Hệ thống lý thuyết bài tập xác suất thống kê

Suy đoán cho trung bình mẫu X̅ Giả thiết có tổng thể X ~ Nμ;σ2 xác định biết μ và σ Trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n lúc này X N~ ; 2 n σµ − Dù chưa thực hiện điều tra chọn mẫu, n

Page: Love NeverDies

Lý thuyết xác suất và thống kê toán 1

HỆ THỐNG

LÝ THUYẾT

VÀ BÀI TẬP

NEU – Winter 2019

CHÚ Ý KHI IN

In kh ổ giấy A5 và đóng thành sách để sử dụng hiệu quả hơn ^^

GI ỚI THIỆU

Tác gi ả

Tác giả: Love NeverDies, nghệ danh: Hoàng Bá Mạnh

Năm sinh: 1994 Năm mất: chưa rõ SĐT: 0986.960.312

Tác ph ẩm

Đối tượng: Sinh viên khối ngành kinh tế nói chung và sinh viên Kinh tế

Quốc dân nói riêng

Mục tiêu:

- Ôn theo chương trình học

- Luyện tập củng cố theo giáo trình

- Ôn tập giữa kì, cuối kì

Chịu trách nhiệm nội dung và giải đáp bởi tác giả

Đôi lời nhắn nhủ tới bạn đọc của tác giả

Đây là tài liệu phục vụ ôn tập nên tôi không khuyến khích các bạn biến

nó thành phao thi -_-! Mặc dù, trong giây phút lầm đường lạc lối, bế tắc không lối thoát, vẫn có nhưng con chiên làm liều vì cùng quẫn, nhưng chúng tôi vẫn khẳng định về mục đích đã đề cập phía trên!

Chúc bạn đọc ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt cho học phần này! Goodluck!

