Hình Hoc LTÐH2010 (tron bo)

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: • Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 

Chuyên đề H×NH HäC GI¶I TÝCH TRONG MỈT PH¼NG OXY

3- Các phép toán véc tơ : Cho : ar=( ; );a a1 2 br=( ; )b b1 2

- Hai vec tơ bằng nhau 1 1

- Tổng hiệu hai véctơ; ar + br =(a1+ b ;a1 2 + b )2

- Tích số thực với vectơ kar =(ka ; ka )1 2

- Hai vectơ cùng phương 1 2

- Tích vô hướng hai vectơ.a.br r =a b1 1 + a b2 2

- Hai vectơ vuông góc ar ^ br Û a.br r =0r Û a b1 1+ a b2 2 =0

- Môđun ar= x2+y2  Góc cos(a, b) a.b

a b

=

r r r r

r

Định Lí : Toạ độ : uuurAB=(x B −x y A; B−y A)

Hệ qua û : Tính độ dài AB AB= (x A- x B)2+(y A- y )B 2

4- Toạ độ một số điểm :

- M chia AB theo tỉ số k - k ; y - ky

• Nhớ một số công thức tính diện tích tam giác :( Hê-rong ,đlý cosin, R , r a,b,c, h a ……… Diện tích ∆ ABC :

Với a = độ dài AB , h = đường cao AH , R = bán kính đường tròn ngoại tiếp

r : bán kính đường tròn nội tiếp ; p = nửa chu vi của ∆ABC

˜ Chú ý : Bán kính đường tròn nội tiếp r S

6 Véc tơ pháp tuyến –véc tơ chỉ phương cuả đường thẳng :

 Vt nr≠0r: Gọi là vtpt cuảđt (d) ,nếu giácủa nó vuông góc với đt ( d)

 ar≠0 :uur gọi là VTCP cuả đt ( d) nếu giá song song hoặc trùng với đt ( d).

 Nếu đt ( d) có vtpt nr=( ; )A B thì đt ( d) có vtcp là ar=( ;B A− )

7 -Phương trình tổng quát cuả đường thẳng:

 Định nghiã : Pt cuả đường thẳng có dạng : đt ( d) : Ax + By + C = 0

 Cho (d) Ax + By+ C = 0 các đt // (d) có dạng: Ax + By+ m = 0

 Các Đthẳng vuông góc với (d) PT đều có dạng : Bx - Ay+ m = 0

8- Phương trình tham số – phương trình chính tắc của đường thẳng (d) :

*Định lý : (d) qua M(x0;y0) và có vtcp ar=( ; )a b1 1

9.Các dạng khác của phương trình đường thẳng :

a) PT đường thẳng ( d) đi qua M(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng :

10.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng : (d 1) A1x

+B1y+C1=0 (d2) A2x +B2y+C2=0

- Dùng định thức biện luận số giao điểm của hai đường thẳng

11) Góc của hai đường thẳng : (d 1) , (d2) có vtpt nr=( ;A B1 ) ; nr=( ;A B2 2)

Gọi : ϕ =( ,d d1 2)thì : 1 2

1 2

cos

12 Khoảng cách :+ Khoảng cách hai điểm AB : AB= (x B−x A) 2 + (y B−y A) 2

+ Khoảng cách từ một điểm đến đthẳng : d d M ( ; ) Ax0 2By0 2C

- Phương trình đường phân giác của góc tù cùng dấu với tích n nuuruur1 2 =0

(1) Cho ∆ABC với A( 2 ; –1) , B( 0 ; 3 ), C( 4 ; 2)

a) Tìm D để ABCD là hình bình hành

b) Tìm trực tâm H và chân đườngcao A’ kẻ từ A

c) Tìm trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Suy ra bán kính đường tròn

d) Chứng tỏ I , G, H thẳng hàng

(2) Cho ∆ABC với A(1; –3), B(3 ; –5), C (2 ; –2)

a) Tìm tọa độ chân 2 đường phân giác góc Tính độ dài 2 đường đó

b) Tìm tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Suy ra bán kính đường tròn

a) Tìm tọa độ điểm B và C

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với AC qua BC

(6) Cho đường thẳng (d) 4x–3y+2=0 và M(–1;2)

a) Tìm M’ đối xứng M qua (d)

b) Tìm đường thẳng (∆) đối xứng (d) qua M

(7) Cho ∆ABC biết A(4 ; –1) , đường cao BH có phương trình : 2x–3y +12 = 0 và trung tuyến BM có phương trình 2x + 3y = 0 Viết phương trình 3 cạnh của tam gíac

