121
12-2 C&I1 bằng tu y én t i n h 127
12-2-1 T iẻ u chuẩn su y hao d i n h 128
12-2-2 T iẻ u chuản tru n g bình bình phương sai s ó 131
12-2-3 H iệu q u ả c ủ a bộ ước lượng M S E 134
12-2-4 B ộ cân bằng F S 136
12-3 C ân báng hòi t i ô p 139
12-3-1 Tói ưu hộ s ó 139
12-3-2 Hiộu q u ả c ù a bộ căn bàng hòi t i ế p 140
12-3-3 B ộ cân báng hòi tiếp d ự đ o á n 141
12-4 C ản bàng tu y ến tin h thicli n g h i 143
12-4-1 T h u ậ t toàn Z F 143
12-4-2 T h u ậ t toán L M S 145
12-4-3 T ỉn h hội tụ c ủ a th u ặ t toốn L M S 147
12-4-4 M SE phụ trộ i trơ ng ước lượng g rad ien t 148
12-4-5 B ộ cân bằng tu y ển tin h bang tàn cơ sở và thông dải 149
12-5 C ân bàng hòi t.iểp thích nghi 149
12-6 Bộ ước lượng kênh th ie h nghi dổi với xầc định M L 152
12-7 T h u ậ t to ả n binh phương tói t h i ể u 153
12-7-1 T h u ậ t toần bình phương tổi thiểu ( K a l m a n ) 155
12-7-2 D ự đoàn tu yến tín h và bộ lọc L a t ti c e 158
12-8 C ân bàng tự khôi p h ụ c 160
12-8-1 C â n báng tự khỏi phục trẽ n tiêu chuản M L 161
12-8-2 T h u ậ t to án g rad ien t ngảu nhiẽn 163
12-8-3 T h u ậ t to àn tự càn bàn g d ự a trẽ n thóng kê bậc c a o 166
13 H Ệ T H Ố N G T R U Y Ề N T I N N H I Ề U K Ê N H V À N H I Ề U S Ó N G M A N G 1 6 9 13-1 Hệ th ố n g tru y ề n tin nhièu kẽnh tro n g kẽnh A W G N 169
13-1-1 T ín hiệu nhị p h á n 170
13-1-2 T ín hiệu trự c giao A/ m ử c 171
13-2 Hệ th ố n g tru y ề n tin lìhiều sỏng m a n g 173
13-2-1 T h ô n g lượng kênh tuyổn tin h không lý t ư ở n g 173
13-2-2 Hệ th ó n g nhiều sóng m ang sử d ụ n g F F T 174
Trang 614 H Ệ T H Ố N G T R U Y Ề N T I N D Ù N G T Í N H I Ệ U T R Ả I P H ổ 177
14-1 Mô hình hệ thống tru y ề n tin d ù n g tin hiệu trả i p h ổ 178
14-2 T ín hiệu trả i phổ D S 179
14-2-1 Hiệu q u ả bộ giải m ã 180
14-2-2 M ột só ứng d ụ n g c ù a tín hiệu trả i p hổ D S 188
14-2-3 Ả nh hưởng loại x ung tro n g tín hiệu trả i phổ D S 191
14-2-4 T ạo dây P N 7 192
14-3 T ín hiệu tr ả i p h ổ F H 194
14-3-1 Hiệu q u ả củ a tín hiệu trả i p hổ F H tro n g kênh A W G N 195
14-3-2 H iệu q u ả củ a tin hiộu trả i p hổ khi có ản h hưởng từ n g ph àn trẽ n k ê n h 197
14-4 D ồng bộ tro n g hệ thống trả i p h ổ 201
15 T R U Y Ề N T I N Q U A K Ê N H C Ó F A D I N G N H I Ề U Đ Ư Ờ N G 2 0 8 15-1 D ạc trư n g c ủ a kênh có fading nhtèu d ư ờ n g 208
15-1-1 H àm tươ ng qu an củ a kổnh vầ p hổ công s u á t 210
15-1-2 Mồ hình th ó n g kê củ a kẽnh có f a d i n g 213
15-2 Lựa chọn m ô hình kênh th e o d ạ c điểm tín h i ệ u 214
15-3 K ẽnh fading chậm khổng chọn lọc th e o tàn s ó 216
15-4 C ác kỹ th u ậ t chóng f a d i n g 218
15-4-1 T ín hiệu nhị p h â n 218
15-4-2 T in hiệu d a p h a 223
15-4-3 T in hiệu trự c giao M m ử c 224
15-5 K ônh fading chậm cố chọn l ọ c 230
15-5-1 M ô h ìn h kẽnh kiểu dây tré (T apped-D elay-L ine) .230
15-5-2 Bộ giải dièu ché R A K E .232
15-5-3 H iệu q u ả bộ th u R A K E 233
15-6 M à hóa tro n g kổnh có fading .238
15-6-1 X ác su ấ t lỗi c ủ a giải m ã xác định m ềm cho m à khổi nhị p h â n tuyến t í n h 240
15*6-2 X ác s u á t lỏi c ủ a giải m ã xác định cứ n g cho m ả khối nhị ph ân tu y ến t i n h 241
15-6-3 H iệu q u ả c ù a m ả chập cho kênh fading R a l e i g h 242
5
Trang 7L ờ I n ó I d ầ u
K ể t ừ n hữ ng n am 1970, sự th âm n h ậ p lẳn n h au củ a hai lĩnh vực khoa học m ây tỉn h và tru y ề n thõng d ã làiii th a y đổi sâu sắc các lĩnh vực công nghệ v à sàn su á t, và két q u ả tấ t yéu là m ột ngành cồng nghiệp
m áy tín h -tru y ề n th ô n g (C om puter-C om m unication) ra đời C h ín h nhờ sự hòa trộ n m an g tín h cách
m ạn g này, r á t nhièu lĩnh vực khoa học, công Iighệ d ã có những cơ sở để p h á t triể n m ạnh m ẽ Trong bối cản h c ủ a sự p h á t triể n bùng nổ này, n hữ ng hiểu b iế t vè lý th u y ế t th ô n g tin (Inform ation T heory),
VẾ tru y ề n th ô n g ngày càng q u an trọ n g v à càn dược xem x ét tro n g hoàn cảnh mới
Q u a n h iều năm làin công tác giảng dạy, với th a m vọng có m ột tài liệu làm giào trìn h cho sinh viên chuyên ngàn h Diện tử-V iễn thông và C õng nghệ T hông tin , tài liệu th am khảo cho các kỷ sư thuộc những chuyên ngành trê n , chúng tôi có gắng biên soạn cuổn sách này
C húng tôi g iả th ié t rằng cấc dộc g iả xem cuón sách này là những người đ ã có cơ sở n h á t định vè
G iải tích, vè Đại só tuyén tín h và Xác su ắ t N hừng cơ sờ toán học th eo chúng tôi là h ét sửc quan trọng
và dược d ù n g tro n g su ó t c ả cuón sàch hoặc từ ng ph àn sẻ được chúng tổi trìn h bày tro n g cuổn sách này
Cơ sở to ản học củ a cuón sách này là xác s u ấ t và q u ả trin h ngẳu n h iên với những luật, p h â n bó xàc su át
h é t sửc q u a n trọ n g tro n g việc trìn h bày các vấn d è của cuốn sách
C uón sách này dược: ch ia làm hai tập Sau khi trìn h bày chung về hệ th ố n g tru y è n tin và các khcti niệm chung liên quan, chúng tôi sẽ trìn h bày các vấn d ề củ a cuốn sách th eo t r ậ t tự là các vắn dề chung trư ớ c, các vấn d ề cụ th ể sau Khi trìn h bày các ván dề chung, chúng tôi sẽ th eo t r ậ t tự : nguồn tin trư ớ c, kẽnh tin sau Các ván dè phối hợp giữa nguồn với kẻnh sẻ dược x ét sau khi đ ã có những hiển biết về nguồn và kẽnh
C áu trú c CUÓI1 sách n h ư sau:
C hư ơng 1 : N h ữ n g k h á i n i ệ m c h u n g Chương này giới th iệ u những k hài niệm cơ bản v à các ván ctè cơ bàu tro n g lý th u y ế t tru y è n tin
Chương 2 : X á c s u ấ t v à q u á t r ì n h n g ẫ u n h i ê n , trong chương này ta xây dự n g những cơ sở toán học càn th ié t cho việc kh ảo s á t các hệ thóng tru y ề n tin
Chương 3 : T h ô n g t i n v à lư ợ n g t i n , trìn h bày ván dồ dinh lượng th ồ n g tin c ủ a các nguồn tin.Chương 4 : M ả h iệ u Trong chương này t a tậ p tru n g vào các khái niệm v à định n g h ia vè m ã, cảc đièu kiện và yẽu càu dói với m â hiệu
• Chương 5 : M ả h ó a n g u ồ n , nghiên cửu ván d ề m ả hóa nguồn trố n cơ sở rnô hình to án học củ a nguòn và các khái niệm VẾ lượng tin d ã x ét tro n g chương 3
Chương 6 : T í n h i ệ u v à h ệ t h ố n g t r u y ề n t i n Chương này trin h bày càc tín hiệu và hệ thổng thường g ạp khi tru y ề n th ô n g tin q u a kênh tru y ề n th ổ n g cùng việc biểu diển các tín hiệu d iều ché và các dạc đ iểm về p hổ củ a chúng
Chương 7 : C ấ u t r ú c t h u tó i Ưu c h o k ê n h có n h i ễ u c ộ n g g a u s s ia n , nghiên cửu việc th iế t ké
và đ á n h g iá độ hiệu q u ả c ủ a cả£ bộ th u tói ưu cho các phương ph áp dièu ché tro n g kênh có nhiẻu cộng gaussian
Chương 8 : Đ ồ n g b ộ Chương Iiày nghiẽn cứu các phương p h á p đồng hộ vặt m an g và dòng bộ ký hiệu ở đ àu th u
Chương 9 : K ê n h v à t h ô n g lư ợ n g c ủ a k ê n h , trin h bày vè thõng lượng của m ộ t só m õ hình kênh
và ván đ è m ã h ó a ngáu nhiên
C hư ơng 10 : M ả h ó a k ê n h Chương này giới thiệu vè m ã hóa và giài m â đổi với h ai loại inả là m à khói và m ã chập
Trang 88 Lời nói dầu
Chương 11 : T í n h i ệ u t r ẽ n k ẽ n h c ố b â n g t à n h ữ u h ạ n C hương n ày tậ p tru n g vào việc th iế t
kế tin hiộu cho càc kẽn h cổ ban g tầ n hữ u hạn và vấn dò là m nhọn plirt tín hiệu
