Tóm tắt lý thuyết và bài tập xác suất thống kê

Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu ngẫu nhiên và mỗi toa còn hơn 12 chổ trống.Tính xác suất: a) Tất cả cùng lên toa II b) Tất cả cùng lên 1 toa. c) Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3.

Một công việc được tiến hành qua k giai đoạn, trong đó

giai đoạn thứ i có n ( i=1, 2,…k) cách thực hiện i

Khi đó số cách thực hiện công việc là n 1 n … k n k

Ví dụ 1.Số điện thoại của một thành phố gồm 7 chữ số.

a)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định cho thành phố này?

b)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số

thuê bao đó không có số 3 cho thành phố này?

c)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số thuê bao đó các chữ số khác nhau cho thành phố này?

Giải

Ta có số điện thoại của thành phố này có dạng a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7

a)Vì a được chọn từ các số: 0,1,2,…9 nên có 10 cách chọn.1

Tương tự a a a a a a cũng có 10 cách chọn.2, ,3 4, , ,5 6 7

Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 số thuê bao

b)Để được số thuê bao mà các chữ số đều là số lẻ thì a , 1 a ,2 ,a phải được chọn từ các số 7

lẻ 1, 3, 5, 7, 9 nên a , 1 a2, ,a đều có 5 cách chọn.Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung 7

cấp được 5.5.5.5.5.5.5=57 số thuê bao cố định mà không có số 3

c)Để đươc số thuê bao gồm 3 chữ số khác nhau thì a có 10 cách chọn, 1 a có 9 cách chọn,2

*Định nghĩa chỉnh hợp:Một chỉnh hợp chập k của n là một nhóm gồm k phần tử lấy từ n

phần tử ban đầu ( 0≤ ≤k n) sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và quan tâm đến thứ

Ví dụ 2

Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng

Một véc tơ khác không được tạo thành từ 3 điểm này là một chỉnh hợp chập 2 của 3 vì mộtvéctơ khác không được tạo thành từ 3 điểm trên là một nhóm 2 phần tử(1phần tử trong trường hợp này là 1 điểm) lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp(vì đang xét véctơ khác không)và quan tâm thứ tự( đảo thứ tự 2 điểm trong 1 véctơ sẽ tạo véctơ khác)

* Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

A = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)= n k (n k−n! )!

Ví dụ 3.Từ ví dụ 2 ta có 1 véctơ khác không được tao thành từ 3 điểm là 1 chỉnh hợp chập

2 của 3 nên số véctơ khác không đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số chỉnh hơp chập 2 của 3

và bằng A =3.2=6.Cụ thể ta có 6 chỉnh hợp đó là:32 uuur uuur uuur uur uuur uuurAB BA AC CA BC CB, , , , ,

II.2.Tổ hợp

*Định nghĩa tổ hợp.Một một tổ hợp chập k của n là nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử ban đầu ( 0≤ ≤k n)sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và không quan tâm đến thứ tự

Ví dụ 4 Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng.

Một đoạn thẳng được tạo thành từ 3 điểm này là một tổ hợp chập 2 của 3 vì một đoạn thẳngnhư vậy là một nhóm 2 phần tử lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp (nếu 2 điểm trùng nhau thì không thể gọi là 1 đoạn thẳng) và không quan tâm thứ tự( đảo thứ tự 2 điểm trong 1 đoạn thẳng thì không tạo thành đoạn thẳng khác)

*Số tổ hợp chập k của n phần tử là C = n k k n k!( n−! )!

Ví dụ 5.Từ ví dụ 4 ta có 1 đoạn thẳng được tao thành từ 3 điểm là 1 tổ hợp chập 2 của 3

nên số đoạn thẳng đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số tổ hơp chập 2 của 3 và bằng C =3.Cụ 32

thể ta có 6 tổ hợp đó là:AB, AC,BC

Ví dụ 6.Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.

a)Có bao nhiêu cách lấy?

b)Có bao nhiêu cách lấy để được 3 sản phẩm tốt?

c)Có bao nhiêu cách lấy để được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu?

d)Có bao nhiêu cách lấy để được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu?