Cho ∆ABC có A(2 ; –7), đường cao và trung tuyến kẻ từ 2 đỉnh khác nhau lần lượt có phương trình 3x + y + 11 = 0 , x + 2y + 7 = 0 Viết phương trình các cạnh của

c) Tính diện tích giới hạn bởi AB,BC và Oy

(10) Cho biết phương trình hai cạnh một tam giác là 3x–y + 24 = 0 và

3x+4y –96 =0 Tìm cạnh thứ ba biết trực tâm H (0 ;

(11) Cho ∆ABC có (AB): x –2y +7= 0 , các đường trung tuyến kẻ từ A , B là

x + y–5 = 0 và 2x + y –11=0 Tính diện tích ∆ABC và viết phương trình cạnh

(16) Tìm tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC, biết 3 cạnh là 3x + 4y–6 = 0 ;

b) MA + MC có giá trị nhỏ nhất

c) có giá trị lớn nhất

d) có giá trị lớn nhất

II.ĐƯỜNG TRÒN

I- PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN :

1- Dạng 1: Phương trình của đường tròn tâm I(a;b) và có bán kính R là :

x a − + − x b = R

2- Dạng 2 : ( C ) x2+ y2− 2 ax − 2 by c + = 0

- Có tâm đtròn : I(a;b) và R= a2 + −b2 c  Với đk : a 2 +b 2 -c > 0

* Hệ quả : (C ) có tâm O , bk R : thì có PT x 2 +y 2 = R 2

II- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN :

- Cho đường tròn (C ) có tâm I bán kính R và đường thẳng (d ).

- Gọi : d = d(I’, d ) Ta có :

d>R : (d) và ( C ) không có điểm chung.

d<R : (d) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt

d= R: (d) và ( C ) Tiếp xúc nhau tại H

II – PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN:

1- Phương tích :- Phương tích của M(x 0;y0) đối với đường tròn ( C ) :

III – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNGT RÒN :

1- Dạng 1 : Phương trình tiếp tuyến của đtròn tại M(x 0;y0) :

Dùng công thức phân đôi toạ độ : ( d) x.x0 +y.y0 - a(x+x0) –b (y+y0) + c = 0

Hoặc : ( d ) (x0 – a )(x-a) + (y0 – b )(y- b) = R 2

2- Dạng 2 : Không biết tiếp điểm :- Ta dùng ĐK tiếp xúc : d(I’, d) = R

** Chú ý : Đường tròn ( C ) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là : x = a ± R Còn mọi tiếp tuyến khác có dạng : y = k( x –x0) + y 0 với tiếp điểm nằm ngoài đường tròn luôn có hai ttuyến

(18) Cho ba điểm A (– 3 ; – 5) , B (–4 ; 2 ) , C ( 5 ; –1 ) Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau : :

a) Tâm trên x+y+3=0, bán kính =1 , tiếp xúc Ox

b) Qua A , B và tâm trên đường thẳng (d) : x –3y + 5 = 0

c) Qua B và tiếp xúc hai trục tọa độ

d) Tâm trên AC và tiếp xúc 2 trục tọa độ

e) Qua D(3 ; –5) , tiếp xúc trục tung và có tâm trên đường thẳng AC

f) Tâm trên x+y–1=0 và tiếp xúc hai đường thẳng : 2x–y=0,x–2y+2=0

Cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 3 = 0, d2 : 4x + 3y – 5 = 0 Lập phương trình đường trịn (C) cĩ tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và cĩ bán kính R = 2

(19) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 –2x–4y + 3 = 0 Lập phương trình đường tròn:a) (C1) đối xứng (C) qua A (–1 ; – 3)

b) (C2) đối xứng với (C) qua (d) : x+ 2y +5 =0

(20) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC biết 3 cạnh : (AB):

x +y–2 = 0 ; (AC) 2x+6y+3=0 Trung điểm BC là M(– 1;1)

(21) Tìm giao điểm của (d) : 3x+4y-3 =0 và (C) x2+y2–x–7y = 0 Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại các giao điểm đó

(22) Lập phương trình đường tròn qua M(2;1) và các giao điểm của (d): x+7y+10=0 với đường tròn (C) x2+y2 + 4x –20 = 0

(23) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x2+y2–2x–4y–4=0 đi qua A(–2 ; 2) Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại M,N.Tính diện tích ∆AMN