Chương 12 : T r u y ề n t i n q u a k ê n h t u y ế n t í n h c ó b ă n g t à n h ữ u h ạ n C hương này tìm hiểu CỐC kỷ th u ậ t g iải d ièu ch é và x á c đ ịn h tín hiệu bị ản h hưởng chéo tro n g q u á trin h tru y ền
C hương 13 : H ệ t h ố n g t r u y ề n t i n n h i ề u k ẽ n h v à n h i ề u s ỏ n g m a n g , trin h bày các kỹ th u ậ t diều ch é d ù n g n h iều vật m a n g và tru y ề n tro n g n h iều kênh
C hương 14 : H ệ t h ố n g t r u y ề n t i n d ù n g t í n h i ệ u t r ả ỉ p h ổ C hư ơ ng này trìn h bày cấc ván dồ
v è t í n h iộ u v à h ệ t h ố n g t r ả i p h ổ v à CÁC ừ n g d ụ n g th ự c té
C hương 15 : T r u y ề n t i n q u a k ê n h c ó f a d i n g n h i ề u d ư ờ n g , tr in h bày vè tru y è n th ô n g q u a các kênh có fading V iệc th iế t kố tín hiệu, cấu trú c th u và hiệu q u ả củ a r ủ a các bộ th u cho kênh cổ fading
là nội d u n g c ủ a chương này
Do h ạn chế vè th ờ i g ian , làn đàu tiẽ n biẽn soạn eu ố n sách này, chúng tổi k hổng trà n h khỏi các thiéu
s ó t, r á t m ong c á c d ộ c giả t h ô n g c ả m v à g ó p V đ ể c h o n h ữ n g là n b iê n s o ạ n s a u sẽ t ố t h ơ n
Cuối c ù n g , xin lư u ý d ộ c g iả vè cách đ á n h só các tiê u đ è d ể tiện ch o việc t r a cứu, ví dụ 3-2 chỉ m ục lớn hai tro n g chương 3; 3-2-4 chi m ục bón c ù a m ục lớn h ai tro n g chương 3 C ác công th ứ c v à h ìn h vè
dược đ á n h số b àn g b a số, số đ à u chỉ chương, só th ứ h a i chỉ m ục lớn, só th ử b a chi th ử tự c ủ a công th ứ c
hay hinh vẻ tro n g m ục dó
C h ủ n g tô i c h â n th à n h c á m ơn ổ ng N g u y ên T h ú c H ài, b à Hồ A nh T ú y d ã d à n h th ờ i giai) d óng góp những ý kién q u ý b àu cho chú n g tôi khi b iên soạn cuón sách này
C á c tố c g iả
Trang 9Chương 9
K Ê N H VÀ T H Ô N G LƯỢNG CỦA KÊNH
T ro n g chương 7, chúng t a d ã x é t tới vấn đ ề (iièu chế só b ằ n g việc sử d ụ n g A/ = 2* t in h iệu , m ỗi tín hiệu
m an g k b it th ô n g tin , tro n g đ ỏ m ộ t vài phư ơ ng p h á p d iều ch ế có hiệu q u ả hơn m $ t só phư ơ ng phốp
k h á c Đạc biệt, t a d ã biết ràn g b à n g cách sử d ụ n g tín hiệu trự c giao, t a cỏ th ể làm ch o xác s u á t xác định sai n hỏ tù y ý khi A/ -> 00 nếu S N R từ n g b i t 76 > - 1 , 6 d B T a có t h ể tru y è n tin ở tóc dộ b à n g thông lượng trẽ n kênh cố n h iều cộng g a u ssia n tr á n g với giới h ạn là h ệ số m ở rộ n g d ả i th ổ n g B e = YV/ R -> 00
N hư ng thông th ư ờ n g người t a k hỏng m uốn nh ư vậy bởi vi B c ta n g th e o h à m m ủ c ủ a k v à d án tởi sử
d ụ n g d ải th ố n g c ủ a kênh không hiệu quà
T ro n g chương này và chương sau , t a x é t CỐT tín hiệu tạ o r a bởi các d ày nhị p h â n hoặc không phải
n h ị phản K ết q u ả là cảc tín hiệu tạ o r a dược đ ạ c trư n g bời hộ sổ m ở rộ n g d ả i th ô n g ta n g tu y ến tính
th e o k N hư vậy là các tín h iệu m ã có d ả i tà n h iệu q u à lớn hơn các tín hiệu trự c giao A/ m ức C húng
ta còn th á y rà n g các tín h iệu m ả không chì có hiệu q u ả hơn ở các ứng d ụ n g cồng s u ấ t h ữ u h ạn khi
R / W < 1 m à CÒI1à cấc hệ th ố n g cớ d ải tàii h ữ u h ạ n khi R / W > 1.
9-1 M ô h ìn h k ê n h và th ô n g lượng k ên h
T ro n g m ô hình m ộ t hệ th ố n g tru y ề n th ô n g , t a th á y rà n g b ộ p h á t gồm khói rời rạ c h ỏ a d ằ u vào, khói
m ả hỏ a đ àu vào (lã rời rạ c v à khối d iều chế C hử c n â n g c ủ a khổi m à h ó a kổnh rời rạc là t.hÊm vào dày
th ổ n g tin nhị p h ả n m ột số th ô n g tin p hụ (còn gọi là th õ n g tin d iều k h iể n ) (lổ p h ía th u sử d ụ n g dể khíU
p h ụ c các ảnh hưởng trẽ n d ư ờ n g tru y ề n Q u á trìn h m ã h ó a láy từ n g khói k b it th ô n g tin và chuyển
th à n h d ây d uy n h á t n bit, gọi là từ m ả Lượng th õ n g tin d ư th ừ a tro n g q u à trin h m ả h ỏ a só ỉiộu dược
do bàn g tý só ĩ ì / k và k / n gọi là tóc dộ m à.
Dãy th ô n g tin nhị p h â n ở (làu r a c ù a b ộ rnả h ó a kên h sỏ vào bộ đ iều chế B ộ dièu ché chuyển các
b it th à n h m ột tro n g hai tín hiộu h ay c h u y ể n từ n g khói (Ị b it th à n h m ộ t tro n g A/ = 2q tin hiệu.
Ở (làu thu c ủ a h ệ th ố n g tr a y è n th ô n g , bộ giải d ièu ch é x ù lỹ các ả n h hườ ng trẽ n kổnh và chuyển tin hiộu nh ận dư ợ c th à n h m ộ t só h ay m ột vectơ B ộ xác đ ịn h sè q u y é t đ ịn h b i t th ổ n g tin tư ơ n g ừng lã 0 hay 1 K hi đó ta nỏi rà n g bộ x á c (lịnh đ à th ự c h iện m ộ t q u y é t d ịn h cứ n g (h a rd decision) NỂU x ét trê n
q u a n diẻm lượng tử th ì b ộ xác* đ ịn h sẻ lượng tử s ố liệu n h ậ n dư ợ c th à n h Q > 2 m ức ( b ộ x ố c dịnh Q
m ửc) N éu tin hiệu là M m ức và Q > A í, t a nối rà n g bộ xấc d ịn h d ã th ự c hiện m ộ t q u y é t đ ịn h mềm
(soft decision) D àu ra củ a b ộ x á c đ ịn h đ ư a vào d à u vào c ủ a bộ giải m à h ó a k ê n h f bộ n ày cỏ nhiệm vụ
lã (lựa vào th ô n g tin d ư th ừ a d ẻ khâc ph ụ c c á r ản h hưở ng trẽ n kênh
Trang 1010 c o S Ở L Ý T H U Y Ế T T R U Y Ề N T I N
Phần này sê trin h bày các m ô hỉnh kênh hay dược sử d ụng đ ể th ié t ké m ả K ênh dư n giàn n h á t lii kênh
nhị phân dối xửng (B in ary S ym etric C h annel-B S C ), tương ửng với M = 2 và b ộ x à r d ịn h th ự c lù(*n
q uyết định cửng
K ê n h n h ị ph& n d ố i x ứ n g Xót kênh cổ n h iều cộng và bộ diỀu ché, giải diồu ché, xảc đ ịn h là inột
ph ần củ a kênh N ếu bộ dièu ché sử d ụ n g các tín hiệu nhị ph ân và bộ xác dịnh th ự c hiện q u y ế t định cứng th i kênh phức h ợ p trẽ n hình 9-1-1 có d ày th ô n g tin vàơ là nhị ph ân rời rạc và d ãy th ô n g tin ra cũng
là d ãy th ô n g tin nhị p h â n rời rạc K ẽnh n h ư vậy được dạc trư n g bởi tậ p các giá trị đ àu vào X = {0,1}
và t ậ p liựp các giá trị đ à u r a Y = {0,1} và tậ p hợp các xác s u á t có dièu kiện liẽn h ệ girta cốc ký hiệu
trẽn đ àu vào và đ àu ra
H ì n h 0 - 1 -1 : K ênh phức hợp dâu vào và dàu r a rời rạc
N éu nhiều trê n kẽnh và các ản h hưởng khác tạ o r a các sai n hằm dộc lập thống kỗ với xác s u ấ t tru n g
dồ khói n h ư trẽ n hình 9-1-2 K ẽnh n h ư thố gọi là kênh nhị ph ân đói xứng Do cảc b it đ àu ra chi phụ
thuộc vào các bit đàu vào tương ứng nên kênh là không nhớ
I-P
H ì n h 9 -1 -2 : K ênh nhị ph ân dối xứng
C á c k ê n h r ờ i r ạ c k h ô n g n h ớ K ênh BSC là m ộ t trư ờ ng hợp clạr b iệt tro n g só các kênh cỏ đ à u
vào và d ầu ra rời rạc G iả th ié t dằu r a c ủ a bộ m à hỏa kOnh là các ký hiệu (] m ức, tửc là đ ầu vào c ủ a
bộ dièu chế là tậ p h ợ p X = {Xo, X \ , , x q- 1} và ở d ầu ra cù a bộ xác- dịnh là các ký hiệu Q m ức, với
Q > M = 2V N ếu kẽnh vã bộ (liồu ché là không n h ớ th i qu an h ệ giữa dàu ra và (làu vào c ủ a kênh phức
hợp dược biểu diổn bởi q Q xác s u á t có diồu kiộn:
Trang 11K Ê N H VẢ T U Ồ N G L Ư Ợ N G C Ủ A K Ê N H 11
với i = 0 1 _, Q - 1 và j = 0 , 1 , 1 K ẽnh như vậy gọi lầ kẽnh rời rạc k hổng nhớ (D iscret
M einoryỉoss C haiinel-D M C ), nh ư trẽ n hình 9-1-3 N hư vậy nếu d ầ u vào c ủ a kẽnh D M C là d ày n ký hiộu Mỉ, Ii2i • Un th u ộ c X và dày ra tương ứng V\ , ự2, , v„ th u ộ c V' thì:
P(Vri = 1»Ị, >2 = 1> 2— >Yn = v n\ X \ = u u x 2 = 112 x n = w«) = J Ị P(V ' = vk \ x = 11*) (9-1-3)
k=ì
H ì n h 9 -1 -3 : K ẽnh rời rạc q d àu vào, Q đàu ra.
p = \pJt] với Pjt = P { y t \ i j ) p gọi là m a trận xác suất chuyển dổi củ a kỏnh.
