KHÔNG GIAN XÁC SUẤT(LÝ THUYÊT + BÀI TẬP)

Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng của chúng vào thực tế. Nói một cách đại khái thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiên tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảng như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Chẳng hạn, ta không nói trước một hạt giống có nảy mầm hay không khi gieo xuống đất canh tác nhưng nếu gieo nhiều hạt thì ta có thể rút ra được chất lượng tốt hay xấu của hạt giống. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật. Hiểu được vai trò của xác suất thống kê như vậy, tôi càng thấy được tầm quan trọng cần phải trang bị cho sinh viên các trường sư phạm một lượng vững kiến thức vững chắc về xác suất thông kê. Bản thân tôi là một sinh viên chuyên nghành sư phạm toán, tôi hiểu rõ việc cần trang bị kiến thức về xác suất thống kê là rất cần thiết. Chính vì vậy ta chọn đề tài: “Bài tập về không gian xác suất tổng quát” để nghiên cứu rõ hơn về môn học xác suất thống kê.

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượngngẫu nhiên và ứng dụng của chúng vào thực tế Nói một cách đại khái thì hiệntượng ngẫu nhiên là hiên tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy

ra khi thực hiện một lần quan sát Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiềulần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảng như nhau, thì trong nhiềutrường hợp ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này.Chẳng hạn, ta không nói trước một hạt giống có nảy mầm hay không khi gieoxuống đất canh tác nhưng nếu gieo nhiều hạt thì ta có thể rút ra được chất lượngtốt hay xấu của hạt giống Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trongnhững hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật

Hiểu được vai trò của xác suất thống kê như vậy, tôi càng thấy được tầmquan trọng cần phải trang bị cho sinh viên các trường sư phạm một lượng vữngkiến thức vững chắc về xác suất thông kê Bản thân tôi là một sinh viên chuyênnghành sư phạm toán, tôi hiểu rõ việc cần trang bị kiến thức về xác suất thống

kê là rất cần thiết Chính vì vậy ta chọn đề tài: “Bài tập về không gian xác suất tổng quát” để nghiên cứu rõ hơn về môn học xác suất thống kê.

2 Mục đích của đề tài

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, tôi muốn giới thiệu đến các bạn về những bàitập phần “không gian xác suất tổng quát” Từ đó các bạn có thể hiểu rõ hơn kiếnthức về không gian xác suất tổng quát, nắm vững tốt kiến thức đó và vận dụngđược nó vào những bài toán liên quan khác

3 Lịch sử vấn đề và phát hiện vấn đề

Sau thời gian học tập ở trường đại học Hồng Đức, tôi nhận thấy xác suấtthống kê là một môn học khó đa dạng và rất phức tạp Đặc biệt là ứng dụng của

chúng Chính vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài “Bài tập về không gian xác suất tổng quát” với mục đích nêu trên.

4 Đối tượng nghiên cứu và nội dung nghiên cứu

Xác suất thống kê

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nhiên cứu sau:

- Tham khảo tài liệu có sẵn

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp khát quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

(ii) A, B Î C, A Ì B thì tồn tại các tập con A , ,A đôi một1 n

không giao nhau, Ak Î 𝒞 , i = 1, 2, , n sao cho

B \ A =

n k

Giả sử 𝒞 Î P( )W. Một - s đại số Á Ì P( )W bé nhất chứa 𝒞 được

gọi là -s đại số sinh bởi và 𝒞 viết Á = s ( 𝒞)

Nếu W là không gian tôpô và 𝒞 là lớp gồm mọi tập mở của W

thì s ( 𝒞) được gọi là -s đại số các tập Borel của W, kí hiệu là B

( )W

Giả sử Á là -s đại số các tập con của W Cặp (W Á được gọi , )

là không gian đo Hàm tập hợp P : Á ® R thõa mãn ba điều kiện:

Được gọi là một độ đo xác suất.

Bộ ba(W Á, , P) được gọi là không gian xác suất W được gọi là

không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp, w Î W đượcgọi là điểm mẫu hay biến cố sơ cấp

Tập A Î Á được gọi là biến cố, P(A) được gọi là xác suất của biến cố A

Bài 2: Giả sử 𝒞 = {A1, A2…, An} là một phân hoạch của  (nghĩa

là AiAj =  với i  j) và

n i

Bài 3: Giả sử Ak  , k =1, 2, …, n Chứng minh rằng ({A1, …,

của một số nào đó các tập hợp đôi một không giao nhau có

tập 2 ta được ({A1, …, An}) trùng với họ tất cả các tập B biểudiễn được dưới dạng hợp của một số nào đó các tập hợp đôi một

không giao nhau có dạng B = ( intersect

Bài 5: Giả sử n

AA

B

neáu n chaün neáu n leû

Bài 6: Giả thiết (, , P) là không gian xác suất cố định và A, B,

C, Ai  , i  1 Chứng minh rằng:

a) P AB  P A P B    1

4

b) P(AB) P(AB)  P(A)P(B)

c) |P(AB) -đại số sinh bởi P(AC)|  P(B  C)

a) Giả sử P(B)  P(A) vì P(AB)  P(B) nên

P(AB) -đại số sinh bởi P(A)P(B)  P(B) -đại số sinh bởi P(A)P(B) = P(B)(1 -đại số sinh bởi P(A))

