Vấn đề 3 quỹ tích

Cho tam giác ABC với J là điểm thoả mãn 2 J Auur5J Buuur3J Cuuur r0, gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE kABuuur  uuur.. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của đ

VẤN ĐỀ 3 QUỸ TÍCH

Nguyễn Văn Dũng Fb: Nguyễn Văn Dũng

Email: dungtoanc3hbt@gmail.com

Câu 1. Cho tam giác ABC với J là điểm thoả mãn 2 J Auur5J Buuur3J Cuuur r0, gọi E là điểm thuộc

AB và thoả mãn AE kABuuur  uuur Xác định k để C E J, , thẳng hàng.

A k� 2; 1. B k�1;0. C k� 0;1 . D k� 1;2

Lời giải

Ta co

uur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r

2J A 5J B 3J C 0 2J E 2EA 5J E 5EB 3J C 0 7J E 3J C 2EA 5EB 0

Để C E J, , thẳng hàng thì 2uuur5uuur0r �7uuur5uuur 0r � uuur  5uuur�  5

Chọn C

Leminh0310@gmail.com

Câu 2. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 1 Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn

2MA MB 2MC MD  là một đường tròn co bán kính R Khẳng định nào sau đây9 đúng?

A. R� 0;1 . B. R� 1; 2 . C. 1 3;

2 2

�� �� � D. 3;2

2

�� �

� �.

Lời giải (Sưu tầm: Lê Hồ Quang Minh – FB: Lê Minh) Chọn C

Vì ABCD là hình vuông tâm O nên ta co: 0

0

OA OC

OB OD

�  

�

�

 

�

uuur uuur r uuur uuur r

Theo giải thiết: 2MA2MB22MC2MD2 9

2 MO OA  MO OB 2 MO OC  MO OD 9

� uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

0

6MO 2OA OB 2OC OD 2MO OA2 2OC OB OD  9

�

r

uuuur uuur uuur uuur uuur

1 4 4 44 2 4 4 4 43 2

6MO  3 9 MO1

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R 1

Email: thuyhung8587@gmail.com

Câu 3. Cho tam giác ABC Tập hợp những điểm M thỏa mãn :

4MA MB MCuuur uuur uuuur   2MA MB MCuuur uuur uuuur  là :

A. Đường thẳng đi qua A B. Đường thẳng qua B và C

C. Đường tròn D. Một điểm duy nhất

Lời giải

4MA MB MCuuur uuur uuuur   2MA MB MCuuur uuur uuuur 

MA MB MC   MA  MA MI

� uuur uuur uuuur uuur uuur uuur , ( I : là trung điểm BC)

3 MG MA 2 MA MI

� uuuur uuur uuur uuur , (G : trọng tâm V ABC )

1

3

MJ  IA MJ  IA

� uuur uur � ,(J là trung điểm của AG)

1 2

JM  AG

� (không đổi) Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J , bán kính

2

AG

R Chọn đáp án C.

(Họ và tên tác giả : Cấn Việt Hưng, Tên FB: Viet Hung)

ngoletao@gmail.com

Câu 4. Cho tam giác ABC co hai đỉnh B, C cố định với BC 2a Gọi H là trực tâm của tam giác

ABC và M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa

uuur uuuur

thì điểm A luôn thuộc một đường tròn cố định co bán kính bằng

Lời giải (Họ và tên tác giả : Ngô Lê Tạo, Tên FB: Ngô Lê Tạo) Chọn B

Ta co

1

4

MA MH  BA CA BH CH 

uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

1

4 BA BH CA CH

 uuuruuur uuuruuur (do BA CH CA , BH

A

H

M

 

1

4 BA BH CA CH

 uuuruuur uuuruuur (định lý chiếu vectơ)

2 1

4BC



Suy ra

4

uuur uuuur

Câu 5. Cho hai điểm A và B cố định Tìm giá trị k0 để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện

MA MB  là một đường tròn.k

3



k AB B 2 2

3

3

�

k AB D 2 2

3

k AB

Lời giải Chọn D

Gọi E là điểm thỏa mãn: uuurEA2EBuuur r0 ta co

EA EB

uuur uuur r

ta co:

MA MB k� ME EAuuur uuur  ME EBuuur uuur k 2 2 2  

3ME  k EA 2EB *

�

3

EA EB �EA AB; 1

3

EB AB nên   2 2 2

* 3

3

ME  k AB

�

ME  �k AB �

Nếu 2 2

3

k  AB : Quỹ tích điểm M là rỗng.