K ê n h đ à u v à o r ờ i r ạ c , d à u r a liê n t ụ c G iả th iế t (làu vào c ủ a bộ diều ché là các ký hiệu trong
tậ p hợp hữu h ạn X = {£0t Z i f f £ 9- i } và ('^ u ra c ù a bộ xác dịnh là không lượng tủ ( Q = oo) N hư vậy dàu vào c ủ a b ộ giải m ã kênh n h ậ n cát* giá trị trê n trụ c th ự c ( Y = { - o o o c } ) T a d ịn h n ghĩa m ột
ở dây G là b ién n g ảu n h iẽn gaussian g iá trị tru n g bình bàiig 0 và sai phương ơ 2, X = X k , A: = 0 , 1 , , q
-1 Với X = X*, Y là biến ng áu nhiên cố giá trị tru n g bình Xk và sai phương ơ 2 N hư vậy:
v 2 irơ
Với m ỏi dây vào X tì d à y ra tư ơ n g ửng là:
Dtèu kiện d ẻ kênh là khổng nhớ là:
p ( y i , y i , - • ,l/n|A 'i = Ui, A'j = u 2 x n = u „ ) = J Ị p ( y ,|.V , = u ) (9-1-7)
i=l
Trang 12vởi n ( t) là m ộ t th ể hiện cụ th ổ c ủ a q u á trin h nhiều cộng T a biểu diổn x { t ) y { t ) , n ( t ) th à n h tổ hợp
tuyến tin h củ a m ộ t tậ p hợp (iày <!ủ các h àm trự c giao như sau:
Do nhiễu trắ n g là gaussian nôn m ọi tậ p hợp đ ầy d ủ các hàm trự c giao đẽu có th ể sử (lụng tro n g
kh ai triẻ n 9-1-9 Bây giờ chủng ta có th ể sử dụng các h ệ só tro n g kh ai triể n đổ đặc trư n g cho kênh Do
y, = Xj + n , với n , là biến ngâu nhiôn gaussian nôn:
p[ yt \ x , ) = - * e - í * - * » 1' 2'? , i = 1 2 , (9-1-12)
y/2lTơi
D o cốc h à in { f i ( i ) } tro n g khai triể n là trự c cliuẳn nẽn {/i,} là không tưưng quan Do chúng lầ cáx
bién ngảu n h iên gau ssian nôn chúng dộ c lập th ố n g kê Do dó:
JV
p ( y 1 i/2 V n \ * 1 , X 2 , , X n ) = J Ị p ( X i |y , - ) ( 9 - 1 - 1 3 )
»=l
với mọi N N hư vậy kỏnh tươ ng tự (ià (lược chuyển th à n h kẽnh rời rạc tươiig ílưưiig được đạc trư n g bởi
xác* s u ấ t cớ diều kiện tro n g 9-1-12
K hi n h iễu cộng là gaussian trá n g cỏ phổ m ậ t độ công suất ị;V0, sai phương ơ'f = ịiVo với mọi /
th ì x ( t ) vã y ( t) cổ th ể dược láy m âu th eo tóc dộ N yquist là 2w m á u /s , như vậy x t = x ( i / 2 \ V ) và t/i = y ( i / 2 W ) Do n h iéu là trá n g nữn các m ẫu của nhiỗu là dộc lộp thống kổ Như vậy 9-1-12 và 9-1-13
d ặ c tn ín g th ố n g kờ cho các m ảu tín hiệu.
Việc lựa chọn m ô hình kônh phụ thuộc vào m ục tiêu nghiên cửu cùa chùng ta N ếu chúng ta qu an tâm tới việc th ié t kế là p h â n tích độ hiệu q u ả củ a bộ m ã h ỏ a và giâi inà h ỏ a kênh rời rạc th ỉ t a xét m ô hỉnh kênh tro n g đ ỏ b ộ diều chế và giải diều chẽ là m ột phàn c ủ a kửnh phửe hợp N ếu ta 111UỐI1 th iế t kổ
và p h â n tích độ hiệu q u ả c ủ a các bộ điều chế và giải dièu ché số thì t a sử d ụng m ỏ h ỉn h kônh lâ tươ ng
tự
9-1-2 T h ô n g lượng k ê n h
G ià th ié t ta có kênh D M C với bộ kí hiệu vào X = {JTo, X i, , X ự-1} và bọ ki hiệu ra V' = {2/0 1/11 • • • 1Î /Q -1}
và tậ p hợp các xác s u á t chuyển dổi P( yi \Xj ) G iả th iế t kí hiệu Xj dược p h á t (li và p h ía th u nliậii dược
Trang 13p ( i j ) là m ộ t g iá trị chi p hụ th uộc vào tin h ch át củ a kênh DM C T a cũng gọi giá trị dó là th ỏ n g lượng
c ù a kênh và củ n g kí hiệu là c N hư vậy:
Đơn vị c ủ a c là b i t trẽ n m ột kỉ hiệu d ư a vào kẽnh (ký hiệu là b it/k i hiệu) N ếu m ột kí hiệu dưa
vào kẽnh tro n g Ta giây, thì thổng lượng c ủ a kẽnh là b it/s
V i d ụ 9 -1 -1 C h o m ột kênh BSC với xác s u á t chuyển dổi /*(011) = P (1 |0 ) = p , lượng tin tương hỏ
tr u n g binh cực d ại khi xảc s u á t các kí hiệu 0 và 1 là đòng dèu P (0 ) = P ( l ) = 1/2 Khi tlỏ th ô n g lượng
c ủ a kênh BSC là:
Biểu diẻn c th e o p trố n hình 9-1-4 K hi p = 0 thi thông lượng c ủ a kônh là 1 b i t/ k i hiệu K hi p = k
lượng tin tiíưng hổ tru n g bình bàn g 0 hay thỏng lượng củ a k£nh bàng 0 K hi 5 < p < 1 ta cổ th ể dào
vị trí các ký h iệu 0 và 1 ở (lầu r a c ủ a kẽnh, như vậy c là đối xừng q u a điểm p = 2* N hư ta d à b iết, p bién thiên dơn d iệu th e o SN R n h ư trê n hình 9 -l-5 (a ) K hi vẽ c th eo SN R th ì c dơn diệu tăn g th eo
X ét kỏnh AW G N không nhớ rời rạc th e o thời g ian dược biổu d ién bởi các h àm m ậ t dộ ph àn bổ
xác su á t chuyển dổi cổ đièu kiện như (9-1-5) Lượng tin tương hỗ tru n g bình giừa đ àu vào X = {xo,X ị, ,X g _ i} với d ầ u r a Y = { - 0 0 ,0 0 } hay thồng lượng củ a kênh là:
Trang 1414 C O S Ở L Ỷ T H Ư V É T T R U Y Ề N T Í N
với
*=0
V I d ụ 9 -1 -2 X ét m ộ t kẽnh AWGN không nhớ d à u vào nhị ph ản với hai kí hiệu X = .4 và X = - 4
lượng củ a kênh th e o dơn vị b it/k i hiệu là:
Hình 9-1-6 biểu dién c th eo tỷ số A 2/ ( 2 ơ 2) C h ú ý ràng c tan g liên tục từ 0 tới 1 b i t/ k ý hiệu theo chièu ta n g củ a tỷ số này
các ký hiệu ở d ầu vào là đòng đều và thõng lượng c củ a kênh cũng vậy Đièu này không hoàn toàn dùng dói với kênh (9-1-16) và (9-1-18) T u y nhiẽn đói với hai m ô hỉnh kênh d ã x é t ở trẽ n , khi xấc s u ấ t
chuyển dổi trê n kônh cổ d ạ n g dổi xửng th ì th ô n g lượng kênh sẻ cực dại
Tổng q u á t, diồu kiện cần và đủ để tậ p hợp các xấc s u á t đ àu vào Ị P ( x j ) ì làm cực d ạ i I { X : Y ) hay
thông lượng kênh D M C là:
Trang 15K Ê N H VÀ T H Ô N G L Ư Ợ N G C Ủ A K Ê N H 15
tr u n g b ìn h g iữ a X/V = [ l ị , x2 , , x/v] và yyv = [y i, Ị/2i , y/v), với AT = 2 W T , ỉ/é = Xi + n , và p(y,|x>) dược xAc định bởi (9-1-12) Lượng tin tương hổ tru n g bỉnh giữa X/V và y/v đói với kên h AVVGN là:
G iá t r ị cực dại củ a I ( X ; Y ) th eo các hàm m ặ t độ ph ân bó xác su á t p ( x t ) d ạ t được khi {x,} là các bién
n g ảu n h iẽ n gau ssian đ ộ c lậ p thóng kổ và cố giầ trị tru n g bình bằng 0:
và cồng s u á t tín h iệu vào h ạ n chế
lượng ta n g liẽn tụ c th e o SN R N hư vậy, dói với kênh có d ải tầ n hữu hạn, thổng lượng kênh ta n g néu
ta ta n g công s u á t tr u n g b ìn h cùa tin hiệu M ạ t khác, néu cồng s u á t tru n g bình c ủ a tín hiệu cổ định,
