Cơ sở lý thuyết truyền tin tập 1

N H Ữ NG KHÁI NI Ệ M C H U N GNgoài ra trong trường hợp sự tru y ền tin xảy ra giữa hai vật di động so với nh au , tín hiệu sẽ bị điều tầ n phụ do hiệu ứng Doppler gây nên, chủng ta xếp

Lời nói đầu

Kê từ n h ữ n g n ă m 1970, sự th â m n h ậ p lẫ n n h a u của h ai lĩn h vực k h o a học m áy t í n h và tru y ề n th ô n g đả làm th a y đổi s â u sắc các lĩn h vực công n g h ệ và s ả n x u ấ t, và m ột k ế t quả tấ t yêu

là một n g à n h công nghiệp m áy t í n h - t r u y ề n th ô n g (C o m p u te r-C o m m ư n ic a tio n ) r a đời C h ín h nhò sự hòa trộ n m a n g tín h cách m ạ n g này , r ấ t n h iề u lĩnh vực k h o a học, công n g h ệ đã có n h ữ n g

cơ sở đế p h á t triể n m ạ n h mẽ T ro n g bổi c ả n h c ủ a sự p h á t t r i ể n b ù n g nổ này , n h ữ n g hiếu b iế t vê

lý th u y ế t th ô n g tin (In íb rm a tio n T heory), về t r u y ề n th ô n g n g à v c à n g q u a n tr ọ n g v à cần được xem xét tro n g h o àn c ản h mới

Q u a n h iều n ă m làm công tác g iả n g dạy, với t h a m vọng có m ột tà i liệu là m giáo t r ì n h cho s in h viên c h u y ên n g à n h Điện tử -V iễ n t h ô n g v à C ông n g h ệ T h ô n g tin , tài liệu th a m k h ả o cho các kỹ

sư thuộc n h ữ n g ch u y ên n g à n h trê n , c h ú n g tôi cố g ắn g b iên soạn cuốn sách này.

C h ủ n g tôi giả t h iế t r à n g các độc giả xem cu ố n sách n à y là n h ữ n g người đ ã có cơ sở n h ấ t đ ịn h

vể Giải tích, về Đ ại s ố tu y ê n tín h v à Xác s u ấ t N h ữ n g cơ sỏ T o án học th e o c h ú n g tôi là h ế t sức

311 an trọng và được dùng có t í n h x u y ê n s u ố t cả cuốn sách hoặc từ n g p h ầ n sẽ được c h ú n g tôi t r ì n h bày tro ng cuốn sách này Cở sỏ T o á n học củ a cu ố n sách n ày là Xác s u ấ t và Q u á trìn h N g ẫ u

nhiên với n h ữ n g lu ậ t p h â n b ố xác s u ấ t h ế t sức q u a n trọ n g tro n g việc t r ì n h b ày các vấn đ ề củ a

Cấu trú c tậ p 1 n h ư sau:

Chương 1 : N h ữ n g k h á i n i ệ m c h u n g C h ư ơ n g n à y giói th iệ u n h ữ n g kltói n iệm và các v â n

iề cơ b ản tro n g lý th u y ế t t r u y ề n tin

Chương 2: X á c s ụ ấ t v à q u á t r ì n h n g ẫ u n h i ê n , tro n g chương n à y ta x ây d ự n g n h ữ n g cơ sỏ Toán học Gần th iế t cho việc k h ả o s á t các hệ th õ n g t r u y ề n tin

Chương 3: T h ô n g t i n v à l ư ợ n g t i n , t r ì n h b à y v ấ n đ ề đ ịn h lượng t h ô n g tin của các n g u ồ nin

Chương 4: M ã h i ệ u T ro n g chư ơn g n à y ta t ậ p t r u n g vào các k h á i n iệ m v à đ in h n g h ía về mã, :ác điều kiện và y êu cầu đối với m ã hiệu

Chương 5: M ã h ó a n g u ồ n , n g h iê n cứu v ấ n đề m à hóa n g u ồ n t r ê n cd sở mô h ìn h to á n học củ a Ìguồn và các k h á i niệm về lượng tin đ ã xét tro n g c h ư ơ n g 3

Chương 6: T í n h i ệ u v à h ệ t h ô n g t r u y ề n t i n C hư ơng n à y t r ì n h b ày các tín hiệu và hệ hông th ư ờ n g g ặp khi tru y ề n th ô n g tin q u a k ê n h t r u y ề n th ô n g c ù n g việc b iể u d iễn các tín h iệ u liều chế và các đặc tín h về p h ổ củ a ch ú n g

Chương 7: C â u t r ú c t h u t ô i ư u c h o k ê n h c ó n h i ễ u c ộ n g g a u s s i a n , n g h iê n cứ u việc t h i ế t

;ẽ và đ á n h giá độ hiệu qu ả của các bộ th u tôi ư u cho các p h ư ơ n g p h á p đ iều chê t r o n g kỏn h có ìhiẻu cộng g a u s sia n

Chương 8: D ồ n g bộ C hư ơ ng n à y n g h iê n cứu các ph ư ơn g p h á p đ ồ n g bộ v ậ t m a n g v à dồng bộ :ý hiệu ỏ đ ầ u th u

3

Trong tập 2 ch ú n g tỏi sẽ trìn h bày vê m ã hóa kênh, hệ thông tru y ề n tin vói kênh có băng lẩn hạn chế, các hệ thông tru y ề n tin nhiều kênh, nh iều v ật m ang và n h iề u người sứ dụng, vân để trải phố, hệ thông tru y ề n tin có iầđing và cuối cùng là giới th iệu về mủ m ật được xem n h ư là một loại mã tro ng hệ thông tru y ền tin.

Do hạn c h ế vê thòi gian, lần đầu biên soạn cuốn sách này, c h ú n g tôi không trá n h khỏi các thiếu sót, rất mong các độc giả thông cảm và góp ý dể cho n h ữ n g lần biên soạn sau sè tốt hơn.Cuối cùng, xin lưu ý dộc giả vê cách đ á n h sô các tiêu đề để tiện cho việc tra cứu Trong mỗi

chương, các mục lớn được đ á n h số bằng hai sô, ví dụ 3-2 chỉ mục lốn hai tro n g chương 3; 3-2-4

chí mục bôn của mục lổn hai trong chương 3 Các công thức và h ìn h vẽ dược đ á n h sô bàng ba sô,

số đ ầu chỉ chương, số th ứ hai chỉ mục lớn, số thứ ba chỉ thứ tự của công thức hay hình vẽ tro n g

N H Ử N G KHÁI N I Ệ M C H U N G

CHƯƠNG 1

NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG

T h ô n g tin (tiên g A nh là " I n íb r m a tio n ”, còn được dịch là tin tức) là v ậ t liệu đ ầu tiê n được gia

cóng tro n g một h ệ th ô n g t r u y ề n tin Hiện nay chư a có một định n g h ĩa đầy đủ và súc tích cho

k hai niệm th ô n g tin C h ú n g t a t ạ m sử d ụ n g k h ái niệm s a u làm đ ịnh n g h ía về th ô n g tin : Thôn g tin là s ự cảm h i ế u của con người về t h ế giới x u n g q u a n h (thông qua sự tiếp xúc với nó) N h ư vậy

th ô n g tin là h iể u biết củ a con ngưòi và càn g tiếp xúc VỚI môi trư ờ n g x u n g q u a n h con người càng hiểu biết và là m t ă n g lượng t h ô n g tin t h u n h ậ n được

T ro n g cuộc sông, con người lu ô n có n h u cầu tra o đổi thô n g tin với n h a u , có n g h ĩa là có n h u cầu t r u y ề n tin (C o m m u n ic a tio n ) với n h a u N h ữ n g th ô n g tin khi tru y ề n được m a n g dưới n h ữ n g c'ạng n ă n g lượng k hác n h a u n h ư â m điện, sóng điện từ, sóng á n h sáng N h ữ n g d ạ n g n ă n g

lượng dược d ù n g đê m a n g tin n à y được gọi là vật m a n g (Carrier) Nó là m ột q u á t r ì n h v ậ t lý cụ thế Vật m a n g đã ch ứ a th ô n g tin tro n g nó là m ột đại diện củ a th ô n g tin và nó được gọi là tín hiệu (Signal) Cho n ên trư ố c đ ây k h i k h á i n iệm "thông t i n ” chư a được xác đ ịn h cụ th ể n h ư hiện

nay, người ta v ẫ n n g h iê n cứu đ ịn h lương các hệ th ô n g tru y ề n tin b ằ n g cách tín h to án và thực nghiệm t r ê n sự biến đổi n à n g lượng m a n g tin tro n g các hệ th ô n g đó T rê n q u a n điểm n ă n g lượng lý t h u y ế t m ạ ch điện, lý t h u y ế t tín h iệu đã giải qu y ết n h ữ n g vấn đề tổng q u á t về p h â n Lích và tổ n g hợp m ạch v à tín h iệ u , và nhò đó kỹ t h u ậ t tru y ề n tin đã có n h ữ n g bước tiến bộ khá dài

N h ư n g đồng thời với sự p h á t t r i ể n m ạ n h mẽ của m ình, n g à n h kỹ t h u ậ t tr u ý ể n tin đ ã làm nảy sinh ra n h iề u v ấ n để m à n h ữ n g lý t h u y ế t xây dự n g t r ê n q u a n điểm n ă n g lượng k h ô n g giải thích được trọ n vẹn, n h ư vấn đề mối liên hệ cơ b ả n giữa các hệ th ô ng tru y ề n tin sử d ụ n g n h ữ n g n ă n g lượng k h á c n h a u , n h ư v ấ n để bảo tồn th ô n g tin tro n g các hệ th ô n g th ô n g tin vũ t r ụ tro n g đó

l ã n g lương tải tin r ấ t n h ỏ bé, n h ư v ấ n đề đ ả m bảo tốc độ tru y ề n tin n h a n h và c h ín h xác tron g

:ầc hệ th ô n g t r u y ề n s ố liệu, n h ư gia công th ô n g tin tro n g các th iế t bị tín h to án điều khiển Nói

u ộ t cách k h ác p h ả i xây d ự n g n h ữ n g tiêu c h u ẩ n ch u n g để có t h ể đ á n h giá và so s á n h các hệ -hông t r u y ề n tin , giải q u y ết n h ữ n g v ấ n đề cơ b ả n củ a sự tru y ề n tin là: tốc độ tru y ề n tin và k h ả

l ã n g chông n h i ễ u củ a hệ thông, t h i ế t lập n h ữ n g mô h ìn h hệ th ố n g tr u y ề n tin thực, chỉ r a các phương h ư ớng cải tiế n có h iệ u quả

ỉ)ể t r ả lời được n h ữ n g đ iểu nói t r ê n m ột cách rõ r à n g và ng ắn gọn, các lý th u y ế t xây dựng ,rên q u a n điểm n ă n g lượng cầ n p h ả i được bổ s u n g b ằ n g n h ữ n g lý th u y ế t xây dự n g trê n q u an ìiểm th ô n g tin T ro n g chư ơng n à y sẻ giối th iệ u mô h ìn h tống q u á t của m ột hệ th ô n g tru y ề n tin, 'ác vấn đê lý t h u vết cd b ả n m à h ệ th ô n g đề r a và các chức n ă n g của các k h â u c h ín h tro n g hệ hỏng tru y ề n tin

1 -1 HỆ THỐNG TRUYỀN TIN

N h ữ n g hệ th ô n g t r u y ề n tin cụ t h ể m à con ngưòi đã sử d ụ n g và k h a i th á c có r ấ t n h iều dạng,'à khi p h â n loại ch ú n g , người ta c ũ n g có th ể dựa tr ê n n h iều cơ sở k h ác n h a u , Ví dụ trê n cơ sở

lản g lượng m a n g tin người ta có t h ể p h â n hệ th ô n g t r u y ề n tin t h à n h các loại :

- Hệ th ô n g đ iệ n tín d ù n g n ă n g lượng điện một chiều

- Hệ th ô n g th ô n g tin vô tu y ế n đ iệ n d ù n g n ă n g lượng sóng điện từ

NHỮNG KHÁI N I Ệ M C HUNG

-Hệ th ô n g t hông tin q u an g n ăn g (hệ thống báo hiệu, thông tin hồng ngcại, l a s e r , ‘áp quang )

-Hệ thông thông tin dù n g sóng âm, siêu âm, (năng lượng cơ học)

C h ún g ta cũng có th ể p h â n loại hệ thông tru y ề n tin dựa trên cơ sở biêu hiện bên ngoàù Ún thông tin như:

-Hệ thông tru y ề n sô liệu

-Hệ thông tru y ề n h ìn h

-H ệ thông thông tin thoại

N h ữ n g phương ph áp p h â n loại trê n dựa theo nh u cầu kỹ th u ậ t, giúp các cán bộ kỹ tlu ậ t

n h ậ n thức vấn đề một cách cụ th ể và tìm hiểu k hai th ác các loại hệ thông được dê dàng Sự [hân loại n h ư vậy đã được ứng d ụng rộng rãi và gần n h ư thông n h ấ t tro n g các tài liệu và sáicl kỹ

th u ật N h ư n g ở dây để đảm bảo tín h logic của vấn đề được trìn h bày, c h ú n g ta căn cứ đặc đêm của thông tin đưa vào kên h để p h ân loại các hệ thông tru y ề n tin và n h ư vậy c h ú n g ta p h â m ià m hai loại hệ thông tru y ề n tin:

-Hệ thông tru y ề n tin ròi rạc

-Hệ thông tru y ề n tin liên tục

C h ú n g ta có th ể định nghĩa: Truyền tin (Transm ission) là dịch chuyển th ô ng tin từ điếnnnày đến điểm khác tro ng một môi trường xác định Hai điểm này sẽ được gọi là điếm nguóin tin (Iníbrm ation Source) và điểm nhận tin (Iníorm ation D estination) Môi trường tr u yểm tin (Transm ission Media) còn được gọi là kênh tin (Channel).

