ĐỀ& ĐÁP ÁN THI TUYỂN VÀO 11-THANH TƯỜNG - THANH CHƯƠNG- 2009

Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.. Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích tam giác ABC.. Tìm tọa độ trực tâm H và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH,CĐ

NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I: (3 điểm)

1) Cho phương trình x2 - (m + 1)x + m + 4 = 0, m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2 2

x +x = 2) Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x - m + 8 = 0 , m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Câu II: (3,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2

2

x

 − + =





− + =



2) Giải phương trình : 24 2− x x− 2 = +x 2

3) Giải bất phương trình: (x+4) x2 − ≥9 x2 +3 - 4x

Câu III: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB:

x - y + 1 = 0 và phương trình cạnh AC: 3x + y - 9 = 0 và trung điểm cạnh BC là M(1; - 2) Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích tam giác ABC

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(- 1; 3), C(6; - 4) Tìm tọa độ trực tâm H và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu IV: (0,5 điểm)

Cho các số thực x,y,z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng : x + y + z ≥xy+ yz z+ x

………… Hết …………

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP 11 - LUYỆN THI ĐH,CĐ- THANH TƯỜNG

I-1

(1,5đ)

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 là ∆ > 0 0,25

⇔ (m + 1)2 - 4(m + 4)2 > 0 ⇔ m2 - 2m - 15 > 0 ⇔ m < - 3 v m > 5 (1) 0,25+0,25

1 2 9 ( 1 2) 2x1 2 9 0

⇔ (m + 1)2 - 2(m + 4) - 9 = 0 ⇔ m2 - 16 = 0 ⇔ m = - 4 (T/m (1)) v m = 4 (Loại

do(1))

Kết luận: m = - 4

0,25+0,25

I-2

(1,5đ)

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

0 0 0

S P

′

∆ >



 >



 >



 − − − + >  − − >  < − >

⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ < <

− + >  <  <

Kết luận: 4 < m < 8

1,00

II-1

(1,5đ)

Lấy PT(1) trừ PT(2) theo vế ta có : (x - y)(x + y - 5) = 0

⇔ x = y v x + y - 5 = 0 0,25+0,25 Với y = x Từ PT(1) ta có x2 - x - 6 = 0 ⇔ x = - 2 v x = 3

Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) = (- 2 ;- 2) và (x ;y) = (3 ;3) 0,25+0,25

Với y = 5 - x Từ PT(1) ta có x2 - 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1 v x = 4

Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) = (1 ; 4) và (x ;y) = (4 ; 1)

Kết luận : Hệ phương trình có 4 nghiệm (- 2 ; - 2), (3 ; 3), (1 ; 4), (4 ;1)

0,25+0,25

II-2

(1,00đ)

Điều kiện: 24 - 2x - x2 ≥ 0 ⇔ - 6 ≤ x ≤ 4 0,25

Phương trình đã cho tương đương với

2

x

x v x

 − − = +  + − =  = − =

Kết luận: x = 2

0,25+0,25 +0,25

II-3

(1,00đ)

Điều kiện: x2 - 9 ≥ 0 ⇔ x ≤ - 3 v x ≥ 3

Bất phương trình đã cho tương đương với (x+4) x2 − −9 (x−1)≥0

*Nếu x ≥ 3 thì BPT ⇔ x2 − ≥ −9 x 1 Do vế phải của BPT dương nên

BPT ⇔ (x2 - 9) ≥ (x - 1)2 ⇔ 2x ≥ 10 ⇔ x ≥ 5 (thỏa mãn) 0,25

*Nếu - 4 < x ≤ - 3 thì BPT ⇔ x2 − ≥ −9 x 1 Do VT ≥ 0 > VP nên BPT nghiệm đúng

với - 4 < x ≤ - 3

*Nếu x = - 4 thì nó là nghiệm của bất phương trình

0,25

*Nếu x < - 4 thì BPT ⇔ 2

x − ≤ −x Do VT >0 và VP < 0 nên BPT vô nghiệm

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình S = [− − ∪4; 3] [5;+∞) 0,25

(1,5đ)

Gọi B(t; t + 1) thuộc đường thẳng AB, C(k; 9 - 3k) thuộc đường thẳng AC 0,25

Do M(1; - 2) là trung điểm của đoạn thẳng BC nên ta có hệ phương trình

 + + − = −  =

  Ta có tọa độ B(- 2; - 1), C(4 ; - 3)

0,25

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là uuuur uuurBC =BC =(6; 2)−

Phương trình chính tắc của cạnh BC là 2 1

x+ = y+

− ⇔ x + 3y + 5 = 0 0,25

A = AB ∩ AC Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình

− = − =

 ⇔

 + =  =

  Hay A(2 ; 3)

0,25

Độ dài cạnh BC là BC =|BCuuur|= 62 + −( 2)2 =2 10

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A là ( , ) | 0 2 0 2 | | 2 3.3 5 |2 2 1310

d A BC

a b

+ + + +

0,25

Vậy diện tích tam giác ABC là 1 ( , )

2

ABC

S∆ = BC d A BC = 13 (đvdt)

Kết luận: BC: x + 3y + 5 = 0, S∆ABC = 13 (đvdt)

0,25

III-2

(1,5

đ)

Đường cao AH có một vectơ pháp tuyến là nuuur uuurAH =BC =(7; 7)−

Phương trình đường cao AH là: 7(x - 2) - 7(y - 4) = 0 ⇔ x - y + 2 = 0 0,25 Đường cao BH có một vectơ pháp tuyến là nuuur uuurBH = AC =(4; 8)−

Phương trình đường cao BH là : 4(x + 1) - 8(y - 3) = 0 ⇔ x - 2y + 7 = 0 0,25

H = AH∩BH Tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình

− = − =

 − = −  =

  Hay H(3 ; 5).

0,25

Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

(C) : x2 + y2 + ax + by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 - 4c > 0 0,25

Do A,B, C thuộc đường tròn (C) nên tọa độ của ba đỉnh thỏa mãn hệ phương trình

2 2

2 2

a a

b c

 + + + + =  + + = −  = −

− + − + + = ⇔ − + + = − ⇔ =

 + − + − + =  − + = −  = −



0,25

Phương trình đường tròn (C) : x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0

Kết luận : H(3 ; 5) và (C) : x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 0,25

IV

(0,5đ)

Áp dụng BĐT côsi ta có: x2 + x + x ≥33 x3 =3x Hay ta có x2 +2 x ≥3x

Tương tự ta có 2 2

Cộng theo vế ta có: x2 + y2 +z2 +2( x + y + z) 3(≥ x+ +y z) (1)

Ta có hằng đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy +yz + zx)

(1) ⇔(x+ +y z)2 −2(xy+ yz z+ x) 2(+ x + y + z) 3(≥ x+ +y z)

x

x y z xy yz z

⇔ + + ≥ + +

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

0,25