(24) Cho (C) : x2+y2 = 4.Qua M(2 ;4 ) kẽ 2 tiếp tuyến với (C) có tiếp điểm A, Ba) Viết phương trình (AB)

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) và //AB

(25) Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

(C): x2+y2= 1 và (C’) x2+y2–4x– 4y–1 = 0

(26) Cho điểm M(2;4) và (C) x2+y2–2x–6y+6=0

a) Chứng tỏ M nằm trong (C)

b) Viết PT đường thẳng qua M cắt (C) tại A,B sao cho M là trung điểm ABc) Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng (C) qua AB

(27) Cho (D) x–y+1=0 và (C)x2+y2+2x–4y = 0 tìm M trên (D) để từ đó kẽ được

2 tiếp tuyến đến (C) và có 2 tiếp điểm A, B sao cho =600

(28) Cho (C) x2+y2 = 9 Lập phương trình (D) qua A(1 ; 2) và cắt (C) theo dây cung ngắn nhất

(29) Cho 2 đường tròn(C) x2+y2+4x-2y-20=0; (C’) x2+y2–10 = 0

a).Viết phương trình đường tròn có tâm trên x+6y-6=0 và qua giao điểm 2 đường tròn (C) và (C’)

b).Viết phương trình tiếp tuyến chung (C) , (C’)

(30) Cho parabol (P) y=x2 và M(1; 1) trên (P) viết PT đường tròn (C) có tâm I trên (d): 2x–y=0 và tiếp xúc với tiếp tuyến của (P) tại M

(31) Cho điểm M(6;2) và (C): (x–1)2+(y–2)2 = 5 Lập phương trình (d) qua M cắt (C) tại A,B sao cho MA2+MB2 = 50

(32) Tìm M trên (C): (x–2)2+(y–3)2= 2 sao cho khoảng cách từ M đến

(d) x–y–2= 0 đạt GTLN, GTNN

(33) Cho (C) x2+y2–2x+4y–4=0 và (C’) x2+y2+2x–2y–14 = 0

a) Tìm giao điểm A , B của (C) và (C’)

b) Viết phương trình đường tròn qua A, B và C(0,1)

(34) Cho hai đường tròn (C) x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 (C’) x2 + y2 + 4x – 4y –14

= 0 và đường thẳng d : x + my + 1– = 0

a) Gọi I là tâm của (C) Tìm m sao cho d cắt (C) lại 2 điểm phân biệt A ,B Với giá trị nào của m thỉ diện tích ∆IAB lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó

b) Chứng minh rằng (C) và (C’) tiếp xúc nhau

c) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C) và (C’)

III ELÍP

I- Định nghĩa : Cho F 1F2 = 2c > 0

M∈elip⇔MF1 +MF2 = 2a> 2c

F1 ; F2 : Gọi là hai tiêu điểm của (E) F1F2 = 2c : Gọi là tiêu cự

MF1 ; MF2 : bán kính qua tiêu của điểm M

II- Phương trình chính tắc của Elíp : Elip có tâm O, hai tiêu điểm trên ox có PTCT

III- Hình dạng Elip :

 Tâm đối xứng là O

- Bốn đỉnh : (-a;0) ;(a;0) (0;-b) ; (0;b)

 Trục lớn : 2a - Trục nhỏ : 2b

- Tâm sai : e = c/a < 1

 Hình chữ nhật cơ sở x = ±a ; y = ±b

 Đường chuẩn : x = ±a/e =±a 2 /c

 Hình vẽ : HCNCS – Đỉnh – vẽ Elip – tiêu điểm.

IV-Phương trình tiếp tuyến của Elip :

1- Dạng 1 : Phương trình tiếp tuyến của Elíp tại điểm M(x 0 ;y 0 ) :

a + b = ( Công thức phân đôi toạ độ )

1- Dạng 2 : Không biết tiếp điểm :

- Ta dùng ĐK tiếp xúc : a 2 A 2 +b 2 B 2 = C 2

** Chú ý : Elip ( E ) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là : x = ±a Còn mọi tiếp tuyến khác có dạng : y = k( x –x0) + y 0 với tiếp điểm nằm ngoài Elip luôn có hai tiếp tuyến

IV.HYPEBOL

I- Định nghĩa : Cho F 1F2 = 2c > 0

M∈ (H) ⇔MF1 −MF2 = 2a< 2c

F1 ; F2 : Gọi là hai tiêu điểm của (H) F1F2 = 2c : Gọi là tiêu cự

MF1 ; MF2 : bán kính qua tiêu của điểm M

II- Phương trình chính tắc của hypebol:

Hypebol có tâm O, hai tiêu điểm trên ox có PTCT : ( H )

a − b =

 Với b 2 = c 2 - a 2  - Tiêu điểm : F1(-c; 0) ; F2 (c ; 0)

Chú ý: Các bán kính qua tiêu của điểm M

 Nếu x > 0 thì MF1 = a +

a

cx và MF2 = - a +

a cx

 Nếu x < 0 thì MF1 = - a -

a

cx và MF2 = a -

a

cx

III- Hình dạng hypebol

- Tâm đối xứng là O

- Hai đỉnh A1(- a; 0) và A2 (a; 0).