Sơ dồ khôi chức n ă n g của một hệ thông tru y ề n tin tổng q u át gồm có ba k h â u chính: mguồn tin, kên h tin và n h ậ n tin (hình 1-1-1)

H ì n h 1-1-1: Sơ đồ khối chức n ăn g hộ thông tru y ề n tinTrong sơ đồ này:

N g u ồ n tin là nơi sản sinh ra hay chứa các tin cần truyền đi.

Khi một đường tru y ề n tin được th iết lập để tru y ề n tin từ nguồn tin đến n h ậ n tin, m ột dỗãy cá< phần tử cơ sở (các tin) của nguồn sẽ được tru y ề n đi với một p h â n bô xác x u ấ t nào đó Dã\y nà;

được gọi là một bản tin (Message) Vậy ta có th ể định nghĩa: Ng u ồn tin là tập hợp các tin Wĩà hy thống truyền tin d ù n g đ ể lập các bán tin khác nh au đê truyền tin.

Kênh tin là môi trường lan truyền thông tin Để có th ể lan tru y ền được thông tin trorụg mộ

môi trường v ậ t lý xác định, thông tin phải được chuyển t h à n h tín hiệu thích hợp với môi tirưòn; tru y ề n lan Vậy kênh tin là nơi hình th à n h và tru y ề n tín hiệu m ang tin đồng thòi ỏ đấy siinh r; các tạp n h iều p há hủy thông tin Trong lý th u y ế t tru y ề n tin kênh là một k hái niệm t r ừ u ìtượn

đại biểu cho hổn hợp tín hiệu và tạp nhiễu T ừ kh ái niệm này, sự p h â n loại kênh sẽ dễ dàn^g hơr

mặc dù tro ng thực t ế các kênh tin có r ấ t n h iều dạn g khác n h au , ví dụ :

-T ru y ền tín hiệu theo các dây song hàn h , cáp đồng trục, ông d ẫn sóng

-Tín hiệu tru y ề n lan qua các tần g điện ly, không hoặc có p h ả n xạ

6

N H Ử N G KHÁI N I Ệ M CHƯN G

- Tín h iệu tru y ề n lan q u a các tầ n g đốì lưu, k hông hoặc có p h ả n xạ và khúc xạ

~ Tín hiệu tr u y ề n lan tr ê n m ặ t đ ất, tro n g đất

~ Tín h iệu tr u y ề n lan tro n g nưốc

T h u tin là cơ cảu khôi p h ụ c thôn g tin ban đ ầ u t ừ tín hiệu lấy ở đ ầ u ra của k ê n h

Đe tìm hiểu chi tiế t hơn c h ú n g ta đi sâu vào các khôi chức n ă n g của sơ đồ trê n và xét đến

n h iệ m vụ của từ n g khôi

1-1-1 Nguốn tin nguyên thủy

N g u ồ n tin ng uy ên t h ủ y là tậ p hợp n h ữ n g tin n g u y ên th ủ y (chưa qua m ột phép biến đổi n h â n

tạo nào) ví dụ n h ư tiến g nói, âm nhạc, h ìn h ả n h , các biến đổi k h í tượng Các tin n g u yên th ủ y

p h ầ n n h iề u là n h ữ n g h à m liên tục theo thòi gian f(t) hoặc là n h ữ n g h à m biến đối theo thời gian

và m ột hoặc n h iề u th ô n g sô" k h ác n h ư h ìn h ả n h đen t r ắ n g h(x, y, t), tro n g đó X, y là các tọa độ

k h ô n g g ia n của h ìn h , hoặc n h ư các th ô n g tin k h í tượng: g(Ảt , t) tro n g đó , (i = 1, 2, n) là các

th ô n g sô' k h í tượng n h ư n h iệ t độ, độ ẩm , tốc độ gió

T h ô n g tin n g u y ê n th ủ y cũng có th ể là các hệ h à m theo thời gian và các th ô n g sô" n h ư trư òng hợp th ô n g tin h ìn h ả n h m àu:

f( x ,y ,z )

• g ( x , y z )

h ( x , y , z )

T h ô n g thvíòng các tin n g u y ê n t h ủ y m a n g tín h c h ấ t liên tục theo thời gian và mức; n g h ĩa là có

thê b iểu diễn m ột th ô n g tin nào đó đưối d ạ n g m ột h à m s(t) tồn tạ i tro n g q u ã n g thời gian T và

lấy các trị b ấ t kỳ tro n g p h ạ m vi (smin, smax) (h ìn h 1-1-2)

sít)

H ì n h 1-1-2: Ví dụ về một tín h iệu ngu y ên th ủ y

N h ừ n g tin n g u y ê n th ủ y có th ế được đưa trực tiếp vào k ên h để tru y ề n đi C ũng có th ể b ằng

n h ừ n g p h ép biển đối n h â n tạo n h ư ròi rạc hóa theo thời gian và theo mức rồi đư a vào k ên h

truyền Lúc này tin trước khi vào k ê n h đã trở t h à n h tin ròi rạc N guồn tin lúc này gọi là nguồn tin rời rạc và k ê n h tin được gọi là kênh tin rời rạc đê p h â n biệt với trư ờ ng hợp đưa tin liên tục vào k ê n h gọi là nguồn liên tục và kênh liên tục.

Bảng c h ữ của m ột ngôn ngữ, các tin tro n g hệ th ô n g điện tín, các lệnh điều k h iển trong hệ thống đ iề u k hiển là n h ữ n g tin n g u y ên th ủ y có tín h c h ấ t rời rạc

Sự p h â n biệt về b ản c h ấ t của n guồn rời rạc với ng u ồ n liên tục là số" lượng các tin tro n g nguồn rời rạc là h ữ u h ạ n và số" lượng các tin tro n g nguồn liên tục không đếm được

Với n h ữ n g khái niệm và định n g h ĩa trê n , c h ú n g ta có t h ể xây d ự ng mô h ìn h toán học ch nguồn rời rạc.

Một bản g các tin x u ấ t p h á t từ m ột n g u ồ n tin nào đó đều p h ả n á n h tín h ch ấ t thông kê củ nguồn đó Bảng tin càng dài sự p h ả n á n h c à n g t r u n g thực C h ú n g ta có th ể xem một bảng tin c

th ể là một th ể hiện của một nguồn Vì tại m ột thời điểm xác đ ịn h nguồn có th ê tạo ra một ti

ng ẫu nhiên đôi với người q u a n sát, n ê n th eo q u a n điểm to á n học có th ế xem nguồn tin (nguồ tạo ra các bảng tin) là cấu trúc th ô n g kê của m ột q u á t r ì n h n g ẫu nhiên N h ư vậy đê xác địn một nguồn tin, hay nói cách khác để xác đ ịn h cấ u trú c th ô n g kê của một q u á trìn h n g ẫ u nhiêỉ chúng ta cần phải biết được các quy l u ậ t th ô n g kê c ủ a q u á trìn h

Trường hợp một nguồn rời rạc, b ả n g tin là m ột dãy các ký hiệu k ế tiếp c ủa một bộ chữ (bộ k

hiệu) gồm một sô' m ký hiệu hữ u h ạn gọi là bộ ch ừ A:

X được gọi là m ột khối n chiều, tập hợp c ủa các khối n chiều với các đặc tín h thống kê của c h ú i

sẽ xác định cấu trú c thông kê của n g u ồ n tin Nói cách khác biết được tậ p hợp các X (ký hi( bằng X*) và xác s u ấ t x u ấ t hiện của các b ả n g tin p(X ) sẽ q u y ế t đ ịnh dược tín h c h â t th ô n g k ê CI nguồn Do vậy tro ng trường hợp này n g u ồ n tin là m ột trư ờ n g xác s u â t hữu h ạ n (a , p(x )} T roi

một trường hợp hẹp hơn, nếu xác s u ấ t x u ấ t h iện các ký hiệu tro n g b ả n g tin dộc lập với nhatu, c

cần biết bộ chữ A và xác s u ấ t x u ấ t h iện củ a các ký h iệu p ( a j , a, e A cũng đủ đê xác địnhi tíi

c h ấ t thông kê của nguồn, lúc đó nguồn là trư ờ n g xác s u ấ t h ữ u h ạ n {A, p}, (p viêt t ắ t cho p(a

dị e A, i — 1, 2, , m).

Khi ch ú n g ta ròi rạc hóa một nguồ n liên tục, c h ú n g ta t h a y một th ể hiện x(t) của nguồn (m

b ản g tin liên tục) b ằn g một dàv hoặc m ột khôi ìĩ chiều X n ê u thời gian q u a n s á t là h ữ u hạ

Trong đó bộ chữ A của khôi là tậ p hợp các giá trị lượng tử hó a được của x(t) N h ư vậy sự nòi r

hóa được thực hiện th ô n g qua hai kh âu : g ián đ c ạ n hóa th eo thời gian và lượng tử hóa theo nnứ(Theo n h ữ n g điều đã trìn h bày ở t r ê n n g u ồ n tin có cấu trú c th ô n g kê của một quá tr ìn h ng;

nhiên Mỗi nguồn tin (quá trìn h ng ẫu n h iê n ) được xác đ ịn h bởi một cập tập giá trị X và cấiu tr thống kê của ch ú n g p(x*) N hữ ng n g u ồ n tin th ư ờ n g gặp th ư ờ n g có tín h ch ất của một q u á trì]

ng ẫu nh iên dừng và nh iều khi lại có tín h ergodic Đôi với các nguồ n tin ergodic mỗi thêĩ hi (mỗi bản g tin) ghi n h ậ n được trong m ột thời g ian đủ dài có th ê tiêu biểu cho nguồn và chủing

có th ể cản cứ vào một th ể hiện để xác đ ịn h được cấu trú c th ô n g kê củ a nguồn Điểu n ày có mộ

ng h ĩa q u a n trọ n g tro n g thực tiễn

8

N H Ữ N G KHÁ ĩ N I Ệ M C HƯ N G

í)ể ng h iên cứu định lưựng n g u ồ n tin cũ n g n h ư hệ thố n g tru y ề n tin, c hú n g ta có thế mô h ìn h hóa toán học n g u ồ n tin b a n g bôn q u á t r ì n h s a u :

Quá trình nqẫỉí nhiên liên t ụ c : N guồn tiế n g nói, âm nhạc, h ình ả n h lả tiêu biếu cho quả

t r ì n h nay T ro n g các hộ th ô n g th ô n g tin thoại, t r u y ề n t h a n h , tru y ề n h ìn h với các tin hiệu điểu biên, diều tán th ô n g th ư ờ n g c h ú n g ta g ặp các n g u ồ n n h ư vậy

Qua trinh ng ẫu nhiên rời r ạ c : Một q u á t r ì n h n g ẫ u n h iê n liên tục sau khi dược lượng tử hóa

th e o mức sỗ trỏ t h à n h q u á t r ì n h này Một n g â n ngừ, tín hiệu điện tín, các lệnh điểu kh iến là nguÔ11 rời rạc loại này

- Dãy ngảu nhiên liên t ụ c : Đảy là trư ờ n g hợp một n g u ồ n liên tục dã được gián đoạn hóa theo

thoi gian, nhu thư ờ n g gặp tro n g các hệ th ò n g tin xung diều biên x u n g (PA M -Pulse A m plituđe

M ođulaUon), đieu plìíì xuiì.^ (F*P]V1), cỉiGH tũ. 11 xmiị£ (I^I4 j\'l) kỊioii§, ỈD1 liĩờ iì^ til hOcì