th ô n g lư ợ n g kẽnh ta n g n éu ta n g dộ rộng d ải th ô n g w K hi w tién tới vô hạn, th ỗ n g lượng kẽnh tiỂn
Trang 16H ì n h 9 - 1 -7 : T h õ n g lượng c ủ a kẽnh c h u ần H ì n h 9 - 1 -8 : T h ô n g lượng c ủ a kênh th eo độ
hó a dư ợ c vẽ th e o S N R đói với kên h có d ả i rộ n g d ả i th ô n g củ a kênh với cỏng s u ấ t p h á t
N hư vậy:
íb No
2 ° t w - 1
c / w
K hi c / w = 1, t b / N o = 1 K hi c / w
Ỉ L No
Ẽ L = V
ch inh là -1,6 <1B Biểu d iễn c / w th e o ^6/N o trẽ n hình 7-2-17
T h ỏ n g lượng củ a kênh cho chú n g t a g iớ i h ạ n t r ê n c ủ a tố c d ộ tru y ề n đ ể tru y è n th ô n g an to à n bảo
d àm trôn kênh có nhiều
D ị n h lý v ề m ã h ó a t r ê n k ê n h c ó n h i ễ u 1ỒI1 tạ i m ộ t loại m ã hóa kẽnh và bộ giải m ã tươ ng ứng
d ể có th ể tru y ề n th ô n g a n to à n bảo đ ả m với xác s u ắ t sa i Iihỏ tù y ý n ếu tốc đ ộ tru y ề n R < c. Néu
R > c , k hông tồn tạ i phương p h á p m ã h ó a d ể x á c s u ắ t sa i n h à m tiến tới 0
9-1-3 S ử d ụ n g c á c t í n h iệ u t r ự c g ia o t r o n g t r u y ề n t h ô n g
T ro n g phìui 7-2 ta đ ã sử d ụ n g giới h ạn hợp d ể chứng tỏ rà n g với các tín h iệ u trự c giao th ì xác s u ấ t sai
n h à m có t h ể n h ỏ tù y ý khi M - * oo m iễn là Zb/No > 2 1 n 2 T ừ (7-2-21) t a có:
Trang 17M e ‘*/2e (lro a / ^ > j (ỉ/o > y / ĩ 7 )
K ết hợp h ai tíc h ph&ii v à th a y M bởi e yồ/2, t a nliậii dược:
TRUNG TÂM THÒNG TIN THƯ ViỀN
Trang 1818 c ơ S Ở L Ý T H U Y Ế T T R U Y Ề N T I N
Giới hạii trô n th ử n h á t chính là giới h ạn hợp, giới h ạn n ày khổng c h ạ t khi M lớn G iới h ạ n dưới
c h ạt hơn khi A/ lớ» C hú ý rằ n g P \ i -> 0 khi k -» 00 h ay A/ -► 00 Iiếu 76 > In 2 N hưng ỉn 2 la giới
hạn củ a S N R từ n g b it d ể tru y è n th õ n g an to àn với tó c độ bàng thông lượng c trẽ n kônh AVVGN có dải
C húng t a d à biẻu diến giới h ạn th e o Coo và tóc độ tru y ề n Rỏ ràng x á c s u á t sai có th ể n hỏ tù y ý
nếu T -> 00 hay A/ -> oc néu bảo dảin ràng /? < Coo = Pav/ (No 1“ 2) Hơn nửa, ta b ié t ràn g các tin hiệu trự c giao cổ th ể d ù n g d ể tru y è n ở tóc dộ bằn g thông lượng khi M -> 00 nếu th ỏ a m ãn f í < Coc-
gọi là h àm aji to àn c ủ a kênh dói với kổnh AW GN cố dải thông hữu h ạ n Dường biểu dién E { f ì ) / C oo
trẽ n hlnh 9-1-9 C ù n g trẽ n h ỉn h d ó ta c ũ n g vẽ giới h ạn hợp củ a Paí tro n g (7-2-27) dư ợ c hiếu (liín th àn h
H ì n h 9 - 1 -9 : H àin aii toàn củ a kẽnh đói với kênh AWGN có dải th ô n g hữ u hạn
Người t a chứng m in h được rằn g không tồn tạ i m ộ t h àm an toàn khầc E \ [ R ) m à E \ ( R ) > E ị R ) với mọi R X ảc s u á t sai bị chạn trê n và chẠn dưới như sau:
K l 2- TE(R) < p t < K u2 ~ TEfR>
các hàn g só K u vầ K i biến thiên chậm th e o T.
(9-1-54)
Trang 19K Ê N H VẢ T H Ò N G L Ư Ợ N G C Ủ A K Ê N H 19
Do các tin hiệu trực: giao cố hiệu q u ả giống như tín hiệu đơn hình tói ưu với AI lớn, nôn giới hạn
(ỉưới c ù a (9-1-54) d ú n g với mọi tin hiệu Như vậy hàm an toàn E ( R ) dặc trư n g cho xốc s u á t sai khi
tru y ề n trà n kónh AW G N cỏ (iải thòng hữu hạn
M ạc d ù x á r s u á t sai cổ th ể n hỏ tù y ý hàng cách ta n g só tín hiệu n éu f í < Coo nhưng cố m ột độ
chênh lộch lcíìi g iừ a hiệu q u ả thực tố d ạ t được so với kết q u ả tro n g lý th u y é t Ví dụ n h ư tro n g hình
s u á t sai pe= 10-* như n g lý th u y ết chi ra rà n g với c / w = 0 ,5 tru y ề n an toàn cố th ẻ đ ạ t dược khi
SNR la -0,8 d B , nh ư vậy cỏ th ể tìm được nhữ n g tin hiệu sử d ụ n g cỏ hiệu q u ả hơn T a sẽ th ấy ràng
những tín hiệu m ả sẽ cố hiệu q u ả hơn
ỉ ) ộ chẻnh lệch VẾ h iệu q u ả c ũ n g x ả y ra tro n g m iề n c ó d ả i tà n hữu h ạ n R / W > 1 T ro n g miền n à y
chúng t a k hông th ẻ ta n g độ rộng d ải th ô n g như tro n g m iền có công s u á t hừu h ạ n C âc kỷ th u ậ t mà
hòa ch o tru y ề n th ổ n g trẽ n kênh í*ó dài thông hữu hạn dược x ét tới tro n g chương 10
9-2 M ã hóa n g ẩu n h iê n
Việc th iế t kố m à d iè u chế cho tru y è n th ô n g trê n kênh có th ể ch ia r a hai phương p h á p cơ bản M ột-là
phương p h á p d ạ i số m à việc th ié t kế các bộ m ả h ó a và giải m ã h ó a cho m ộ t só loại m ã loại này ta sẽ '
xót tro n g chương 10 Phương p h á p th ứ hai là phương p h á p xác s u á t với việc p h â n tích dộ hiệu q u ả củ a
lớp tỏng q u á t càc tín hiệu m ã Phương p h á p này d ư a ra các giới h ạ n về xác s u á t sai khi tru y ề n tin trẽ n
kẽnh T rong p h à n n ày ta x ét phương p h á p m à th ứ hai và gọi là mả hóa ngău nhiên.
9-2-1 M ã h ó a n g ẫ u n h iê n d ự a vào t í n h iệ u m ã n h ị p h â n M m ứ c
Xét m ộ t t ậ p hợp M tín hiệu rriã dược xây d ự ng từ tậ p hợp các từ m ã nhị ph ân n chièu:
với C ịj bàn g 0 hoặc 1 Mỏi b it dược án h x ạ th à n h m ộ t tín hiệu P S K nhị ph ân th i tin hiộu tương ứng
với từ m à c , dư ợ c biểu dién là:
G ià th ié t tốc dộ th ô n g tin vào bộ m ả hóa là R b i t / s và m ã hóa từ ng khối k b it th à n h m ộ t tro n g M
tín hiệu N hư vậy k = R T và A/ = 2* = 2 HT tín hiệu càn th iế t D ịnh nghĩa
và n h ư vậy n = D T là sổ chiẾ u củ a không gian tín hiệu.
T a cố t á t c ả 2n = 2 d t vectơ, tro n g só dố M = 2RT vectơ được sử d ụ n g đ ẻ tru y ề n th ô n g tin T a cố
Rỏ rà n g n éu D > R th ì F -► 0 khi T - ¥ 00
/
Trang 2020 C ơ S Ở L Ý T H U Y Ế T T R U Y Ề N T I N
Vấn d ề d ạ t ra là liệu chú n g t a cỏ th ể chọn M = 2 RT vectơ tro n g só 2" = 2 / r / vectơ cỏ th ể d ể xác
s u á t sai p -+ 0 khi 7* -* 00 hay n -> 00 được không R ỏ rà n g khi r -* 00 th ì F —> 0 nôn cỏ ihổ chọn A/ tín hiệu cố khoảng cách tói th iể u ta n g d à n khi T -> 00 hay p , - ¥ 0.