- Trục thực có độ dài : 2a

Trục ảo có độ dài : 2b

N

M Q

- Tâm sai :

a

b a a

- Đường chuẩn : x = ±a/e =±a 2 /c

IV-Phương trình tiếp tuyến của hypebol :

1- Dạng 1 : Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm M(x 0 ;y 0 ) :

a − b = ( Công thức phân đôi toạ độ )

1- Dạng 2 : Không biết tiếp điểm :

- Ta dùng ĐK tiếp xúc : a 2 A 2 - b 2 B 2 = C 2

** Chú ý : Hypebol ( H) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là : x = ±a Còn mọi tiếp tuyến khác có dạng : y = k( x –x0) + y 0 với tiếp điểm nằm ngoài (H) luôn có hai tiếp tuyến

 , đường chuẩn có PT ( D) : x = −2p.

II Phương trình tiếp tuyến của parabol :

* Dạng 1 : Phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M(x 0 ;y 0 ) :

(d) y y0 = p x ( 0+ x ) ( Công thức phân đôi toạ độ )

* Dạng 2 : Không biết tiếp điểm :

Ta dùng ĐK tiếp xúc: Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của parabol y 2 = 2px khi và chỉ khi: PB 2 = 2AC.

** Chú ý : Parabol ( P) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là : x = ±a Còn mọi tiếp tuyến khác có dạng : y = k( x –x0) + y 0 với tiếp điểm nằm ngoài (P) luôn có hai tiếp tuyến

Bài tập ELIP – HYPERBOL – PARABOL

(35) Cho (E) tìm M trên (E) thỏa :

a) Tỉ số 2 bán kính qua tiêu bằng 7

b) c)

(36) Viết phương trình chính tắc của Elip qua điểm M(2; 2) và bán kính qua tiêu điểm bên trái là MF1 = 3 2

Cho elíp (E) : 2 2 1

12 2

x +y = Viết phương trình hypebol (H) cĩ hai tiệm cận 2

y = ± x và cĩ hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của (E)

(37) Cho hai Elip (E) và (E’)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d) : 3x+y–1=0

b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của 2 Elip

c) Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của 2 Elip trên

(38) Cho Elip (E) và (d) x– +2=0

a) Viết các PT tiếp tuyến của (E) //với (d) và tìm tọa độ tiếp điểm

b) Đường thẳng (d) cắt (E) tại A và B , tìm C trên (E) sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất

(39) Tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm M trên (E) 9x2 + 4y2 – 36 = 0 đến (d): x–y–6 = 0

Cho elip (E):

1

x + y = và đường thẳng d: x − 2y + 2 = 0 Đường thẳng d cắt elip (E) tại B, C Tìm điểm A trên elip (E) sao cho ∆ABC cĩ diện tích lớn nhất

(40) Cho (E) Tìm tập hợp các điểm sao cho từ đó kẽ được 2 tiếp tuyến với (E) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

(41) Cho (E) Viết phương trình (d) qua M(1; 1) cắt (E) tại A,B sao cho M là trung điểm AB

(42) Cho Elip (E) Xét M∈ Ox, N∈ Oy , biết MN luôn tiếp xúc (E) Tìm tọa độ M,N sao cho MN nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đóù

(43) Cho (H) và A(1; 1)

a) CMRằng qua A có 2 tiếp tuyến của (H) và 2 tiếp tuyến nầy vuông góc nhau b) Viết PT đường thẳng (d) qua các tiếp điểm suy ra khoảng cách từ A đến (d)

(44) Cho (H) 4x2 –y2 –4 = 0

a) Tìm tiêu điểm, đỉnh, đường chuẩn, tiệm cận

b) Viết PT tiếp tuyến qua A(1; 4) tìm tiếp điểm M,N Viết phương trình đường thẳng MN

a) CMR tích khoảng cách từ một điểm của (H) đến 2 tiệm cận là một hằng số b) CMR chân đường vuông góc hạ từ 1 tiêu điểm tới các tiệm cận thì nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó

(46) Cho (P) y = x2 và (d) : x – y–2 =0

a) Tìm giao điểm A, B của (P) và (d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d)

b) Tìm C trên (P) sao cho : (i) ∆ABC có diện tích = 6 (ii) ∆ABC đều

(47) Cho (P) y = 4x2 tìm A, B trên (P) để tam gíac OAB nhận tiêu điểm F làm a) Trọng tâm b) Trực tâm c).Tâm đường tròn ngọai tiếp

(48) Cho (P) y2 = 2x a).Tìm tiêu điểm, đường chuẩn Vẽ (P)

b).Tính khoảng cách ngắn nhất giữa (d) và (P)

c).Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P), trục Ox và tiếp tuyến với (P) tại A(2; 2)

(49) Cho (P) : x2=2y và A(

a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(–1; và vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P)

b) Tìm các điểm N trên (P) sao cho AN vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại N

(50) Cho (C) (x– 2)2+y2 = R2 và (P) y2 = x

a) Khi R=2, viết phương trình tiếp tuyến chung (C) và (P)

b) Khi R = CMR : (P) và (C) tiếp xúc nhau Viết PT tiếp tuyến chung

 Đề thi năm 2007

• Khối A : Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có A(0 ; 2), B(–2;–2) và C(4 ; –2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lựợt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N

• Khối B : Trong mp Oxy, cho điểm A(2 ; 2 ) và các đường thẳng :

d1 : x + y – 2 = 0 , d2 : x+y– 8 = 0

Tìm tọa độ các điểm B và C lần lựot thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

• Khối D : Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): (x–1)2+(y+2)2=9 và đường thẳng d : 3x– 4y + m =0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A,B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều

 Đề thi năm 2008

• Khối A : Trong m t ph ng v i h t a ặ ẳ ớ ệ ọ đ Oxy, hãy vi t phộ ế ương trình chính

t c c a elíp (E) bi t r ng (E) có tâm sai b ng ắ ủ ế ằ ằ 5

3 và hình ch nh t cữ ậ ơ sở

c a (E) có chu vi b ng 20.ủ ằ

• Khối B : Trong m t ph ng v i h t a ặ ẳ ớ ệ ọ đ Oxy, hãy xác định t a ộ ọ đ ộ đ nh Cỉ

c a tam giác ABC bi t r ng hình chi u vuông góc c a C trên ủ ế ằ ế ủ đường th ngẳ

AB là đi m H(ể – 1;– 1), đư ng phân giác trong c a góc A có phờ ủ ương trình x– y + 2 = 0 và đư ng cao k t B có phờ ẻ ừ ương trình 4x+3y−1=0

• Khối D : Trong m t ph ng v i h t a ặ ẳ ớ ệ ọ đ Oxy, cho parabol (P) : yộ 2 =16x và

đi m A(1; 4) Hai ể đi m phân bi t B, C (B và C khác A) di ể ệ động trên (P) saocho góc BAC 90 µ = 0o Ch ng minh r ng ứ ằ đường th ng BC luôn ẳ đi qua m t ộ đi mể

c ố đ nhị

Các đề thi thử 2009

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trịn (C) : x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y – 1 = 0 Xác định toạ độ các đỉnh hình vuơng ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d

Cho đường trịn (C) : x2 + y2 = 1 Đường trịn (C/) tâm I(2 ; 2) cắt (C) tại hai

điêm A , B sao cho AB = 2 Viết ph/trình đường thẳng AB

Trong mpOxy cho tam giác ABC cĩ A(1 , 0) và hai đường thẳng chứa các đường cao kẻ từ B và C cĩ phương trình: x – 2y + 1 = 0 ; 3x + y – 1 = 0

Tính diện tích tam giác ABC

Cho tam giác ABC có đường cao (BH) : 3x+4y+10 =0 , đường phân giác trong AD : x– y + 1 = 0 Điểm M ( 0 ; 2) thuộc cạnh AB và M cách C một khoảng bằng 2

Tím các đỉnh của tam giác ABC

Cho đường tròn (C): x2+y2 = 1.Tìm m để sao cho trên đường thẳng y=m có đúng 2 điểm mà từ đó có thể kẽ 2 tiếp tuyến với (C) có góc 2 tiếp tuyến là 600

Cho tam giác ABC có AB = 5, C(– 1 ;– 1) và phương trình cạnh (AB) là : x + 2y– 3 = 0 Trọng tâm G thuộc đường thẳng x+y– 2 = 0 Tìn A và B

Cho tam giác ABC cĩ A(1 , 0) và hai đường thẳng chứa các đường cao kẻ từ B

và C cĩ phương trình: x – 2y + 1 = 0 ; 3x + y – 1 = 0 Tính diện tích tam

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 3 = 0, d2 : 4x + 3y – 5

= 0 Lập phương trình đường trịn (C) cĩ tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và cĩ bán kính R = 2.