Dãy ngẫu nh iê n rời rạc: T ro n g các hệ th ô n g th ô n g tin xung có lượng tử hóa n h ư điều biên

(pha tần) x u ng lượng tử hóa, đ iều x u n g m ã (PCM)

1 -1 -2 K ê n h tin

C h ú n g ta đểu biết rà n g , cho đ ế n n a y kh o a học t h ừ a n h ậ n ràng: vật c h ấ t chỉ có th ể dịch

c h u y ể n từ điểm n à y đến m ột điểm k h á c tro n g m ột môi trư ờ n g thích hợp và dưới tác động của một lực thích hợp T ro n g q u á t r ì n h dịch c h u y ể n của các "hạt" v ậ t chất, n h ữ n g th ô n g tin vê nó

h ay ch ứ a tro n g Ĩ1Ó sỗ được dỊch c h u y ể n theo Đ â y c h ín h là bản c h ấ t của sự lan tr u y ề n thô n g tin

Vậy c h ú n g t a có th ể nói r à n g việc t r u y ề n tin c h ín h là sự dịch ch u y ển của dòng các " h ạ t” v ật chất m an g tin (tín hiệu) tro n g mõi trư ờ n g t r u y ề n tin T rong qu á trìn h tr u y ề n tin, hệ th ô n g tru y ề n tin p h ả i g á n được th ô n g tin lên các d ò n g v ậ t c h ấ t tạo th à n h tín h iệu và la n tru y ề n nó đi.Việc tín hiệu la n t r u y ề n tro n g m ộ t môi trư ờ n g xác đ ịn h chín h là dòng các "hạt" v ậ t chất, chịu tác đ ộ n g của lực, lan tr u y ề n tro n g m ộ t cấu trú c xác đ ịn h của môi trư ờ n g (một m ạ n g các h ạ t đặc

t r u n g cho môi trương) Dòng v ậ t c h ấ t m a n g tin này, n g o ài tác động để dịch chu y ển, còn chịu các tác độ ng của các lực k h ô ng m ong m u ố n s ẵ n có tro n g c ủ n g n h ư ngoài môi trư ờ n g và chiu va dập với các "hạt" của môi trương Đ ây c h ín h là n h ữ n g n g u y ê n n h â n làm biến đổi dòng v ậ t c h ấ t

k h ông m ong m uôn h ay là n g u y ê n n h â n gây r a n h iễ u (noise) tro n g quá trìn h t r u y ế n tin

Kõnh tin có t h ể hiểu là m ột môi trư ờ n g để h ìn h t h à n h tín hiệu m a n g tin và la n tru y ề n tín hiệu m a n g tin T ro n g k ên h diễn r a sự t r u y ề n la n củ a tín hiệu m an g tin và chịu tác động của tạ p nhiễu Đê mô tả k ê n h c h ú n g ta chỉ c ầ n d ự a vào đặc d iêm tín hiệu tro n g k ê n h và tạ p n h iễu tiêu biếu cho môi trư ờ n g tru y ề n lan của k ê n h dó Các môi trư ờ n g tru y ề n lan các tín hiệu là rá t khác nhau V ấn đổ đ ặ t ra là từ các d ạ n g k h á c n h a u đó tìm ra được n h ữ n g điểm c h u n g để có th ê tông

q u á t hóa dược về kênh

Ta biết r à n g tín hiệu có th ể t r u y ề n lan tro n g n h iề u môi trường k h ác n h au Khi tín h iệu đi qua các môi trư ờ n g n h ư vậy ngoài sự b iên đôi về n ă n g lượng, d ạ n g củ a tín hiệu củ ng bị th a y dôi

do tác động của tạ p n h iễu tồn tại tro n g các môi trư ờ n g vật ]ý đó hoặc do p hư ơng thức tr u y ề n lan,

sự biên dổi các th ô n g số vặt ỉý củ a môi trư ờ n g gây r a sự điểu c h ế tín hiệu k hô n g cần thiết Rõ

ràn g í ác dộng của n hiễu lên tín h iệu tiê u biểu cho môi trư ờ n g tru y ề n la n củ a tín hiệu Vậy có

th ế lấy tạp n h iễ u làm đặc tín h c h u n g của môi trư ờ n g tr u y ề n lan và lấy sự p h â n tích, p h â n loại tạp n hiễu để p h a n tích và p h â n loại môi trư ờ n g T u y r ằ n g tro ng thực t ế môi trư ờ n g tru y ề n lan

r ấ t khác n h a u , c h ú n g ta vẫn có t h ể q u y n ạ p về các d ạ n g cơ b ả n sau:

-Mỏi trư ờ ng tro n g dó tác động n h iễ u cộng là ch ủ yếu;

-Mỏi trư ờ ng tro n g đỏ tác động n h i ễ u n h â n là ch ủ yếu;

-Môi trư ờ ng gồm cả n h iễ u cộng và n h iễ u n h â n

N H Ữ NG KHÁI NI Ệ M C H U N G

Ngoài ra trong trường hợp sự tru y ền tin xảy ra giữa hai vật di động so với nh au , tín hiệu sẽ

bị điều tầ n phụ do hiệu ứng Doppler gây nên, chủng ta xếp riêng một loại gọi là kênh có hiệu ứng Doppler

Tóm lại đê mô tả k ê n h ch ú n g ta d ùng một m ạng hai cửa và sự q u a n hệ giữa tín hiệu đầu ra với tín hiệu đầu vào n h ư trê n hình 1-1-3

tro n g đó N n(t) ký hiệu cho n h iễ u n h â n và N c(t) ký hiệu cho nhiễu cộng N hiễu cộng sinh ra m ột

tín h iệu n g ẫu n h iên khô n g mong muôn và tác động cộng th êm vào tín hiệu ở đầu ra N hiễu cộng

là do các nguồn n h iễu công nghiệp và vũ tr ụ tạo ra, luôn luôn tồn tại tro n g các môi trường tru y ề n lan của tín hiệu Dải phổ của nh iễu cộng r ấ t rộng, cho nên với b ất kỳ tín hiệu có phô ỏ đoạn tầ n sô' nào, c h ú n g cũng tạo th à n h một nền trù m lên tín hiệu

N h iề u n h ân , tác động n h â n vào tín hiệu, gây ra do phương thức tru y ề n lan của tín hiệu, hay

là sự th a y đổi th ô n g sổ' v ật lý của bộ p h ậ n môi trường tru y ề n lan khi tín h iệu đi qua Trong

trư ờ n g hợp đ ầu nh iễu sẽ tác động n h a n h lên tín hiệu, và tác động chậm tro n g trường hợp thứ hai vì các biến động của môi trường thường xảy ra với n h ữ ng chu kỳ vài p h ú t đên vài giò hoặc hơn nữa Hiện tượng này thường gặp tro ng khi th u các tín hiệu vô tu y ến ở dải sóng ngắn, bằng

n h iều con đường tru y ề n lan khác n h au , tùy theo sai trìn h (dài ng án khác n h a u ) của các đưòng

đó th a y đổi làm cho tổng cường độ điện trường ở đầu th u biến đổi, gây ra biên độ tín hiệu thu khi lớn khi bé và đôi khi m ấ t hẳn, chúng ta gọi là hiện tượng ph a đing (fading)

•Các k ê n h tin tro n g thực tê không đảm bảo đặc tín h xung hoặc đặc tín h t ầ n sô đơn vị n êr công thức tín h tín hiệu ra là :

S r(t)=Nn(t)Sv(t)'H(t) + N c(t)

ở đây H(t) là đặc tín h xu n g của kênh Đặc tín h k ênh không lý tưởng n ày sẽ gây ra một SỊ

biến d ạ n g của tín hiệu ra so vối tín hiệu vào, gọi là méo tín hiệu, và méo lại là một nguồn nhiêi tro n g quá trìn h tru y ề n tin

Tín hiệu đầu vào của các kênh tru y ề n hiện nay là nh ữ n g dao dộng cao t ầ n với n h ữ n g thôn*

số biến đổi theo quy lu ậ t của thông tin Các thông số có thê là biên độ, tầ n sô' hoặc góc pha Da< động có th ể là liên tục hoặc gián đoạn, nếu là gián đoạn sẽ có nh ữ n g dãy x u n g cao tần VỚI cái

th ô n g sô xung th a y đổi theo thông tin n h ư biên độ xung, tầ n số lặp lại, thời điểm xu ảt hiện

T rường hợp dao động liên tục biểu thức tổng q u á t của tín hiệu có d ạn g sau :

S v(t) - a(t) cos[(Át) - ữt)]

Các thông số biên độ a(t), tầ n sô' cư(t), hay góc ph a ữt) biến đối theo quy l u ậ t của thông tin đ

m ang tin và nhiễu tác động sẽ làm th ay đôì các thông số này làm sai lạc th ô n g tin.

Theo mô h ìn h m ạn g 2 cửa của kênh tin, nếti đ ầu vào chúng ta đưa vào tin x(t) với xác suá

x u ấ t hiện píx) ch ú ng ta sẽ n h ận được ờ đầu ra một tin y(t) VÓI xác s u ấ t x u ấ t hiện pịy) đại diệ: cho x(t) VỚI yêu cầu tr u y ề n tin c h ín h xác, c h ú n g t a cần y(t) phải là đại d iện của xịt), hay xá<

N H Ữ N G KHÁI N I Ệ M C H Ư N G

suất n h ậ n được y(t) là đại d iện của xịt) khi tru y ề n X(t) là p(y I x) = 1 Điều n à y chỉ có được k h i vónh k h ô n g có n h iễu Khi k ê n h có nhiễu, có th ể trê n đ ầu ra củ a k ên h ch ú n g ta n h ậ n được m ột

in khác vói tin được p h á t, có n g h ĩa là xác s u ấ t dê n h ậ n dược y(t) là dại diện của xịt) là p(y ỉ x),

0 p(yixr /, và liêu n h iễ u c à n g lớn, xác s u ấ t n ày càng nhỏ Vậy có th ể sử d ụ n g xác suất p( y \x)

le dạc t r ư n g cho đặc tín h tru y ề n tin của kênh

hực hiện tạ i n h ậ n tin là t ừ tín hiệu n h ậ n ditợcy(t) p hải xác định được xịt) nào được đưa vào đ ầ u

rào của kênh Bài toán n à y được gọi là bài toán t h u h ay phục hồi tín hiệu tại điểm th u

1-1-4 Những vấn để cơ bản của hệ thống truyển tỉn

Trong p h ầ n t r ê n c h ú n g ta đâ p h â n loại các hệ th ô n g tru y ề n tin làm h ai nhóm chính, một là ìhỏm các hệ th ố n g tru y ề n tin rời rạc và hai là n h ó m các hệ th ô ng tru y ề n tin liên tục Khi nói

lên sơ đồ khối chức n ă n g của hệ th ố n g tru y ề n tin có đề cập đến biểu thức S r( t ) - N n(t)S'Jt) +Ni,(t) ổng q u á t mô tả k ê n h tin T ro n g biểu thức đó tù y theo d ạn g của S J t ) , ch ú n g ta có k ê n h tin ròi

•ạc hoặc liên tục S a u đây, c h ú n g ta sẽ dựa trê n sự p h â n loại n h ư vậy dể p h â n tích các v ấn để cờ

>ản củ a hệ th ô n g tru y ề n tin Trước hết, ch ú n g ta liệt kê các vấn đề cơ b ản liên q u a n đ ến q u á rìn h tru y ề n tin

Các vấn đê cơ b ản của h ệ th ô n g tru y ề n tin gồm có :

(!) Hiệu s u ấ t truyền t i n , h ay là tốc độ tru y ề n tin của hệ thống Đó là lượng th ô n g tin hệ th ô n g

ho p hép (h ay có thê) t r u y ề n đi tro n g một đơn vị thòi gian,

(2) Độ chinh xác truyền t i n , nói cách k hác là k h ả n ă n g chống n h iễ u của hệ thông.

Yêu cầu tối đa với bất kỳ một hộ th ô n g tru y ề n tin nào là thực hiện đưực sự tru y ề n tin n h a n h hóng và c h ín h xác N h ữ n g cơ sở lý t h u y ế t nối ở tro n g các p h ầ n sau giải đáp n h ữ n g vấn đề này síhững k h á i niệm về lý th u y ế t th ô n g tin cho b iết giới h ạ n tốc độ tru y ề n tin tro n g một k ên h tin,

Ighĩa là khôi lư ợ ng t h ô n g t in lớn n h ấ t mà k ê n h ch o tr u y ề n qua VỚI m ộ t độ s a i n h ầ m n h ỏ tù y ý.

