Chủ đề Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

Chủ đề Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số LôgaritĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN 4 Dạng bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết 6 dạng bài tập Logarit trong đề thi Đại học có giải chi

Chủ đề Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

4 Dạng bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết

6 dạng bài tập Logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

4 dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài tập Hàm số lũy thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Tìm điều kiện xác định của lũy thừa hay nhất

Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay

Dạng bài tập về so sánh các lũy thừa cực hay

Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức lũy thừa cực hay

Dạng 1:Lũy thừa

Trắc nghiệm lũy thừa

Dạng 2:Lôgarit

Trắc nghiệm Lôgarit

Tìm điều kiện để biểu thức logarit xác định hay nhất

Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức logarit cực hay

Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa logarit cực hay

Dạng bài tập biểu diễn logarit này theo logarit khác cực hay

Cách biến đổi đẳng thức đã cho thành đẳng thức logarit cực hay

Cách so sánh biểu thức chứa logarit cực hay

Dạng 3:Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Dạng 4:Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Dạng 5:Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số mũ, logarit, lũy thừa

Chủ đề: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

4 Dạng bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1 Tìm điều kiện về cơ số của lũy thừa

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi cơ số x2 + x + 1 > 0

Do đó, biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi giá trị của x

Ví dụ 4 Biểu thức f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x xác định với

xác định khi và chỉ khi:

Dạng 2 Rút gọn các biểu thức chứa lũy thừa, căn thức

1 Phương pháp giải

Để rút gọn các biểu thức đại số, ta cần linh hoạt sử dụng: các hằng đẳng thức đáng

nhớ; các tính chất của lũy thừa và tính chất của căn thức

Ví dụ 4.Cho các số thực dương a và b Rút gọn biểu

Đáp án: B

Ví dụ 6.Cho x > 0 và y > 0.Rút gọn biểu

thức

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ví dụ 4.Kết luận nào đúng về số thực a nếu

Do 3 > 2 và số mũ nguyên âm nên (*) xảy ra khi:

Dạng 4 Tính giá trị biểu thức lũy thừa

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho 3x = 4 Tính giá trị của biểu thức

Ta có:

Ví dụ 3 Cho 2x = a; 3x = b Hãy biểu diễn A = 24x + 6x + 9x theo a và b

A A = a3b + ab+ b2 B A = a2.b2 + ab + b2 C A = ab3 + ab + a2 D A = a3 + ab+ b2

6 dạng bài tập Logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1 Tìm điều kiện để biểu thức logaf(x) xác định

1 Phương pháp giải

* Để biểu thức logaf(x) xác định thì cần :

+ Cơ số a > 0 và a ≠ 1

+ f(x) > 0

* Chú ý : Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có Δ = b2 − 4ac.

• Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a

• Nếu Δ > 0 thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 ; x2

+ Trường hợp 1 : a > 0 thì f(x) > 0 khi x ∈ (− ∞; x1) ∪(x2; +∞) và f(x) < 0 khi x ∈(x1; x2)

+ Trường hợp 2 a < 0 thì f(x) < 0 khi x ∈ (− ∞; x1) ∪(x2; +∞) và f(x) > 0 khi x ∈(x1; x2)

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Với giá trị nào của x thì biểu thức log2(4x − 2) xác định ?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Điều kiện để biểu thức log2(4x − 2) xác định là:

Ví dụ 2 Với giá trị nào của x thì biểu thức: f(x) = log7( x3 − 3x + 2 ) xác định?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:

Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1 , ta có

loga(bc)= logab + logac

Đặc biệt : với a, b > 0 ; a ≠ 1 thì

loga bα = α logab

Đặc biệt:

* Đổi cơ số của lôgarit

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có

• hay logca logab = logc b

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho a > 0, a ≠ 1 giá trị của biểu thức alog

√a16 bằng bao nhiêu ?

Ta có: A = log212 + 2log25 − log2 15 − log2 150

= log212 + log2 52 − log215 − log2 150

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 4 Cho số dương a khác 1 Tính giá trị biểu thức A = a6log

a352 có giá trị bằngbao nhiêu?