NEU, Winter 2019 Created 12/09/2019 by Mạnh

Mục lục

PH ẦN A: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT 1

1 A-1: Xác su ất 1

1.1 Bi ến cố và xác suất biến cố 1

1.1.1 Phép th ử, biến cố và phân loại 1

1.1.2 Xác su ất biến cố 1

1.1.3 Các phương pháp xác định xác suất biến cố 1

1.1.4 Nguyên lý xác xu ất lớn – nhỏ 3

1.1.5 Định lý nhân 3

1.1.7 H ệ quả của định lý cộng – nhân 4

1.2 Bi ến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 5

1.2.1 Bi ến ngẫu nhiên và phân loại 5

1.2.2 Quy lu ật phân phối xác suất 5

1.2.3 Các tham s ố đặc trưng 6

1.3 Phân ph ối xác suất thông dụng 8

1.4 Bi ến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc 9

1.4.1 Bi ến hai chiều rời rạc 9

1.4.2 Các b ảng phân phối xác suất 9

1.4.3 Tương quan tuyến tính 10

2 A-2: Th ống kê toán 11

2.1 T ổng thể - Mẫu và các tham số 11

2.1.1 M ẫu và Tổng thể 11

2.1.2 Các tham s ố đặc trưng 11

2.1.3 M ẫu liệt kê, mẫu phân nhóm, mẫu theo cặp 12

2.1.4 Tính toán các tham s ố mẫu 12

2.2 Quy lu ật phân phối xác suất của các thống kê 12

2.3 Suy di ễn thống kê 13

2.3.1 Suy đoán cho trung bình mẫu X̅ 13

2.3.2 Suy đoán cho tần suất mẫu p̂ 14

2.4 Ước lượng tham số 14

2.4.1 Ước lượng điểm bằng hàm ước lượng 15

2.4.2 Ước lượng bằng khoảng tin cậy 16

2.5 Ki ểm định giả thuyết 17

2.5.1 Nh ững vấn đề chung 17

2.5.2 Ki ểm định tham số tổng thể 19

2.5.3 Ki ểm định phi tham số 24

PH ẦN B: HỆ THỐNG BÀI TẬP 25

1 B-1: Xác su ất 25

1.1 Bi ến cố và xác suất biến cố 25

1.1.1 D ạng 1: Định nghĩa cổ điển 25

1.1.2 D ạng 2: Định lí cộng – nhân 27

1.1.3 D ạng 3: Công thức xác suất đầy đủ, Bayes 28

1.1.4 Công th ức Bernoulli 31

1.1.5 Bài t ập tổng hợp 32

1.1.6 Đáp án bài tập tổng hợp 35

1.2 Bi ến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 44

1.2.1 D ạng 1: Bảng phân phối 44

1.2.2 D ạng 2: Hàm mật độ 45

1.2.3 D ạng 3: Vận dụng tổng hợp 46

1.3 Quy lu ật phân phối xác suất thông dụng 48

1.3.1 D ạng 1: Quy luật Nhị thức 48

1.3.2 D ạng 2: Quy luật Poisson 49

1.3.3 D ạng 3: Quy luật Chuẩn 50

1.3.4 D ạng 4: Phân phối xấp xỉ Chuẩn 51

1.3.5 Áp d ụng giá trị tới hạn 52

1.4 Bi ến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 53

2 B-2: Th ống kê 55

2.1 Tính các tham s ố mẫu 55

2.2 Suy di ễn thống kê 57

2.2.1 Cho trung bình m ẫu 57

2.2.2 Cho t ần suất mẫu 58

2.3 Ước lượng tham số 58

2.3.1 D ạng 1: Hàm ước lượng 58

2.3.2 D ạng 2: Ước lượng khoảng tin cậy 59

2.3.3 D ạng 3: Tìm kích thước mẫu 62

2.4 Ki ểm định tham số 63

2.4.1 D ạng 1: Kiểm định 1 tham số và p-value 63

2.4.2 D ạng 2: Kiểm định 2 tham số và p-value 65

2.4.3 D ạng 3: T-test và F-test từ Excel 67

2.5 Ki ểm định phi tham số 68

2.5.1 D ạng 1: Kiểm định phân phối chuẩn 68

2.5.2 D ạng 2: Kiểm định tính độc lập 69

PH ẦN A: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

1 A-1: Xác su ất

1.1.Bi ến cố và xác suất biến cố

1.1.1 Phép th ử, biến cố và phân loại

Phép th ử là một (nhiều) hành động, thao tác xảy ra

- Không th ể thấy

- Không th ể được

- Không bao gi ờ xuất hiện

Kí hi ệu U (Ω) A, B, C, V (∅)

1.1.2 Xác su ất biến cố

Xác su ất biến cố là đại lượng đặc trưng cho sự xuất hiện của biến cố

Kết quả (biến cố) càng dễ xảy ra => xác suất càng lớn

K ết cục: kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử

Duy nhất: các kết quả không bị trùng lặp, không có điểm chung Đồng khả năng: Xác suất xuất hiện mỗi kết cục là như nhau

Ví d ụ 1: Tung 1 xúc xắc (cân đối đồng chất) Ta thấy:

Có 6 kết cục duy nhất đồng khả năng (1,2,3,4,5,6)

Trong đó có 3 kết cục thỏa mãn biến cố A: “mặt lẻ chấm”

( ) 3 0,56

Định nghĩa thống kê về xác suất

Tần suất ( ) ( ) Sè phÐp thö cã A xuÊt hiÖn

Xác suất P A( ) ( )≈ f A khi số phép thử n đủ lớn

1.1.4 Nguyên lý xác xu ất lớn – nhỏ

Thực tế có thể coi như A luôn xảy ra coi như A không xảy ra

- 0,01 là nhỏ?

- 0,99 là lớn?

Tùy tình hu ống mà xác suất coi là lớn hay nhỏ

Ví d ụ:

- T ỉ lệ tai nạn xe máy là 0,01 => xác suất không

nhỏ (vì theo đó cứ 100 người điều khiển xe máy

thì có 1 người tai nạn)

1.1.5 Định lý nhân

Biến cố tích: AB

Xuất hiện khi cả A và B xuất hiện

Phần giao nhau của A và B

thức P(AB) = P(A)P(B) P(AB) ≠ P(A)P(B) P(A|B)=P(AB)/P(B) P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Xuất hiện khi hoặc A, B , AB xảy ra

Toàn bộ phần màu xanh

Tương tác biến cố

Biến cố Xung kh ắc Không xung kh ắc Đối lập

A và B - không giao nhau

- có ảnh hưởng

- có giao nhau - không giao

- hai n ửa của U Biểu

Hệ n biến cố A1, A2, , An xung kh ắc từng đôi khi

Hai biến cố bất kì xung khắc nhau: Ai xung khắc Aj (i ≠ j)