Khi sự tru y ề n tin t-iến h à n h tr ê n n h ữ n g cự ly rấ t lớn, người ta thư ờng d ù n g n ă n g lượng m a n g

in là sóng đ iện từ Trong trư ờ n g hợp n ày n ếu cồng su ất máy p h á t bí h ạ n chế, n àn g Uíọng tín

liệu va tạ p n h iễ u ở đ ầu t h u sẽ xấp xỉ b àn g n h a u , một vân để lý th u y ế t đ ặ t ra là xác dinh cấu

rúc củ a thiết bị t h u tín h iệu lý tưởng, n g h ĩa là có th ể p h á t hiện và tách tín hiệu tro n g n ền tạ p

m lỏn Đó là một nội d u n g lớn của lý th u y ế t chông nhiễu

Trong n h ữ n g m ục s a u sẽ giới th iệ u chức n â n g của khôi liên q u a n đến n guồn Un và kó'ih tin: hối m ả hóa và giải mâ của n g u ồ n và kênh, khôi diều chê và giải điểu chê của kênh

Trong n h iề u trư ờ n g hợp nguồn tin n g u y ê n th ủ y là liên tục n h ư n g cỉùng k ê n h rơi rạc để

ru y ển tin Vậy ngu ồ n liên tụ c trước khi mã hóa p h ải được ròi rạc hóa Đe xác m inh phóp b iê n

ối nguồn liên tục t h à n h ng u ồ n ròi rạc là một phép biến đối tương dương 1-1 vê m ặt th ò n g tin, rước tiên ch ư n g ta k h ảo sát cơ sơ lý th u y ế t của p h ép rời rạc hóa gồm các đ ịn h lý lấy m ẩu và quy liật lượng tử hóa

Sự xác m in h tín h đ ủ n g đ ắ n vê phương diện lý th u y ế t phép rời rạc hóa là một phép b en đôi ương dương k h ô n g n h ữ n g có m ột ý n g h ĩa to lớn về thực nghiệm , mà về m ặ t lý th u y ế t t ù n g có

11

N H Ữ N G KHÁ I N I Ệ M C H Ư N G

m ộ t ý n g h ĩ a rõ rệt N h ò đó m à n h ữ n g đ iều đă được k h ả o sát và k ế t l u ậ n tr o n g các hệ th ô n g rò bi

rạ c có t h ể mỏ rộ n g t r o n g các h ệ th ố n g Hên tục m à sự k h ả o s á t trự c tiôp sẽ lảm n ả y s in h nhiềuu

v ấ n đê k h ó k h ă n về p h ư ơ n g p h á p

1-2 RỜI RẠC HÓA MỘT N G U ồ N TIN LIÊN TỤC

T r o n g các hệ th ô n g t r u y ề n tin m à đ ầ u cuối (đ ầ u th u ) là n h ữ n g th i ê t bị xử lý t h ô n g tin rời rạoc

P h é p b iến đối n g u ồ n tin liên tục t h à n h rời rạ c gồm h a i k h â u cơ bản : m ộ t là k h â u rời rạ c hóóa

th e o thời g ia n h a y còn gọi là k h â u l ấy m ẫ u , h ai là k h â u lượng tử hóa th e o m ức (v iêt t ắ t lư ợ n g t i ử hóa) Cơ sở lý t h u y ế t c ủ a p h é p b iến đổi n à y gồm các đ ị n h lý lấy m ẫ u và lu ậ t lư ợng tử hóa.

1-2-1 Lấy mẫu

L ấ y m ẫ u m ộ t h à m tin , có n g h ĩa là tríc h t ừ h à m đó r a các m ẫ u tạ i n h ữ n g thòi đ iể m th ò i g i a m

n h ấ t đ ịn h Nói m ộ t cách k h á c t h a y h à m tin liên tục b ằ n g m ột Hàm ròi rạ c là n h ữ n g m ẫ u c ủ ia

h à m t r ê n lấy tại n h ữ n g thời đ iểm g ián đo ạn V ân dề đ ặ t ra ỏ d â y là x é t các đ iê u k iệ n đê cho ssự

t h a y t h ế đó là m ộ t sự t h a y t h ế tư ơ n g dương T ư ơ n g đ ư ơ n g ở d â y là về ý n g h ĩ a t h ô n g tin, n g h ía llà

h à m t h a y t h ế k h ô n g bị m ấ t m á t t h ô n g tin so với h à m được t h a y thê

T r o n g các c h ư ơ n g s a u c h ú n g ta sẽ k h ả o s á t kỹ hơn vê v ấ n dề ròi rạc h ó a m ộ t n g u ồ n tin (n u ộ t

q u á t r ì n h n g ẫ u n h iên ), ở đ âv c h ú n g t a n ê u ra tin h t h ầ n củ a đ ịn h lý lấy m ẫ u th e o th ờ i gian:

M ột h à m s(t) có p h ô h ữ u h ạn, k h ô n g có t h à n h p h ầ n tần s ố lớn hơn ( 0 ,ỉtax, có thê được t h a y tì hê

b ằ n g các m ẫ u của nó lây tại n h ữ n g thời đ i ể m cách n h a u m ộ t k h o ả n g Át < /r/ comax.

1-2-2 Lượng tử hóa

H à m sịt) là m ột t h ể h iệ n củ a m ột n g u ồ n tin liên tục, có biên độ b iế n đổi liên tụ c tr o n g p h ạ m i

V 1 (s mm » s m a x ) - T a p h â n ch ia p h ạ m vi đó t h à n h một số ’ mức n h ấ t đ ịn h , đ á n h số các m ức t ừ s uiuii =

s 0> s Ịf s , s ẩủ = s uiax Việc g iá n đ o ạ n hóa sự biến đối biên độ củ a sít) là cho b iê n độ lấy m ức s, n h i ấ t

đ ị n h k h i nó t á n g hoặc g iả m g ầ n đ ến mức đó N h ư v ậy sít) sê trỏ t h à n h m ộ t h à m b iê n đôi tiu eo bậc t h a n g gọi là h à m lượng tử hó a s (t) Khi s ố th ứ tự các múc dã có q u y ước trư ớ c, việc gửi đi

m ộ t h à m liên tụ c trở t h à n h gửi đi n h ữ n g con sô ỏ n h ữ n g thời đ iểm tư ơ n g ứng T h e o các con sỏ ‘đỏ

có t h ể dễ d à n g khôi p h ụ c lại h à m lượng tử hóa s'(t) S ự chọn lựa các mức th íc h đ á n g sè là m g iả ư n

sự k h á c n h a u giữa s'(t) và s(t), gọi là sai s ố lư ợ n g tứ, đồng thòi g iảm sai n h ầ m tr o n g q u á tri in h

t r u y ề n tin

Với p h é p lượng tử hóa, n g u ồ n tin liên tụ c trỏ t h à n h ròi rạc với bộ c h ừ A là t ậ p hợp h ữ u haạn các m ứ c lư ợng tử, m ột tin (b ả n g tin) gửi đi c ủ a n g u ồ n sẽ trỏ t h à n h m ộ t d ã y h ữ u h ạ n các rmức (dưới d ạ n g các con sô" hoặc các ký hiệu)

1-1-: w«\ i,ìY<nơ tứ hna trỏ' t h à n h m ỏ t n g u ồ n rời rrạc

đ ạ i lư ợ n g lớn h ơ n h o ặ c b ằ n g m ứ c n g ư ở n g , nói c á c h k h á c bước lư ợ n g t ứ tôi t h i ể u p h ả i lớn

m ứ c t ạ p n h i ễ u t r o n g k ê n h Khi đ ã t h o ả m ã n đ i ề u k iệ n n à y rồi, đ ứ n g v ề q u a n đ iể m t h ô n g tir nói, v iệc ròi r ạ c h ó a n g u ồ n t i n liên t ụ c h o à n t o à n là m ộ t p h é p b iế n đối tư ơ n g đ ư ơ n g n g h ;

k h ô n g g â y m ộ t s ự t h i ệ t h ạ i n à o v ê t h ô n g tin S a u k h i đ ã được ròi r ạ c h ó a, n g u ồ n t i n là rời cho p h é p c h ú n g t a t i ế n h à n h r ấ t t h u ậ n lợi m ộ t sõ p h é p b i ế n đổi n ữ a đ ê n â n g cao các c h ỉ t i ê u

nó h a y MÓ có xác s u ấ t (lớn n h ấ t) b ằ n g 1

Đ ê x ác đ ị n h d ạ n g c ủ a h à m n à y , c h ú n g t a ta s ử d ụ n g t í n h c h ấ t t h ứ b a , C h ú n g ta g iả s ử rỉ

có h a i t in Xị v à Xj là dộc lậ p t h ô n g k ê đ ế m ỗi t i n k h ô n g c h ứ a t h ô n g tin về t i n còn lại N ế u h a i

có x ấc s u ấ t x u â t h i ệ n là p(Xị) v à p(Xj), lư ợ n g t i n c ủ a m ỗi t i n sẽ là f ( l lp(Xị))y f ( ì /p(Xj)) G iả s ử

NHỮNG KHẢI NIỆM CHUNG

Trong trường hợp này, h àm f phải là h àm d ạn g loga Vậy h àm log(l / p ( x j ) là d ạ n g hàm có iié chọn làm độ đo thông tin Ta cần phải kiểm tra tín h không âm của hàm này Vì 0 < p(x) < 1, Iièr

1 Ip(Xi) >1 hay ìog(l/p(Xị)) không âm.

Thêm nữa khi một tin luôn luôn x u ấ t hiện thì lượng tin n h ậ n được khi này bằn g 0, ta C.Ì1

kiểm t r a điều kiện này Rõ ràn g khi

p ( X ị ) - 1 thì log( 1 / p ( x j ) = 0

Vậy h àm log ( l / p ( x j ) dược chọn làm độ do thông tin hay lượng đo thông tin củ a một tin cái

nguồn Lượng do thông tin của một tin X, của nguồn thường được ký hiệu là I(xJ:

I(xJ - log(Hp(Xị))

Trong công thức xác định độ đo thông tin này, cơ sổ* của hàm loga chưa được chí ra Tùy vào

cơ sô của hàm log này ta sẽ có các đơn vị đo độ lớn thông tin xác định Hiện nay người ta thường

d ù ng các đơn vị đo sau đây:

Bít hay đơn vị n hị p h â n khi cơ số loga là 2;

N a t hay đơn vị tự n h iên khi cơ số loga là e;

Hartley hay đơn vị th ậ p p hân khi cơ sô" loga là 10.

Ví dụ nguồn A có m ký hiệu đẳng xác suất, một tin do nguồn A h ìn h th à n h là một dãy n kỹ hiệu a, b ất kỳ (aị e A) C h ú ng ta sẽ xác định lượng tin chứa trong một tin như vậy Trước tiên

h ãy tim lượng tin chứa tron g một tin a, Do đ ẳng xác s u ấ t nên mỗi tin a, đều có xác s u ấ t là 1 //rĩ, vậy:

I ( a j = log/n Lượng tin chứa trong một dãy X gồm n ký hiệu b ằn g n lần lượng tin của một ký hiệu (vì

chúng đ ắn g xác suất):

/ (x) = n logra

Đơn vị lương tin tù y theo cách chọn cơ số củ a log, là bit, nat, hay H artley nếu cơ số là 2, e hay

10 Rỏ ràn g khi m ký hiệu của nguồn có n h ữ n g xác s u ấ t khác n h a u và không độc lập thông kê với n h a u thì lượng tin riêng từng ký hiệu phụ thuộc vào xác suất x u ấ t hiện p(a,) của nó:

I ( a j - lo g —

p ( a , )

Và lượng tin chứa trong một dãy ký hiệu của nguồn không nhữ ng p h ụ thuộc xác s u ấ t xuất hiện từ n g ký hiệu, m à còn p h ụ thuộc vào xác s u ấ t có điểu kiện Khái niệm này sẽ được để cập đến một cách cặn kẽ hơn trong các chương sau

Mã hóa là một phép biến đối cấu trúc thông kê của nguồn Phép biến đối ấy tương đương trê n

q uan điểm thông tin, và n h ằ m mục đích cải tiến các chỉ tiêu kỹ t h u ậ t của hệ th ố n g tru y ề n tin Nói một cách khác, lóp tin ở đ ầu vào th iế t bị mã hóa được th a y t h ế b ằng một lớp tin khác tương đương và kinh t ế hơn, n h ư tốc độ hình t h à n h tin gần vối khả n ă n g cho thông qua của k ên h hơn, tính chông n h iễu của tin khi tru y ề n qua kênh củng tă n g lên Với khái niệm mã hóa n h ư trên, thì phép ròi rạc hóa là một ví dụ mã hóa đơn giản, biến đổi tin liên tục ở đ ầ u vào t h à n h một lớp tương đương tin rời rạc C húng ta luôri lưu ý là tương đương ỏ đây có*nghĩa là p hép biến đổi