Dạng 3 Rút gọn biểu thức chứa logarit

1 Phương pháp giải

Để biểu diễn lôgarit này theo các biểu thức lôgarit đã cho ta cần:

+ Đổi cơ số của biểu thức lôgarit cần tính theo cơ số của các biểu thức logarit đãcho

( chú ý: mối liên hệ giữa các cơ số với nhau)

+ Sử dụng các quy tắc tính logarit; đổi cơ số

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có a = log315 nên a = log3 3 + log3 5 = 1+ log35

Suy ra, log35 = a − 1

Ví dụ 3 Cho a = log32 và b = log35 Tính log10 60 theo a và b

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có log1060 = log1022.3.5 = 2log102 + log103 + log105

Suy ra, log35 = a − 1

Ví dụ 4 Biết log275 = a; log8 7 = b; log23 = c thì log1235 tính theo a, b, c bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

⇔log35 = 3a

log75 = log72 log23 log35 = abc

+ Sau đó lấy loga 2 vế cơ số thích hợp – dựa vào các đáp án

* Chú ý Các quy tắc tính logarit : Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1, ta có

loga(bc)= loga b + loga c

Đặc biệt : với a, b > 0; a ≠ 1 thì

Theo giả thiết: a2 + b2 = 7ab ⇔ (a + b)2 = 9ab ( cộng 2ab vào 2 vế).

Lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được:

Ví dụ 2 Cho x; y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x2 + 9y2 = 6xy.

Ví dụ 3 Cho a, b là các số thực dương khác 1, thoả mãn loga2b + logb2a = 1 Mệnh

đề nào dưới đây là đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 4 Cho các số dương a, b thõa mãn 4a2 + 9b2 = 13ab Chọn câu trả lời đúng.

2log2(a + b) = log2(a + b)2 = log2(16ab) = 4 + log2a + log2b vậy B đúng

4log4(a + b) = log4(a + b)2 = log4(16ab) = 4 + log4a + log4b vậy C sai

vậy D đúng

Dạng 6 So sánh hai lôgarit cùng cơ số

1 Phương pháp giải

Cho số dương a khác 1 và hai số dương b, c

• Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c

• Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c

Ngoài ra, cần sử dụng các công thức quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit

Ví dụ 2 Trong các số sau, số nào lớn nhất?

Ví dụ 4 Cho hai số thực a; b với 1 < a < b Khẳng định nào sau đây là đúng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta xét các phương án:

+ A sai vì log20162017 > log20162016 = 1

+ B sai vì

+ D sai vì log20172016 < log2017 2017 = 1

Ví dụ 5 Cho hai số thực a, b với 1 < a < b Khẳng định nào sau đây là khẳng địnhđúng?

A logab < 1 < logba B 1 < logab < logba

C logab < logba < 1 D logba < 1 < logab

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Từ giả thiết 1 < a < b nên ta có: loga1 < logaa < logab hay 0 < 1 < logab

Áp dụng công thức đổi cơ số thì 1 < loga

vì logba > 0 nên ta có logba < 1 < logab

4 dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1 Tìm điều kiện về cơ số của lũy thừa

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi cơ số x2 + x + 1 > 0

Do đó, biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi giá trị của x

Ví dụ 4 Biểu thức f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x xác định với

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

f(x) = (x3 − 3x + 2)-3 − 2√x xác định

Để rút gọn các biểu thức đại số, ta cần linh hoạt sử dụng: các hằng đẳng thức đáng

nhớ; các tính chất của lũy thừa và tính chất của căn thức

Ví dụ 2.Viết biểu thức về dạng lũy thừa 2m ta được m = ?.

Ví dụ 5.Cho các số thực dương a và b Rút gọn biểu

A -1 B 1 C 2 D – 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ví dụ 6.Cho x > 0 và y > 0.Rút gọn biểu

thức

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Dạng 3 So sánh các lũy thừa

1 Phương pháp giải

Để so sánh hai lũy thừa ta sử dụng tính chất sau:

+ Tính chất 1

+ Tính chất 2 So sánh lũy thừa khác cơ số:

<=> (3a+ 9)3 < (3a+ 9)2 (*)

Do 3 > 2 và số mũ nguyên âm nên (*) xảy ra khi:

Dạng 4 Tính giá trị biểu thức lũy thừa

Ví dụ 2 Biết rằng 2x = 5 Tính giá trị của biểu

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có: A = 24x + 6x + 9x

A = (23 3)x + (2 3)x + (32)x

Cho hàm số lũy thừa y = [f(x)]α :

+ Nếu α nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x ∈ R

+ Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số xác định với mọi x ≠ 0.+ Nếu α không nguyên thì hàm số xác định với mọi x > 0

a Hàm số lũy thừa y = xα có (α ∈ R) đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và (xα)' = αxα − 1

b Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì y = uα(x) cũng

có đạo hàm trên J và (uα(x))' = α uα − 1(x) u'(x)

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số

Do đó, biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi giá trị của x.