C h ú n g t a có (2n ) A/ cách chọn M vectơ t ừ 2n vectơ- Với m ỗi cách chọn tro n g sổ 2 nM cách chọn, ta
cố m ộ t hộ th ố n g tru y ề n th ô n g cố thổ th iế t kế sao cho tói ưu với tậ p hợp M tín hiộu <ià chọn Mỗi hẹ
thổĩig tru y ề n th ô n g dược dạc trư n g hcVi xác s u á t sai
và xác s u ấ t lối tư ơ n g líiig với tin hiệu m ã này là Pr ( { s , },M)• N hư vậy xốc s u ấ t lỗi tru n g bình với c ả tậ p
hợp tin hiệu m ả chọn được là:
P ' = ỵ ế n ( { s , } , „ ) / ’ ({«,},„) = 2 ~ " M ] T p ,( { s ,} ,„ ) (9-2-8)
Rỏ rà n g cố m ột sổ lự a chọn có xác s u á t sai lớn Ví d ụ A/ dãy k b it cùng d ư ợ c gốn cho m ộ t vectơ sò
cỏ xác s u á t sa i r á t lởii T rong n hử ng trư ờ ng hợp n h ư vậy Pc({Bi}m) > p e T u y n h iên cũ n g có nlnm g cách chọn k h ác m à Pe ({ s ,} ĨM) < p e N hư vậy, nếu chù n g t a xác (lịnh dược giởi h ạn trôn củ a p e , giơi hạii n ày s ê đ ú n g với các bộ m à m à /*r({si}m) < p e Hơii nữ a, néu p e -* 0 khi T -* DO thi chú n g t a cỏ
thẻ két lu ận ràn g với nhử n g bộ m à dỏ, P f ({ s ,} m) -> 0 khi T -> 00
Đổ xác đ ịn h giới b ạn trẽ n c ủ a P e, t a x é t việc tru y ò n m ột bản tin k bit X * = [X\X 2 X*], với Xj
= 0 hoặc 1 X á r s u á t lỗi có d iều kiộn tru n g bình tro n g c ả tậ p hợp m ả là:
m ọi m ã
với Pr (X * , { s ,} m) là xác s u á t lỗi cổ (iièu kiện c ủ a m ộ t dày k !)it thông tin X * được tru y ề n dì bởi inà
{s,}m Với m à th ứ m , xáí* s u ấ t lỏi / 5r (X * , { s,} m) bị giới h ạn trô n nh ư sau:
M
L
Trang 21/ 52ra(sí,Sfc) = Ọ
Ao
(9-2-14)
(9-2-15)
Bây giờ ta c:ố th ể láy tru n g b in h Pì m{*t ,8k) th eo tậ p hợp các inà Do mọi m ã là dồng xác s u á t,
h ai vectơ tin h iệu s, v à 8* là đòng x à r s u ấ t và đ ộ c lặp th ố n g kỗ N hư vậy P(sii = s kl) = A và
P(si, ^ S*|) = ị (iộ r lẠp với mọi i = 1 , 2 , ,71 X ác s u á t đổ S/ và s* khấc n h a u (t tọ a <lộ lá:
Trang 22H ì n h 9 - 2 -2 : Tốc dộ giới hạn /?0 là h à m củ a SN R từ ng chiều tin h th e o dơn vị clB
T h a m sổ /?0 th e o £ c / N>0 được vẽ trôn hình 9-2-2 T a n h ậ n th áy rà n g 0 < Ro < 1 và P ' —> 0 khi
N hư vậy khi R c < n0, xảc s u á t sai tru n g bình p e -> 0 khi d ộ d ài tử m ã 71-» oc, n h ư vậy tòn tạ i phương
ph áp m à hỏa tro n g số 2nA/ phương p hốp dể xác s u á t sai khổng lớn hơn p e,
Tởi dây t a có th ẻ két luặii rà n g tòn t^i loại m â tó t th eo n ghĩa xốc s u á t sai n h ỏ n h á t M ạc dù thông thường t a khổng chọn m ã m ột cách ng áu nhiên nhưng m ộ t vấn d è là liệu m ộ t ină dượ c chọn ng âu nhiên
có p hải là m ột hộ inà tó t hay không C hú ý ráng P ' lầ xác su ất sai tru n g b ìn h th eo tậ p hợp với Iiiọi
bộ m ả N ếu m ộ t m à dư ợ c chọn ng ảu nhiẽn, xác s u á t đổ xác s u á t sai Pẹ > OLpe nhỏ hơn l / o
Người t a th á y rà n g ít hơn 10% sổ bộ m ã có xác s u ắ t sai lớn hơn 10P ' và it hơn 1% sổ bộ m à có xác
su át sai lớn hơn 100P C G iả sử xác s u ấ t sai tru n g binh P e < 10“ 10 cố được bàn g cách d ù n g bộ m à có
só chiều 710 khi Ro > R c Nếu chúng t a chọn dược m ộ t b ộ m ả có xác s u á t sai tru n g bình P e = 10- 7 ,
Trang 23K Ê N H VÀ T H Ỏ y Ci L Ư Ợ N G C Ủ A K Ê N H *23
chúng t a có th ể khác p h ụ c bàng cách UUig n từ ĩio th à n h 10no/7 N hư vậy ta sè có m ộ t bộ m ả cố xác
su ố t sa i tru n g bình Pc < 10“ 10 Như vậy ta có th ẻ dổ d à n g cỏ m ột !)ộ m ả tó t bán g cách chọn ngảunhiên
T a biểu diển x à c s u á t sai tru n g bình tro n g (9-2-25) th eo SN R từ n g bit T a cỏ:
h ạn hợp dối với cái* tín hiệu trự c giao M m ức, m iễn là só chiều củ a tín hiệu đ ủ lớn đổ 7o 21n2
H ì n h 9 - 2 -3 : Giới hạn (.lưới củ a SN R t ừ n g b ít (lối với tín hiệu m à nhị ph ân
Cuối cùng, ta ch ú ý ràn g tin hiệu m ả nhị ph ân là thích hợp tro n g sử đ ụ n g khi SN R từ n g chiồu là
n h ỏ , £r //Y0 < 10 K hi £ c / N q > 10, Rị) liàc) h ò a ở giá trị 1 b it/c h iề u N hư vậy th ì tóc độ m ả phải nhỏ
hơ» /?0 v à tin hiệu ra& nhị ph àn khổng hiộu q u ả khi ị c Ị N-0 > 10 T rong trư ờ ng hợp này t a d ù n g tín
h iệu m ã k hổng ph ải nhị p h â n đ ể ta n g sổ bit th eo chièu
9-2-2 M ã h ó a n g ầ u n h iê n d ự a vào t í n h iệ u đ a b iẽ n đ ộ M m ứ c
G iả th iế t chúng t a sử d ụ n g tin hiệu m à không phải là nhị ph ân với các từ m ả tro n g (9-2-1), với các ký
h iệ u m ã C ị j là m ộ t g iá t r ị tr o n g tậ p hợ p { 0 , 1 , 2 , , q - 1} M ỗi ký h iệ u m à (lược c h u y ể n t h à n h m ộ t
tro n g q g iá trị biên dộ N hư vậy chúng ta d ã xây d ự ng các tín hiệu ửng với các vectd {s,} tro n g không
g ian n chiều, tro n g (iỏ các th à n h p h à n {*y} n h ậ n inột tro n g (Ị g iá trị biên dộ N hư vậy t a có q" tín hiộu, tro n g dó ta chọn r a A/ = 2 RT tín hiệu m an g các khói k b it th ô n g tin q g iá trị bit'll độ tưưng ứng
với các ký hiệu m à {0,1 1} dược ký hiộu là {<2i,<22, ,«<,} với cấc xác s u á t tươ ng ửng là {p,}
C ác g iá trị biên d ộ g ià th iế t là ph ân bó d Ề u tro n g khoảng Ị -\/É Õ càc g iá trị biẽn dộ kè nh au khái*
n h au là 2 y / ^ / ( q - 1) D iều n ày b ảo d ả m cho các th à n h ph àn s tJ cố nang lượng đỉnh giới hạn là ựực và
n an g lượng m ổi từ m à th ỏ a m àn d iều kiện:
Trang 24T a th á y rỏ ràng ràn g /?0 bày giờ bào hồ a ở 2 b it/c h iè u khi íc /A ro tang.
Đò th ị cùa Ro th e o Íc /A o với các g iá trị biên dộ cách d ều nh au và dồng xảc su á t trẽn lìinh 9-2-5 với q = 2 ,3 ,4 8 ,1 6 ,3 2 ,6 4 T a th á y m ức bão hòa là logo ợ b it/c h iề u
Trang 25K Ẽ N H VA T H Õ N G L Ư Ợ N G C Ủ A K Ề N H 25
Nếu t a bỏ ràng buộc vè nan g lượng dinh cù a các ph àn tử nhưng giữ rà n g buộc vồ nan g lượng tru n g
binh tro n g inổi tữ m ã t a có th ể nh ận được giới hạn trẽ n lớn hơn vồ só b it th eo chiồu, íỉố \ầ k ít q u ả củ a
9-2-3 So s á n h /?ô với t h ô n g lượng c ủ a k ê n h A W G N
T h ò n g lượng c ủ a kữnh AW GN với dải th ô n g hừu h ạn có công s u á t tín hiệu vào hạji ché là:
la biểu diên th ô n g lượng của kênh th e o b i t/ c h i ỉ u và công s u á t tru n g bình th e o năn g lư ợ ng/chiều Với
D = 2 w và f r = 1 = “ I ta có
Đ ậ t C n = C / 2 W = C / D , (9-2-36) dược biểu diẻn thành:
Cn = ị log2 ( l + 2 ^ - ) = ị log2( l + 2 /Ï.7 6 ) b it/c h iè u (9-2-38)
</.V0 (dB»
H ì n h 9 - 2 -6 : So sá n h tó c đ ộ giới h ạn Rịị với th ô n g lượng c ủ a kênh AW GN
Biểu th ữ c về th ô n g lượng chuẳn n à y cố th ể so sảnh với /?õ nh ư trẽ n h ìn h 9-2-6 Do C n là giới hạn
tré n th ự c c ủ a tó c độ tru y ề n R / D nên < C n T a cùng th áy ráng với những giá trị t c / N'0 n h ỏ , độ
c h ẽn h lệch g iữ a /?õ và Cn là khoảng 3 dB N h ư vậy, sừ dụng m à ngẳu nhiên nhièu m ức biAn (lộ, cổng
su á t tru n g bỉnh h ạn ch é tói ưu tốc độ giới h ạn sẽ nhò hơn khoảng 3 dB so với th ô n g lượng kênh Người
t a cũ n g chứng m in h dược rkng xác s u á t sai có th ể làm nhỏ tù y ý néu l ì < D C n = 2 W C n = c
Trang 262G C ơ S Ở L Ý T H U Y Ế T T R Ư Y Ề S T/.V
9-3 T h iế t kế h ệ th ố n g tru y ề n tin d ự a vào tố c độ giới h ạn
T rong ph àn trư ớ c, ch ủ n g t a d à n h giá bộ ưiả hóa, diêu ché bàng xác s u ã t sai Dỏ là m ộ t tiêu c h u ẩn hay dược sử (lụng tro n g th iế t kế h ệ thống Tuy nhiên tro n g n h ièu trư ờng hợp, tin h xốc s u á t sai là r á t phừc tạp , như tro n g các p h é p x ử lý phi tu yén (tro n g lượng tử h ó a tín hiệu th ò n g q u a việc x ử lý tín hiệu ở
bộ th u ) hay n h iễu không p hải là gaussian
T h a y cho việc tin h chính xác xác s u á t sai đối với m ột loại m ã nào dỏ, chúng t a cớ t h ể sử dụng
lặp thổng kẽ Hơn nử a, g iả th iế t nhiều trẽ n kẽnh là độc lặp thống kê th e o thời gian, như vậy không có
sự phụ th uộc n ào g iữ a cấc ký hiệu nh ận (lược Trong n hữ ng (lièu kiện nh ư vậy, xốc su ấ t sai tr u n g bình
th eo tậ p hựp dói với m à ngảu nhiên là cố th ể xốc định dược, ciói với kênh D M C là:
với JI là dộ d à i từ m à, R lầ tóc dộ th ồ n g tin , dơn vị b i t/ s , D là só chièu tru y ề n di tro n g m ộ t đơn vị thời gian, ĨÌ q là tóc độ giới h ạn dói với bộ lượng tử h ỏ a Q mức
N hìn từ qu an diểm th iế t ké m ả, sự tích hợp cù a bộ (liỀu ché, kênh, bộ giải diều c.hố tạ o th à n h m ột kẽnh rời rạc q ký hiệu vào và Q ký hiệu ra C ác xác s u á t chuyển (lỏi { P ( i|j) } phụ th u ộ c vào tín h chất
nhiổu trôn kẽnh, só m ức lượng tử và kiểu lượng tử Ví dụ với kênh AW GN d ầ u vào nhị p h â n , d àu ra
củ a bộ tươ ng q u a n tại thời diểm láy m áu cỏ hàm m ậ t dộ ph ân bố xầc s u á t c:ố d ièu kiện là:
"*0 = — v/?c»m 1 = \/ỉc>ơ2 = 2^ ° - h i t o m ậ t dộ ph ân bố xác s u á t dược vẽ trô n hình 9-3-1 T a cố thể ch ia trụ c th ự c ra 5 m iền nh ư hình vẽ Với mỗi cách chia, ta có th ể tín h các xác s u á t ch u y ển (lỏi và
lựa chọn tói ưu g iá trị cẠn (lổ cực dại hóa R q với mỗi gi& trị Q N hư vậy
Trang 27K Ề N H VÀ T H Õ N G L Ư Ợ N G CỦA K Ẽ N H 27
G iả t rị ÌÌQ khi Q 00 là tóc độ giới h ạn c ủ a bộ củ a bộ giải m ả không lượng từ T ro n g trư ở ng hợp
n h ư th ổ và sử d ụ n g tín hiệu PSK hay PA M , tóc (iộ giới h ạn là:
C ác k ết q u ả tro n g (9-3-5) v à (9-3-2) cho phép so sảnh hiộu q u ả các bộ th u với số m ức lượng tử hỏa
k h ác nhau
V í d ụ 9 -3 -1 T a so sảnh hiệu qu ả củ a các bộ th u với tín hiệu vào kênh AVVGN là P S K nhị ph ản và
Q = *2,4,8 Dổ đơn g iả n , các m ức lượng tử ở đ àu r a bộ giải diồu ché là 0, ±77», ± 2 7 7 ,, , ± ( 2 6-1 - l)r/,
với Th là bước: lượng tử và b là só b it c ủ a bộ luợng tử hỏa Tfị dược chọn dẻ tói th iể u h ỏ a S N R từ n g bit
7ỉ, cần th iế t (lổ hoại d ộng ở tóc c!ộ /?0 Diều dó có n g hĩa là Tfị p hải tối ưu h ó a dói với m ỗi g iả trị SN R
N hư ng người ta th ấ y Th th a y đổi khổng (làng kể dối với những th ay dổi nhỏ củ a SN R N hư vậy cỏ thể
d ũ n g g iá t r ị củ a T/ t (lói với m ột giả trị SN R cho m ộ t d ải g iá trị k h á rộng của SN R
G iá trị ĨỈQ dược tín h với 6 = 1 (giải m ả xấc định cững), b = 2 ,3 Kết q u ả dược vẽ trô n h ìn h 9-3-2.