14

a

a-6161

6ị62

b A b‘ib'2

chúng ta đổi t h à n h một nguồn tin mới gồm có hai ký hiệu đẳng xác suất:

B =

*1 b2

Lượng tin chứ a tro n g một tin của B cùng vẫn bàng lượng tin chứa trong tin tương ứng của A,

ví dụ tin Ò ị Ò ị tương ứ ng vói tin aj trong A:

Kbibi) = 21og22 = 2 (bit)Nói ch ung khi m ã hóa một tin X của nguồn A b ằng một tin y của nguồn B, ch ú n g ta đã thay

một dày ký hiệu:

X = (xh x 2, x j trong đó Xj = a, b ấ t kỳ, a t e A , i = 1, 2, , m , j = 1, 2, , n b ằng một dãy ký hiệu:

y = (yi>y2->y’n) vỏ)ỵỊ = bj b ấ t kỳ 6, e B, i = 1, 2 , m \ j = 1, 2, , n

Sự biên đôi đó p h ả i đảm bảo một đôì một và lượng tin chứa t r o n g X v ầ y bằng n h a u :

I(x) = nìogm = I(y) = n l o g m ' Đẳng thức n ày v iết vối giả th iế t các ký hiệu trong nguồn A củng như các ký hiệu trong nguồn

B đều đăng xác s u ấ t Thông qua phép mã hóa scí ký hiệu của nguồn bị th a y đổi, từ m trỏ thàn h

m và sô ký h iệu tro n g một tin mà người ta gọi là t ừ mã củng được th a y đổi: n trở th à n h n \ Độ phức tạp của t h iế t bị m ã hóa p h ụ thuộc vào số ký hiệu ra' của nguồn và sô' ký hiệu n ' trong một

từ, nói chính xác hơn độ phức tạ p của th iết bị mã hóa tỷ lệ với tích m ' n \ Điểu này chúng ta có thê hiếu bàng cách mô tả một th iê t bị mã hóa đơn giản như sau Để tạo ra n h ữ n g mã hiệu có n '

mã và mỗi mã có th ể có m ' trị b ấ t kỳ ch úng ta, t h iế t lập một sơ đồ khôi n h ư trong h ìn h 1-4-1

.ríl), xỉ2> x íM) các dãy (tin) có th ể có của nguồn A, tổng số*bằng M = m n

y {ĩ\ y i2) •••> y M) các từ m à tương ứng của nguồn B, tổng số là M ' = m n và bằng M tro ng trường

hợp phép mã hóa là m ột-m ột

NHỮNG KHÁI NI ỆM CHƯNG

N hư vậy để mã hóa thiết bị cần có m ' n ' khôi mạch, mỗi khôi mạch đại biếu một trị của một

mã trong mà hiệu Vấn đề đ ặ t ra ỏ đây là chọn sô trị của một mà m ' (còn gọi là cơ sỏ cua mà, V \

thực ch ất là số ký hiệu của nguồn mới) phải chọn n h ư th ế nào dể cho thiêt bị đơn giản, nghĩ;: 11

cho tích m 'n ' tôi th iểu với điều kiện lượng tin của từ m ã không dôi.

/ (y) = n'\og m ' = ỉ(x)

rn 'n ' = m 'I(x) /logm Tích m ' n ' sẽ nhỏ n h ấ t khi m ’ = e = 2,7, diều này nói lên lý do trong thực tê người ta thưòng chọn các loại mả hiệu cơ s ố hai, hoặc ba, n h ư n g thông thường là loại mà hiệu cơ sô hai (m' - 2),

gọi là m ã nhị ph ân S au đây ta sẽ tập tru n g trìn h bày loại mà nhị phán.

t h à n h các đại lượng điện (áp, dòng) và chuyến vào k ênh ví dụ n hư trường họp diện thoại trong

th à n h phô Khi m uôn chuyên các tin ây qua một cự ly lớn, phải cho qua một p hép biẽn dôi khác

gọi là điều chế Điều ch ế có nghĩa là chuyển t hông tin th à n h một d ạn g n àn g lượng thích hợp với

môi trường tru y ề n lan, tron g đó d ạn g n ă n g lượng được dùng ít bị tôn hao và ít bị biôn d ạn g do tác động của nhiễu Thực c h ất của phép điều c h ế là biên đổi một hoặc nhiều th ô n g sô của dạng

n ăn g lượng dà chọn theo quy lu ậ t đặc trư n g cho thòng tin Ví dụ sự thông thoại giữa các th à n h phô vói n h a u được thực hiện b ằng các đường tải ba, trong dó quy luật thông tin diều khiển sự

biến đổi của một thông s ố (biên độ, tần sổ) của n àn g lượng dòng điện xoay chiếu tẩn số t h ấ p (vào

khoảng vài chục KMz) Thông tin vối cự ly xa hơn sẽ được thực hiện bằng các đường t hông tin vỏ

tu y ến điện, ỏ dày quy lu ậ t thông tin điều khiển một hoặc nhiều thông sô" của n ă n g lượng trường điện từ cao tần

Đôi với các hộ thông tru y ề n tin rời rạc, quy lu ậ t m ã hiệu điều khiển một hoặc n h iều th ôn g sô của n ăn g lượng được d ù n g để m ang tin Ví dụ trong trư ờ ng hợp diện báo th ôn g thường, quy luật

mã hiệu điều khiển biên độ dòng một chiều Và với các d ạn g n ăn g lượng khác n h ư dòng diện xoay chiểu h a y sóng điện từ, chúng ta sẽ có các hệ th ô n g tru y ề n tin bằng điện báo tài ba hoặc thông tin vô tu y ến điện điều c h ế mà

16

N H Ữ N G KHÁI N I Ệ M C H U N G

P h ép diều chế, ngoài việc chọn năn g lượng thích hợp với sự truyền lan trong môi trường (sóng

điộn từ ) còn có nhiệm vụ là tùy theo tính c h ất của tạp nhiễu trong kênh mà xây cỉựng một hệ

thống tín hiệu có dộ ph ân biệt với nhau rỏ ràng, đê quá trì nh giải diếu chế có thô dễ d à n g nhận

d ạ n g được dù có bị tạ p nhiễu biến dạng di ph ần nào

Các phương ph áp điều c hế thường dù n g đôi với tin liên tục là điều c h ế biên độ (AM- Amplitude Modulation), điều chẽ đơn biên (SSB-Single Side Bande), điều chê tẩn sô (FM- Fn>(ỊU(Micy Modulation) và điều c h ế góc p h a (PM-Phase Modulation) cao tần; dê t ả n g tính chông

nhiều người ta còn d ù n g đến nh ữn g phương pháp diều chế kép Ngoài phép diều chê cao tầ n có

thôm một điểu chế p h ụ như là điểu chê xung, (điều chế các thông số của một dãy xun g tu ần hoàn, cỏ chu kỷ lặp lại thoá mãn điều kiện đả nêu ra trong định lý lấy mầu) nh ư điều chê góc

p h a x u n g (P PM-Pulse Phase Modulation), điều c h ế độ rộng xu n g (PDM- Pulse Duration Modulation), điều c h ế tần s ố x u n g (PFM-Pulse Frequencv Modulation) và điều chê biên độ xu n g (PAM-Pulse Amplitude Modulation) Một phương pháp điều c h ế phụ được thường dù ng là điều cho m ã x u n g (PCM-Pulse Code Modulation) và điều ch ếd elta (DM-Delta Modulation) Khi đó đã biên tin liên tục t h à n h tin rời rạc, và sự điều ch ế cao t ầ n hoàn toàn giống nh ư trường hợp các hệ

thông t ru y ề n tin rời rạc

N h ừ n g năm gần đây, do sự p h á t triển của lý th u yế t thông tin và lý th uy ết tín hiệu, người ta băt đẩu dù n g các tín hiệu dải rộng (tín hiệu giả nhiễu, có phô và hàm tương q u a n giông tạp âm trắng) Một phương ph á p điểu chế được nghiên cứu và áp dụng trong kỹ t h u ậ t thông tin một cách có hiệu qu ả là phương pháp điêu chế giả nhiễu

Đôì vói tin ròi rạc, các phương pháp điều c h ế cao tầ n củng giông như trường hợp t.hcng tin

liên tục, n h ư n g làm việc gián đoạn theo thòi gian, gọi là m a n íp hay khóa dịch Cụ t h ể có các phương p h á p m a n íp biên độ (ASK-Amplitude Shift Kev), m a n íp p h a (PSK-Phase Shiít Key) và

m a n íp tầ n s ố (F SK -Frequency Shift Key) Với PSK và FSK còn có phương ph áp m a n íp p h a tương đôi (DPSK-Diíĩerential PSK), hoặc là điều chế pha khác với quy lu ật maníp (hăng sô

trong độ rộng một xung), ví dụ lu ật tuyến tính hay bình phương trong độ rộng một xung Điều chê nh iễu củng điíỢe dù n g nh ư một điêu chê ph ụ đối với tin ròi rạc đế tăn g cường tí nh chông nhiều của tín hiệu

Giải điều chế là phép biên đổi ngược của phép điều chế, điều khác là tín hiệu đ ầ u vào của thiết bị giải điều chê không phải chỉ là tín hiệu đầu ra của thiết bị điều chế, mà là »T»ột hỗn hợp tín hiệu điều chê và t ạ p nhiễu Nhiệm vụ của th iế t bị giải diều chế là từ trong hỗn hợp đó lọc ra được thông tin dưới d ạ n g một hàm điện áp liên tục hoặc là một dãy xung điện rời rạc giống như

thông tin ỏ đầu vào thiết bị điều chế, với sai s ố trong p h ạm vi cho phép.

Về phương p h á p giải điểu chế, nói cách khác phép lọc tin, tùy theo hỗn hợp tín hiệu nhiễu và các chi tiêu tỏi ưu về sai sô' (dộ chính xác) phải đạt được mà chúng ta có các phương ph áp lọc tin thông thường n h ư tách sóng biên độ, tách sóng t ầ n số, tách sóng pha, tách sóng đồng bộ, lọc tin (xác định) liên kết (coherent), lọc tin bằng phương pháp tương quan, lọc tôi ưu

XÁC S UẤT VÀ QUÁ T R Ì N H NGẤU N H I Ê N

— - %

CHƯƠNG 2

Lý th u y ế t xác s u ấ t và quá trìn h ngẫu n h iên là công cụ toán học chủ yêu đê n ghiên cứu các h thông tru y ề n tin Nó được dùng trong việc mô hình hóa thông kô các nguồn tin, lượng tử hó nguồn và mô tả các quá trìn h tru y ề n tin, n h ậ n tin Trong chương này chú ng ta chỉ trìn h bày mc

số kiến thức cơ bản về lý th u y ế t xác s u ấ t và các quá trìn h ngẫu n h iên để r ú t ra n h ữ n g kêt qu

cần th iết cho việc ứng dụng vào nghiên cứu các hệ th ô ng tru y ền tin

ở đây mỗi giá trị x u ấ t hiện chính là số lượng điểm ch ấm có trê n m ật ngửa của con xúc xắc.

Khi ta gieo một hoặc một sô^ con súc xác thì một tậ p con các giá trị của s sẽ x u ấ t hiện Chún

ta sẽ gọi việc x u â t hiện n à y là một sự kiện, nói cách khác sự kiện là một tậ p con b ấ t kỳ củ a s ^

dụ, ta định nghĩa sự kiện A là việc x u ấ t hiện hai giá trị 2 và 4 n h ư sau:

Sự kiện b ù của sự kiện A, ký hiệu là A , là tập con gồm các p h ầ n tử của s n h ư n g không thiu

A Ví dụ vối A ở (2-1-2):

Hai sự kiện được gọi là loại trừ n ha u nếu chủng không chửa một giá trị ch u n g nào.Ví d ụ hi

sự kiện A và B dưới dây là loại trừ nhau:

A = {1, 3}

Hai sự kiện bù n h a u (A và A ) là loại trừ nhau.