 P(B)(1 -đại số sinh bởi P(B)) 

1

4.b) Đặt P AB  a, P BA  b, P AB   c

Ta có: P(A  B)P(AB) = (a + b + c)c = ac + bc + cc  ab +

ac + bc + ac

 (a + c)(b + c) = P(A)P(B)

Đó là điều cần chứng minh

P(AC) = P(ABC) + P(ABC)

Từ đó P(AB) -đại số sinh bởi P(AC) = (P(ABC) -đại số sinh bởi P(ABC)  P(B  C).Tương tự P(AB) -đại số sinh bởi P(AB)  P(B  C)

d) Đặt P AB  x, P AB  y, P AB  z, P AB  u

Như vậy x + y + z + u = 1

Bất đẳng thức cần chứng minh suy từ bất đẳng thứcBunhiacovski:

Lời giải:

Với n = 2, P(A1  A2) = P(A1\A2) + P(A2\A1)

= P(A1) -đại số sinh bởi P(A1A2) + P(A2) -đại số sinh bởi P(A2A1)

= P(A1) + P(A2) -đại số sinh bởi 2P(A1A2)Với n > 2, hệ thức được chứng minh bằng quy nạp

Bài 8: Giả sử (An)   Chứng minh rằng

b) Ta có lim supAn\ lim infAn = lim sup(An  An+1).

Bài 9: Giả sử (, , P) là không gian xác suất (n) dãy tăng các

-đại số sinh bởi đại số con của 

 ∩

là một đại số Cho ví dụ chứng

tỏ rằng  không là -đại số sinh bởi đại số

b) Giả sử = () Chứng tỏ rằng với A  ,  > 0, B  sao cho: P(A  B) < 

không là -đại số sinh bởi đại số vì phần tử 0 = (0, 0, ) không

thuộc bất kì n nào nhưng {0} = i 1 i

với i  1 Như vậy  không là -đại số sinh bởi đại số

Bài 10: Đặt d(A, B) = P*(A  B); A, B  𝒫() Chứng minh rằng d

d(A, An)  0 Khi đó d A,A n d A,A n  0.

Vậy A  

thiết (An) đôi một không giao, (An)  𝒜 Do tính chất của P*, đốivới mỗi  > 0, ta có:

Còn lại chỉ cần chứng minh P là hàm -đại số sinh bởi cộng tính.

Đầu tiên, giả sử A, B  , AB =  Khi đó tồn tại (An), (Bn) 

𝒜 sao cho d(A, An), d(B, An)  0

Khi đó |P*(A  B) -đại số sinh bởi P*(An  Bn)|  d(A, An) + d(B, Bn)  0

Bài 11: Giả sử 𝒞= {[a, b): -đại số sinh bởi   a  b  +} Kí hiệu 𝒜 là tập

hợp gồm các tập là hợp của một số hữu hạn các nửa khoảng rờinhau thuộc 𝒞

Bài 12: Giả sử P và Q là hai độ đo xác suất trên (, )

a) Giả sử P(A) = Q(A) với mọi A   với P(A) 

1

2

Chứng minh rằng P(A) = Q(A) với mọi A  .

b) Cho một ví dụ chứng tỏ rằng P(A) = Q(A) với mọi A  

Rõ ràng P, Q thoả mãn yêu cầu của bài toán

Bài 13: (Vitali -đại số sinh bởi Hahn -đại số sinh bởi Saks) Giả sử (Pn) là dãy độ đo xác suấttrên không gian đo (, ) hội tụ tại từng điểm A   tới hàm tậphợp P Chứng minh rằng P là độ đo xác suất

Lời giải:

Rõ ràng P() = 0, P() = 1, P cộng tính hữu hạn Giả sử Pkhông -đại số sinh bởi cộng tính Khi đó, có dãy (An) sao cho n n

Bài 14: Cho (, , P) là không gian xác suất và (Ai, i  I)  .

b) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại cận trên cốt yếu A   của họ(Ai, i  I)   bất kì A được xác định duy nhất sai khác tươngđương.

Rõ ràng A thoả mãn điều kiện (*)

Bây giờ nếu C cùng thoả mãn (*) thì theo định nghĩa A  Chầu chắc chắn và tương tự C  A hầu chắc chắn

Vậy A = C hầu chắc chắn

Bài 15: Giả sử (, , P) là không gian xác suất, A và B  .

