chuyên đề toán 6

Tìm số tự nhiên abc biết abc aa bc abcabc... Vì sao bạn đọc tự giải thích nhé.. Vậy  này bằng 4 , thay vào phép tính và thực hiện phép nhân là có đợc cách điền chữ số thích hợp cho sơ đ

Một số cách giải bài toán tìm chữ số của lớp 6

Ngời viết : Tạ Phạm Hải

Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình A.Kiến thức hỗ trợ

 Nếu a là một chữ số thì 0  a  9

 Mỗi số tự nhiên chỉ có một cách phân tích thành tổng chuẩn Ví dụ :

.10

.100 10

ab ao b a b

 Các dấu hiệu chia hết cho 2 , 4 , 5 , 25 , 3 , 9

 Tổng các chữ số của số tự nhiên n ký hiệu là S(n) Ví dụ S abc( )  a b c

 Các tính chất chia hết của một tổng , hiệu , tích

B Một số cách giải – ví dụ minh họa ví dụ minh họa

I.phơng pháp lựa chọn

Nội dung : 1) Tìm một dấu hiệu để lựa chọn

2) Xét mọi trờng hợp xảy ra để lựa chọn kết quả đúng

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abc biêt nó đồng thời thỏa mãn hai điều kiện :

2 7

b a









Giải : Ta chọn dấu hiệu lựa chọn là các giá trị của a ( Vì sao ? Bạn hãy tự giải thích )

ĐK : 0 < a , b , c < 10 Vì b = 2a nên a ∈ { 1 ; 2 ;3 ; 4 } , có bảng sau :

Đáp số: Số phải tìm là 485

Ví dụ 2 : Điền các chữ số thích hợp vào vị trí các dấu  và các chữ sao cho dãy tính sau đây

là đúng ( a a) 123

Giải : Đk 0 < a < 10 Dấu hiệu lựa chọn là các giá trị của a

Vì 123 lẻ nên a lẻ và là ớc của 123 vậy a ∈ { 1 ; 3 } , nên ta lựa chọn nh sau :

 Nếu a = 1 thì ( 1).1 123   122, vậy ta cần phân tích 122 thành tích của hai thừa số trong đó có một thừa số có hai chữ số và một thừa số có một chữ số Vậy chỉ có 122 = 61.2 ta có cách điền là ( 61.2 + 1).1 + 1 = 123

 Nếu a = 3 thì ( 3)3 123    3 41  38 Tơng tự lý luận trên ta có 38 = 38.1 = 19.2 , ta có các cách điền nh sau :

( 38.1 + 3 ).3 = 123 và ( 19.2 + 3 ).3 = 123

Đáp số : Ta có 3 cách điền nh trên

Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên abcd biết ab cd bbb

Giải : ĐK 0 < a , b , c < 10 và 0  d < 10

Ta có : ab cd bbb  ab cd b.111b.3.37.Vì b.3.37 < 37.37 mà 37 là một số nguyên tố nên ab và cd chỉ có một số chia hết cho 37

 Nếu ab thì 37 ab 37;74

Xét ab 37 ta có a = 3 và b = 7 thay vào đề bài ta đợc cd 777 : 37 21 vậy số phải tìm

là abcd 3721

Xét ab 74thì a = 7 và b = 4 thay vào đề bài ta có cd 444 : 74 6 vô lý ( Loại )

 Nếu cd 37thì cd 37;74

Xét cd 37thì c = 3 và d = 7 , thay vào đề bài ta đợc ab b 3 vì b.3 có tận cùng b mà b

≠ 0 nên b = 5 và a = 1 Thử lại 15.37= 555 thỏa mãn , vậy số phải tìm là abcd 1537 Xét cd 74 thì c = 7 và d = 4 , Thay vào đề bài ta đợc ab.2b.3 20.a + 2b = 3b vô lý

Đáp số : Số phải tìm là 1537 ; 3721

Bài tập luyện tập ph ơng pháp :

1 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu hai chữ số của số đó bằng 5 và tích hai chữ

số của số đó bằng 24

2 Tìm số tự nhiên ab biết :

4)









3 Tìm số tự nhiên abc biết abc aa bc abcabc 

II.Phơng pháp chữ số tận cùng

Một số chú ý :

- Hai số có chữ số tận cùng giống nhau thì tích của chúng chỉ có thể có tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9

- Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì tận cùng chỉ có thể là một trong các số 0 ; 2 ; 6