Giải

a)Một cách lấy ra 3 sản phẩm từ là nhóm 3 từ 9 không lặp và không quan tâm thứ tự ( vì 3sản phẩm này phân biệt và có thay đổi sự sắp xếp 3 sản phẩm thì cũng là 3 sản phẩm đó

được lấy) nên đó là một tổ hợp chập 3 của 9 ⇒ Số cách lấy = số tổ hợp chập 3 của 9 và bằng = C = 8493

b) Để lấy được 3 sản phẩm tốt thì 3 sản phẩm đó phải lấy từ các sản phẩm tốt trong lô,nên

4

C =4

c)Để được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm ta có 2 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có C = 6 cách 42

+ Giai đoạn 1: Lấy 1 sản phẩm xấu có 1

a) Có bao nhiêu tập con có 3 phần tử của S?

b) Có bao nhiêu tờ vé số có 3 chữ số khác nhau được tạo từ S?

c) Có bao nhiêu tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S?

Giải

a) Một tập con có 3 phần tử của S là 1 nhóm gồm 3 phần tử từ 5 phần tử có tính chất

5

C =10.

b) Một tờ vé số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S cũng là nhóm 3 phần tử từ 5 phần tử cũng có tính chất không lặp(3 chữ số khác nhau) nhưng quan tâm thứ

tự(đảo thứ tự 3 chữ số trong tờ vé số ta sẽ được tờ vé số khác) Vậy mỗi tờ vé số

CHƯƠNG 1

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤTI.CÁC KHÁI NIỆM

I.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố

được kết quả nào chắc chắn xảy ra

Ví dụ 1.Tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là 1 phép thử.

Tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là một phép thử

*Không gian mẫu

Ví dụ 2 Không gian mẫu của phép thử tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là

Một biến cố được gọi là xảy ra nếu kết qủa của phép thử là 1 phần tử của biến cố đó

Biến cố tất yếu.Vì Ωchứa mọi kết qủa của phép thử nên Ωchắc chắn xảy ra, ta gọi Ω là biến cố tất yếu

xảy ra, ta gọi Φ là biến cố bất khả

Gọi A là biến cố được mặt sấp)

B = “được mặt ngửa”(B ={ }N )

**Đối với phép thử tung con xúc xắc ở trên, ta có các biến cố như sau:

A=“Được nút 1” (A ={nút 1} ) ,

B= “Được nút chẵn”(B={nút 2, nút 4, nút 6 , }

C= “Được nút chia hết cho 3”(C = { nút 3, nút 6 )}

Ví dụ 4.Một lô hàng có 3 sản phẩm tốt ( T T T ) và 2 sản phẩm xấu(1, ,2 3 X X ).Lấy ngẫu 1, 2

nhiên ra 3 sản phẩm và quan sát xem 3 sản phẩm nào được lấy là 1 phép thử Không gian mẫu của phép thử này là

{T T T T T X T T X T T X T T X T T X T T X T X X T X X T X X1 2 3, 1 2 1, 1 2 2, 1 3 1, 1 3 2, 2 3 1, 2 3 2, 1 1 2, 2 1 2, 3 1 2}

những biến cố sau:

Gọi A là biến cố được 3 sản phẩm tốt(A={T T T1 2 3} )

Gọi B là biến cố được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu (

ra nghĩa là có ít nhất một biến cố xảy ra

Chú ý: Khi diễn đạt biến cố bằng lời nếu có từ hoặc thì đó là tổng các biến cố, nếu có từ và thì đó là tích các biến cố

Ví dụ 5.Với A,B trong ví dụ 3phần ** ta có

A+B là biến cố được nút 1 hoặc nút 2

AB là biến cố được nút 1 và nút 2 nghĩa là AB= ɸ

Với A,B trong ví dụ 5 ta có

A+B là biến cố được 3 sản phẩm tốt hoặc được 2 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu.Nói cách khác A+B là biến cố được ít nhất 2 sản phẩm tốt.

A.B là biến cố được 3 sản phẩm tốt và được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu

* Hai biến cố xung khắc.

Hai biến cố A, B xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời cũng xảy ra, nghĩa là AB =

∅

*Biến cố đối lập.

Biến cố đối lập của A ký hiệu là _A đối lập nhau nếu A+ _A =Ω và A _A =∅

Ví dụ 6.Một chiếc hộp có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm

Gọi M = “ được i sản phẩm tốt” (i=0,1,2,3,4) i

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C thông qua các biến cố M, N, _M , _N

Biến cố B = “có 1 người bắn trúng”= “ người 1 bắn trúng” và “người 2 bắn trật” hoặc

“người 1 bắn trật” và “người 2 bắn trúng”, vì vậy

II.Định nghĩa xác suất.