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d cĩ phương trình: ) 2x−y−5=0 và hai điểm A(1;2); B(4;1) Viết phương trình đường trịn cĩ tâm thuộc đường thẳng (d và đi qua hai điểm ) A, B

Cho elip (E):

1

x + y = và đường thẳng d: x − 2y + 2 = 0 Đường thẳng d cắt elip (E) tại B, C Tìm điểm A trên elip (E) sao cho ∆ABC cĩ diện tích lớn nhất.Cho 2 đường trịn (C1) :x2 + y2 - 10x = 0 và

(C2) :x2 + y2+ 4x 2y 20 - - = 0

a/ Viết pttt chung của 2 đường trịn trên

b/Viết pt của đường trịn (C) đi qua giao điểm của 2 đường trịn trên và cĩ tâm nằm trên đường thẳng (d) : x+6y- 6=0

Cho đường thẳng (d) : 2x- y+5=0 ; A(– 1;1)Viết phương trình đường trịn đi qua A

và A’ ( A’ đối xứng với A qua d) đồng thời đường trịn cắt d tại B sao cho tam giác ABA’ đều

Viết phương trình đường trịn đi qua gốc tọa độ và cắt đường trịn (C):

( x − 2 ) ( 2 + + y 3 ) 2 = 25 thành một dây cung cĩ độ dài bằng 8

Cho elip (E): 2 2

1

x +y = và điểm M ( ) 1;1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua

M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) cĩ phương trình : y 2 64 = x và đường thẳng ∆ :4 x − + = 3 y 46 0 Hãy viết phương trình đường trịn cĩ tâm nằm trên đường thẳng ∆ và tiếp xúc với parabol (P) và cĩ bán kính nhỏ nhất.

Cho đường trịn (C): x 2 + y 2 12 4 36 0 − x − y + = Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với 2 trục toạ độ và tiếp xúc ngồi với (C).

Cho hai đường thẳng cĩ phương trình x y + + = 1 0 1 ( ) d ; 2 x y − − = 1 0 2 ( ) d

Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( ) 1;1 cắt (d1), (d2) tương ứng tại A, B sao cho 2 MA MB uuuur + uuuur = 0 r

Chuyên đề H×NH HäC GI¶I TÝCH TRONG KH¤NG GIAN

I\ Hệ tọa đô không gian–Vectơ trong không gian

1/.Toạ độ một điểm và một vec tơ : z

2/ Các phép tính về vec tơ :

a = (x1; y1; z1 ) và b = (x2 ; y2; z2)ø

(i) a = b <=> {x1 = x2 ; y1 = y2 ; z1 = z2}

(ii) a ± b = (x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2) (iii) ka = (kx1 ; ky1 ; kz1)

 Chú ý : Ba vec tơ gọi là đồng phẳng khi chúng nằêm trên 3 đường thẳng cùng // một mặt phẳng

3/ Các công thức của vectơ :

(i) a,b cùng phương ⇔∃ k∈R / a = kb <=>

2

1 2

1 2

1

z

z y

y x

MA = k MB ⇔ x x k x y k z A k B

M B A M B A

kz - z

ky - y

; - k -

1

; 1

B A I B A I B A I

z y

x x

(v) Tích vô hướng của 2 vectơ : a.b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

(vi) Điều kiện vuông góc của 2 vectơ a ⊥ b <=> a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0

(vii) Độ dài vec tơ 2 2 2

(i) Tính chất của vec tơ tích có hướng : a và b cùng phương ⇔ [ a ,b]=o

• [a,b] ⊥ a và [a,b] ⊥ b (Tích có hướng vuông góc với từng vectơ tạo

thành

• [a,b] =a.b sin(a,b)  Ba vectơ a,b ,c đồng phẳng ⇔ [ a,b ].c r r r

= 0

 [ a,b ].c r r r còn gọi là tích hỗn tạp của 3 vectơ a,b ,c

(ii) Diện tiùch tam giác ABC: S ABC = [ , ]