- Nội dung phơng pháp này là căn cứ vào các đặc điểm về số tận cùng của các thành phần trong dãy tính để suy luận tìm ra kết quả

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abc biết abc bc c  487

Giải :

Đặt phép toán đã cho thành cột dọc ta có

abc Xét hàng đơn vị ta thấy c.3 có tận cùng là 7 nên c = 9 và phép cộng có nhớ 2 sang + bc hàng chục Xét hàng chục b.2 + 2( nhớ) có tận cùng 8 nên b.2 có tận cùng là 6

c nên b = 3 hoặc b = 8

487 + Nếu b = 3 thì a = 4 ta có đáp số là 439

+ Nếu b = 8 thì a = 3 ta có đáp số là 389

Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên abc biết abc 7.bc

Giải :

ĐK : 0 < a ; b < 10 ; 0  c < 10 Đặt phép toán thành cột dọc ta có

bc Xét hàng đơn vị c.7 có tận cùng là c nên c = 0 hoặc c = 5 Nếu c = 0 thì xét

x 7 phép nhân ở hàng chục b.7 có tận cùng là b mà b ≠ 0 nên b = 5 khi đó a = 3 abc Nếu c = 5 thì có nhớ 3 sang hàng chục , Xét phép nhân ở hàng chục lúc này là

b.7 + 3( nhớ) có tận cùng b điều này không xảy ra vì nếu b lẻ thì b.7 + 3 chẵn

và nếu b chẵn thì b.7 + 3 lại có tận cùng lẻ

Đáp số : Số phải tìm là 350

Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên abcd biết dac c: abc với a , b , c, d là các chữ số khác

nhau và khác 0 Giải :

Chuyển thành phép nhân rồi đặt thành cột dọc ta có :

abc Xét phép nhân ở hàng đơn vị ta có c.c có tận cùng là c mà c ≠ 0 nên c = 1 hoặc

x c c = 5 hoặc c = 6 Lại vì a , b , c , d khác nhau nên c ≠ 1

dac Nếu c = 5 , vì tích là số có 3 chữ số nên a = 1.Khi đó phép nhân ở hàng chục sẽ

là 5.b + 2( nhớ từ hàng đơn vị) có tận cùng là 1 vô lí

Nếu c = 6 ta cũng suy ra a = 1 Khi đó phép nhân ở hàng chục sẽ là 6.b + 3( nhớ từ hàng

đơn vị) có tận cùng là 1 nên 6.b có tận cùng là 8 , vậy b = 3 hoặc b = 8

Với b = 3 thì d = 8 , ta đợc đáp số là 1368

Với b = 8 thì d = 11 ( loại )

Bài tập luyện tập phơng pháp Bài 1 : Tìm số tự nhiên abcd biết

abcd bcd cd d

abcd bcd cd d

Bài 2 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết thêm một chữ số vào bên trái

số đó thì đợc số mới gấp k lần số ban đầu với k là một số chẵn nhỏ hơn 10

Bài 3 : Tìm abcdebiết abcd acac cdebc  

III Phơng pháp chặn

Nội dung : Xét sự lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một thành phần thích hợp trong dãy tính để

thu hẹp khu vực phải khảo sát , từ đó dễ dàng sử dụng các tính chất của phép tính và chữ số

để tìm ra kết quả

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên xyz biết x5.3yz 7850

Giải :

ĐK : 0  x ,y , z  9 và x≠ 0

Ta thấy x < 3 vì nếu x ≥ 3 thì x5.3yz 35.300 10500 7850 

x > 1 vì nếu x = 1 thì x5.3yz 15.399 5985 7850  Vậy x = 2 Khi đó ta

có 3yz 7850 : 25 314  yz14 Vậy số phải tìm là 214

Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên abcd biết abcd abc ab a   4321

Giải :

ĐK : 0  a , b , c , d  9 và a≠ 0 Bài tập đã cho viết đợc thành : Tìm số tự nhiên abcd

biết aaaa bbb cc d   4321 ( Vì sao bạn đọc tự giải thích nhé ).

Ta thấy a < 4 vì nếu a ≥ 4 thì aaaa  4444 4321 

a > 2 vì nếu a  2 thì aaaa bbb cc d   2222 999 99 9 3329 4321     Vậy a = 3 , khi đó ta có bbb cc d  4321 3333 988  Bằng cách lý luận nh trên

ta thấy b < 9 và b > 7 vì nếu b  7 thì bbb cc d  777 99 9 885 988    Vậy b = 8 , khi đó cc d 988 888 100  Đến đây chỉ có thể có một phân tích là 100 = 99 + 1.

