b/Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn.. Chứng minh rằng nếu góc BAD = góc CAE thì tam giác ABC là tam giác cân... => ∆ADC đồng dạng với ∆AEB c.g.c
Trang 1Phòng GD Cam Lộ
Đề thi học sinh giỏi văn hoá lớp 9 năm học 2006 - 2007
Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
So sánh A và B biết:
A =
1 10
1 10
18
17
+
+ và B =
1 10
1 10
19
18
+
+
Bài 2: (1,5 điểm)
Tính A= 12 - 22 + 32 - 42 + + 20032 - 20042
Bài 3: (2 điểm)
Chứng tỏ rằng:
a/Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n lẻ
b/Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 + 6x - x2
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = CE Chứng minh rằng nếu góc BAD = góc CAE thì tam giác ABC là tam giác cân
Bài 6: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, các đờng cao AK và BD cắt nhau tại G, vẽ đờng trung trực
HE, HF của AC và BC Chứng minh rằng BG = 2HE và AG = 2HF
Trang 2Phòng GD Cam Lộ
Hớng dẫn chấm môn toán lớp 8 năm học 2004 - 2005
Bài 1: (1,5 điểm) Ta có:
10A =
1 10
9 1 1 10
9 1 10 1 10
10 10
18 18
18 18
18
+ +
= +
+ +
= +
10B =
1 10
9 1 1 10
9 1 10 1 10
10 10
19 19
19 19
19
+ +
= +
+ +
= +
Vì
1 10
9 1 10
9
19
Bài 2: (1,5 điểm)
Từ: (n + 1)2 - n2 = (n + 1 + n)(n + 1 - n) = (n + 1) + n nên: (0,5)
A = - (20042 - 20032 + 20022 - 20012 + + 22 - 12) (0,5)
= -(2004 + 2003 + 2002 + 2001 + +2 + 1) (0,25)
Bài 3: (2 điểm)
Gọi n số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2; ; a + n - 1 (0,25)
Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + n - 1) (0,25)
= ( )
n a a
a+ + + + [ 0 +1 + 2 + + (n-1)] (0,25)
= n.a + (0 + n - 1).n:2= n.a + [(n-1):2].n (*) (0,25) a/Nếu n lẻ thì n-1 chẵn nên (n-1):2 là số tự nhiên, do đó (*) n (0,5) b/Nếu n chẵn thì n-1 lẻ nên (n-1):2 không là số tự nhiên, do đó (*) không chia
Bài 4: (1,5 điểm)
Ta có: 1 + 6x - x2 = - (x2 - 6x + 9) + 10 = - (x - 3)2 + 10 (0,5) Do: (x - 3)2 ≥ 0 nên - (x - 3)2 ≤ 0 Suy ra: - (x - 3)2 + 10 ≤ 10 (0,5) Biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng 10 khi và chỉ khi x-3 = 0 hay x = 3 (0,5)
Bài 5: (2 điểm)
Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB
Ta có BC BD = DF AC
AB
EG BC
Do BD = EC => DF AC = EG AB => DF EG = AC AB (1)
∆ADF đồng dạng với ∆AEG (g.g)
=> EG DE = AD AE (2)
(0,5)
(0,5)
Trang 3=> ∆ADC đồng dạng với ∆AEB (c.g.c)
Vậy tam giác ABC là tam giác cân
Bài 6: (2 điểm)
Nối C với H và kéo dài HI = HC
Trong tam giác AIC: H và E là điểm giữa
của CI và AC nên HE là đờng trung bình
nên có AI//HE và AI = 2HE (1) (0,25)
Tơng tự có BI//HF và BI = 2HF (2) (0,25)
AI//HE; HE//BD (2 đờng thẳng cùng vuông
góc với đòng thẳng thứ ba) => AI//BG (3) (0,25)
Từ (3) và (4) có tứ giác AGBI là hình bình hành (0,25)
Từ (1) và (6) ; (5) và (2) ta có BG = 2HE và AG = 2HF (0,25)
Lu ý: HS có thể giải bằng cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