- Biến cố được hỏi là

biến cố kèm điều kiện

Sau khi A xảy ra, tính ngược lại xác suất của các H i

Công th ức Bernoulli

- n phép thử độc lập

- A x ảy ra với P(A) = p

Xác suất trong n phép thử, A xảy ra k lần là:

1.2.Bi ến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

1.2.1 Bi ến ngẫu nhiên và phân loại

1.2.2 Quy lu ật phân phối xác suất

Biến

ng ẫu nhiên

Liên tục

Không liệt kê, đếm được hết

Giá tr ị của X

x

Xác suất P(X = x)

Quy lu ật Phân ph ối xác suất

= F(b) – F(a)

f(x) = F′(x) f(x) ≥ 0

( )

b a

= f x dx∫

- Phản ánh xu hướng trung tâm

- Là con số có được khi loại bỏ sự chênh lệch các giá trị của X

- Mỗi biến X chỉ có duy nhất một E(X) Trung vị m d: P X( ≤m0)= 0, 5 (đv của X) - Phản ánh xu hướng trung tâm

- Nằm chính giữa, ngăn PPXS thành 2 nửa Mốt m0 : P X( =m0)= pmax (đv của X) - Phản ánh xu hướng trung tâm

- Phản ánh độ phân tán, biến động, đồng đều,

ổn định về mặt giá trị của X (hay các x i)

- Các x i càng sai lệch, phương sai càng lớn

- Trong một số trường hợp, phương sai còn được gọi là độ rủi ro

= × (%) - Đo độ biến động tương đối

- So sánh biến động khi không cùng đơn vị

Hệ số

bất đối xứng 3 33

µασ

mức α P X( >xα)=α (đv của X) xα xác định một xác suất α tương ứng

Tính ch ất của Kì vọng Tính ch ất của phương sai

E(X+Y) = E(X) + E(Y) V(X+Y) = V(X) + V(Y)

E(XY) = E(X).E(Y) nếu X độc lập Y

1.3.Phân ph ối xác suất thông dụng

Phân phối Kí hiệu Công thức xác suất Tham số Chú ý

Nhị thức X ~ B(n,p) P(X = k) = Cnk p k (1 − p) n−1

E(X) = np V(X) = np(1-p) np+p–1 ≤ m 0 ≤ np+p

n ≥ 100 hội tụ chuẩn

Chuẩn X ~ N(μ;σ 2

)

P(a < X < b) = Ф �b − µσ � − Ф �a − µσ � P(X < b) = Ф �b − µσ �

P(X > a) = 1 − Ф �a − µσ � P(|X − µ| < ε) = 2Ф �ε

σ� − 1

E(X) = μ V(X) = σ 2

α 3 = 0

α 4 = 3

𝑍𝑍 =𝑋𝑋 − 𝜇𝜇𝜎𝜎thì

𝑍𝑍~𝑁𝑁(0; 1)

Chuẩn hóa Z ~ N(0;1) P(Z > zα) = α ; z 1−α = −z α

Chi2 χ 2 ~ χ 2

(n) P�χ 2 > χ α2(n)� = α n lớn hội tụ chuẩn Student T ~ T(n) P �T > Tα(n)� = α ; t1−α(n) = −tα(n) ; tα(>30)= zα n > 30

→ ≈ chuẩn hóa Fisher F ~ F(n 1 , n 2 ) P �F > fα(n1 ,n2) � = α; f1−α(n1 ,n2) = 1

fα(n2 ,n 1 )

�

1.4.Bi ến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc

1.4.1 Bi ến hai chiều rời rạc

1.4.2 Các b ảng phân phối xác suất

B ảng phân phối xác suất đồng thời

- Tính được các tham số của X: E(X), V(X),

B ảng phân phối xác suất có điều kiện

- Điều kiện Y = y j

- pi là các xác suất điều kiện

- pi = P(X = xi; Y = yj)/P(Y = yj)

=> Các tham số có điều kiện: E(X|Y = yj) và V(X|Y = yj)

Biến ngẫu nhiên 2

chiều rời rạc: (X,Y) Biến ngẫu nhiên X r ời rạc Biến ngẫu nhiên Y rời rạc

1.4.3 Tương quan tuyến tính

Hi ệp phương sai H ệ số tương quan

ρx,y = 0 => X và Y không tương quan

ρx,y = ±1 => X và Y tương quan hàm số

Cov(X,Y) = 0

2 A-2: Th ống kê toán

- x̅ > xd => a3 > 0 => lệch phải (đồ thị kéo dài về phía +∞)

