1 TÍNH đơn điệu của hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐI ĐỊNH NGHĨA: Gọi K là kí hiệu của một khoảng, đoạn, hay nửa khoảng.. + fx được gọi là đồng biến trong a,b ① Định lý trên vẫn đúng trong trường hợp xét tính đơn

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I) ĐỊNH NGHĨA:

Gọi K là kí hiệu của một khoảng, đoạn, hay nửa khoảng

Cho hàm số y = f(x) xác định trong K Khi đó:

+ f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu:

II) ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)

+ f(x) được gọi là đồng biến trong (a,b)

① Định lý trên vẫn đúng trong trường hợp xét tính đơn điệu trên đoạn, khoảng hay nữa khoảng

nhưng phải xét thêm f(x) liên tục trên đoạn, nữa khoảng đó Cụ thể:

• f(x) được gọi là đồng biến trong (a,b)

( ) 0 ( ),

f x′ x a b

và

( ) 0

f x′ =

tại một số hữu hạn điểm trên (a,b).

• f(x) được gọi là nghịch biến trong (a,b)

( ) 0

f x′

⇔ ≤ ∀ ∈x ( )a b,

và

( ) 0

f x′ =

tại một số hữu hạn điểm trên (a,b).

BÀI TẬP DẠNG 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính

( )

f x′

Tìm những điểm mà tại đó

( ) 0

f x′ =

và

( )

f x′

không xác định

- Lập BBT ( nhớ đưa miền xác định của hàm số vào BBT)

- Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến

*NHẮC LẠI: Cách tính nhanh đạo hàm

1)

ax b y

cx d

+

= +

( − ) ′ → = + 2 ad bc y cx d 2) 2 1 1 1 2 2 2 2 a x b x c y a x b x c + + = + + ( ) + + ′ → = + + 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a c b c x x a b a c b c y a x b x c Ví dụ: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) 3 6 2 9 y x= − x + x

b) 3 2 4 2 3 3 y= x − x + −x

c) 1 1 x y x + = −

CHÚ Ý: Kết luận SAI Kết luận ĐÚNG d) 2 4 y= x −

2

x 3 2

3 2

x y

x

− +

=

−

TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Cho hàm số

3 1

x y x

− +

= +

Khẳng định nào đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên tập

{ }

\ −1

¡

B. Hàm số nghịch biến trên

( )1; 2

C. Hàm số nghịch biến trên

(−2; 2)

D. Hàm số nghịch biến với mọi x≠ −1

Câu 2: Hàm số

2

1

x y

x

− +

=

−

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(1;+ ∞)

B.

(0; 2)

C.

(−∞;0)

D.

(−∞;1)

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên

khoảng

(−1;1)

?

A.

1

y x

−

=

B.

1

y x

=

C.

2

1

y x

=

D.

3

x 3 1

y= − +x

Câu 4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡

?

A.

1

y x

x y x

y x

=

−

C.

2 31

x y x

x y

B. Hàm số có 1 khoảng đồng biến, 2 khoảng nghịch biến

C. Hàm số có 2 khoảng đồng biến, 1 khoảng nghịch biến

D. Hàm số có 1 khoảng đồng biến, 1 khoảng nghịch biến

Câu 7: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

CHÚ Ý: Nếu a có chứa tham số thì phải xét a = 0 trước.

③Khi dấu của y ’ là dấu của biểu thức khác.

Cách 1:( Dùng được khi y’ có GTLN và GTNN trên D)

x m

+

=+

nghịch biến trên từng khoảng xác định

CHÚ Ý:

Không có dấu “=”

b) 3 2 1 4 3 3 y= x +mx + x+ đồng biến trên ¡

c) 2 4 2 1 2 mx x m y x − + − = − nghịch biến trên từng khoảng xác định

d) y = sin2x – mx đồng biến trên tập xác định

TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Tìm m để hàm số

4 5

mx m y

x m

=

+

đồng biến trên từng khoảng xác định

A. − < <5 m 1

B.

< − >

m hay m

C.

m hay m

D. − < <5 m 1

Câu 2: Cho hàm số

4

mx m y

x m

+

= +

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác

định?

Câu 3: Tập hợp các tham số m để hàm số

= − + + +

đồng biến trên ¡

là một đoạn có

dạng [ ]a b;

Tính

+

a b

?

thì giá trị m nhỏ nhất là

+

mx m y

x

đồng biến trên từngkhoảng xác định?

Câu 9: Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số

1x3

24

3

− ≤ ≤m

B.

24

A.

22

≥

m

B.

22

≥

m

C.

22

≤

m

D.

22

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’= 0 (giả sử x1 < x2)

Lập bảng biến thiên, từ đó tìm điều kiện của x1, x2 với

< < ⇔ <



(∆ > ) ( )



< < ⇔  − − <



0

0

x n x

x n x n

Cách 2: Cô lập m



③Khi dấu y ’ là dấu của biểu thức khác ta cô lập m.