Định nghĩa xác suất cổ điển.

cấp đồng khả năng Xác suất của biến cố A ký hiệu P(A) và được định nghĩa như sau:

Nhận xét

Để tìm P(A) ta cần tìm 2 con số m và n và thường phải sử dụng công cụ tổ hợp Đối với A

nhiều bạn đọc, tính P(A) bằng định nghĩa cổ điển là bài toán khó vì họ thường chưa định hướng được cách giải Ở đây tôi xin nêu cách phân tích để định hướng bài toán như sau:Tổng số trường hợp xảy ra của phép thử (n ) sẽ phụ thuộc vào phép thử, thế nhưng nhiều người khi tính số này không quan tâm đến phép thử là gì.Đó là một sai lầm Vì vậy để tìm

n các bạn hãy trả lời cho được phép thử là gì.Thực ra nếu phải dung giải tích tổ hợp để tìm

n thì phép của bài toán đó sẽ rơi vào 2 loại Đó là một lần (giai đoạn)thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Bạn hãy đọc đề cho kỹ để xác định điều này.(Bạn cũng cần phân biệt số lần thực hiện với số cách thực hiện Ví dụ một lô hàng có 10 sản phẩm lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm( nghĩa là bốc cùng lúc ra k sản phẩm) thì số lần thực hiện là 1, còn số cách thực hiện

là C ) Nếu 1 lần thực hiện thì thường sẽ không lặp và không quan tâm thứ tự nên để tìm 10k

n ta dung tổ hợp Còn nếu nhiều lần thì có thể lặp hoặc không và cũng có thể quan tâm thứ

tự hoặc không vì vậy số cách thực hiện được tính bằng nguyên lý nhân( số chỉnh hợp, số chỉnh hợp lặp, số hoán vị đều được tính dựa vào nguyên lý nhân) Như vậy khi bạn đã xác định phép thử phép thử rơi vào loại nào trong 2 loại trên bạn chỉ cần dùng tổ hợp hoặc nguyên lý nhân là có thể tìm được n.Để tìm m ta phải xem biến có A là biến cố nào Ràng A

buộc A với phép thử, rồi hạn chế bớt số trường hợp có thể xày ra ta sẽ có m A

Ví dụ 8.Một chiếc hộp có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

a)Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt

b)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu

c)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu

Giải

a)Gọi A= “được 3 sản phẩm tốt”

Ở đây phép thử là: Lấy cùng lúc ra 3 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy ra 3 sản

từ hộp tương ứng với một tổ hợp chập 3 của 5(3 sản phẩm khác nhau, không quan tâm thứ tự)

b) Gọi B= “được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu”

Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu ta chia 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có C = 3 cách32

c) Gọi C= “được1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu”

Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu

ta chia 2 giai đoạn

Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có C = 3 cách13

a)Gọi A = “được tờ không có số 3”

Số trường hợp để B xảy ra m =10.9.8=720(có thể thấy B

Ví dụ 10 Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ

lên tàu Giả sử hành khách lên tàu ngẫu nhiên và mỗi toa còn hơn 12 chổ trống.Tính xác suất:

Phép thử ở đây quan sát mỗi người chọn 1 toa tàu để lên Do đó có 12 lần( giai đoạn) thực

b) Gọi B = “tất cả cùng lên 1 toa”

Người thứ nhất không có ràng buộc gì mà chỉ chọn 1 toa từ 3 toa nên có C =3, những 31

người còn lại phải lên toa mà người thứ nhất đã lên nên mỗi người có 1 cách chọn

3

C 1.1…1=3

Ví dụ 11.Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá.

a)Tính xác suất cả 3 lá đúng người nhân

b) Tính xác suất lá 1 đúng người nhận

Giải

Rõ ràng phép thử gồm 3 lần thực hiện(mỗi lần là xếp 1 lá thư vào phong bì)

Vì mỗi lá thư vào 1 phong bì nên lá thứ nhất có 3 cách, lá thứ 2 có 2 cách và lá thứ 3 có 1 cách.Theo nguyên lý nhân n=3.2.1= 6

a)Gọi A= “cả 3 lá đều đúng người nhận”

Để tính số trường hợp để A xảy ra ta thấy lá 1 có 1 cách( phải xếp vào phong bì của lá 1),

Giai đoạn 1:Lấy từ hộp 1 ra 1 bi có 10 cách.