H ì n h 9 - 3 -2 : Ả n h hưởng củ a bộ lượng tíi hóa khi hộ th ố n g h o ạ t dộng ở tóc dộ R = /?0 hay R = R q
với tín hiệu PSK nhị ph ân trô n kênh AWGN
K hi t a sử (lụng m à không ph ải là nhị ph ân cù n g với tín hiệu M mức (A/ = q) tin hiệu nh ận (lược ở
d ầ u ra c ủ a A/ bộ lọc phối hợp dược biổu d ién bởi vectơ y = [ỉ/1,2/2, , U m ]- t ố c dộ giới hạn c ủ a kênh
M dầu vào, M đ à u ra này là:
J = 0 imO • '- « >
(9-3-6)
với p ( y |j ) là h àm m ậ t dộ p h â n b ó XÍ U' s u á t có d ièu kiện củ a vectơ y khi tín hiệu th ứ j đư ợ c tru y ề n di
G ià sử A/ tín hiệu vào là trự c giao th ì M tín hiệu ra tươ ng ứng sẻ dộc lập th ó n g kỡ, n h ư vậy
A/-1
tmO
(9-3-7)
với pđ+n(Vj) là h à m m ậ t độ ph àn bó xấc s u á t cù a đâu ra củ a bộ lọc phối hợp ửng với tín hiệu (ià truyền
di và P n( y j) tư ớ n g với cầe đàu r a chỉ có th à n h ph ần nhiổu củ a A/ — 1 bộ lọc N hư vậv, phối hợp (9-3-71
Trang 28Với việc xác d ịn h p h a liên két cho tin hiệu trự c giao M m ức, các hàm m ật dộ phãii bố xác suát
ở (lây m = v/£ v à ơ 2 = 1AV T h a y vào (9-3-9) v à tín h tích phíui ta th u dược:
Loại tín hiộu n ày tồi hơn tín hiệu đ ả o p h a 3 <1B dói với tốc tlộ giới h ạ n N ếu t a d ạ t R w = /?0 tro n g (9-3-11) t.a n h ậ n dược
Dồ th ị c ủ a /?0 th e o 76 đư ợ c vẽ trẽ n hỉnh 9-3-3 C hú ý rà n g /?0 bào h ò a ở g iả trị log-2 A/
L
Trang 29K Ê N H VÀ T H Õ N G L Ư Ợ N G C Ủ A K Ê N H 29
SNRtừngbit
H ì n h 9 -3 -3 : SN R từ n g b it càn rh iế t âỗ h o ạ t d ộng ở tó c dộ /?<, bàn g tin hiệu trự c g iao x ả c đ ịn h liên
kết trô n kênh AWGN
N hư vậy khi A/ —> oo th i tóc dộ giới h ạn là m ộ t n ừ a th ô n g lượng kên h AVVGN cố d ả i th ổ n g vỏ hạn
M ặ t khác, nêu t a th a y í = f í i ì £ b vào (9*3-1-1) d án tới 7fc = 2 ln 2 (1,4 (1B), đ ó là S N R tổi th iể u d ể hoạt
G iá trị /?<, tro n g (9-3-11) với việc sử dụng tín hiệu trự c giao AI m ửc rỏ rà n g là k h ô n g tối ưu khi M
nhỏ T ạp hợp các tin h iệu cỉiíiầ hình c h o giá trị Rq cực d ạ i T rong trư ờ n g h ợ p này t a cỏ:
a = \ j 2 í , / N ữ Tóc dộ giới hạn Rị) chuản hóa với tín hiệu trự c giao A/ inức xác đ ịn h k hông liên k ét được
vè trẽ n hĩnh 9-3-1 Đổ s o sá n h , t a vẽ tó c (lộ giới hạn đối với giải m ả xác d ịn h cứ n g ( Q = M ) dối với
các ký hiệu A/ m ữc TVong trư ờ ng hợp này ta cố;
Trang 3030 c ơ S Ở L Ý T H U Y Ế T T R U Y Ề N T/.V
H ì n h 9 -3 -4 : SN R từ n g b it càn th iế t đ ể ho ạt dộng ở tóc độ Rfi với tin hiệu trự c giao M m ức xác d ịn h
khồng liên két trê n kênh AWGN
B À I T Ậ P
9-1 C hử ng tỏ ràng h ai qu an hệ sau:
I { X j \ Y ) = c với mọi j th ỏ a m ân P ( x j ) > 0
I(xj\Y) < c với mọi j thỏa mân P(xj) = 0
với c là th õ n g lượng c ủ a kổnh và
I ( X i ì Y ) = Q Ệ P ( y , \ x j ) l o g ^ Ệ ệ
là dièu kiện càn và dủ d ẻ tậ p hợp xảc s u á t đ àu vào { P ( x j ) } cực đại I ( X \ Y )
9 -2 Hình sa u biểu diễn kênh D M C M mức dối xứng với các xác s u á t chuyển dổi P ( y \ x ) = 1 - p khi
X = y = k với k = 0 , 1 , , M - 1 v à P ( y \ x ) = p / ( M - 1) khi X ^ y C hử ng tỏ ràng kên h n ày t h ỏ a m ãn
diều kiện tro n g bài 9-1 khi P ( x ị :) = 1 /M Xốc định và vẻ th ô n g lượng củ a kênh th e o p.
k
Trang 31K Ê N H VẢ T H Ủ N G L Ư Ợ X G C Ủ A K Ê N H 31
9 -3 Xác đ ịn h thông lượng c ủ a các kẽnh tro n g hình sau
9 -4 M ột kênh diện th o ạ i có dộ rộng (iải th ô n g H '= 3 0 0 Hz v à tỷ só tín hiệu trôn nhiổu là 26 dB G iả
th iế t ràng kênh này là kPnh tươ ng tự AW GN cổ d ài th ô n g hạn ch é với p av/ w N o = 4 0 0 Xấc đ ịn h thổng
lượng c ủ a kẽnh th eo (lơn vị b it/s Liệu kẽnh này có dù đổ truyfcn tín hiệu tiéng nối dược láy m âu và
m ả hỏa th eo lu ậ t loga P C M hay không?
9 -5 Xét hai kênh tro n g hình sau C hửng tỏ rằn g nếu cấc ký hiệu vào đòng x á r s n á t sè cực dại hốa
tốc đ ộ thông tin tru y ề n q u a kênh
Trang 32Chương 10
MẢ H Ó A K Ê N H
T ro n g c h ư ơ n g trư ớ c , c h ú n g t a đ ả x é t việc m ã h ó a v à g iả i m ả h ó a m ộ t c á ch tổ n g q u á t v à t a đã
t h ấ y r à n g , v iệ c m à h ó a b à n g c á c h lự a c h ọ n n g ẫ u n h iẽ n các từ m ã c ù n g ch o m ộ t loại m ả h iệu
s u ấ t cao Với c á c t ín h iệ u trự c g iao , t a có t h ể t h i ế t k ế được m ột bộ m ồ h o ạ t d ộ n g ỏ tốc độ b à n g
th ô n g lư ợ n g k ê n h k h i sô' lư ợ n g t í n h iệ u t iế n tớ i vô h ạ n T ro n g c h ư ơ n g n à y t a sè x é t m ộ t s ố loại
m ả v à đ á n h g iá h iệ u q u ả c ủ a c á c lo ạ i m ã t r ê n k ê n h A W G N
10-1 M ả k h ố i tu y ế n tín h
VỚI m ả k h ố i m ỗi từ m â dư ợ c coi là m ộ t vectơ có độ d à i cô' đ ịn h M ã k h ố i là m ộ t t ậ p h ợ p c á c vectd
n à y Độ d à i c ù a m ộ t t ừ m ã là sô" lư ợ n g c á c ký h iệ u m ả có tro n g từ m ả v à ký h iệ u là n Mỗi ký
h iệ u m á n h ậ n m ộ t g iá t r ị tr o n g bộ ký h iệ u có q p h ầ n tử K hi q - 2 t h ì bộ m ã là n h ị p h ả n Khi
q > 2 t h ì bộ m ã k h ô n g p h ả i là n h ị p h ả n Đ ặc b iệ t k h i q = 2 h với 6 là s ố n g u y ê n d ư ơ n g t h i m ỏi ký
h iệ u m ả tr o n g t ừ m ả tư ơ n g đ ư ơ n g với m ộ t từ m ã n h ị p h â n có q b it N h ư v ậy m ã k h ô n g n h ị p h â n
độ d à i N t r o n g tr ư ờ n g h ợ p n à y tư ơ n g d ư ơ n g VỚI m ộ t từ m ả n h ị p h â n độ d à i n = bN.
