ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH Thời gian: 150 phút - Năm học: 2008 - 2009 –––––––––– Bài 1: (8 điểm) a. Giải phương trình 4 4 4 6x x x x+ − + + − = b. Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng 2 nghiệm 2 2 2 2(1 ) ( ) 4 x y a x y  + = +   + =   Bài 2: (6 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1) a. Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC. b. Giả sử M là điểm chuyển động trên (T). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định. Viết phương trình đường tròn đó. Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến thuộc các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và có m c = 3 2 c . Chứng minh rằng: m a + m b + m c = 3 ( ) 2 a b c+ + Bài 4: (4 điểm) Cho hai số thực x, y dương thoả mãn điều kiện x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 4P xy x y xy = + + + ĐÁP ÁN VÀ SƠ LƯỢC - THANG ĐIỂM –––––––––– Bài 1: (8 điểm) a. (3 điểm) ĐK: x ≥ 4 (0,5 điểm) 2 ( 4 2) 4 6x x x− + + + − = (2 điểm) ⇔ 2 4 4x x− = − ⇔ x = 4 b. Cách 1: 2 2 2 2(1 ) 1 2 ( ) 4 x y a x y a x y x y  + = + + = −   ⇔   + = ± + =    (2 điểm) Vậy x và y là nghiệm của phương trìnb bậc 2: 2 2 2 1 0 (1) 2 1 0 (2) X X a X X a  − + − =  + + − =  (1 điểm) Hệ đã cho có 2 nghiệm ⇔ (1) và (2) đều có nghiệm kép ⇔ ∆' (1) =∆' (2) = 0 (2 điểm) ⇔ a = 0 Cách 2: Sử dụng tính đối xứng giữa các nghiệm. Cách 3: Dùng đồ thị. Bài 2: (6 điểm) a. E(x;y) tâm đường tròn (T) ⇔ EA 2 = EB 2 = EC 2 (1 Điểm) ⇔ (x-1) 2 + (y-2) 2 = x 2 + (y - 1) 2 = (x+2) 2 + (y-1) 2 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 1 3 ( 2) ( 1) ( 1) x y x y x y x y x y  − + − = + − = −   ⇔   = + + − = + −    Vậy (T) có phương trình: (x+1) 2 + (y-3) 2 = 5 (1 điểm) Đường tròn (T) có tâm E (-3;1) bán kính R = 5 b. Gọi I là trung điểm BC ta có: I (-1; 1) (1 điểm) Kẻ GK // ME, K ∈ EI KE = -2 KI ⇒ K (-1; 5 3 ) (2 điểm) Mặt khác: KG = 1 5 3 3 EM = Vậy trọng tâm G của tam giác MBC nằm trên đường tròn tâm K, bán kính 5 3 (1 điểm) Phương trình đường tròn này là: (x+1) 2 + (y- 5 3 ) 2 = 5 9 Bài 3: (2 điểm) Ta có m c = 3 2 c ⇒ m c 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2( ) 3 2 4 4 4 a b c c c a b c + − ⇔ = ⇔ + = (1 điẻm) ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 2( ) 3 2 2( ) 3 4 3 3 2 a a b b m b m b b c a b a c b a m a m a  =    = + − =    ⇒ ⇒    + − = =      =   (1 điểm) ⇒ m a + m b + m c = 3 ( ) 2 a b c+ + Bài 4: (4 điểm) + Trước hết ta chứng minh: 1 1 4 , , 0 (1)a b a b a b + ≥ ∀ > + (1 điểm) + Áp dụng (1) vào biểu thức P ta được 2 2 1 1 4P xy x y xy = + + + = 2 2 1 1 1 1 4 2 4 4 xy x y xy xy xy     + + + +  ÷  ÷ +     (1 điểm) ≥ 2 2 4 1 2 2 4x y xy xy + + + + (1 điểm) ≥ 2 2 2 4 1 5 2 2 7 ( ) ( ) ( )x y x y x y + + = + ≥ + + + Vậy Min P = 7 khi x = y = 1 2 (1 điểm) . ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH Thời gian: 150 phút - Năm học: 2008 - 2009 ––––––––––