(iii) Thể tiùch hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : V ABCD.A’B’C’D’ = [AB,AD] AA'

(iii) Thể tiùch tứ diện ABCD : V ABCD =61 [ AB,AC] AD

1/ Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; c ) , bán kính R

(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

 Chú ý : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax– 2by – 2cz +c = 0ø bán kính R = a2+ + − b2 c2 d

2/ Phương trình đường tròn trong không gian: là giao của mặt cầu (S) và mặt

phẳng (α ) cho bởi hệ phương trình sau :

3/.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M0 (x0 ;y0 ; z0 ) ∈ (S)

(còn gọi là tiếp diện ) : x 0 x+ y 0 y + z 0 z +a(x+ x 0 )+b(y+ y 0 ) + c(z + z 0 ) + D = 0

II Phương Trình Mặt Phẳng

1/ Vectơ pháp tuyến : n của mặt phẳng (α) là vectơ : n ≠ 0 và n ⊥ (α)

2/ Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng : a;b r r ≠ 0 là hai vec tơ không cùng phương và nằm trên 2 đường thẳng // hoặc ∈ mp (α) i Khi đó pháp vectơ của mặt phẳng là : n = [a b uur r ; ]

3/ Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 +B 2 +C 2≠0) trong đó pháp vectơ n = (A ,B.C)

• PTMP qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có pháp vectơ n = (A ; B ; C)

A(x– x 0 ) + B (y– y 0 ) + C (z– z 0 ) = 0 trong đó D = – (Ax 0 + By0+ Cz0)

4/ Trường hợp đặc biệt

• D = 0 : (α) qua gốc toạ độ O

• A = 0 : (α) cùng phương Ox

• B = 0 : (α) cùng phương Oy

• C = 0 : (α) cùng phương Oz

• A = B = 0 ; Cz +D = 0 ⇒ (α) cùng phương (xOy)

• B = C = 0 ; Ax +D = 0 ⇒ (α) cùng phương (yOz)

• A = C = 0 ; Bz +D = 0 ⇒ (α) cùng phương (xOz)

 Chú Ý : Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C thì cặp vectơ chỉ phương là AB, AC

và pháp vectơ là [uuur uuur AB AC , ]

5/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

(α) : Ax +By + Cz + D = 0 và (β) : A’x +B’y + C’z + D’= 0

• (α) cắt (β) ⇔ A:B:C A':B':C' ≠

III Phương Trình đường thẳng

1) Phương trình tham số : 00

0 ( t R)

Cho (d) , (d’) qua M 0 ,M‘0 có vectơ chỉ phương u u'

(a) (d) , (d’) chéo nhau ⇔ [u,u'].M0.M'0 ≠ 0

(b) (d) , (d’) đồng phẳng ⇔ [ , '] u u M M r ur uuuuuuuur0 '0 = 0 có 3 trường hợp:

 (d) cắt (d’) ⇔ u u' không cùng phương

 (d) // (d’) ⇔ u u' cùngphương và

phươngcùng

3) .Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Cho (d) qua M 0 có vectơ chỉ phương u và (α): Ax+By + Cz + D= 0

1/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

d(M 0 , α) = 0 2 0 2 02

C B A

D Cz By Ax

++

+++

2/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

d(M 1 , ∆) =

u

u M

3/ Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau : d(∆ , ∆’) =

] ' , [

] '

] ' ,

u u

M M u u

4/ Góc giữa 2 đường thẳng :

cos(∆ , ∆’)= 2 2 2 ' 2 ' 2 ' 2

' ' ' '

.

'

c b a c b a

cc bb aa u

u

u u

+ + +

+

+ +

cC bB aA n

u

n u

+ + +

+

+ +

=

6/ Góc giữa 2ø mặt phẳng :

' ' ' '

.

'

C B A C B A

CC BB AA n

n

n n

+ + +

+

+ +

=

 Bài tập mẫu có hướng dẫn phương pháp

Bài 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M lên mặt phẳng (P)

• Viết phương trình đường thẳng d qua M và d vuông góc (P)

• H là giao điểm của d & (P)

Aùp dụng : Tìm hình chiếu vuông góc H của M(2,3,-1) lên mặt phẳng

(P) :2x – y – z – 5 = 0

Bài 2 : Tìm điểm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P)

• Viết phương trình đường thẳng d qua M và d vuông góc (P)

• Tìm điểm H là giao điểm của d & (P)

• H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’