Nếu 2 2

3

k  AB : Quỹ tích điểm M là điểm E

Nếu 2 2

3

k  AB : Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm E bán kính 1 2 2

R ��k AB ��

PHẠM THANH LIÊM FB: Liêm Phạm

Email: Phamthanhliem1@gmail.com

Câu 6. Cho tam giác vuông ABC tại A Tìm tập hợp M sao cho MB2MC2 MA2

A.Đường thẳng B.Đường tròn C.Đoạn thẳng D.Một điểm

Lời giải Chọn D

MB MC MA �MB MC MA  Gọi E là điểm được xác định bởi

0

EB EC EA  

uuur uuur uuur

( E là điểm thứ tư của hình bình hành ABEC )

Ta co: 2 2 2   2  2 2

MB MC MA  ME EBuuur uuur  ME ECuuur uuur  ME EAuuur uuur

    uuur uuur ME22EB EC MEuuuruuur  22uuur uuurAB AC ME2 Vậy ME2  0

Nên tập hợp điểm M là điểm E

( Cách chứng minh trên phục vụ cho cả tam giác ABC là tam giác thường và khi đo các tập

hợp điểm là khác nhau )

Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A co AB5cm Gọi ( )S là tập hợp các điểm M trong mặt

phẳng thỏa mãn hệ thức: MA MB MA MCuuur uuur uuur uuuur  25 Gọi I là trung điểm của BC Kết luận nào

sau đây đúng?

A ( )S là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AI

B ( )S là đoạn thẳng AI

C ( )S là đường tròn cố định bán kính 5 10

4

R

D ( )S là đường tròn tâm I bán kính 5 2

4

R

Lời giải (Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Thạch, FB: www.facebook.com/thachtv.tc3) Chọn C

Từ giả thiết: 5 2 1 2 2 2 1 2 2 2

MA MB MA MC  � MA MB AB  MA MC AC  uuur uuur uuur uuuur

2MA MB MC 50 50 2MA MB MC 100

Gọi D là điểm thỏa mãn 2 DA DB DCuuur uuur uuur r  0�2DAuuur2uuur rDI0�DA DIuuur uuur r 0

� D là trung điểm của đoạn thẳng AI

Ta co 2MA2MB2MC2 4MD22DA2 DB2DC2

DA AI  BC ,

    �� � �� � ��

Suy ra

MA MB MC MD DA DB DC MD � � � � MD

Ta co kết quả: 2 75 2 125

MD   �MD 

Như vậy ( )S là đường tròn tâm D bán kính 5 10

4

R

Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

2

4

2

a

MA MB MC  nằm trên một đường tròn  C co bán kính là:

A

3

a

4

a

2

a

6

a

Lời giải

Chọn D

Gọi M lần lượt là trung điểm của BC

Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện: 4uur uur uur rIA IB IC  0

Khi đo, ta co: 4IA IB ICuur uur uur r  0

4IA2IM 0

� uur uuur r �3IA AMuur uuuur r 0 1

3

AI  AM

�uur uuuur

Suy ra : 3

6

a

6

a

IB IC  IM BM 

Ta lại co:

2

4

2

a

MA MB MC 

2

4

2

a

MA MB MC 

� uuur uuur uuuur

5 4

2

a

MI IA  MI IB  MI IC 

� uuur uur uuur uur uuur uur

2

a

MI  MI IA IB IC   IA IB IC 

� uuur uur uur uur

6

a

MI 

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

6

a

R .

Câu 9. Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MAuuur3MBuuur2MCuuuur 2MA MB MCuuur uuur uuuur 

A Tập hợp các điểm M là một đường tròn

B Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng

C Tập hợp các điểm M là tập rỗng

D Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A

Lời giải Chọn A

Gọi I là điểm thỏa mãn uurIA3IBuur2ICuur r0

MA MB MC  MA MB MC 

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

2MI IA 3IB2IC  BA CA

� uuur uur uur uur uuur uuur  1 .

Gọi N là trung điểm BC Ta được:  1 �2 MIuuur 2 uuurAN �IM AN .

I , A, N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính AN

A

Câu 10. Cho tam giác đều ABC cạnh a Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

2

4

2

a

MA MB MC  nằm trên một đường tròn  C co bán kính là:

A

3

a

4

a

2

6

a

Lời giải

Chọn D

Gọi M lần lượt là trung điểm của BC

Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện: 4uur uur uur rIA IB IC  0

Khi đo, ta co: 4IA IB ICuur uur uur r  0

4IA2IM 0

� uur uuur r �3IA AMuur uuuur r 0 �uurAI 13uuuurAM

Suy ra : 3

6

a

6

a

IB IC  IM BM 

Ta lại co:

2

4

2

a

MA MB MC 

2

4

2

a

MA MB MC 

� uuur uuur uuuur

4

2

a

MI IA  MI IB  MI IC 

� uuur uur uuur uur uuur uur

2

a

MI  MI IA IB IC   IA IB IC 

� uuur uur uur uur

6

a

MI 

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính

6

a

R .

Họ và tên tác giả : Vũ Thị Nga Tên FB: Linh Nga

Email: linhnga.tvb@gmail.com

Câu 11. Cho ABCV đều, co cạnh bằng a Khi đo tập hợp những điểm M sao cho

2

6

a

MA MB MB MC MC MA  

uuur uuur uuur uuuur uuuuruuur

là:

A Đường tròn co bán kính

3

a

R

B Đường tròn co bán kính

2

a

R

C. Đường tròn co bán kính 2

3

a

R

D. Đường tròn co bán kính 3

9

a

R

Lời giải Chọn C

Gọi G là trọng tâm VABC Suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp VABC và Gcố định.