Hợp (Union) của hai sự kiện là sự kiện chứa tấ t cả các giá trị có trong cả hai sự kiện Phí

hợp được ký hiệu “ u Ví dụ nếu:

A = { 1,2]

B = {1, 3 t 6}thì sự kiện hợp là:

Tất nhiên, chủng ta c ó A u A = s

Giao (Intersection) của hai sự kiện là sự kiện chứa các giá trị ch ung tron g hai sự kiện Phc

giao hai sự kiện được ký hiệu là “rY\ Ví dụ nếu:

XÁC S UẤT VẢ QUÁ T R Ì N H NGẢƯ N H I Ê N

c<n của s sỏ x u ấ t hiện)

Rõ ràn g với định nghĩa này chúng ta luôn có:

0 < P(A) < 1

Và P(S) = 1 là trường hợp của sự kiện tấ t n h iên hay sự kiện chứa t ấ t cả các giá trị có th ế có

Nhi ch ú n g ta có một t,ập các sự kiện loại tr ừ n h a u A„ i = 1, 2, thuộc tập s , tức là:

P ( A u B ) = 2/6 + 1/2 = 5/6

S ự k i ệ n đ ổ n g t h ờ i v à x á c s u ấ t d ồ n g t h ờ i C h ú n g ta đã xem xét trường hợp một phép th ử gieo một con xúc xắc đơn lẻ, bây giờ chúng ta sẽ xét trư òng hợp hai phép th ử dược thực hiện cỉồĩg thòi Ví dụ: chủn g ta gieo liên tiếp hay gieo đồng thời hai con xúc xắc Lúc này chúng ta sẽ

có 16 cặp giá trị (1, 1), (1, 2), , (1, 6), (2, 1), , (2, 6), , (6, 6) Nếu cả hai con xúc xắc là đồng đều,

xá( suât xuàt hiện mỗi cặp giá trị sè là 1/36 Bây giờ chúng ta có th ê định nghĩa s ự kiện đồng thờ liên q uan với nó Sự kiện đổng thời là sự kiện mà hai sự kiện riêng đồng thòi x u ấ t hiện Một

ví dụ vổ một sự kiện dồng thời là: con súc sắc th ứ n h ấ t xuất hiện m ặt ch ẵn và con th ứ hai x uất hiội giá trị 3

rống quát, nếu một phép th ử (thực hiện một thực nghiệm) làm x uất hiện các sự kiện A lt i = 1,

2, , n và phép t h ử th ứ hai làm x u ấ t hiện các sự kiện J3lf j = 1, 2, , m thì phép th ử đổng thời sẽ

làn xuất hiện các sự kiện đồng thòi

(A„ B ) i - 1, , n, j = 1, , m

19

XÁC SUẤT VẢ QUÁ T R Ì N H NGÂƯ NHI ÊN

ư n g vói mồi sự k iệ n đ ồ n g thời n à y là m ột khả n ă n g x u ấ t hiện củ a nó m à ta gọi là XGC s u i

xuất hiện đổng thời P(A, , Bj), và ch ủ n g ta có :

X á c s u ấ t c ó đ i ể u k i ệ n Bây giờ ch ú n g ta giả th iế t r à n g một thực nghiệm đồng thời đã đưc

thực hiện và sự kiện đồng thời x u ấ t hiện với xác s u ấ t P(A, B) Khi đan g thực nghiệm , giả thié

sự kiện B đã x u ấ t hiện và ch ún g ta m uôn xác định xác suâ't x u ất hiện của sự kiện A Xác suễ

này được gọi là xác suất có điều kiện của sự kiện A với điều kiện sự kiện B đã x u ấ t hiện và tđịnh nghía:

Tương tự xác s u ấ t có điều kiện của sự kiện B với điểu kiện A đả x u ấ t hiện là:

với điều kiện P(A) > 0 hoặc P(B) > 0 Kết hợp (2-1-11) và (2-1-12) ta có :

Bây giờ, nếu thực hiện một phép th ử đơn lẻ mà trong đó hai sự kiện A và B cùn g x uất hiệ thì xác s u ấ t đồng thòi được qu an niệm là xác s u ấ t x u ấ t h iện của A n B, P(A,B) = P(Ar\B) Tron trường hợp này nếu A và B loại tr ừ n h a u A n B = 0 , thì P(A, Bì = 0, dẫn đôn P ( A / B ) = 0 Tươn

tự nếu A là tập con của B thì:

P(A IB) = P(A) /P(B)

W ì A r \ B = A nếu B là tập con của A , A n S = B, thì

P ( A \ B ) = P ( B ) / P ( B ) = 1

Một q u an hệ thường d ù n g của xác s u ấ t có điều kiện là công thức Bayes Công th ứ c n à y n

rằng, nếu các sự kiện A t , i = 1, n là loại tr ừ n h au

Ủ A = s

Ỉ = 1

và B là một sự k iện x u ấ t hiện đồng thời vối các sự kiện A ì và P(B) > 0 thì:

2 0

XÁC SUẤT VÀ QUÁ T R Ì N H NGẢƯ N HI ÊN

P{AI \ B ) = P ( A , B ) I P { B ) = - ^ - (2-1-14)

ỵ P ( B \ A J )P (A j)

j = ỉ Trong hệ th ô n g tru y ề n tín hiệu sô, các sự kiện A, sẽ được coi là các tin có thế được phát, B được COI là tin n h ậ n được khi phía nguồn p h á t tin A, và có nhiễu tác động, xác s u ấ t P(A, IB) được COI là xác s u ấ t để nguồn tin p h á t tin A t khi phía th u đã n h ậ n được B Trong công thức Bayes, P<A, ỉ B) được gọi là xác s u ấ t h ậ u nghiệm, còn P(Al) được gọi là xác s u ấ t tiên nghiệm.

T í n h đ ộ c l ậ p t h ô n g k ê c ủ a c á c s ự k i ệ n T ính độc lập thông kê của các sự kiện là một khái niệm q uan trọ n g của lý th u y ê t xác suất Để giải thích khái niệm nàv, ch úng ta xem xét hai sự

kiện A và B và xác s u ấ t có điều kiện của ch úng là P(A) ỉ B) hoặc P(B IA) Giả th iế t rà n g việc xuất hiện của sự kiện A không p h ụ thuộc vào sự x u ấ t hiện sự kiện B và ngược lại, ch ú n g ta có :

P(A IB) = P(A)

và ch ú n g ta có:

Lúc này xác s u ấ t đồng thời là tích trự c tiếp của hai xác s u ấ t t h à n h phần Trong lý th u y ết xác

su ất người ta nói hai sự kiện là độc lập thống kê khi chúng thỏa m ãn quan hệ (2-1-16).

Định nghĩa về tín h độc lập này cũng có th ể mỏ rộng cho nhiều sự kiện Ví dụ A h A 2ì A 3 được

gọi là độc lập th ô n g kê nếu:

P(Ah A 2> A j ) = PíAiỉ.PỈAaì.PíAa) (2-1-17)

2-1-2 Biến ngẫu nhiên, hàm phân bỏ xác suất và hàm mật độ phân bô xác suất

Gia th iê t r à n g một thực nghiệm có tập giá trị s và s là một p h ần tử của nó, s € s , ch ú n g ta sẽ định nghĩa một h à m X(s) có miền xác định là s và miền giá trị của nó là một k h o ản g trên trục thực Hàm X(s) được gọi là một biến ngẫu nhiên Ví dụ nếu ch úng ta tu n g một dồng xu có hai

m ặt sấp (H) và ngử a (T) tậ p s = {H, T} Ta định nghĩa một hàm:

í 1 (s = H ) ‘

1-1 (S = T)

Đây chính là m ột biên sô" ngẫu nhiên có th ể lấy giá trị 1 hoặc -1 tù y theo kết quả tu n g đồng

tiền Biến ng ẫu n h iê n này dược gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Trong n h iều trư ờ n g hợp vật lý, các thực nghiệm sê cho một biến có giá trị liên tục n h ư trong

trường hợp đo diện áp nhiễu của bộ k huếch đại điện tử chẳng hạn Lúc này tập giá trị s là hên tuc và ta có th ể đ ịn h nghĩa h à m X(s) = s H àm X(s) này là một biến ngẫu nhiên liên tục Đê đơn giản cho cách ghi hiến n gẫu nhiên, từ nay X(s) sẽ được viêt là X Giả th iế t ch ú n g ta đã có biến ngẫu nhiên A\ và sự kiện để cho biến n gẫu n hiên X nhỏ hơn một giá trị X, IX <xì, với -00 < X < X

là một giá trị th ự c b ấ t ký Sự kiện n ày sè có một xác s u ấ t x u ất hiện n h ấ t định và chúng ta ký

hiệu xác su ấ t củ a sự kiện này là F(x).

F(x) = P( X <x) - X < * < 00 (2-1-19)

Hàm F(x) được gọi là h à m phâ n b ố xác suất của biến ngẫu nhiên X Vì F(x) là xác s u ấ t x u ất

h ẹn nên giá trị củ a nó cùng nam trong dải [0, 1]0 < F(xJ < 1, ỏ đây F(~oc) = 0 và F( x) = 1 Hàm này là một h à m không giám

2 1

XÁC S U Ấ T VÀ QUÁ T R Ì N H N G Ẩ ư n h i ê n

F(x)

F(x)

H ìn h 2-1-1: H àm p h â n bố xác s u ấ t khi tu n g đồng tiền hai m ặ t và con xúc sắc.

Ví dụ biến ng ẫu n h iê n rời rạc tương ứng với sự kiện tu n g đồng tiền có hai giá trị 1 và -1 nhi

đà định n g h ía có h à m p h â n bô xác s u ấ t như trên h ìn h 2-1-1 (a) và biến ngâu nh iên ròi rạc

X(s) = s khi tu n g một con xúc sắc có h à m p h ân bô xác s u â t n h ư trê n hình 2 -1 -1 (b).

F{x

F{x)

Ví dụ về h à m p h â n bô" xác s u ấ t

cúa biến ngẫu n h iê n liên tục

Ví dụ vê h à m p h ân bô' xác s u ấ t của biến ngầu nhiên

hỗn hợp liên tục với gián đoạn

Hàm p h ả n bô" xác s u ấ t của biến ngồu nh iên liên tục là một h àm trơn, không giảm c ủa X nhi

trên h ìn h 2 -1 -2 Trong thực tế, c h ú n g ta* h ay gặp các biến ngẫu n h iê n liên tục tro n g từnị

khoảng H àm p h â n bô' xác s u ấ t của nó trơn, không giảm trong từng k h oản g trê n trục thực và C( các bước n h ả y tại các giá trị ròi rạc của X nh ư trê n h ìn h 2-1-3

Đạo h à m p(x) của h à m p h â n bô' xác s u ấ t được gọi là h à m m ậ t độ p h â n b ố xác suất của biêr ngẫu n h iê n X Vậy ch ú n g ta sẽ có

và

p(x) = dF(x) /dx,

X F(x) = ịp(UyXdll,

Vì F(x) là h à m không giảm nên p(x) > 0 Trong trường hợp biến n g ẫ u n h iên rời rạc hay là hỗr

hợp cả h a i loại thì h à m p h â n bô' xác s u ấ t có bước n h ả y nên p h ần rời rạc của h à m m ậ t độ p h ân bi xác s u ấ t có th ể tín h theo công thức:

2 2

XÁC S UẤT VÀ QUÁ T R Ì N H N G Ẫ ư n h i ê n

1 = 0

ơ dây ồ(x) là h à m bước n h ả y đơn vị và Xị, i = 1, 2, n là các giá trị rời rạc của b iế n ngẫu nhiên.

Trong trường hợp phải xác định xác s u ấ t của sự kiện "giá trị của biến n g ẫ u nhiên X nằm trong khoáng (xh X 2 )'', để xác định được xác s u ấ t của sự kiện này, ta th ấy rà n g sự kiện IX <X2J

là hợp của hai sự kiện loại tr ừ n h a u là IX <Xj) và Ịxj < X <X.J Từ đó, ta có :

Nói cách khác, xác su â t của sự kiện lxj < X < x ^ là diện tích vùng dưới của h à m m ật độ xác

suát tro n g khoarm V| < X • X ,

B iê n n g ẩ u n h i ê n n h i ề u c h iề u , h à m p h â n bô x á c s u ấ t v à h à m m ậ t đ ộ p h â n b ố xác

s u ấ t n h i ê u c h i ề u Khi ch ú n g ta thực hiện đồng thòi n hiều phép th ử hoặc thực hiện một phép thử phức tạp th ì c h ú n g ta sẽ gặp một biến ng ẫu n h iên nhiều chiều Biến này đồng thòi n h ận một bộ giá trị n g ẫu nhiên, m à mỗi giá trị có th ể coi là giá trị một biến ngẫu n h iê n t h à n h phần

Hàm p h â n bô xác s u â t và h à m m ậ t độ p h â n bô" xác s u ấ t của biến này gọi là h à m p h â n bố xác suất và m ậ t độ p h â n b ố xác s uấ t nhiều chiều.