- x̅ < xd => a3 < 0 => lệch trái (đồ thị kéo dài về phía -∞)

1000 sinh viên NEU

2.1.3 M ẫu liệt kê, mẫu phân nhóm, mẫu theo cặp

M ẫu liệt kê: x1, x2, x3, , xn hay w = {xi, i=1,2,3, n}

M ẫu theo cặp gồm 2 dấu hiệu X, Y trên cùng một đối tượng:

Thống kê ( ) ( )

µσ

T ổng thể đã xác định => suy đoán thông tin của mẫu

2.3.1 Suy đoán cho trung bình mẫu X̅

Giả thiết có tổng thể X ~ N(μ;σ2) xác định (biết μ và σ)

Trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n lúc này X N~ ; 2

n

σµ

−

Dù chưa thực hiện điều tra chọn mẫu, nhưng ta vẫn có thể đoán biết được trung bình mẫu sẽ có giá trị giao động trong khoảng nào, tối đa, tối thiểu bao nhiêu với một xác suất đủ lớn, đủ để tin cậy được

Bằng cách áp dụng một trong các biểu thức xác suất sau:

Trong đó 1−α là m ức xác suất (đủ lớn), thường là 0,9 hoặc 0,95

Các biểu thức trên có được bằng các vận dụng quy luật phân phối xác

suất của X̅ và giá trị tới hạn chuẩn hóa: P Z z( > α)= −1 α

2.3.2 Suy đoán cho tần suất mẫu p̂

Giả thiết có tổng thể phân phối A(p) xác định (đã biết p)

Với mẫu lớn (n ≥ 100), ta có tần suất mẫu  (1 )

2.4 Ước lượng tham số

T ổng thể chưa xác định, dùng thông tin từ mẫu để suy đoán

Chưa biết, muốn biết Đã biết

μ, σ2, p

2, p̂

(Mẫu)

2.4.1 Ước lượng điểm bằng hàm ước lượng

2.4.1.1 Hàm ước lượng

Giả sử cần ước lượng tham số θ nào đó (có thể là μ, σ, p)

- Lập mẫu ngẫu nhiên W = (X1 , X 2 , …, X n )

- Chọn lập thống kê G= f X X( 1; 2; ;X n)

- Tìm mẫu cụ thể w = (x 1 , x 2 , ,x n ) và thay vào G thu được giá trị

Các hàm ước lượng quan trọng cần nhớ:

1

i i

n i i

2.4.1.2 Các tiêu chí đảm bảo tính tin cậy của ước lượng điểm

Rõ ràng với mỗi mẫu khác nhau ta sẽ có giá trị θ� khác nhau trong khi thực

tế chỉ có duy nhất 1 giá trị θ!

=>Điều gì đảm bảo θ� vừa tính là sát thực?

Với ước lượng điểm, ta có các tiêu chí đánh giá độ tốt sau:

Ước lượng không chệch E(θ�)=θ

Hàm ý: t ừng giá trị θ�j có th ể chênh lệch so với θ nhưng lấy trung bình thì s ẽ không còn lệch nữa!

Ước lượng hiệu quả Var(θ�) = Varmin

S ự khác biệt giữa các θ�i th ể hiện bởi phương sai Var(θ�) Hàm

th ống kê nào tính ra các 𝜃𝜃� i càng ít khác bi ệt càng tốt

Khi θ� là ước lượng không chệch, nếu nó có phương sai nhỏ nhất

thì ta nói θ� là ước lượng hiệu quả cho θ!

Ước lượng vững n→∞limP�|θ�(n)− θ| < ε� = 1

Với ε là số dương bé tùy ý, n là kích thước mẫu để tính ra θ�

Hàm ý r ằng, mẫu càng lớn thì θ� càng gần với θ

Các ước lượng điểm đảm bảo các tính chất tốt kể trên: X̅, S2, p̂

2.4.2 Ước lượng bằng khoảng tin cậy

Tương tự như việc suy đoán khoảng giá trị cho các tham số mẫu với một

mức xác suất đủ lớn, người ta cũng thực hiện việc suy đoán ngược lại cho

tổng thể bằng một khoảng giá trị (gọi là khoảng tin cậy), với một xác

suất lớn gọi là độ tin cậy

Công việc này gọi là ước lượng bằng khoảng tin cậy!