Ta nói A = B hầu chắc chắn nếu P(A  B) = 0 Dễ thấy quan hệ

đó là quan hệ tương đương Tập A   được gọi là nguyên tử

nếu P(A) > 0 và nếu B   được gọi là nguyên tử nếu P(A) > 0

và nếu B  , B  A thì P(B) = 0 hoặc B = A (hầu chắc chắn).a) Chứng minh rằng  chứa không quá đếm được các lớptương đương các nguyên tử

b) Giả sử (, , P) không có nguyên tử Chứng tỏ rằng vớimỗi a  [0, 1], tồn tại A   sao cho P(A) = a

b) Giả sử a  (0, 1) và với mọi A  , P(A)  a

Kí hiệu 𝒞 = {A   | P(A) < a}

𝒞 không rỗng vì   𝒞, 𝒞 là tập sắp thứ tự theo quan hệ baohàm hầu chắc chắn, đồng thời 𝒞 là tập sắp thứ tự quy nạp,nghĩa là mỗi phần của 𝒞 sắp thứ tự toàn phần thì 𝒟 chứa phần

tử lớn nhất

Thật vậy, nếu 𝒟 = {i, i  I} Đặt 0 i i

với mỗi n  1 Khi đó: P B 0 limP Bn  i n a

Theo tiên đề Zorn, 𝒞 có phần tử lớn nhất B0 và P(B0) < a.Xét 𝒞’ = {A  ⃒A  B0 và P(A) > a} Chứng minh tương tự 𝒞’chứa phần tử bé nhất

Ta có C0  B0 và P(C0) > a Đặt D = C0 \ B0 Rõ ràng D  ,P(D) > 0 Ta chứng tỏ rằng D là nguyên tử

Giả sử A  , A  D Ta có: 0 < a -đại số sinh bởi P(B0) < 1

Giả sử P(A) < 1 -đại số sinh bởi P(B0)

Vì A  B0 =  nên P(B0  A) = P(B0) + P(A) < a và B0  A 

𝒞 Từ đó và B0  A  B0 nên phải có B0  A = B0 và A =  hầuchắc chắn Giả sử P(A) > a -đại số sinh bởi P(B0) Khi đó P(B0  A) > a và do đó

B0  A  C0

Vì B0 và A rời nhau nên A = C0 \ B0 = D h.c.c không có nguyên

tử Điều đó là mâu thuẫn với giả thiết  không có nguyên tử

III Bài tập tự giải.

Bài 1: Giả sử {Áa, a Î I}là một họ tùy ý các s -đại số sinh bởi đại số con của

a aÎ

Á

I

là s -đại số sinh bởi đại số

Bài 2: Giả sử 𝒞Ì P( )W là lớp tùy ý Kí hiệu I là tập hợp tất cả các s -đại số sinh bởi đại số Á Ì P( )W mà chứa 𝒞 Chứng minh rằng  = ÁÎI IÁ

là

s -đại số sinh bởi đại số bé nhất chứa 𝒞, nghĩa là  = s ( 𝒞)

Bài 3: Giả sử A k Ì W , k = 1, 2, ,n Chứng minh rằng

( A , , A1 k )

dạng hợp của các số nào đó các tập hợp đôi một không giao nhau có dạng

Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:

limA n È B = limA n n È limBn

Đề tài đã nghiên cứu về những bài tập trong không gian xác suất tổng quát

Đề tài nghiên cứu đã trình bày, cụ thể kiến thức giải toán xác suất Đề tài nghiêncứu này không chỉ giúp tôi tìm tòi, nghiên cứu bổ sung thêm một phần kiến thức

về xác suất thống kê mà qua đó tôi có cơ hội làm quen với hoạt động nghiên cứukhoa học.

Do trình độ còn hạn chế và thời gian học tập nghiên cứu không nhiều nênnội dung của đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mongnhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáoNguyễn Văn Cần cùng toàn thể các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoakhoa học tự nhiên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 1

3 Lịch sử vấn đề và phát hiện vấn đề 1

4 Đối tượng nghiên cứu và nội dung nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Nội dung 2

NỘI DUNG 3

I Tóm tắt lý thuyết 3

II Bài tập áp dụng 4

III Bài tập tự giải 18

MỤC LỤC 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lý thuyết xác suất – Nguyễn Duy Tiến – Vũ Viết Yên – NXBGD, 2000 [2] Bài tập lý thuyết xác suất – Vũ Viết Yên – NX ĐHSP, 2006.

[3] Bài tập xác suất – Đặng Hùng Thắng – NXBGD, 2008

[3] Xác suất thống kê –Phạm Văn Kiều – Lê Thiên Hương – NXBGD, 2008.

Cán bộ chấm thi 1 Cán bộ chấm thi 2

Điểm:……… Điểm:………

Họ và tên Họ và tên (Kí tên) (Kí tên) Kết luận: ………

………

………

………

………

………

………