Giả sử biến n g ẫ u n h iên X gồm hai biến n g ẫ u n h iê n th à n h p h ầ n X Ịf X 2 H àm p h â n bố xác su ấ t

Các h à m m ật dộ ph ân bô' xác s u ấ t p(xj) và p( x 2 ) th u được từ hàm m ậ t độ p h â n bô' đồng thời

gọ 1 là các h à m m ậ t độ p h â n bcí xác s u ấ t biên Hơn nữa, ch úng ta có:

J ị p ( x ], x 2)dxìd x 2 - F(oo, 00) = 1 (2-1-27)

2 3

XAC S UAT VA QUA T R I N H NGAƯ NHI EN

(ló chính là h àm p h ân bô xác suất của biên n gẫu nhiên Xj trong diổu kiện biến X , đã xác định

Ta thày rằ n g Fị-X'\x2) - 0 và F(x)\x.J = 1 Lây dạo hàm (2-1-32) theo Ằ‘j n h ận được h àm mật độ

Có th ê mở rộ n g các q u an hệ trê n cho các biến ngẫu nhiên nhiều chiều một cách tương tự

Hàm m ậ t dộ p h â n bô xác s u ấ t dồng thời cúa các biến ngẫu nhiên X,, i = 1, 2, , n n h ư sau:

p ( * k + ị x n )

C á c b i ê n n g ẫ u n h i ê n đ ộ c l ậ p t h ô n g k ê C h ú n g ta đâ định n ghĩa các sự kiện độc lập thống

kẽ Bây giò ch ú n g ta sỗ định nghĩa các biến n g ẫ u n hiên dộc lập thông kê Nếu các biến ngẫu nhiên là kết quả của phép th ử chung mà sự xuất hiện một giá trị của biến này không p h ụ thuộc vào sự x u ấ t hiện giá trị nào của t ấ t cả các biến n g ẫ u n hiên khác thì chú n g ta nói là ch ú n g là các

biến n gẫu nhiên độc lập thống kê với n h a u Vậy n ếu các biến x„ là độc lập thông kê t h ì :

F(xlf x2> , xn) = F( x 1)F( x 2) F( x J (2-1-37)và

2-1-3 Hàm của biên ngẫu nhiên

Một v ấn đê thư ờng gặp trong các ứng d ụ n g thực tê là cho một biến ngẫu n hiên X được đặc

trưng bởi h à m m ặ t độ phân bô xác su ất p(x), cầ n xác đ ịn h hàm m ậ t độ p h â n bô củ a biến ngẫu

nhiỏn Y = g(X) với g(X) là một hàm của X Nếu á n h xạ từ X tới Y là m ột-m ột thì việc xác định

p y ) là k h á đơn gián, n h ư n g khi án h xạ dó không phải là m ột-m ột (ví dụ Y = X 2) thì việc tín h p(y)

Fự y) = P ( Y <y) = P(aX + b <y) = p ị X <

XÁC SUẤT VÀ QUẢ T R Ì N H N G Ẩ ư n h i ê n

Ví d ụ 2-1-3

( ‘ho biên ngẫu n h iên Y được định nghĩa là

Khác với hai ví dụ 2-1-1 và 2-1-2, án h xạ t ừ X đến Y không phải là m ột-m ột.

H ì n h 2-1-5: Bình phương của biến ngẫu n hiên X

g(x) ký hiệu dạo hàm của g(x).

Trong trường hợp tống quát, giả sử -V ị, .r2, ,.rn là các nghiệm thực của của phương trìn h g(x)= y Khi dó h à m mật độ phân bổ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = g(X) có th ổ biếu d iễn dưới dạng:

k(.v, )|

Vơi r, I - 1, 2, , n là hàm của y.

Bầy giò ch ú n g ta xét tới hàm của biến ng ẫu nhiên nhiều chiều Giả sử X j, ỉ = 1, 2, , n là các

b ê n n g ẫu nhiên với hàm m ặt độ p h â n bỏ xác suất, đồng thòi P x ( x j , x2, , x„) và Yịy i - 1, 2, , n là

CÍC b iên n g ẫ u n h iê n vói:

Yá = g t(Xb x2, } X J , i = 1, 2, , n (2-1-50)Giả sử ế /X /, i - 2, , n là các h à m dơn trị, có vi p h ân từ n g p h ầ n liên tục và khả

đio, t h ế th ì À,, i = 1, 2, n có th ể được biếu diễn dưới dạng:

2 7

XÁC S UẤT VẢ QUÁ T R Ĩ N H N C ẨU N H I Ê N

Ta giá th iết các h àm ngược này cũng đơn trị vói vi ph ân từ n g p h ầ n liên tục Vân đề là xá(

đ ị n h h à m m ậ t độ xác s u ấ t đ ồ n g th ờ i c ủ a các b iế n n g ẫ u n h i ê n y, , i - 1, 2, , n, ký hiội

là p y ờ /, y * ’ y j

-Gọi Rỵ là miền xác định của các biến n gẫu nhiên Xị, i - 1, 2, , n trong không gian n chiều Ví

Ry là ả n h của Rỵ (ánh xạ một-một) được xác định bởi các hàm Y, = gị(XỊt X j Rõ rà n g ta có:

XÁC S UẤT VẢ QƯÁ T R Ì N H NGAU N H I Ẻ N

2-1-4 Trị trung bình thống kê của các biên ngẫu nhiên

Trị tru n g bình đóng vai trò q uan trọng trong việc biểu thị kết quả của thực nghiệm và định nglũ.-i các biên n g ẫ u nhiên trong quá trìn h thực nghiệm Chúng ta dặc biệt q u an tâ m tới các mô men cấp một và cấp hai của một biến n gẫu n h iên đơn và các mồ men chung, củng n h ư sự tương quan và hàm hợp biến giữa b ất kỳ một cặp biến n gẫu n hiên trong một tập hợp các biến ngẫu

nh iên Iià m đặc tín h củ a một biến n g ẫ u n h iê n v à h à m đặc tín h hợp củ a m ột tập các biến n gẫu

nhiên cho phép ta khảo sát một cách t h u ậ n tiện các quá trìn h ngẫu nhiên tương ứng P h ầ n này

sè dề cập đến n h ữ n g đ ịn h n g h ía v ề các giá trị tr u n g b ìn h th ô n g kê q u a n trọn g đó.

Trước: hết c h ú n g ta xét biến ngẫu nhiên X được mô tả bởi hàm m ật độ xác s u ấ t p(x) Trị tru n g bình hay kỳ vọng toán học của X dược định n g h ĩa n h ư sau :

- 0 0

ỏ đay E(.) ký hiệu của kỳ vọng toán học (tru n g bình thông kê), nó cũng là mô m en cấp đ ầu tiên

cua biến ngẫu n h iê n X Một cách tống quát, mô men cấp n được định nghĩa n h ư sau:

00

—00

Bây giò ch ú n g ta định nghĩa một biến n g ẫu n h iên Y = g(X) trong đó g(X) là một hàm nào đó

của biến ngẫu n h iê n X Kỳ vọng toán học của Y là:

Gia trị này được gọi là mô men trung t âm cấp n của biến ngẫu n h iên X Khi /1 = 2 thì mô men

trung tâ m được gọi là độ lệch trung binh binh ph ươ n g h ay sai phương của biến n g ẫu nhiên và điỉỢc: ký hiệu ơx2 :

00

—00

Chú ý rằ n g kỳ vọng toán học của một h ằ n g số ch ín h là h ằn g sô' đó, ch ú n g ta thu được:

Trong trường hợp hai biến ngẫu n hiên X ỉ và X 2 với h àm m ậ t độ p h â n bô xác s u ấ t đồng thòi là p{yh Xj), mô men hợp được định nghĩa là:

XÁO SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NC.ẲU NHI ÊN

E[(Xj - m 1)k(X2 - m.,y7 = J ị (X; - m ĩ)k(x2 - m 2)np ( x ìf x 2) d x Ịd x 2 (2-1-68)

OC ~0O

ỏ đây m, = E(XJ Đặc biệt quan trọng là mô men họp và mô men trung tâm hợp ứng với k = n = 1

Các mô m en hợp n à y được gọi là h à m tương quan và h à m hiệp biến giữa hai biến n gẫu nhiên X

và X ,

Trong trường hợp biến ngẫu nhiên n hiều chiểu ch ú n g ta có th ể định n ghía các mô men hợ các cấp Tuy n hiên n h ữ n g mô m en dược ứng dụng nhiều trong thực t ế là h àm tương quan V

hàm hiệp biến giữa các cặp biến ngẫu nhiên Cụ th ể hơn, giả s ử X i (i = 1 2 n) là các biến n g ẫ ’

nh iên với hàm mật độ xác suất đổng thòi p ( x h x j và p(x tf Xj) là hàm m ật độ phản bó xá

s u ấ t đồng thòi của hai biến ngẫu nhiên x,và X r thì hàm tương q u a n giữa X x và X ) được xác địn

Ma t r ậ n n X n với các th à n h p h ầ n /.Iịj dược gọi là m a trận hiệp hiến của các biến ngẫu nhiên X

i = 1, 2, , n Hai biến n gẫu nhiên được gọi là không tương q u an với n h a u nếu và chỉ nếu E(X,X

= E(XJE(Xị) = m , m r Trong trường hợp dó giá trị h àm hiệp biến //,, = 0 Khi x„ Xị độc lập thông k

vối n h a u thì ch ú n g không tương quan, n hư n g ngược lại nếu chúng không tương q u an thì khôn

n h ấ t th iết là ch ú n g sẽ độc lập thông kê vói nhau

Hai biến n gẫu n h iên được gọi là trực giao nếu và chi nếu E(X,Xf) = 0 Điểu này xảy ra khi ỉ

và X) là không tương q u a n với n h a u và ít n h ấ t một biến có trị tru n g bình b à n g không.

H à m đ ặ c t í n h H à m đặc tính của biến ngẫu n h iên X được dinh nghĩa là:

—00 •

Biến sô^ V là thực và ỷ = -1 C húng ta chú ý ră n g iịÁjv) có th ế coi là biến dôi F u riê của hà I

m ật độ p h â n bô xác s u ấ t p( x) (mặc dù kh ác vê d ấ u của p h ầ n mù, c h ú n g ta vẫn quy ướe gọi 1

biến đối Furiê) Biến đối Furiê ngược là:

00

im t ĨC J

-OCỉ

Sử d ụn g hàm đặc tính cho phép ta xác định n h ữ n g mô men của biến ngẫu n h iên ([61) T

công thức (2-1-71) ta lấy đạo hàm theo v:

i x ụ ± i ) x ^ p t M x

dv

3 0

H àm đặc tín h cho phép ch úng ta xác đ ịn h dễ d à n g h àm m ậ t độ xác s u ấ t của tổng các biến

ngẫu n h iên độc lập thông kê Ví dụ, giả s ử x , , i = 1, 2, , n là các biến n gẫu nh iên độc lập thông

kê và:

y = i X,

/=1

(2-1-77)

Đê xác định h à m m ật độ xác s u ấ t của Y y ch ú n g ta sẽ tìm h àm đặc tính của nó và sau đó tính •

toán biến đổi F u riê ngược, n h ư vậy:

ụựjv) = E(e’"Y) = E[expfjv ỵ X Ê )] = E [ f \ (e'vX‘ ) ]

Do h àm đặc tín h của tống n biến n gẫu n hiên độc lập thông kê b ằng tích các hàm đặc tính của

CcC biên X ì (i = 1, 2 , n ), nên hàm m ật độ p h â n bô^ xác s u ấ t của Y là tích ch ặp cấp n của các hàm

31

XAC SUẤT VA QUÁ THÌ NH NGẢU NHI ÊN

mạt độ p h àn bố xác suất của các biến X r Việc tính tích chập này thường phức tạ p hơn là phươn

N h ữ n g mô men cấp cao hơn có th ê suy ra tương tự

2-1-5 Một sô phân bô xác suất thường gặp

T ro n g p h ẩ n này ch ú n g ta sẽ xem xét các biến ngẫu n hiên hay gặp tro n g thực t ế và các hài

p h â n bô xác s u ất, hàm m ậ t độ p h ân bỏ’ xác s u ấ t và các mô m en của chúng Đ ầu tiên là p h â n L nhị thức, p h â n bô này là p h â n bô cúa một biến n gẫu n hiên ròi rạc, và sau đó ch ú n g ta sẽ x<

p h â n bô xác s u ấ t của một sô biên ngẫu n h iên liên tục

P h â n bô n h ị th ứ c Cho X là một biến ngẫu nhiên ròi rạc, chi n h ậ n hai giá trị X - 0 hoặc X =

với xác su ấ t tương ứng là p và 1 - p Hàm m ật độ ph ân bô xác s u ấ t của X được biểu diễn trê

hìn h 2-1-6 Bây giò giá thiết rằng

Y = ị X,

/ = ỉ

ở đâ y X t, i - 1, 2, , n là các biên ngẫu nlìiên dộc lập thông kê và ph ân bố dồng n h ấ t với h à m mí

dộ xác s u ấ t biêu thị trong h ìn h 2-1-6

V ấn đẽ đ ặ t ra là là xác định hàm ph ân bô xác suất của Y Trước hêt c h ú n g ta có n h ặ n X i

r ằ n g Y là m ột tập hợp các sỏ n g u y ê n từ 0 tới n vì 11Ó là tô n g của n sô, mà m ỗi sô là 0 hoặc 1 Xí

s u ấ t m à Y = 0 là xác su ấ t tất cả các biến X i = 0 Vì các biên X, là dộc lập th ô n g kê n ê n ta có :