2.4.2.1.Kho ảng tin cậy cho trung bình tổng thể μ

Bi ểu thức tổng quát với độ tin cậy 1−α, (α α1+ 2 =α)

Trong đó tα( )n là giá trị tới hạn Student, tα(>30) = zα

Từ biểu thức tổng quát này, ta rút ra 3 khoảng tin cậy phổ biến là:

Độ dài khoảng tin cậy và độ chính xác (sai số) ước lượng

Với khoảng đối xứng, ta có 2 đại lượng sau:

Tìm khoảng giá trị cho Xác suất lớn Suy diễn

ƯL khoảng

X̅, S 2 , p̂

(mẫu)

μ, σ 2 , p (t ổng thể)

Mức xác suất

Độ tin cậy

I= ε gọi là độ dài khoảng tin cậy

2.4.2.2.Kho ảng tin cậy cho phương sai tổng thể σ 2

Biểu thức tổng quát với độ tin cậy 1−α là:

χ là giá trị tới hạn Khi-bình phương

Từ trên, ta cũng suy ra được khoảng đối xứng, tối đa, tối thiểu cho σ2

2.4.2.3.Kho ảng tin cậy cho tần suất (tỷ lệ) tổng thể p

Biểu thức tổng quát với độ tin cậy 1−α là:

Trong đó zα là giá trị tới hạn chuẩn

Từ trên, ta cũng suy ra được khoảng đối xứng, tối đa, tối thiểu cho p

Với khoảng đối xứng, độ chính xác ước lượng là: ( )

độ dài khoảng tin cậy là: I=2ε

2.5.Ki ểm định giả thuyết

2.5.1 Nh ững vấn đề chung

Ngoài việc tìm ra khoảng giá trị mà các tham số tổng thể (μ, σ2, p) rơi vào, người ta còn muốn có những kết luận mạnh hơn, cụ thể hơn cho chúng thông qua việc so sánh với các giá trị đối chiếu (θ = θ0, θ > θ0, hay

θ < θ0) hay về dạng phân phối của dấu hiệu nghiên cứu (phân phối chuẩn hay không?), về sự độc lập hay phụ thuộc của các dấu hiệu!

Các yêu cầu trên dẫn ta tới bài toán kiểm định, với hai nhánh lớn là

ki ểm định tham số và kiểm định phi tham số!

2.5.1.1.Các thành ph ần của bài toán kiểm định

Bài toán kiểm định nói chung sẽ có các thành phần sau:

C ặp giả thuyết thống kê (H0 và H1)

H0: giả thuyết gốc, (chứa dấu =, ≥, ≤ với KĐ tham số)

H1: giả thuyết đối, (chứa dấu ≠, <, > với KĐ tham số)

H0 và H1 đối nhau (ngược nhau) và trong khuôn khổ môn học, chỉ xét

H0 là giả thuyết đơn, dạng θ = θ0, cho cả 3 trường hợp:

θ = θ0, θ ≥ θ0, θ ≤ θ0

Việc xác định cặp giả thuyết dựa trên yêu cầu (câu hỏi) bài ra

Ti ểu chuẩn kiểm định và quy tắc bác bỏ giả thuyết (miền bác bỏ)

- Tiêu chuẩn kiểm định là 1 hàm thống kê (G) xác định quy luật phân phối xác suất khi H0 đúng

- Miền bác bỏ H0 là tập hợp các giá trị cho kết quả ngược lại với H0, được xác định dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ

M ức ý nghĩa của bài toán kiểm định (α)

Mức ý nghĩa (α) là xác suất mắc sai lầm khi đưa ra kết luận bác bỏ

H0, được cho trước với các giá trị thường là 10%, 5%, 1%

2.5.1.2.Th ủ tục kiểm định

Bao gồm các bước:

- Lập cặp giả thuyết thống kê

- Từ mẫu tính toán các giá trị quan sát (Gqs) và giá trị tới hạn (gα) trong

miền bác bỏ

- So sánh Gqs với gα để kết luận:

Nếu thỏa mãn miền bác bỏ => “Bác bỏ H0, chấp nhận H1” Nếu không thỏa mãn => “Chưa đủ cơ sở bác bỏ H0”

2.5.1.3.Sai l ầm loại I, loại II

Các kết luận thu được từ bài toán kiểm định là không chắc chắn 100%, nói cách khác là có thể mắc phải sai lầm!