Từ đây có đáp số : abcd = 3891

Ví dụ 3 : Điền chữ số thích hợp vào các dấu  trong sơ đồ phép nhân sau đây để phép tính

là đúng

624





2



Giải :

Vì tích riêng thứ nhất là số có 3 chữ số nên hàng đơn vị của số nhân phải bằng 1 Từ đó suy ra tích riêng thứ nhất là 624 Xét tích riêng thứ hai 624. = 2 nên  hàng chục của số nhân phải lớn hơn 3 vì nếu nhỏ hơn hoặc bằng 3 thì ta có

624.  624.3 = 1872 < 2

Mặt khác  hàng chục của số nhân phải nhỏ hơn 5 vì nếu lớn hơn hoặc bằng 5 thì :

624.≥ 624.5 = 3120 > 2 Vậy  này bằng 4 , thay vào phép tính và thực hiện phép nhân là có đợc cách điền chữ số thích hợp cho sơ đồ phép tính

Bài tập luyện tập phơng pháp

1 Tìm số tự nhiên xyz biết 4 5 17395yz x 

2 Tìm số tự nhiên abc biết :

)

a abc ab a

b a b c abc

  

3 Tìm số tự nhiên xy biết xx y xyyx

IV Phơng pháp dùng cấu tạo số và tính chất của phép tính

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abc biết abc ab bc ca  

Giải :

ĐK : 0 < a , b , c < 10 Ta có : abc ab bc ca  

 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c  89a = b + 10c = cb Vậy a = 1 b = 9 ; c = 8

Đáp số : số phải tìm là 198

Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm chen vào giữa hai chữ số

của số đó một số có hai chữ số kém số phải tìm một đơn vị thì đợc số mới gấp 91 lần sô phải tìm

Giải :

Gọi số phải tìm là ab , số viết thêm chen vào giữa là ac với c = b – ví dụ minh họa 1 và a > 0

Theo bài ra ta có : 91 (1)

1(2)

c b





 



Từ (1) ta có :

100 10 91.(10 ) 1100 10 910 91

Mà c = b – ví dụ minh họa 1 nên ta có 19a + b – ví dụ minh họa 1 = 9b Hay 19a = 8b + 1 Do 8b + 1  8.9 + 1 = 73 nên ta có 19a  73  a  3 ; lại vì 8b + 1 lẻ nên a lẻ Vậy a = 1 hoặc a = 3

Nếu a = 1 thì 8b = 18 vô lý

Nếu a = 3 thì 8b = 56  b = 7 , Vậy số phải tìm là 37

Ví dụ 3 : Điền chữ số thích hợp vào các dấu  trong sơ đồ phép chia sau để cho phép tính là

đúng 1 0  

 2  7

0 



0

Giải : Số d thứ nhất là 0 nên tích riêng thứ nhất là 10 và  chia là 5 Vì  hàng chục của số

bị chia hạ xuống không chia đợc , phải hạ tiếp  hàng đơn vị nên  hàng chục của thơng là 0 , khi đó tích riêng thứ hai cũng là hai sao cuối của số bị chia và bằng 7.5 = 35 Từ đó ta có cách điền thích hợp là 1035 5

10 207

035 35 0

Bài tập luyện tập phơng pháp

1 Tìm số tự nhiên xa biết 0 04 40 0x x  x x x 040x11 0 0a a a

2 Tìm số tự nhiên abc biết abc acb 1444

3 Tìm số tự nhiên abc biết 0, a a b ab c bc b ,  ,  ,

4 Tìm số tự nhiên abc biết abc ab ac ba bc ca cb     

IV.Phơng pháp vận dụng tính chất

của phép chia các số tự nhiên

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên xybiết rằng xx xy xyy xy  

Giải :

ĐK : 0  x,y  9 và x ≠ 0

Ta thấy xx xy xy  và xy xy nên xyy xy Vậy xy.10 y xy  y = 0 , thay vào đề bài

ta có xx x 0  x 00  x 0  x 11 .10 x  x 100  x 10  x 110 x x  110 vậy x = 1

Đáp số : số phải tìm là 10

Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên abc biết abbc ab ac  7

Giải :