T a có t h ể tạ o đư ợ c 2n tô h ợ p n h ị p h â n có độ d à i n T ro n g đó ta có t h ể c h ọ n r a M = 2* từ m ả
(k < n) d ể tạ o r a bộ m ả v à có t h ể coi k h ô i d à i k b it là khôi th ô n g t in dược m à h ó a N h ư v ậ v khỏi
k b i t th ô n g t in đư ợc á n h x ạ t h à n h m ộ t từ m ã dộ d à i n tro n g tậ p M t ừ m ả T a gọi m à k h ò ì dó là
m ả k h ô i (n, k ) v à R c £ k / n l à tốc dộ m ả Sô' lư ợ n g ký h iệ u k h á c 0 tr o n g m ộ t từ m ả gọi là trọ n g
lư ợ n g c ủ a t ừ m ã v à t ặ p h ợ p c á c g iá t r ị tr ọ n g lư ợ n g c ủ a các t ừ m ã có tr o n g m ộ t bộ m ả tạ o th à n h
sự p h ả n b ố v ề tr ọ n g lư ợ n g c ủ a bộ m ả K hi A/ t ừ m ả có c ù n g trọ n g lư ợ n g th ì gọi là bộ m â có trọ n g
lư ợ n g cỏ' d ịn h
Viộc m ả h ó a v à g iả i m à h ó a th ự c h iệ n các p h é p to á n cộ n g và n h â n s ố học t r ê n cốc từ m ả C ác
p h é p to á n s ố h ọ c t u â n th e o c á c q u y ước c ủ a tr ư ờ n g đ ạ i sô' vói cốc p h ầ n tử là c á c ký h iệ u tro n g bộ
ký h iệ u T rư ò n g F là m ộ t t ậ p h ợ p c á c p h ầ n tử m à t r ê n t ậ p hợp n à y t a đ ịn h n g h ĩa được h a i p h é p
to á n s ố học gọi là p h é p c ộ n g v à p h é p n h â n th ỏ a m ã n cốc đ iể u k iệ n sa u :
Trang 33A M H O A K Ê N H 33
5 M ọi p h ẩ n tử tr o n g t ậ p h ợ p d ề u có p h ầ n t ủ dối N ế u b là m ộ t p h ầ n tử th i p h ầ n đ ố i ký h iệ u
lã - ỏ P h é p t r ừ g iữ a h a i p h ầ n tử a - b dược đ ịn h n g h ĩa là o + (-6 ).
P h é p n h ả n
2 P h é p n h ố n có t í n h k ế t hợ p, có n g h ĩa là a (ò c ) = (aft)c
3 P h é p n h â n có t í n h g ia o h o á n , a b = ba.
4 P h é p n h â n có t í n h p h á n phối đôì với p h é p cộng, có n g h ía là (a + b)c = a c + 6c
5 T ậ p h ợ p F có m ộ t p h ầ n tử gọi là p h ầ n tử dơn v ị, ký h iệ u là 1 m à a l = a với m ọi a e F.
6 M ọi p h á n tu th u ộ c F k h á c 0 d ể u có n g h ịc h đ ả o , n ế u 6 e F, b * 0 th ì n g h ịc h đ ả o củ a b ký
h iệ u là b 1 v à 66 1 = 1 P h é p c h ia g iữ a h a i p h ầ n tử a v à 6 đư ợ c đ ịn h n g h ĩa là a b \
Bộ m ả dượ c x â y d ự n g từ m ộ t tr ư ờ n g có h ữ u h ạ n p h ầ n tử v à trư ờ n g h ữ u h ạ n có q p h ẩ n t ử gọi
là tr ư ờ n g G a lo is và k ý h iệ u là G F (ợ ) M ọi tr ư ò n g đ ể u có h a i p h ẩ n tử 0 v à 1 N h ư v ậ y trư ờ n g đơn
g ia n n h ấ t là t r ư ờ n g G F (2 ) P h é p cộ n g v à p h é p n h ả n t r ê n Lrưòng G F (q) đư ợ c đ ịn h n g h ĩa th e o
m o d u lo q v à k ý h i ệ u là (m o d q) N ế u q = p m với m lồ sô' n g u y ê n d ư ơ n g th ì t a có t h ể m ỏ rộ n g
tr ư ờ n g C«F(p) t h à n h tr ư ờ n g G F (p m) v à gọi là tr ư ò n g m ở rộ n g c ù a tr ư ờ n g G F (p) P h é p cộ n g và
p h é p n h ả n t r ê n tr ư ờ n g m ờ rộ n g d ự a t r é n sỏ* họ c m o d u lo p
G iả s ử có h a i t ừ m ã c , v à c J tr o n g m ã k h ô i (n, k ) S ự k h á c n h a u g iữ a c á c ký h iệ u tư ơ n g ử n g
h a y c á c vị t r í tư ơ n g ứ n g gọi là k h o ả n g c á c h H a m m i n g g i ử a h a i t ừ m á v à ký h iệ u là dịị Với
i * j th ì 0 < d ụ < n G iá t r ị n h ỏ n h ấ t tr o n g t ậ p hợp (cỤ gọi là k h o ả n g c á c h tố ì t h iể u g iữ a h a i từ
m ã v à ký h iệ u là d min (còn gọi là k h o ả n g c á c h H a m m in g c ủ a bộ m ả).
H a m m in g g iữ a C r v à C | K h o ả n g c á c h g iử a h a i từ m à c , v à c J là tr ọ n g lư ợ n g c ú a từ m ả tổ n g cù a
c , v à C, N h ư v ậ y s ự p h â n bô' c ủ a tr ọ n g lư ợ n g c ủ a m ộ t bộ m ă tu y ế n t i n h h o à n to à n đ ặ c trư n g
ch o k h o à n g c á c h H a m m in g c ủ a bộ m ã K h o ả n g c á c h tô i t h iể u c ủ a bộ m ã là:
r » \
T ậ p h ợ p t ấ t c à c á c v e c tơ n c h iể u tạ o n ê n m ộ t k h ô n g g ia n vectơ n c h iề u N ế u t a c h ọ n m ột tậ p
h ợ p (k < n) v e c tơ đ ộ c lậ p t u y ế n t ín h tr o n g k h ô n g g ia n v e c tơ s (là k h ô n g g ia n vectơ dược x ây
d ự n g bơi t ấ t c ả c á c tổ h ợ p m à có độ d à i n c ù n g với c á c p h é p to á n tư ơ n g ử n g ) v à x â y d ự n g t ấ t cả
cá c tổ h ợ p tu y ế n t i n h c ủ a c á c v e c tơ n à y th ì r a sẽ tạ o n è n k h ô n g g ia n co n S c c ủ a k h ô n g g ia n s có
s ố c h iể u là k M ọi t ậ p h ợ p k v ectơ độc lậ p tu y ế n t í n h tr o n g S c đ ề u tạ o n ê n cơ sò c ủ a k h ô n g g ian
vectơ X é t t ấ t c ả c á c v e c tơ t r o n g s trự c g iao với cơ sỏ c ủ a S c (tử c là trự c g ia o với m ọi v e c td tro n g
Trang 34c ơ S Ớ L Ý T H U Y Ế T T R U Y Ề N T I N
10-1-1 M a t r ậ n s in h và m a t r ậ n k iể m t r a p a r ity
X ét x m| , x m2, ‘ • • yXmk lầ k b it th ô n g tin dược m ả h ố a th àiih m ộ t từ rnã cm Vectơ k líit th ò n g tin dưa
vào bộ inà h ó a dược kỹ hiệu là:
I* là m a trậ n đơn vị k x k và p là m a trậ ii kx (n - k) xác dịnh 71 - k b it cồn lại hay các b i t kiổin tra
paritỵ C h ú ý rà n g m a trậ n sin h d ạ n g h(Ị th ố n g tạ o r a m à khối tuyến tín h cỏ k b it d ằ u tiôn ch ín h là các
b it m ang th õ n g tin và n - k bit còn lại là tổ hợp tu y ển tín h c ủ a các b it m ang th ô n g tin gọi là cầc bit kiểm t r a parity M ả ( n , k ) (ỉược tạ o r a từ m a trặ n sinh d ạ n g h ệ th ổ n g gọi là m ả cỏ tín h h ệ 'thống.
M ả ( n ,k ) tạ o ra từ m a trậ n sin h không cỏ dạn g h ệ thđiìg gọi là m à k hông có d ạ n g hệ th ổ n g Tuy nhiên m ột m a trậ n sin h sè tươ ng dương với một m a trậ iỉ sin h (lạng hệ th ổ n g Hai m ả n h ư vậy gụi là
hai m ả tươ ng dương Như vậy m ọi m à tu yến tin h ( n t k ) CỈẾU tương dương với m ột m ả tu y ến tin h có tính h ệ th ố n g ( n , k )
H ì n h 1 0 -1 -1 : T h a n h ghi dịch tu y ến tín h tạo ra m à nhị p h ầ n (7,4)
Trang 352 n — k b ộ cộng tạ o ra cảc bit p a rity và dược lưu trữ tạ m thời tro n g m ột th a n h ghi dịch khác độ d ài
n - k Viộc m à h ò a d ù n g các th a n h ghi dịch tro n g vi dụ này có thổ trin h b ày n h ư trẽ n hình 10-1-1.