XẮ SUAT VA QUA TKI NH NCiAU NHI EN

H ì n h 2-1-6 Hàm ph ân hố xác suất biến ngẫu nhiên X

Một cách tống quát, xác suàt Y - k là xác su ất để k biên X, =1 và n - k biến còn lại b ằ n g 0 Ký hệu:

ở áv |v | là sô n g u y ên /77 lỏn nhất mà m < Ilàm p h â n bỏ xác s u ấ t trong (2-1-87) đặc trư n g cho

rn t hiên ngẫu n h iên có ph ân bô nhị thức

Ilni mô men củ a dầu tiên của Y là:

Eí Y) = np

(T = npCI vịhàm dặc tính là:

P h â n b ỏ d ề u Hàm mật độ p h ân bổ xác suất và p h ân bố xác s u ấ t của biến n gẫu nhiên X

p h n hố đều được trìn h bày trê n hình 2-1-7 Hai mô men dầu tiên của X là :

XÁC S UẤT VÀ QUÁ T R Ì N H NGÂƯ N H I Ê N

P h â n b ố g a u s s i a n (phân bô' chuẩn) H àm m ật độ p h â n bô xác s u ấ t của một biến n g ẫ u nhiê

ph ân bô g au ssia n là:

H ìn h 2-1-7: H àm p h â n bô' và m ậ t độ xác s u ấ t của một biến n g ẫ u n h iên p h â n bô' đềiu

trong đó m x là trị tru n g bình và (ỷ là sai phương của biến ngẫu nhiên H àm p h ân bố" xác si.iất là

Chú ý rằ n g erf(-x) = -erf(x), erfc(-x) = 2 -erfc(x), erf(0) = erfc(oc) = ỡ và erf(oc) - erfc(0) = 7 VỚI

X m x thì h à m bù lỗi là v ù n g bên dưới ngưởng của h à m m ậ t độ p h â n bô' xác s u ấ t gaussian VỚI X

lới, hàm bù lỗi erfc(x) có th ể được biểu diễn gần đ ún g bằng chuỗi như sau:

erfc(x) _ J _ 1.3 1.3.5

trcig đó sai sô củ a phép xấp xỉ nhỏ hơn sôT h ạn g cuổì cùng

Hàm thư ờng được d ù n g cho vùng dưới ngưỡng của h àm m ật độ ph ân bố xác s u ấ t gaussian

đư)C kỷ hiệu là Q(x) và được định n g h ĩa như sau:

XÁC S UẤT VÀ QUÁ T R Ĩ N H NGÂU N H I Ê N

Tổng của n biến n g ẫu n hiên gau ssian độc lập thông kê củng là một biên ngẫu n h iên gaussia

và diều này có th ế được giải thích nh ư sau Đật:

với X t , i = 1, 2 , n là n h ữ n g biến ngẫu nhiên g au ssian độc lập thông kê vối trị t r u n g bình m, V

sai phương ơf Sử d ụ n g (2-1-71) ta tìm ra hàm đặc tín h của Y là:

Vậy Y cũng là p h â n bố g au ssian với trị tru n g bình m y và sai phương Ớ*r

P h â n bô* Khi b in h p h ư ơ n g (K hi-S quare Distribution) Nếu Y = X 1 trong đó X là một biế

n g ẫu nhiên gau ssian th ì Y sẽ có p h â n bô' Khi bình phương C h ú n g ta p h â n biệt hai loại phần b Khi bình phương Loại th ứ n h ấ t được gọi là p h â n b ố Khi binh ph ươn g trung t â m khi X có tí

tru n g bình bằng k h ông Loại th ứ hai gọi là p h â n bô'Khi bình phương k h ôn g trung t â m khi X c

trị tru n g bình khác không ([6])

Trước h ế t chúng ta xét p h â n bô' Khi bình phương tru n g tâ m với X có p h â n bố g a u s sia n vối ti tru n g bình bằng 0 và độ lệch tru n g bình bình phương là ơ2 Từ Y = X 2 và (2-1-47) áp d ụ ng ch trường hợp a = 1, ỏ = 0, ch úng ta sẽ thu được h àm m ậ t độ p h â n bô' xác s u ấ t của Y n h ư sau:

H àm này không biểu diễn được dưới d ạng ẩn, tu y n hiên h àm đặc tín h có th ể được biểu diề dưới dạn g ẩn:

trong đóX „ i = 1, 2, , n là các biến ngẫu n hiên có p h â n bô" gaussian, độc lập thông kê và có p hâ

bố đồng n h ấ t với trị t r u n g bình b ằng 0 và sai phương cr Tương tự n h ư trô n ta tìm được h à m đặ tính của Y là:

XÁC S UẤT VÀ QUÁ T R Ì N H NGAU NHI Ê N

Hien dối Furiô

H ì n h 2-1-9: H àm m ậ t độ p h â n b(D xác s u ấ t của biến ngẫu nh iên p h â n ! ^ Khi bìn h phương, trng đó r(p)gọi là h à m g a m m a được định nghĩa n h ư sau:

r (p)=xịlp-'e'dt,p>0

0

Y(p) = (p -1) ! , p là số nguyên, p > 0

r(l /2) = sỉx, 11312) = (112)

Hàm m ật độ p h â n bô xác s u ấ t này là tổng q u á t hóa của (2-1-105) và được gọi là h à m m ậ t độ

phn bỏ xác su ất Khi bình phương (hoặc gam m a) vói n mức tự do P h â n hố n ày dược m inh hoạ

Khi n ch ẵn phép tích p h â n (2-1-113) có thê biểu diễn ở d ạng ẩn Cụ thể, đ ặ t m = n 12 trong đó

m \ sô nguyên thì b ằng phép tích p h â n từng p h ầ n ta có t h ể th u được biểu thức:

(1 - / 2 vơ-2)ngược của hàm đặc tính cho ta h à m m ật độ p h ân bốxác suất:

I

3 7

ngẫu n h iê n g au ssian với trị tru n g bình m x và sai phương là cr\ thì biến ng ẫu n h iên Y = X 2 c

hàm m ật độ p h â n b<3 xác suất th u được bàng cách ứng d ụ n g kết quả ỏ hai công thức (2-1-47) V

H àm m ậ t độ p h â n bố xác s u ấ t biểu th ị ỏ công thức (2-1-118) được gọi là h à m m ậ t độ p h â n b

xác s u ấ t Khi bình phương không tru n g tâm vối n độ tự do Thông s ố s2 được gọi là t hôn g s

kh ông t r u n g t â m củ a p h ân bô.

H àm p h â n b(3 xác s u ấ t của p h â n bố Khi bình phương không t r u n g tâ m với n độ tự CỈO là:

XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NC.ẴU NHIÊN

Không có biểu thức d ạn g ấn cho tích p h ân này Tuy nhiên khi m = n/2 là một s ố nguyên, hàm phân bô xác s u â t có th ể biểu diễn ỏ dạn g h àm Q (gọi là hà m M arcum tổng quát) được định nghĩa

P h â n b ô R a y l e i g h (Rayleigh Distribution) ([5]) P h ân b(í Rayleigh thường được d ùn g làm

mò hình thông kê của n h ữ n g tín hiệu tru y ề n q ua các kênh radio n h ư hệ thông raciio tổ ong Phán bô này có liên hệ vối p h ân bô Khi bình phương tru n g tâm Để m inh hoạ điều này, xét biến

ngân nhiên Y - X 2Ị + X 22 tro n g đó Xj và X 2 là n h ữ n g biến n gẫu nhiên gau ssian độc lập thông kê

cỏ trị tr u n g bình b ă n g 0, sai phương c? Từ đó ta th ấy Y có p h â n bô Khi bình phương với hai độ

tự do H à m m ật độ p hân bô' xác s u ấ t của Y được xác định n h ư sau:

XAC SƯAT VA QUA THINH N(ỈAU NHI EN

Các mô men của R là:

t.rong CỈÓ X lt i = 1, 2, , /7 là các biến ng ẫu nhiên g aussian độc lập th ô n g kê, p h â n bô đồng n h ấ t \

có trị t r u n g bình bằn g không Biến ngẫu nhiên R gọi là biên ngẫu nhiên có phân bô RayleÌỄ tống q u át Như vậy Y = R 2 là ph ân bố Khi bình phương với n mức tự do H àm m ật độ p h ân ỉ

xác s u ấ t của nó dược xác định bởi (2-1-110) Dỗ dàng tìm ra hà m m ậ t độ p h â n bố xác s u ấ t của

b ằn g cách đổi biến trong (2-1-110):

T 1 r~ l ơ

p H(r) = - - ;— -<?•' ia , r > 0 (2-1-137)

2’" 2* 2 ơ" rí ^ nj

T ừ sự liên hệ giừa p h ân bô Khi bình phương tru n g tâm và p h ân bố Rayleigh, ta có th ê suy :

sự liên hệ giữa các h àm ph ân bô xác s u ấ t tương ứng Do vậy, vối mọi n h à m p h ân bô xác su của R có thê b iểu diễn qu a h àm gam m a Đặc biệt khi n = 2m thì h à m phân bỏ xác s u ấ t của Y <

th ể biểu diễn ở d ạn g ẩn như sau:

V 2<7~ )

XAC SƯAT VA QUA T R I N H NGAƯ NII IKN

: V i ^ ị n + k))

P h à n bỏ R i c e (Rice D istribution) ([5]) Nếu n h ư p h â n bô Rayleiglì cộ liên hệ với p h â n bô Khi bình phương t r u n g tâm thì p h â n bô Rice liên hộ vói p hân bô Khi bình phương không t r u n g tâm

Đe m inh họa diều này, xét biến ngẫu nhiên Y = X JỊ + X 2 21 trong dó Xj và X 2 là các biến ng ẫu nhiôĩi g au ssia n độc lặp th ôn g kê với trị tru n g bình m , , i = 1, 2 và sai phương cr Từ các k ế t quả

dã (tạl (tược thì Y có p h ân bô Khi bình phương không tru n g tâm vối thông sô không t r u n g tâ m là S"= m~ + n v 2 h à m m ật độ p h á n bô xác suất của Y th u được từ (2-1-118) với n = 2 là:

Hây giờ, c h ú n g ta định n ghĩa một biên n gẫu nhiên mối R = y [ Ỹ H àm m ặt dộ p h â n bô xác

su ấ t của R có được bàng cách dôi biến trong công thức (2-1-140) và ta thu được:

Đây là hàm m ậ t dộ p h ả n bô xác s u ấ t của một biến n gẫu n h iên có p h â n bô Rice H àm m ậ t độ phân b ố xác su ất này biểu thị tín h thông kê của đường bao một tín hiệu bị ả n h hưởng bởi n h iễu cộng có p h ân bô g au ssian tro n g băng tần hẹp H àm này cũng được dùng để mô h ìn h hóa tín h

thòng kê của t ín hiệu tru y ề n q u a một số k ênh rađio Từ (2-1-124) trong trường hợp m = 1, ta th u đuỢc h à m p h â n bô xác s u ấ t của R như sau:

trong đo Qj(a, b) được đ ịn h nghĩa theo (2-1-123).

Tống q u á t hóa các biểu thức ở trẽn, R được định nghĩa n h ư trong (2-1-136), X n i =1, 2, , n là

các biến n g ẫ u n h iê n g a u s s ia n độc lập th ô n g kê với trị tr u n g bình m„ i = 1, 2, , n và sai ph ư ơn g

cr Biên ngẫu n h iê n R 2 = Y có ph ân bô" Khi bình phương không tru n g tâm với n độ tự do và thcng s ố không t r u n g tâm là s2 được định nghĩa tro n g biểu t hức (2-1-119) Hàm m ậ t độ p h â n bố

xác su;U của 11Ó được xác định theo (2-1-118) Từ đó hàm m ật độ p h ân bố xác suất của R là:

tr o ìg đó Fy(r) được xác địn h theo (2-1-121) T rong trường hợp m = n / 2 là sô nguyên, ch ú n g ta