Có hai loại sai lầm mắc phải tương ứng với các kết luận thu được, cụ thể như sơ đồ sau:

Bác bỏ H0| thực tế nó đúng => sai lầm loại I

P(mắc phải) = α (mức ý nghĩa) Chưa bác bỏ H0| thực tế nó sai => sai lầm loại II

P(mắc phải) = β Sai lầm loại II để lại hậu quả nghiêm trọng hơn

Lực kiểm định: 1 – β

2.5.1.4.Kiểm định bằng giá trị xác suất (p-value hay probability)

Một vài đặc điểm về p-value:

Ki ểm định một tham số Ki ểm định hai tham số

H 0 –Tiêu chu ẩn H 1 Mi ền bác bỏ W α H 0 –Tiêu chu ẩn H 1 Miền bác bỏ W α

= S

F S

σ ≠ σ

( ) ( )

1 2

1 2

1; 1 / 2 1; 1 / 2

n n

1 ≠ 2

p p {Z: Z >zα/ 2}0

B ảng kết quả Excel: T-test (kiểm định 2 trung bình tổng thể)

B ảng kết quả Excel: F-test (kiểm định 2 phương sai tổng thể)

X qs Y

s F s

n n

f − − 0,95(n X 1;n Y 1)

H H

a Xếp ngẫu nhiên 7 bạn thành một hàng Hỏi có bao cách xếp

b Chọn ngẫu nhiên 3 bạn Tính xác suất chọn được cả 3 bạn nam,

A

−

Ví dụ 2: (Chỉnh hợp lặp) Mạnh, V và L cùng lau bát thuê cho 1 tiệm Bốc

Bát ở xóm Họ Giả sử Mạnh, V, L khéo tay như nhau Biết rằng sau 1 ngày, tiệm có 4 bát bị vỡ Tính xác suất:

a Mạnh không làm vỡ bát nào

b Mạnh làm vỡ 2 cái

c Mạnh làm vỡ cả

Giải

(Chú ý r ằng: (1) “khéo tay” như nhau ý rằng khả năng làm vỡ bát

c ủa 3 người là như nhau và (2) mỗi người có thể làm vỡ nhiều hơn 1 cái bát – tính l ặp lại!)

Mỗi bát bị vỡ đều có thể do Mạnh, V hoặc L gây ra

Ví dụ 3: (Xương xương) Vào nửa cuối những năm 2010; V, C và L đang

độ tuổi dậy thì, khám phá những điều mới và lạ

Do hết cái để khám và phá nên V, C và L quyết định thi đăng ảnh kèm caption cà khịa, đá đểu nhau

Mỗi người đăng 3 ảnh, thời gian chuẩn bị ảnh và caption là 30 phút V và

C mỗi người có đủ 3 ảnh, còn L do lên cơn ngu đột xuất (thật ngữ “ngu L” bắt nguồn từ đây) quên không nhấn Enter nên chỉ được tính 2 ảnh Mạnh thấy V C L đột nhiên vui chơi lành mạnh không phá phách nữa thì

rất lấy làm mừng và quyết định chọn hú họa ra 3 ảnh để thưởng 3 cốc “tà

tữa” pudding trứng chân trâu đường phèn

Tính xác suất để có người không được uống “tà tữa”

P(có người không được uống) = 31 13 21

3 8

C

1.1.2 D ạng 2: Định lí cộng – nhân

Trước khi làm phần này, ta cần nắm được các biến đổi sau, với A, B là

biến cố ngẫu nhiên, U – biến cố chắc chắn, V – biến cố không thể có

A+U = U AU = A P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) A+V = A AV = V P(AB) = P(A)P(B|A)

A+A = A AA = A P(B|A) = P(AB)/P(A)

A+A̅ = U AA̅ = V P(A)+P(A̅) = 1

Ví dụ 1: (Sơ đồ Venn tập hợp) Một người bán hàng ở hai công ty A, B

với xác suất bán được hàng ở mỗi công ty lần lượt là 0,5 và 0,6 Xác suất bán được chỉ bán được hàng ở công ty A là 0,3 Tính các xác suất

a Chỉ bán được hàng ở công ty B

b Chỉ bán được hàng ở 1 công ty

c Có bán được hàng khi đi tới hai công ty này

d Bán được ở B biết rằng có bán được ở A

Ví dụ 2: (Biến đổi biến cố và xác suất biến cố) Một người đầu tư hai dự

án A, B với xác suất thành công lần lượt là 0,4 và 0,5 Xác suất đầu tư thành công dự án A khi dự án B thất bại là 0,4 Tính xác suất