C ủ n g với m ã khói tuyén tin h { n , k ) là m ã kép cố só chiồu n - k M ã kỏp này là m ả ( n ,n - k) với
2n~ k vectơ , là không gian khỏng củ a m ả (n,Ả:) M a trậ n sin h c ủ a m ồ kốp, ký hiệu H gồm n - k vectơ
M a trậ n H được sử d ụng tro n g bộ giải m ả dổ kiểm t r a cốc từ m ã nh ận dược cố th ỏ a m àn diẾu kiện
(10-1-13) h ay khổng D o vậy m a trậ n H gọi là nia trậ n kiểm t r a p a rity c ủ a m ả ( n k )
T ích C mH ' với c m khát* 0 là tổ h ợ p tuyến tin h các cột củ a H ' Do C mH ' = 0 nôn các vectơ cột
c ủ a H lầ d ộ c lập tu yến tín h Gọi c J là từ inả cố trọ n g lượng nhỏ n h á t tro n g m ả tu yén tin h ( n }k) Do
r
Trang 363C> ca s ở L Y T H U Y Ế T T R U Y Ề N TI N
trụ n g lượng n hỏ n h á t cũ n g là khoảng cách tói thiểu nôn dmtn các cộ t củ a H là độc lậ p tu y én tỉn h Như vậy không nhiều hơn dmin — 1 <’ột c ù a H là phụ th u ộ c tuyến tín h Do hạn g c ủ a l ỉ là n — k nẽn:
M ộ t m ả tu y ến tín h nhị ph ân (n , k) với khoảng cách tói th iể u dmịn t a có thể tcạo ra m ả tu y én tín h nhị
p h ân (n + 1, k ) bàng cách th êm 1 b it p a rity vào mỗi từ m ả Bit parity là 0 nếu só ký h iệu 1 tro n g từ m ã
là chản và là 1 n éu số ký hiệu 1 tro n g từ m à là lẻ Như vậy néu trọng lượng tói th iể u hay khoảng cảch Lối thiểu củ a b ộ m à là lẻ th i bit p a rity sẽ tâ n g khoảng cách tối thiểu lẽn 1 dơ» vị T a gọi m ả ( n 4- l.Ả*)
là m à m ở rộng và m a trậ n kiểm t r a p a rity là:
0 0
la cổ th ẻ bỏ di / cột đ ầ u tiên c ủ a H M ả (n - l , k - l) gồm 2 k~í từ inà K h o ản g cách tói th iể u c ủ a bộ
m à n ày ít n h á t cũ n g bàng kho ản g cách tối th iể u c ủ a bộ m à (n , k ).
10-1-2 M ộ t số loại m ã k h ố i t u y ế n t í n h
M ả H a m m i n g c ỏ c ả rnà H am m ing nhị p h â n và khổng Iiliị ph ân và chung ta chi x ét Iiỉả nhị p h â n M ã
H am m ing gồm lớ p các bộ m à th ỏ a m àn diều kiện:
M a trậ n kiổm t r a p a rity H cổ tín h c h í t d ạ c b iệt giùp chúng ta m ổ tả m à d é (làjig hơn Dối với m à
H am m ing (n , A), n = 2 m - 1 cộ t gồm t á t c ả các vectư có m = n - k ph àn tử t r ừ vectơ 0 Vi (lụ như m ã
(7,4) tro n g vỉ dụ 10-1-1 là m à H am m ing M a trậ n kiổni t r a p a rity gòm 7 v e c tơ cột là t á t c ả c á r vectơ
có dộ d ài 3 trừ vectơ 0 N éu ta m uốn tạo m ả H am m ing có tín h hệ thóng th ì t a có th ẻ d e d à n g s á p xếp
dổ có dược m a trậ n kiểm t r a p a rity H và từ dỏ có m a trặ ii sinh G T a n h ậ n th á y rà n g không cố hai
cột khác nh au nào c ủ a m a trậ n H là p hụ th u ộ c tu y ến tỉn h T uy nhiôn với ra > 1, cố th ể tìm dư ợ c 3
cột củ a H có tổng b àn g 0 N hư vậy dmin = 3 đói với m ã H am m ing.
B àng cách th êm b it parity, m ả H a m m in g (n t k) có th ể m ở rộng th à n h m à (n + l,Ảr) với dmtn = 4
M ạt khác, m ả H am m ing có th ổ th u h ẹp lại th à n h m à (n — - /) bàn g cách bỏ đi / h à n g tro n g m atrậ n sinh G hay bỏ di / cột tro n g m a trậ n kiểm t r a p a rity H P hản bó trọ n g lượng c ủ a m ả H am m in g
(n, k ) dược biổu dién th à n h d ạ n g d a thửc như sau:
.4(2) = Y A ‘*‘ = — j K 1 + + " f 1 + * )<B" I>/2(1 - 2 )(n + ,,/2 ) (10-1-17)
i=l
Trang 37M À H Ỏ A K Ê N H 37
voi 4, la só lượiig các từ m ả cố trọ n g lượng i.
M ả H a r i a m a r d M ã H a d a m ard n h ậ n (lược từ các hàn g củ a rna trặ íi H ad an iard M a trậ n H a d a m a rd
M n lã m a trậ n n x n {n chân), cỉưr ph àn từ là Ü hoạc 1 m ộ t hàn g b á t kỳ khốc rá c h à n g khát’ chi ở ị ĩ i vị
T ừ các hàn g c ủ a M | và M.J t a tạo ra 8 tứ m ả dộ d ài 4 K hoảng càch tối thiểu dmtn = Ị Ĩ I = 2 T a có
t h ể tạ o r a các từ m ả cố d ộ d ài n = 2m , k = lo g i2 n = m + 1 , d m,n = ¿ n = 2m_1 với m lầ só nguyên
dương
M ã G o l a y M ã G olay là tn ă tu yén tin h nhị ph ân (23,12) với dmin = 7 Mở rộng m ã G olay bàng
cảch th ẽm vào b it p a rity (Íổ trở th à n h inà nhị p h â n tu y ến tín h (24,12) và dmin = 8 Bảxig 10-1-1 liệt kê
sự p h à n bổ VẾ trọ n g lượng c ủ a cấc từ m à tro n g m à G olay (23,12) và (24,12)
M ã vòng là tậ p con c ủ a lớp m ã tu yén tin h v à th ỏ a m àn tin h c h ắ t dịch vòng n h ư sau: nếu c =
Ị c „ _ ic„ _ 2 CiCo] là m ộ t tử m ã th u ộ r bộ m ả vỏng th ì [c„_2C„_3 CQCn-i] nh ận dược bằn g cách dịch
- A
Trang 38C h ú ý rkjig C \ ( p ) biểu diổn từ m ả C l = [cn- 2 CôCn- i ] t chính là từ m ã c dịch vòng m ộ t vị trí Do
C \ ( p ) là p h ầ n d ư khi ch ia pC( p) cho p n + 1 nên:
Tương tự , néu C ( p ) là inột từ m ã tro n g bộ m ả vòng th i p ' C ( p ) m od (pn + 1) củ n g là Iiiột tir mãtro n g bộ m ả vòng:
p‘C(p) = g(p)(p" +1) + Ci(p) ( 10-1-25)
d a th ứ c d ư c , ( p ) biểu diổn m ột từ inã th u ộ c bộ m ả vòng và d a thửc Q(p) là đ a th ữ c thương.
T a cố th ể tạ o r a m ả vòng nhờ d a th ứ c sinh g(p) bậc n - k Da th ử c sin h củ a m à vòng ( n , k ) ià một
th ư a só khi k hai triể n p n + 1 và cố d ạ n g như sau:
T a d ịn h n g h ĩa d a th ứ c m an g tin X ( p ) là:
X ( p ) = I t - i p * " 1 + z * - a p k ~ 2 + + x , p + x 0 (10-1-27)
tro n g dó Ịx*_ I Xk - 2 • • *0] thổ hiện k b it th ô n g tin T ích c ủ a -V(p)g(p) là m ột d a thiíc có bậc không
v ư ợ t q u á n - 1 và cỏ th ể biẻu diẻn cho m ộ t từ m à C h ú n g t a cổ 2* đ a th ứ c X t {p) và có 2* tir m à cổ
d a th ử c sin h củ a m ả vòng ( n , k ) và m ả vòng là k h ổng g ian con Sc củ a không gian vectơ 5 K hổng gian vectơ Sc cỏ sổ chièu là k.
Trang 39M ã tạ o r a bởi (J\(p) và g 2(p) là tư ơ n g dương- C ác từ m ả tro n g l)ộ m ã (7,4) dược tạo ra bởi d a th ứ c
y \ { Ị ỉ ) dư ợ c ghi tro n g bảng 10-1-2
T a d ịn li n g hĩa (la th ử c phổi hợp với h(p) như sau:
p k h ( p ~ x) = pk ( p ~ k + h k- i p ~ k+ì + + h i p ~ l + 1)
= 1 -I- h k - ì P •+■ /14-2P2 + • • • + / ỉ i p * " 1 + p* (1 0 -1 -3 2 )
R ỏ rà n g d a th ữ c phối hợp củ n g là m ộ t th ừ a sổ khi k hai triể n p k *f 1 N hư vậy pk h{j)~l ) là d a th ứ c sin h
củ a m ã vỏng (n , n — k) M ả vông này là m ã kòp c ủ a m ã vòng (n,Ar) dược tạ o ra từ d a th ứ c g(p) M ã kỏỊ) ( n , n - k ) tạ o aẽ n không gian khổng c ủ a m ã vòng ( 11 , k).
Trang 4040 C ơ S Ở L Y T H U Y Ế T T R U Y Ề N T I S
Da th ứ c phổi hợp là
PÁh ( p ~ l ) = 1 + p + p2 + p *
Da th ứ c này tạo r a m à kép (7,3) tro n g hảng 10-1-3
Đ ả iig 1 0 -1 -3 : M à kép (7,3) vởi d a th ừ c sinh p l h ( p ~ l ) = p4 + p 2 + p + 1
T a d ạ t cáu hòi lả từ (ỉa th ứ c sin h củ a m ả vòng ( n , k ) ta có thổ tạ o dược m a trậ n sin h bàng cách nào? T a d ã b iét rà n g m a trậ n sinh c ủ a m ã (n , k ) được x ảy dự n g từ tặ p hợp k từ m ã m à các vectơ mă tương ửng là d ộ c lặ p tuyến tín h N hư vậy tìí đ a th ử c sinh g(p) ta có th<* dổ (làng tạo r a k từ m ã dộc
lập tu y ến tín h là c ả r từ m à tương ứng với các d a th ứ c độc lập tuyến tỉn h sau
Các m a trậ n kiểm t r a p a rity cổ th ể xảy d ự ng tươ ng tự tử các d a thức phổi hợp
M a trậ n sinh n h ậ n dư ợ c th e o phương p h á p trẽ n không có tín h hệ th á n g T a có th ể tạ o r a m a trậ n sinh c ủ a m ã vòng có d ạ n g hệ thống G = [I* |P Ị từ d a th ứ c sinh như sau H àng th ử / c ủ a G tưcmg ứng