ĐK : 0  a , b , c  9 và a ≠ 0

Ta có abbc ab ac  7  ab.100bc ab ac 7 bc ab vậy bc k ab với k là số tự nhiên nhỏ hơn 10 Thay vào bài ta có : ab.100k ab ab ac  7100 k 7.ac Ta tiếp tục biến đổi nh sau : 100   k 7 ac  98 2    k 7 ac  k   2 7 Vì k < 10 nên k = 5, thay vào

đợc ac  và bài toán trở thành tìm b biết 15 1 5 1 15.7 bb  b

1005 10 1 105

945 60 110 1 105 945 105 (60 5 ) 105

60 5 105

b





Vì 945 105

Vì 0 < 60 + 5b  60 + 45 = 105 nên b = 9

Vậy số phải tìm là 195

Ví dụ 3 : Cho một số tự nhiên khác 0 , Nếu viết thêm một số tự nhiên có 2 chữ số ( cả 2

chữ số đều khác 0) vào bên phải số đó thì ta đợc số mới hơn số đã cho là 1993 đơn vị Tìm

số đã cho và số viết thêm

Giải :

Gọi số đã cho là N và số viết thêm là xy với xy ≠ 0 Theo bài ra ta có :

1993

Nxy N  trong đó N trong số Nxy là số trăm của số này.

 N.100 + xy – ví dụ minh họa N = 99N + xy = 1993

Nếu xy = 99 thì 1993 chia hết cho 99 vô lý

Nếu xy < 99 thì xy là số d trong phép chia 1993 cho 99 mà 1993 chia cho 99 đợc thơng là 20 và d là 13

Đáp số : Số đx cho là 20 và số viết thêm là 13

Ví dụ 4 : tìm số tự nhiên xy biết rằng xx2 yy2 xxyy

Giải :

ĐK : 0 < x , y < 10

Ta có : xx2  yy2 xxyy

 xx xx yy yy xx   00yy

 x2.121 + y2.121 = x.11.100 + y.11

11x2 + 11.y2 = 100.x + y hay 11.( x2 + y2) = 99.x + ( x + y ),() ⇒ x + y 11 Vậy x + y = 11 vì x và y l các chữ số khác 0 Thay x + y = 11 vào biểu thức (à các chữ số khác 0 Thay x + y = 11 vào biểu thức ( ) ta có : 11.( x2 + y2) = 99.x + 11 Vậy : x2 + y2 = 9 x + 1 Ta có bảng lựa chọn nh sau :

x x2 + y2 = 9 x + 1 y2 y

Thử lại

1 1 + y2 = 10 9 3 13 112 + 992 = 9922

2 4 + y2 = 19 15 Không có Loại

5 25 + y2 = 46 21 Không có Loại

8 64 + y2 = 73 9 3 83 882 + 332 = 8833

9 81 + y2 = 82 1 1 91 992 + 112 = 9922

Từ bảng trên ta có đáp số là 83

Bài tập luyện tập phơng pháp

1 Tìm số tự nhiên xy biết (xx yy x y ) 1980

2 Tìm số tự nhiên xy biết xy( x + y) = 900

3 Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó

4 Tìm số tự nhiên N và số tự nhiên 1 8 9a bc d biết N.10001 = 1 8 9 a bc d

V Phối hợp linh hoạt các phơng pháp

khi giải bài tập tìm chữ số lớp 6

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên abbiết rằng aabb 99.ab

Giải : ĐK : 0  a , b  9 và a ≠ 0

Cách 1 : aabb99.ab

 aa 100  bb  11.9 ab  a 11.100  b 11 11.9  ab ( Dùng phân tích số )

 100a + b = 9(10a + b) ( Chia hai vế cho 11 )

 99a + ( a + b) = 9(10a + b) (1)  ( a + b) 9

Vậy a + b = 9 hoặc a + b = 18 ( Dùng tính chất chia hết )

Nếu a + b = 9 , thay vào (1) ta có 11a + 1 = 10a + b  a + 1 = b mà a + b = 9

nên a = 4 và b = 5 Ta có số phải tìm là 45

Nếu a + b = 19 thì a = b = 9 thay vào (1) ta có 99.9 +18 = 9.(10.9 + 9) có thể tính nhanh nh sau  99 + 2 = 90 + 9 vô lý , vậy trờng hợp này không xảy ra

Đáp số : số phải tìm là 45

Cách 2 : aabb 99.ab

 aabb100.ab ab  aabb ab ab  00 Đặt thành cột dọc ta có

aabb Xét phép cộng ở hàng đơn vị ta thấy b + b có tận cùng là 0 vậy b = 0 hoặc b = 5 + ab Nếu b = 0 , khi đó xét phép cộng ở hàng chục ta thấy 0 + a có tận cùng 0 nên ab00 phải có a = 0 , vô lý