Giai đoạn 2:Lấy từ hộp 2 ra 1 bi có 8 cách

Theo nguyên lý nhân n= 10.8=80

a)Gọi A = “Được 2 bi đỏ”

Để được 2 bi đỏ ta chia 2 giai đoạn

Giai đoạn 1:Bi từ hộp 1 phải được bi đỏ có 4 cách

Giai đoạn 2:Bi từ hộp 2 phải được bi đỏ có 3 cách

+Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm

+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm

+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 2 sản phẩm

Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên: a) Lấy được 2 sản phẩm tốt b) Lấy được 2 phế phẩm

Ở đây phép thử là lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy là 1 nhóm gồm 2 sản phẩm không lặp và không quan tâm thứ tự (vì ta có thay đổi thứ tự của 2 sản phẩm thì vẫn 2 sản phẩm đó được lấy) nên mỗi cách lấy như vậy là một tổ hợp chập 2

Số trường hợp để B xảy ra: m B =C C12 11= 2 (B = {T X T X )1 1, 2 1}

● Với phép thử lấy lần lượt không có hoàn lại ra 2 sản phẩm

Ở đây phép thử là lấy lần lượt( không cùng lúc) ra 2 sản phẩm( 2 lần thực hiện) Nên mỗi cách lấy là một nhóm 2 sản phẩm không lặp ( vì lấy không hoàn lại) và quan tâm thứ tự (vì lấy lần lượt) nên đó là một chỉnh hợp chập 2 của 3 Suy ra, tổng số trường hơp xảy ra: n= A = 3.2 = 6 và không gian mẫu của phép thử là: 32 Ω ={TT T T T X X T T X X T1 2, 2 1, 1 1, 1 1, 2 1, 1 2}

Trường hợp 1:Sản phẩm đầu tốt, sản phẩm sau xấu

Để đếm số cách trong trường hợp này ta chia 2 giai đoạn

Giai đoạn 1: Lấy sản phẩm lần 1, để được tốt ta có 2 cách

Giai đoạn 2: Lấy sản phẩm lần 2, để được tốt ta có 1 cách

Theo nguyên lý nhân có 2.1=2 cách trong trường này.

Trường hợp 2:Sản phẩm đầu xấu, sản phẩm sau tốt

Tương tự ta cũng có 1.2= 2 cách trong trường này

● Với phép thử lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm

Giống như cách lấy 2 ở đây phép thử cũng lấy lần lượt( không cùng lúc) ra 2 sản phẩm( 2 lần thực hiện) nhưng mỗi cách lấy là một nhóm 2 sản phẩm có thể lặp lại ( vì có hoàn lại) Theo nguyên lý nhân tổng số trường hơp xảy ra n= 3.3 = 9 và không gian mẫu của phép thử là: Ω ={TT TT T T T T T X X T T X X T X X1 1, 1 2, 2 1, 2 2, 1 1, 1 1, 2 1, 1 2, 1 1}

b)Gọi B= “được 1 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu”

*Cách 1 và cách 2 có xác suất giống nhau nhưng phép thử là khác nhau

* Ta có thể tính xác suất của các biến cố trong cách 2 , và 3 bằng định lý xác suất

BÀI TẬP

1.1Một công ty có 4 nhân viên nam, 5 nhân viên nữ Giám đốc công ty chọn ngẫu nhiên ra

4 người đi công tác

a) Tính xác suất giám đốc chọn được 4 người nam đi công tác

b) Tính xác suất giám đốc chọn được 3 người nam, 1 người nữ đi công tác

1.2 Môt công ty kinh doanh với hóa đơn gồm 7 chữ số Công ty phát thưởng bằng cách

dùng hàm random chọn ngẫu nhiên 1 hóa đơn từ máy vi tính.Tính xác suất số hóa đơn trúng thưởng

a) là một số chẵn

b) là một số có số đầu tiên là số 9 và các chữ số đều khác nhau

c) là một số có số đầu tiên là số 9, chữ số còn lại khác nhau và số lẻ

1.3 Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu Lấy ra 3 sản phẩm theo 3 cách sau:

+Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 3 sản phẩm

+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 3 sản phẩm

Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên:a) Lấy được 3 sản phẩm tốt b) Lấy được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm

1.4 Có 4 khách hàng cùng đi vào 1 cửa hàng có 6 quầy phục vụ Tính xác suất để:

a)Cả 4 khách đến cùng 1 quầy

b)Mỗi người đến 1 quầy khác nhau

1.5 Giả sử cấu tạo protein của sinh vật chỉ gồm 14 loại axit amin cơ bản.

Tính xác suất sinh tổng hợp chuỗi polypeptid (mạch thẳng) gồm 12 axit amin, sao cho:

a) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1 lần và các axit amin glycine, leucine mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.

b) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1 lần và các axit amin glycine, leucine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.Tất cả các axit amin này (valine, cystine,thyroxine glycine và leucine ) luôn nằm gần nhau và nằm giữa các axit amin valine, cystine là các axit amin glycine, leucine, thyroxin.