Ví dụ 4 Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau:

Ví dụ 6 Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa

1 Phương pháp giải

Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức, lũy thừa ta cần sử dụng linh hoạt các tính

chất của lũy thừa, các hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho hai số dương a; b và m,n ∈ R Khi đó ta có công thức sau

Ví dụ 4 Cho số thực dương a, b Rút gọn biểu thức

Đáp án: D

Ví dụ 9 Đơn giản biểu thức (a;b > 0; a ≠b)ta được

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 10 Cho a > 0; b > 0 .Biểu thức thu gọn của biểu

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có:

Ví dụ 12 Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu

Ví dụ 15 Đơn giản biểu thức ta được:

Do 3 > 2 và số mũ nguyên âm nên (*) xảy ra khi:

Ví dụ 9 Kết luận nào đúng về số thực a nếu

A 0 < a < 1 B a > 0 C a > 1 D a < 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Theo giả thiết ta có:

Do 0, 6 < 3 và có số mũ không nguyên nên a0,6 < a3 khi a > 1

Ví dụ 10 Kết luận nào đúng về số thực a nếu

A a < 0 B a > 0 C.0 < a < 1 D a > 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Do

và số mũ không nguyên nên từ (*) suy ra 1 − a > 1 ⇔ a < 0

Ví dụ 11 Kết luận nào đúng về số thực a nếu

Trong các phương án chỉ có phương án A đúng.

Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức lũy thừa cực hay

Ví dụ 3 Biết rằng 2x = 5 Tính giá trị của biểu

thức

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Ví dụ 4 Cho 2x = a; 3x = b Hãy biểu diễn A = 24x + 6x + 9x theo a và b

A A = a3b + ab+ b2 B.A = a2.b2 + ab+ b2 C.A = ab3 + ab + a2 D.A = a3 + ab +

A Phương pháp giải & Ví dụ

• Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2) Số a được gọi là căn bậc n của số

b nếu an = b

• Chú ý:

Số mũ α Cơ số a Lũy thừa a

2 Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho khi đó giá trị của biểu thức f(1,3) bằng bao nhiêu?

Bài 1: Cho khi đó giá trị của biểu thức f(1,3) bằng bao nhiêu?

Hiển thị đáp án

Vì x = 1, 3 > 0 nên ta có:

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau:

Hiển thị đáp án

Bài 3: Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức

Bài 6: Rút gọn biểu thức

Hiển thị đáp án

Bài 7: Cho các số thực dương a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

Hiển thị đáp án

Bài 8: Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức.Tìm m và n

Hiển thị đáp án

Trắc nghiệm lũy thừa

Bài 1: Giá trị của biểu thức A = (a+1)-1 + (b+1)-1 với a = (2+√3)-1 và b = (2-√3)-1

Bài 4: Viết biểu thức về dạng lũy thừa 2m ta được m=?.

A a - b B a - b2 C b - a D a3 - b3

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Bài 11: Rút gọn biểu thức sau ta được:

A a+b B √a-√b C √a+√b D a-b

Bài 16: Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2a+1)-3 > (2a+1)-1

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Do -3 < -1 và số mũ nguyên âm nên (2a+1)-3 > (2a+1)-1 khi

Bài 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho hai số dương a,b với a ≠ 1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit

cơ số a của b và kí hiệu là logab Ta viết: α = logab ⇔ aα = b

2 Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có:

• logaa = 1, loga1 = 0

• alog

ab = b, loga(aα) = α

3 Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có

• loga(b1.b2) = logab1 + logab2

4 Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a,b1, b2 với a ≠ 1, ta có

•

Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

♦ Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 Viết : log10b = logb = lgb ♦ Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Viết : logeb = lnb

Ví dụ minh họa

Bài 1: Rút gọn biểu thức B

Hướng dẫn:

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức P (với 0 < a ≠ 1; 0 < b ≠ 1).