A, B lần lượt là biến cố đầu tư thành công dự án A, B

P(A) = 0,4 P(B) = 0,5 P(A|B̅) = 0,4

=> P(AB̅)/P(B̅) = 0,4 => P(AB̅) = 0,4.(1-0,5) = 0,2

=> P(AB) = P(A) – P(AB̅) = 0,4 – 0,2 = 0,2

a P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = = 0,7

b P(AB̅+A̅B) = P(AB̅)+P(A̅B) = 0,2 + (0,5 – 0,2) = 0,5

c P[A|(A+B)] = P(AA+AB)/P(A+B) = P(A+AB)/P(A+B) =

= P(A)/P(A+B) = 0,4/0,7 = 4/7

Ví dụ 3: (Xương xương) Mạnh trên đường tới nhà bạn gái phải đi qua 2

ngã tư có đèn tín hiệu giao thông Xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất

là 0,6 Nếu gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất thì xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư tiếp theo là 0,8; nếu không thì xác suất gặp chỉ là 0,3 Tính các xác suất:

a Không gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ hai, biết rằng không gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất

b Gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất, biết có gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ hai

c Gặp đèn đỏ ở cả hai ngã tư biết có gặp đèn đỏ

Giải

Ai: “gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ i”, i = 1, 2

P(A1) = 0,6 P(A2|A1) = 0,8 P(A2|A̅1) = 0,3

a P(A̅2|A̅1) = 1 – P(A2|A̅1) = 1 – 0,3 = 0,7

b P(A1|A2) = P(A1A2)/P(A2)

P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1) = 0,6.0,8 = 0,48

P(A2) = P(A1A2) + P(A̅1A2) = P(A1)P(A2|A1) + P(A̅1)P(A2|A̅1)

= 0,6.0,8 + (1 – 0,6).0,3 = 0,6

=> P(A1|A2) = 0,48/0,6 = 0,8

c P[A1A2|(A1 + A2)] = P[A1A2(A1+A2)]/P(A1+A2)

P(A1+A2) = P(A1)+P(A2) – P(A1A2) = 0,6 + 0,6 – 0,48 = 0,72

A1A2(A1+A2) = A1A2A1 + A1A2A2 = A1A2 + A1A2 = A1A2

=>P[A1A2(A1+A2)] = P(A1A2) = 0,48

=>P(cần tính) = 0,48/0,72 = 0,667

1.1.3 D ạng 3: Công thức xác suất đầy đủ, Bayes

Ví dụ 1: (Bài toán cho số liệu tuyệt đối) Một lớp có 20 nam sinh và 30

nữ sinh; trong đó, 10 nữ sinh và 15 nam sinh có biểu hiện bị cắm sừng

Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên

a Tính xác suất chọn được 1 sinh viên có biểu hiện bị cắm sừng

b Biết rằng chọn được 2 sinh viên có biểu hiện bị cắm sừng Tính xác suất để đó là 2 nam sinh

Ví dụ 2: (Bài toán cho số liệu tỉ lệ - tương đối) Một lớp có 40% là nam

sinh, trong đó, 30% nữ sinh và 80% nam sinh có biểu hiện bị cắm sừng

Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên

a Tính xác suất chọn được 2 sinh viên có biểu hiện bị cắm sừng

b Tính xác suất chọn được 2 sinh viên không có biểu hiện bị cắm

sừng

c Tính xác suất chọn được 1 sinh viên có biểu hiện bị cắm sừng

Hi: “Sản phẩm lấy ra từ hộp II ban đầu của của hộp thứ i”, i = 1, 2

( ) 21

1 1

12

16

56

Chú ý: để tính P(A), có thể sử dụng nhóm đầy đủ sau:

K i : “có i chính phẩm và (2 – i) phế phẩm được chuyển từ hộp I sang II”,

i = 0,1,2

b ( ) ( ) (1 ( ) 1)