CHƯƠNG 2:CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

I.Công thức cộng xác suất.

I.1.Công thức cộng 1

Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) +P(B)

Nếu A A1, , ,2 A xung khắc từng đôi thì P( n A1+A2+ + A n)= P(A1)+P A( ) 2 + +P A( )n

I.2 Công thức cộng 2

Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì P(A+B) = P(A) +P(B)-P(AB)

Nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A+B+C) = P(A) +P(B)+P(C)- P(AB)-P(AC)- P(BC)+P(ABC)

Nhận xét Khi dùng công thức cộng để tính xác suất, bạn đọc cần lưu ý rằng loại bài toán

này sẽ có 2 loại biến cố: Biến cố bài toán đã cho (thường tính được xác suất hoặc đã biết xác suất) và biến cố cần tính xác suất (các bạn phải nhận ra được chúng) Do đó các bạn phải đặt tên các biến cố đã cho để dùng (nếu các biến cố đã cho chưa được ký hiệu), sau đóbiểu diễn biến cố cần tính xác suất thông qua các biến cố đề cho Khi biểu diễn biến cố cần tính xác suất, diễn đạt các biến cố thành lời nếu các bạn thấy có từ hoặc thì các bạn nên nghĩ đến quan hệ tổng và sẽ dùng công thức cộng

Ví dụ 1.Một lô hàng có 4 sản phẩm loại I, 5 sản phẩm loại II

Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

a)Tính xác suất được 3 sản phẩm cùng loại

b)Tính xác suất được không quá 2 sản phẩm loại I

Giải

Đề bài cho các biến cố:A = “có i sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô hàng”.( i= i

0,1,2,3)

Các biến cố này xung khắc từng đôi và P(A ) = 0 53

3 9

1084

C C

C = , P(A ) = 2 42 51

3 9

3084

C C

C = , P(A ) = 3 43

3 9

484

C

C =a) Biến cố cần tính xác suất: A= “được 3 sản phẩm cùng loại”

Vì lô hàng chỉ có 2 loại nên được 3 sản phẩm cùng loại là được 3 sản phẩm cùng loại I hoặc được 3 sản phẩm cùng loại II” nên A = A +0 A Suy ra P(A)=P(3 A +0 A )=P(3 A0)+P(

3

A )=10 4 14

b) Gọi B= “được không quá 2 sản phẩm loại I”

Ta có B =A0+A1+A Vì 2 A A0, ,1 A xung khắc từng đôi nên 2

Ví dụ 2 Trong 1 kỳ thi AN phải thi 2 môn: toán và ngoại ngữ Xác suất An đậu toán là 0,2,

xác suất An đậu ngoại ngữ là 0,3 Còn xác suất An đậu cả 2 môn là 0,1 Tính xác suất An đậu ít nhất môt môn

Giải

Ta thấy đề bài cho 3 biến cố là: H= “An đậu môn toán”, K=“An đậu ngoại ngữ” và M=

“An đậu môn toán và đậu ngoại ngữ” Ta có H, K là 2 biến cố không xung khắc cũng không độc lập, M = HK, P(H)= 0,2, P(K) = 0,3, P(M) = P(HK) = 0,1

Biến cố cần tính xác suất A = “An chỉ đậu ít nhất 1 môn” nghĩa là An đậu toán và đậu ngoại ngữ do đó A= H+K Vì H, K không xung khắc( An có thể thi đậu cả toán và ngoại ngữ) nên P(A) = P(H+K) = P(H) + P(K) – P(HK) = 0,2+0,3 -0,1= 0,4

II.Công thức nhân xác suất.

II.1.Xác suất có điều kiện.

Xác suất của A tính trong trường hợp B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của Avới điều kiện B xảy ra.Ký hiệu P(A/B)

Ví dụ 3 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ các số 1,2,…,20.Tính xác suất được số chia hết cho 2

biết rằng đã được số chia hết cho 3

Giải

Gọi A = “được số chia hết cho 2” ta dễ thấy P(A) = 10/20

Nhưng ở đây yêu cầu tính xác suất của A biết rằng đã được số chia hết cho 3 nghĩa là tính xác suất của A khi đã có B = “đã được số chia hết cho 3” xảy ra.Vậy ta cần tính P(A/B) Khi đã được số chia hết cho 3 ta thấy tổng số trường hợp n= 6 vì chỉ còn có 6 trường hợp

có thể xảy ra đó là được các số 3,6,9,12,15,18, và trong đó có 3 trường hợp để A xảy ra( được các số 6,12,18) vì vậy theo định nghĩa xác suất cổ điển xác suất của A trong trường hợp này 3/6