Ta co MA MB MCuuur uuur uuuur  3MGuuuur

9

�

�

uuur uuur uuuur uuuur

uuur uuur uuur uuuur uuuuruuur

Mà MA2MB2MC2 MAuuur2MBuuur2MCuuuur2

2 2

2 2

2 3

3 2 3

a MG

MG a

  �� ��

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur uuur uuur uuuurr

Ta co 3MG2 a2 2MA MB MB MC MC MAuuur uuur uuur uuuur uuuuruuur    9MG2

2

2 2

2

2 2

2 3

6 2

2 9

a

MA MB MB MC MC MA MG

MG a MG

�

 

�



�

uuur uuur uuur uuuur uuuuruuur

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính 2

3

a

R

Họ và tên tác giả : Tô Quốc An Tên FB: Tô Quốc An

Email: antq4949@gmail.com

Câu 12. Cho  ABC tìm tập hợp điểm M : MB MC uuur uuur  AM2

Lời giải

Gọi I là trung điểm của BC, ta co: MB MC uuur uuur  AM2 �  MI IB uuur uur uuur uur    MI IC    MA2

4

BC

MI  IC IB MI IC IB    MA MI  MA   IC IB 

(*)

MI MA MI MA    AI MI MA  

Gọi O là trung điểm của AI , suy ra: MI MA uuur uuur   2 MO uuuur

Trên tia đối của tia OI lấy điểm H sao cho

2

.

16

BC

OI OH  hay

2

.

16

BC

OI OH uur uuur   , suy ra điểm H xác định duy nhất

Dựng đường thẳng  đi qua H và vuông goc với OI , khi đo với mọi điểm M nằm trên 

ta co:

16

BC

OI OM uur uuuur uur uuur uuuur  OI OH HM   OI OH OI HM uur uuur uur uuuur uur uuur   OI OH  

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng 

Email: Bichhai1975@gmail.com

Câu 13. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3 Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

2MAuuur+3MBuuur+4MCuuur = MB MAuuur uuur- là đường tròn cố định co bán kính bằng:

3

1

2.

Lời giải Họ tên: Lê Thị Bích Hải Tên face: Bich Hai Le Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta co 2MAuuur3MBuuur4MCuuuur2MI IAuuur uur  3 MI IBuuur uur  4 MI ICuuur uur 

Chọn điểm I sao cho 2IAuur3IBuur4ICuur r0�3IA IB ICuur uur uur  IC IAuur uur r 0

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC �IA IB ICuur uur uur  3IGuur

Khi đo 9IG IC IAuur uur uur r  0�9IG AI ICuur uur uur r  0�9IG CAuur uuur  

Do đo 2MAuuur3MBuuur4MCuuuur MB MAuuur uuur � 9MIuuur2uurIA3IBuur4ICuur  uuurAB �9MI AB

Vì I là điểm cố định thỏa mãn   nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính 1

AB

r 

thongqna@gmail.com

Câu 14. Cho tam giác ABC co là trọng tâm G Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn

3

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

A Đường tròn đường kính AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB

C Đường tròn đường kính AC D Đường trung trực đoạn thẳngAC

Lời giải (Họ và tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Chọn A

Ta co MA MB MC BCuuur uuur uuuur uuur   MA CB BCuuur uuur uuur  MAuuur

Gọi điểm I là trung điểm cạnh AC

Ta co MA MCuuur uuuur 3MGuuuur2MIuuur3MGuuuur2MB BIuuur uur  3 MB BGuuur uuur 

2

2 3

3

 uuur uur uur  MBuuur

Do đo   2  2 2

3

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

� uuur uuur 2 2 2

Từ đo suy ra tam giác MAB vuông tại M hay tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính

AB

Câu 15. Cho đoạn thẳng AB 5 Biết rằng tập hợp điểm M thỏa mãn MA2MB2 3MA MBuuur uuur là

một đường tròn co bán kính R Tìm giá trị của R

A 5

2

2

2

2

R

Lời giải (Họ và tên tác giả : Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông) Chọn A

Ta co 2 2

3

2

� uuur uuur uuur uuur

� uuur uuur uuur uuur 2

� uuur uuur Gọi điểm I là trung điểm cạnh AB

Ta co 2

AB MA MBuuur uuur � AB2 MI IAuuur uur uuur uur   MI IB  � AB2 MI IAuuur uur uuur uur   MI IA 

� � MI2  AB2IB2 2 5 2

4

�

5

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn 2 2

3

MA MB  MA MBuuur uuur là đường tròn tâm I co bán kính

5 2

R

Họ và tên: Võ Khánh Huyền Vân Fb: Vân Võ

Email: huyenvanqt050185@gmail.com

Câu 16. Cho tam giác ABC , co bao nhiêu điểm M thỏa uuur uuur uuuurMA MB MC  5?

C vô số D Không co điểm nào

Lời giải.

Chọn C

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta co uuur uuur uuuurMA MB MC  3uuuurMG

Thay vào ta được : 5 3 5 5

3

uuur uuur uuuur uuuur

MA MB MC MG MG , hay tập hợp các điểm M là

đường tròn co tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 5

3