Hướng dẫn:

Bài 3: Tính log2415 theo a, b , biết log25 = a, log53 = b

Hướng dẫn:

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các số dương a, b, c, d Tính giá trị của biểu thức

Bài 1: Cho các số dương a, b, c, d Tính giá trị củabiểu thức

Hiển thị đáp án

Bài 2: Cho a,b > 0 và a, b ≠ 1, biểu thức có giá trị bằngbao nhiêu?

Hiển thị đáp án

các số thực dương) Hãy biểu diễn x theo a, b, c

Hiển thị đáp án

Bài 4: Biết logab=2, logac = -3 Tính giá trị của biểu thức

Hiển thị đáp án

Bài 5: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏamãn

Từ giả thiết suy ra:

Bài 5: Cho x > 0; y > 0 Viết biểu thức về dạng xm và biểuthức về dạng yn Ta có m-n=?

Bài 8: Cho b là số thực dương Biểu thức được viết dưới dạng lũy thừavới số mũ hữu tỉ là:

Bài 11: Rút gọn biểu thức sau ta được:

A a+b B √a-√b C √a+√b D a-b

Bài 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Tìm điều kiện để biểu thức logarit xác định hay nhất

1 Phương pháp giải

* Để biểu thức logaf(x) xác định thì cần :

+ Cơ số a > 0 và a ≠ 1

+ f(x) > 0

* Chú ý : Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có Δ = b2 − 4ac

• Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a

• Nếu Δ > 0 thì phương trình f(x)= 0 có hai nghiệm x1 ; x2

+ Trường hợp 1 : a > 0 thì f(x) > 0 khi x ∈ (−∞; x1) ∪ (x2; +∞) và f(x) < 0 khi x ∈(x1; x2)

+ Trường hợp 2 a < 0 thì f(x) < 0 khi x ∈ (−∞; x1) ∪ (x2; +∞) và f(x)> 0 khi x ∈(x1; x2)

Vậy tập xác định của biểu thức là D = [0; +∞)\{2}

Ví dụ 3 Với giá trị nào của x thì biểu thức C = ln (x2 − 5x +6) xác định?

Ví dụ 5 Điều kiện xác định của biểu thức là

Đáp án: B

Biểu thức lg(x2 − 2mx + 4) có nghĩa với mọi số thực x khi và chỉ khi :

1 Phương pháp giải

* Để tính giá trị của một biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tínhlogarit và đổi cơ số của logarit

* Các quy tắc tính logarit :

Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1 , ta có

loga(bc) = logab + logac

Đặc biệt : với a, b > 0; a ≠ 1 thì

logabα = αlogab

Đặc biệt:

* Đổi cơ số của lôgarit

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1,c ≠ 1 ta có

• hay logca logab = logc b

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho a > 0,a ≠ 1 giá trị của biểu thức alog

√a16 bằng bao nhiêu ?

A 16 B 4 C 32 D 256

Hiển thị đáp án

Ta có: A = log212 + 2log25 − log215 − log2150

= log212 + log252 − log215 − log2150

Ví dụ 3 Cho a > 0, tính bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 4 Cho số dương a khác 1 Tính giá trị biểu thức A = a6log

a352 có giá trị bằngbao nhiêu?

Ví dụ 6 Cho a > 0,a ≠ 1 biểu thức có giátrị bằng

A 4lna +6loga4 B 4lna C 0 D.4logae

Do đó,

Hiển thị đáp án

Ví dụ 11 Kết quả rút gọn của biểu thức

Để biểu diễn lôgarit này theo các biểu thức lôgarit đã cho ta cần:

+ Đổi cơ số của biểu thức lôgarit cần tính theo cơ số của các biểu thức logarit đãcho

(chú ý: mối liên hệ giữa các cơ số với nhau)

+ Sử dụng các quy tắc tính logarit; đổi cơ số

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho log25 = a; log35 = b Khi đó log65 tính theo a và b là

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có: log2 5 = a và log3 5 = b nên

Ví dụ 2 Cho lg3= a ; lg2= b Khi đó giá trị của log12530 được tính theo a là: