Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của cạnh HP.
Trang 1Phòng GD Cam Lộ Kỳ thi học sinh giỏi văn hoá lớp 9
Năm học 2005 - 2006
Khoá ngày 11 tháng 11 năm 2005
Đề thi môn : Toán
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (25 điểm)
Cho biểu thức
P =
1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a a
a.Rút gọn P.
b.Tính giá trị của P khi a 19 8 3
Câu 2 : (20 điểm)
a.Phân tích thành nhân tử: A= a3 + b3 +c3 -3abc
b.Gọi a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác
Cho biết : a3 + b3 +c3 -3abc = 0 Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?
Câu 3: (10 điểm)
Giải phơng trình : (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40
Câu 4: (15 điểm)
Cho a,b,c là ba số nguyên có cùng tính chẵn lẻ Chứng minh rằng : (a+b+c)3 - ( a3 + b3 +c3) 24
Câu 5 : (30 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của cạnh HP.
1 Chứng minh : a/ AH.CP = HP.HC.
2 Chứng minh : AO BP
Phòng GD Cam Lộ Hớng dẫn chấm đề thi HSG văn hoá lớp 9
Môn: TOán Năm học : 2005 - 2006
-Câu1: (25 điểm)
) 1 )(
1 (
2 1
1 : 1
2 1
a a
a a
a
a a
(a ≥0)
) 1 )(
1 (
2 1 :
1
) 1
a a
a a
a a
Trang 2= 2
) 1 (
) 1 )(
1 ( 1
) 1 (
a
a a
a a
a = 19 - 8 3=16 - 2.4 3+3
=(4- 3)2
=> P = ( 4 3 ) 2 +1= 4- 3+1=5- 3
Câu 2: (20 điểm)
Ta có : a3 + b3 +c3 -3abc= (a+b)3 -3ab(a+b)+c3-3abc
= ab3 c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(ab) 2 c(ab) c2 -3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ca-cb+c2-3ab)
=(a+b+c)(a2+b2+c2- ca-cb-ab) (1)
Ta có : a3 + b3 +c3 -3abc=0
Từ (1) suy ra : (a+b+c)(a2+b2+c2- ca-cb-ab) = 0
Mà (a+b+c) >0 => a2+b2+c2- ca-cb-ab = 0
=> 2a2+2b2+2c2- 2ca-2cb-2ab = 0
=> (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 = 0
=> a-b=0,b-c=0,c-a=0
Vậy a=b=c nên tam giác đó đều
Câu 3: (10 điểm)
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40
(x+1)(x+5)(x+2)(x+4) =40
(x2+6x+5)( x2+6x+8)= 40 (*)
Đặt t = x2+6x+5 (*) t(t+3)=40 t2+3t-40=0 t=5; t=-8
Với t=5 x2+6x+5=5 x2+6x =0 x=0 ; x=-6 Với t=-8 x2+6x+5=-8 x2+6x+13=0 x2+2.3x+9+4=0 (x+3)2+4=0 (VN)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x=0 hoặc x=-6
Câu 4: (15 điểm)
Ta có:
(a+b+c)3 -( a3 + b3 +c3) = (a+b+c)3-a3-( b3 +c3)
= (abc)3-a3-( b3 +c3)
=(a+b+c-a) abc2 aabca2-(b+c)(b2-bc+c2)
=(b+c)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac+a2+ab+ac+a2)-(b+c)(b2-bc+c2)
=(b+c)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac+a2+ab+ac+a2 -b2+bc-c2)
=(b+c)( 3a2+3ab+3bc+3ac)
=3(b+c)( a2+ab+bc+ac)
=3(b+c)( a+b)(a+c)
Do a,b,c cùng tính chẵn lẽ nên a+b= 2m
b+c=2n a+c=2k (m,n,k Z)
=> (b+c)( a+b)(a+c)=2m.2n.2k=8mnk 8
=> 3(b+c)( a+b)(a+c) 24 Vậy (a+b+c)3 -( a3 + b3 +c3) 24
Câu 5: (30 điểm)
Trang 3XÐt AHP vµ HCP cã
Gãc APH = gãc HPC (=900)
Gãc AHP = Gãc HCP (cïng phô gãc PHC )
=>AHP HCP (g-g)
=>
CP
HP HC
AH
=>AH CP = HC.HP (*)
Ta cã : HC = HB =
2
BC
HP=2HO
Tõ (*) =>AH.CP =
2
BC
.2HO =>AH CP = BC.HO
=>
CP
HO BC
AH
MÆt kh¸c : gãc AHO = gãc BCP (cïng phô gãc PHC )
Suy ra : BPC AOH (c-g-c)
Gäi K ,I theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AO vµ BP,AH vµ BP
Ta cã gãc OAH = gãc PBC ( do BPC AOH)
Mµ gãc AIK = gãc BIH (®.®)
=> gãc AKB = gãc AHB = 900
VËy AO BP