Vậy P(A/B) =3/6=1/2

Ví dụ 4.Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 30 sinh viên giỏi toán, 40 sinh viên giỏi

ngoại ngữ và 10 sinh viên giỏi cả 2 môn Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ lớp học

a) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán

b) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán, biết rằng sinh viên đó giỏi ngoại ngữ

Giải

Gọi A = “ được sinh viên giỏi toán”

Gọi B = “ được sinh viên giỏi ngoại ngữ”

a) P(A) = 30/100

b)Theo yêu cầu ta tính P(A/B)

Khi B xảy ra nghĩa là ta đã chọn được sinh viên giỏi ngoại ngữ nên tổng số trường hợpxảy ra n = 40, trong đó có 10 sinh viên giỏi toán nên m = 10 Vậy P(A)= 10/40 A

Ví dụ 5 Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu Có 2 người khách mỗi người lần

lượt lấy từ lô ra 1 sản phẩm để mua.Tính xác suất người thứ 2 mua được sản phẩm tốt biết rằng người thứ nhất mua được sản phẩm tốt

Giải

Gọi B = “ khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm tốt”

Gọi A = “khách hàng thứ hai mua được sản phẩm tốt”

Ta cần tính P(A/B)

Khi B xảy ra (người thứ nhất đã lấy đi 1 sản phẩm và đó là sản phẩm tốt), lúc này lô hàng chỉ còn 8 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 5 xấu Người thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm để mua thì tổng số trường hợp xảy ra n = 8, m = 3.Vậy P(A/B) = 3/8 A

Hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu P(A/B)= P(A) hoặc P(B/A)=P(B)

II.3.Công thức nhân xác suất 1.

Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A).P(B)

Nếu A A1, , ,2 A độc lập trong toàn bộ thì P( n A A A = P(1 2 )n A P A1) ( ) ( )2 P A n

Ví dụ 6 Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập Xác suất máy 1, máy 2, máy 3 hoạt

động tốt trong 1 ca làm việc lần lượt là 0,1,0,2 và 0,3

a) Tính xác suất cả 3 máy đều hoạt động tốt

b) Tính xác suất có 2 máy hoạt động tốt

c) Tính xác suất có 1 máy hoạt động tốt

d) Tính xác suất có ít nhất 1 máy hoạt động tốt

e) Biết rằng có 2 máy hoạt đông tốt tính xác suất máy 1 hoạt động tốt

Giải

Đề bài cho 3 biến cố: M = “ Máy 1 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc” , 1 M = “ Máy 2 2

hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, M = “ Máy 3 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, với P(3

1

M ) = 0,1, P( M ) = 0,2, P( 2 M ) = 0,3 Các biến cố 3 M , 1 M , 2 M không xung khắc từng 3

đôi, nhưng độc lập trong toàn bộ

Ta ký hiệu bốn biến đề bài cần tính xác suất trong các câu a, b, c, d lần lượt là A, B, C, D.a)Ta có A = M 1 M 2 M 3 ⇒P(A) = P(M ).P(1 M ).P(2 M )= 0,1.0,2.0,3=0,006 (do 3 M ,1

Ta cũng có thể tính P(D) như sau: D = M + 1 M +2 M , với cách phân tích này do 3 M , 1 M ,2

Ví dụ 7 Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá.Tính

xác suất cả 3 lá đúng người nhân

Giải

Giống như ví dụ 6 ở đây đề cho 3 biến cố: M = “ Lá 1 bỏ đúng phong bì” , 1 M = “Lá 2 bỏ2

này và 3 biến cố M , 1 M , 2 M , không xung khắc từng đôi, không độc lập trong toàn bộ.3

Gọi A = “Cả 3 lá đều bỏ đúng”

Vì các biến cố M , 1 M , 2 M , không độc lập trong toàn bộ nên để tính các xác suất này ta 3

phải dùng công thức nhân 2

Ví dụ 8 Một người tham gia đấu thầu 2 dự án Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là

0,6 Nếu trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 là 0,8, còn nếu không trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 chỉ còn là 0,3.Tính xác suất

Gọi A = “người đó trúng thầu ở dự án thứ nhất”1

A = “người đó trúng thầu ở dự án thứ hai”2

III.1 Dãy phép thử Bernoulli

Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thỏa 3 điều kiện:

-Các phép thử độc lập

- Trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc _A xảy ra.

- Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử

Ví dụ 9 Một nhân viên bán hàng 1 ngày bán hàng ở 5 địa điểm, xác suất bán được hàng ở

mỗi địa điểm là 0,2

a) Tính xác suất có 2 địa điểm bán được hàng.

b) Tính xác nhân viên bán được hàng

Giải

Nếu ta coi việc nhân viên đến bán hàng ở 1 địa điểm là 1 phép thử thì nhân viên này đến bán hàng ở 5 địa điểm coi như 1 dãy 5 phép thử.Trong mỗi phép thử hoặc người đó bán được hàng hoặc người đó không bán đượ hàng nghĩa là hoặc biến cố A = “Nhân viên bán được hàng” xảy ra hoặc _A xảy ra và P(A) = 0,2.Vậy đây là dãy 5 phép thử Bernoulli.

a)Gọi B = “ có 2 địa điểm bán được hàng”

Khi đó B= “có 2 lần A xảy ra trong dãy 5 phép thử Bernoulli”

V.2 Công thức xác suất toàn phần.

Nếu A là biến cố bất kỳ được chi phối bởi nhóm biến đầy đủ B , 1 B2, , B thì n

P(A) = P(B ).P(A/1 B + P(1) B ).P(A/2 B +…+P(2) B ).P(A/ ) n B n

V.3Công thức xác suất Bayes

Cho B , 1 B2, , B là nhóm biến cố đầy đủ và A là biến cố được chi phối bởi nhóm n

( )

P B P A B

Nhận xét Để áp dụng công thức xác suất toàn phần ta phải thấy được nhóm biến cố đầy đủ

chi phối biến cố A Khi sử dụng công thức này ta phải biết chọn nhóm biến cố đầy đủ cho phù hợp với biến cố A cần tính xác suất Nếu bài toán gồm 2 phần thì biến cố cần tính xác suất sẽ liên quan đến phần sau còn phần đầu sẽ có nhóm biến cố đầy đủ Nếu bài toán gồm

2 bước hoặc 2 giai đoạn thì thì biến cố cần tính xác suất liên quan đến bước sau còn phần đầu sẽ có nhóm biến cố đầy đủ

Ví dụ 10 Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất cùng 1 loại sản phẩm Sản phẩm của

phân xưởng I chiếm 30% số lượng sản phẩm của nhà máy Tương tự, phân xưởng II và IIIchiếm 35% và 25% Tỷ lệ chính phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 94%,98% và 97% Tính tỷ lệ chính phẩm của nhà máy

Giải

Bài toán này gồm 2 phần: phân xưởng của nhà máy và sản phẩm chính phẩm.Việc tính tỷ

lệ chính phẩm của nhà máy tương đương với chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất được chính phẩm Biến cố cần tính xác suất A= “được sản phẩm chính phẩm”liên quan đến phần chính phẩm, như vậy theo nhận xét trên nhóm đầy đủ sẽ liên quan đến phần đầu và đó là các biến cố : B = “ sản phẩm lấy ra là của phân xưởng i” i=1,2,3 (bạn i

đọc dễ dàng kiểm tra đây là nhóm đầy đủ)

Theo giả thiết ta có P(B ) = 0,4, P(1 B ) = 0,35, P(2 B ) = 0,4253

P(A/B ) = 0,94( Ở đây diễn dạt thành lời ta thấy: P(A/1 B ) là xác suất được chính phẩm với 1

điều kiện sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất ra, theo đầu bài ta có ngay 0,94)

Tương tự P(A/B ) = 0,98, P(A/2 B ) = 0,971

Theo công thức xác suất toàn phần

P(A) = P(B ).P(A/1 B + P(1) B ).P(A/2 B +P(2) B ).P(A/3 B =0,4.0,94+0,35.0,98+0,25.0,973)

Ví dụ 11 Có 2 lô sản phẩm: Lô I có 8 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm

xấu Lô II có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ

lô hàng I ra 2 sản phẩm bỏ vào lô hàng II rồi từ lô hàng II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy từ lô hàng II

Giải

Biến cố cần tính xác suất A = “ có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy từ

lô II” Ta không thể tính trực tiếp P(A), vì xác suất của A thay đổi tùy thuộc vào trong thực tế biến cố nào trong các biến cố chi phối A xảy ra Vậy các biến cố chi phối A ở đây

là gì? Ở đây bài toán gồm 2 bước, bước 1 lấy 1 sản phẩm từ lô hàng I bỏ sang lô hàng II , bước 2 lấy từ lô hàng II ra 2 sản phẩm Biến cố A nằm ở bước 2 và nó phụ thuộc vào bước