Nếu b = 5 thì khi đó xét phép cộng ở hàng chục 5 + a + 1( nhớ)có tận cùng là 0 nên a = 4 Thử lại 99.45 = 4455 đúng Đáp số : Số phải tìm là 45

Cách 3 : aabb 99.ab

 11 0a b11.9.ab a b ab0  9 (1) Từ (1) : b.9 có tận cùng là b nên b = 0 hoặc b = 5

Nếu b = 0 thì thay vào (1) có a.100 = a.10.9 vô lý

Nếu b = 5 thay vào (1) ta có 100a + 5 = 90a + 45  10a = 40  a = 4

Đáp số : số phải tìm là 45.

Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên n biết rằng 2n + 3S(n) = 191 S(n) là tổng các chữ số của n

Giải :

a Dùng phơng pháp chặn để giảm bớt trờng hợp phải xét

Vì S(n) ≥ 1 nên 2n  188 hay n  94 Vậy n chỉ có thể có một hoặc hai chữ số Nếu n có chữ số thì S(n) = n Khi đó ta có 2n + 3S(n) = 2n + 3n = 5n = 191, loại vì

191 không chia hết cho 5

Nếu n là số có 2 chữ số , đặt n = ab thì S(n) = a + b Thay vào đề bài ta có :

2 ab + 3( a + b) = 191 (*)

b Dùng cấu tạo số để phân tích thu gọn dãy tính

(*)  2( 10a + b) + 3a + 3b = 191  20a + 2b + 3a + 3b = 191  23a + 5b = 191

c Dùng phơng pháp số tận cùng để tìm đáp số

Vì 5b có tận cùng là 0 hoặc 5 nên để tổng có tận cùng là 1 thì 23a phải có tận cùng

là 1 hoặc 6 suy ra khi đó a bằng 7 hoặc 2

- Nếu a = 7 thì b = ( 191 – ví dụ minh họa 23.7 ) : 5 = 6 , ta có đáp số n = 76

- Nếu a = 2 thì b = ( 191 – ví dụ minh họa 23.2 ) : 5 = 29 > 9 ( loại )

Đáp số : Số phải tìm là 76

Bài tập luyện tập phơng pháp

1 Tìm số t nhiên abcd biết abcd = 1962 + a + b + c + d

2 Tìm số tự nhiên abcd biết abc dab aa  2

3 Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 555

4 Tìm số tự nhiên abc biết

)

a abc abc

b abc ca ca ac



Bài tập luyện tập chung

1 Tìm số tự nhiên ab :

a aaaa b baaaa

b ab b bb a a a

 

) )2 2 36

c abc aa aaaa





2 Tìm số tự nhiên abc biết : a ab abc bcb  

3 Tìm số tự nhiên abcd biết :

1)

4) 9 0

a abc bcd abcabc

abcd abc ab a

abcd abc abd

abcd a bcd





6)( 0, 0, ).0, 19,83

abcd ab cd

ab cd a bcd

ab a c d d c

4 Tìm số tự nhiên ab biết :

132 1)

4 ( ) 405

2)

.( ) 486

ab ba

a b

ab a b

ba a b

  





 







 



1855 3)

45 11 4)

, , 2, 7

ab ba

a b

b a a b





  



 







5 Tìm số tự nhiên n biết rằng

a) n + S(n) = 230 d) n + S(n) = 814

b) n + 2S(n) = 96 e) n + 5S(n) = 2088

c) 2n + 3S(n) = 4044 f) n – ví dụ minh họa 5S(n) = 1992

6 Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 90 và d 13

7 Tìm số tự nhiên có 4 chữ số sao cho khi chia số đó cho 9 ta đợc thơng cũng là một số

có 4 chữ số nh thế nhng đợc viết theo thứ tự ngợc lại

8 Tìm số tự nhiên abcbiết abc a b c.(   ) 1000

9 Tìm số tự nhiên abcdeg biết abcdegab cd eg  123558

10.Một ô tô đi với vận tốc đều , lúc 12 giờ nó vợt cột cây số ghi xz km , lúc 13 giờ cùng ngày vợt cột cây số ghi zxkm , lúc 14 giờ cùng ngày nó vợt cột cây số ghi

xyz km Tính vận tốc của ô tô đó