1

1.0,7

Ví d ụ 1: Tỉ lệ nam sinh hôi nách là 30% Gặp ngẫu nhiên 5 bạn nam

a Tính xác suất không có bạn nào hôi nách

b Tính xác suất có 3 bạn hôi nách

Giải

Gặp ngẫu nhiên 5 bạn nam coi như 5 phép thử độc lập, mỗi phép thử

ta có thể gặp bạn nam hôi nách với xác suất 0,3

=>Thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 5 và p = 0,3

a P a =C500,3 0,70 5 =0,75 =0,16807

b P b =C530,3 0,73 2 =0,1323

Ví d ụ 2: Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 10% Trước khi đem bán,

sản phẩm được kiểm tra bằng máy với độ chính xác 95%

a Tính tỉ lệ phế phẩm trên thị trường

b Mua 10 sản phẩm trên thị trường, tính xác suất có 2 phế phẩm Giải

H: “phế phẩm được kiểm tra”, P(H) = 0,1

A: “sản phẩm được bán trên thị trường”

b Mua 10 sản phẩm coi như 10 phép thử độc lập, ở mỗi phép thử ta

có thể mua phải phế phẩm với xác suất 0,006

=>Thỏa mãn lược đồ Bernoulli

a) Dự án A thành công

b) Nhà đầu tư thu lãi 8 tỉ đồng

c) Nhà đầu tư thu lãi nếu có dự

án thành công

Bài 3: Cho thí dụ tích của 3 biến cố ngẫu nhiên trong kinh tế

Bài 4: Giải thích ý nghĩa mệnh đề sau: “Các biến cố dự án A, B, C có lãi

là độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn phần” (Đọc giáo trình trang

33, 34 để lấy thêm thông tin)

Bài 5: Xác suất xảy ra một biến cố bằng 0,1 Xác suất đó có thể coi là nhỏ

không, giải thích qua một ví dụ

Bài 6: Một dãy ghế có 20 chỗ, xếp 20 người vào ngồi một cách ngẫu nhiên, trong đó có Quá Nhi và Cô Long Hỏi có bao nhiêu cách xếp để:

a Quá Nhi và Cô Long

ngồi hai đầu ghế b Quá Nhi và Cô Long ngồi cạnh để ôm nhau

Bài 7: Có hai hộp đựng bi Hộp I có 4 bi đỏ và 2 bi trắng Hộp II có 5 bi

đỏ và 3 bi trắng Hộp III trống

a Lấy 2 viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu

Lấy 3 viên bi từ hộp I bỏ ra hộp III Tính xác suất để số bi đỏ trong hộp I

và hộp II bằng nhau

Bài 8 (Đề cô Tú) Một người đi chào hàng ở 3 công ty A, B, C với xác

suất bán được hàng ở các công ty lần lượt là 0,3; 0,2; 0,6 Biết rằng người này bán được hàng ở 1 công ty Tìm xác suất người đó bán được hàng ở công ty C

Bài 9 Cho P A =( ) 0,4và P B =( ) 0,3; hãy tính P A B( + ) và

( )

/

P AB A B+  trong các trường hợp:

a A xung khắc B b A độc lập B c P AB =( ) 0,8

Bài 10 (Đề cô Thảo) Công ty kinh doanh 2 mặt hàng A và B với xác suất

có lãi của các mặt hàng lần lượt là 0,6 và 0,7 Xác suất chỉ có mặt hàng

A có lãi là 0,2 Tính xác suất có đúng một mặt hàng có lãi

Bài 11 (Đề thầy Nguyễn Hải Dương) Một sinh viên làm hai bài tập kế

tiếp Xác suất làm đúng bài tập thứ nhất là 0,7 Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8, nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai còn 0,2 Tính xác suất:

a Làm đúng ít nhất một bài

b Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2

c Làm đúng cả hai, biết có làm đúng ít nhất một bài

Bài 12 (Đề thầy Long) Một người đầu tư vào 2 công ty A và B Khả năng

để công ty A làm ăn có lãi là 0,6; công ty B làm ăn có lãi là 0,5 và có đúng một công ty có lãi là 0,9

a Tính xác suất để cả 2 công ty có lãi

b Công ty A có lãi biết rằng công ty B thua lỗ

Câu 13 (Đề 1.01 K57) Xác suất giá nhà giảm trong 6 tháng tới được ước

lượng là 0,5 Xác suất lãi suất tăng trong 6 tháng tới là 0,25 Xác suất cả giá nhà giảm và lãi suất tăng trong 6 tháng tới là 0,15

a Tính xác suất để lãi suất tăng và giá nhà không giảm trong 6 tháng tới