Ví dụ: Tìm m để:

a)

2

mx y

x m

+

= +

đồng biến trên

(3;+∞)

b) 2 2 1 x x m y x − + = + Đồng biến trên ( ) 2;+∞ Cách 1: Dùng ∆

Cách 2: Cô lập m

c) ( ) ( ) 3 1 2 2 2 3 2 y x= + m− x − m + m+ nghịch biến trên ( )2,3 Cách 1: Dùng ∆

Cách 2: ( Khi y’ dễ tìm nghiệm x theo m)

Cách 3: Cô lập m

TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm m để hàm số

1

x y

A

49

=

m

B

94

=

m

C

32

=

m

D

23

=

m

mx m y

x m

Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên của m để hàm số nghịch biến trên

(−1;3) Số phần tử của S là

x y

Câu 9: Tìm m

để hàm số

tan 2tan

−

=

−

x y

nghịch biến trên khoảng

(0;π)

A

527

và đồng biến trên

(0;+ ∞)

Ứng dụng 2: Chứng minh bất đẳng thức f x( ) ( )>g x x∀ ∈( )a b,

Phương phỏp:

 Cỏch 1: -Đưa f x( ) ( )>g x ⇔ =y f x g x( ) ( )− > ∀ ∈0 x ( )a b,

- Lập BBT của hàm số

( ) ( )

y f x g x

trờn (a, b) Từ đú suy ra đpcm

 Cỏch 2: - Đưa f x( ) ( )>g x ⇔h( ) ( )α >h β

- Đặt h(x), chứng minh

Đ B trên , NB trên ,

hoặc

Suy ra

( ) ( )α > β

③

Ứng dụng 3: Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh.

Phương phỏp:

 Cỏch 1: - Chuyển phương trỡnh về dạng f(x) = 0

- Sử dụng định lớ

( ) ( )



đơn điệu trên D

0 vớ i x

f x

( ) 0 có nghiệm duy nhất x=x0

f x

 Cỏch 2: - Chuyển phương trỡnh về dạng f(u) = f(v)

- Xột y = f(t) trờn tập xỏc định

D D D

- Sử dụng định lớ

( ) ( ) ( )





đơn điệu trên D

vớ i u,v D

f t

u v

f u f v

Vớ dụ 1: Tỡm m để

2

2x 4x m 7 0 x 1,2

Vớ dụ 2: Chứng minh rằng:

Khi nào khụng cụ lập được m???

4 6 2 8 28 0, x 3;0

b) sin sin ví i 0<x<y< 2 y y x− x x y> − π

Ví dụ 3: Giải các pt, bpt sau: a) x5+ +x 34 0= b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j) x2015> − −3 x3 x

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r) s)

w)

x)

y)

z)

aa)

ab)

ac)

ad)

ae)

af)

ag) TRẮC NGHIỆM: ( Ứng dụng 3) ah) Câu 1: Số nghiệm của phương trình 15− +x 3− =x 6 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ai)

aj)

ak)

al)

am)

an)

ao)

ap)

at) Câu 2: Nghiệm của phương trình 5 3 4 1 3 x + + =x − x là A. x=1 B. x=0 C. x= −1 D. x∈∅ au)

av)

aw)

ax)

ay)

az)

ba)

bb)

bc)

bd)

be)

bf) Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 2x +3x +6x+16 2 3< + 4−x có dạng [ )a b; Tính a b+ A. 1 a b+ = B. 1 a b+ = − C. 2 a b+ = D. 2 a b+ = − bg)

bh)

bi)

bj)

bn)

bo) Câu 4: Gọi S là tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình 8x3+2x<(x+2) x+1 Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 bp)

bq)

br)

bs)

bt)

bu)

bv)

bw)

bx)

by)

bz)

ca)

cb)

cc)

cd) Câu 5: Kết luận nào đúng về nghiệm của phương trình x+ x− +5 x+ +7 x+16 14=

A. Phương trình trên vô nghiệm B. Nghiệm của phương trình là số âm

C. Nghiệm của phương trình là số dương

D. Nghiệm của phương trình là x=1

ch)

ci)

cj)

ck)

cl) cm) BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

cn) Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

co) Câu 1:

2x − +x 2x −3x+ =1 3x+ +1 x +2

cp) Câu 2:

(2x+1 2) ( + 4x2+4x+4) (+3 2x + 9x2+ =3) 0

cq) Câu 3: (x2+ +x 1) x 3x2+4x+ =1 9x2+9x+2

cr) Câu 4:

2 2

2 3

x x

cs) Câu 5:

(2x+3 4) x2+12x+ +11 3 9x x2+ +2 5x+ >3 0

ct) Câu 6:

x + = x−

cu)

cv) Câu 7:

3 5 5 36 5

x − x− = x+

cw)Câu 8:

cx) Câu 9:

3 3 2 2 4 32 2

x − x + x− < x+

cy)

cz) Câu 10:

3

4x + − +x x 1 2x− =1 0

da)

Dạng

x + =b a ax b−

Dạng

ax +bx + + =cx d n ex f+

Dạng

ax +bx + + =cx d ex f+ ex f+

Dạng

ax +bx c+ = +d

dd)Câu 13:

2

y y x x x







de)Câu 14:

3

2 3

9

x y







df) Câu 15:

3 3

2 4

3 3 1

x y x y

x y







dg) Câu 16:

2

x xy y y







dh)Câu 17:

2







di) Câu 18:

2 3 3







dj) Câu 19:

6 12 16 0







dk) Câu 20:

2 3

1 0

xy x y y y x x

x y



 + =









dm)

dn)

do)

ds)

dt)

du)

dv)

dw)

dx)

dy)

dz)

ea)

eb)

ec)

ed)

ee)

ef)

eg)

eh)

ei)

ej)

ek)

el)

ep)

eq)

er)

es)

et)

eu)

ev)

ew)

ex)

ey)

ez)

fa)

fb)

fc)

fd)

fe)

ff)

fg)

fh)

fi)

fm)

fn)

fo)

fp)

fq)

fr)

fs)

ft)

fu)

fv)

fw)

fx)

fy)

fz)

ga)

gb)

gc)

gd)

ge)