1 lấy được 2 sản phẩm gì từ lô I bỏ vào lô II , từ đây ta có nhóm biến cố đầy đủ là :

1028

C

C = , P(B )=2 31 51

2 8

1528

C C

C = ,P(B )=3 32

2 8

328

220

C C

C =Theo công thức xác suất toàn phần P(A) = P(B ).P(A/1 B +P(1) B ).P(A/2 B +P(2) B ).P(A/3 B3)

112

Cách khác.Ta cũng thấy xác suất của A phụ thuộc vào 3 sản phẩm lấy từ lô II là sản phẩm

của lô nào và với cách phân tích này ta có thể tính xác suất của A dựa vào nhóm biến cố đầy đủ: B = “có 3 sản phẩm của lô hàng II trong 3 sản phẩm lấy từ lô II” , 1 B = “có 2 sản 2

phẩm của lô hàng II, 1 sản phẩm của lô I trong 3 sản phẩm lấy từ lô II”, B = “có 1 sản 3

phẩm của lô hàng II, 2 sản phẩm của lô I trong 3 sản phẩm lấy từ lô II”

P(B ) = 1 103

3

12

120220

C

C = , P(B ) = 2 102 12

3 12

220

C C

C =

Tính P(A/B )1

Khi B xảy ra ta có 3 sản phẩm lấy từ lô II là sản phẩm của lô II, nên tổng số trường hợp 1

xảy ra n =C , số trường hợp để A xảy ra: 103 m = A 2 1

120

C C

C =

Khi B xảy ra ta có trong 3 sản phẩm lấy từ lô II có 2 sản phẩm của lô II, 1 sản phẩm của 2

lô I để được 2 sản phẩm tốt, 1 xấu thì 2 sản phẩm của lô II là 2 sản phẩm tốt và sản phẩm của lô I là xấu hoặc 2 sản phẩm của lô II có 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu và sản phẩm của lô I là sản phẩm tốt do đó

P(A) = P(B ).P(A/1 B + P(1) B ).P(A/2 B +P(2) B ).P(A/3 B3)

147

10220

102

Ví dụ 12.Thùng I có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu trắng.

Thùng II có 5 quả cầu đỏ, 7 quả cầu trắng

Thùng III có 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng

Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng I bỏ vào thùng II, rồi từ thùng II lấy ngẫu nhiên 1 quả

bỏ vào thùng III sau cùng từ thùng III lấy ngẫu nhiên ra 3 quả.Tính xác suất có 2 quả đỏ, 1 qủa trắng trong 3 qủa lấy từ thùng III

thùng II bỏ vào thùng III là trắng” Theo công thức xác suất toàn phần P(A)=P(B ).P(A/1

1)

B + P( B ).P(A/2 B Để tính P(2) B ),ta thấy biến cố 1 B này phụ thuộc vào 2 quả bỏ từ hôp I1

vào hộp II là quả màu gì và như vậy nhóm biến cố đầy đủ chi phối biến cố B là: 1 C = “ Có1

0 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”,C = “ Có 1 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp 2

I bỏ vào hộp II”, C = “ Có 2 qủa đỏ trong 2 quả lấy từ hộp I bỏ vào hộp II”.Theo định lý 3

xác suất toàn phần P(B )=P(1 C ).P(1 B C +P(1/ 1) C ).P(2 B C +P(1/ 2) C ).P(3 B C =1/ 3) 42

2 10

514

Cách khác Ta cũng thấy xác suất của A phụ thuộc vào 3 quả cầu lấy từ hộp III là quả cầu

của hộp nào(cuả hộp này xác suất sẽ khác so với quả cuả hộp khác ) và với cách phân tích này ta có thể tính xác suất của A dựa vào nhóm biến cố đầy đủ: B = “có 3 quả của hộp III 1

trong 3 quả lấy từ hộp III” , B = “có 2 quả của hộp III, 1 quả hộp II trong 3 quả lấy từ 2

hộp III”, B = “có 2 quả của hộp III, 1 quả hộp I trong 3 quả lấy từ hộp III”,3

P(A) = P(B ).P(A/1 B + P(1) B ).P(A/2 B +P(2) B ).P(A/3 B =3)

3 9 3 10

C C

2 1

4 5 3 9