Aùp dụng : Tìm điểm M’ đối xứng của M(2,3,-1) qua mặt phẳng

(P) :2x – y – z – 5 = 0

Bài 3 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M lên đường thẳng d

• Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và (P) vuông góc d

• H là giao điểm của d & (P)

Aùp dụng : Tìm hình chiếu vuông góc H của M(1,2,-1) lên đường thẳng d

Bài 4 : Tìm điểm M’ đối xứng điểm M qua đường thẳng d

• Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và (P) vuông góc d

• Tìm điểm H là giao điểm của d & (P)

• H là trung điểm MM’ suy ra tọa độ M’

Aùp dụng : Tìm điểm M’ đối xứng của M(1,2,-1) qua đường thẳng d

• Viết phương trình mp(P) chứa d1 và qua M ( hoặc // d’ hoặc vuông góc (R)

• Viết phương trình mp(Q) chứa d2 và qua M ( hoặc // d’ hoặc vuông góc (R)

• Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,5,0) và cắt hai đường

=

−

−

0 4 y x

0 1 z x2

Bài 6 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc hai đường

thẳng d 1 , d 2

• Viết phương trình mp(P) vuông góc d1 và qua M

• Viết phương trình mp(Q) vuông góc d2 và qua M

• Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,1) và vuông góc hai đường thẳng d1: x 2 y 1 z

• Viết phương trình mp(P) qua M và (P) // (R)

• Viết phương trình mp(Q) vuông góc d’ và qua M

• Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,-2) song song mp(R) :x – y – z – 1 = 0 và vuông góc đường thẳng d’: x2+1=y1−1=z−32 .

 Bài 8 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vuông góc đường thẳng

d 1 và cắt đường thẳng d 2

• Viết phương trình mp(P) qua M và (P) vuông góc d1

• Viết phương trình mp(Q) qua M và chứa d 2

• Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d qua M(1,1,0) vuông góc đường thẳng d1:

1

z1

 Bài 9 : Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d lên mặt phẳng (P)

• Viết phương trình mp(Q) chứa d và (Q) vuông góc (P)

• Đường thẳng d’ là giao tuyến của (P) và (Q)

Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của

đường thẳng d: x2−2 =y3+1=z−−51 lên mặt phẳng(P) : 2x+y z – 8 = 0

 Bài 10 : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai

đường thẳng d 1 và d 2 chéo nhau

• Viết phương trình mp(P) chứa d1 và nhận b =   a ad1, d2 

r uur uuur

véc tơ chỉ phương

• Viết phương trình mp(Q) chứa d2 và nhận b =   a ad1, d2 

r uur uuur

véc tơ chỉ phương

• Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)

Aùp dụng : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của

hai đường thẳng d1 : x17 y23 z 19

1y7

3x

Viết phhương trình hình chiếu của đường thẳng (d) : lên :

a) Mặt phẳng tọa độ b).Mặt phẳng (P) : 2x–y + z – 1 =0

Cho hai đường thẳng (d1) : , (d2): và mặt phẳng (P) : x– 2y

+ 3z + 4 = 0

a) Tìm giao điểm của (d2) và mp (P)

b) Viết phương trình mp (Q) qua (d1) và song song với (d2)

Cho điểm M(2;1;-1) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0

a) Tính độ dài đoạn vuơng gĩc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuơng gĩc với mặt phẳng (P).c) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một gĩc 450

a) CMR : d // (P)

b) Viết PT đường thẳng (d’) đối xứng (d) qua (P)

Cho d : và A(1; 2; –1) , B(7; –2; 3)

a) CMR : AB // d và tìm điểm đối xứng của A qua d

b) Tìm M trên d sao cho AM+BM nhỏ nhất

Cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0

a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc

đĩ hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q), hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)

Cho 2 đường thẳng : ;

a) Viết phương trình các mặt phẳng (α) và (β) song song nhau và lần lượt chứa d1 , d2

b) Tính khoảng cách d1 và d2

c) Viết phương trình đường thẳng ∆ // Oz và cắt d1 và d2

Cho 2đường thẳng : ;

a) Chứng tỏ d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường vuông góc chung d1 và d2

Viết phương trình đường thẳng qua M(1;1;1) và vuông góc hai đường thẳng :

d1: x = y = z ; d2 :

Viết phương trình đường thẳng qua M(1;1;1) và cắt cả 2 đường thẳng

; Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mp (P) x+y+z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1: ; d2 :

Viết PT đường thẳng qua M(1; 0; 2) vuông góc với và cắt

Cho mặt phẳng (P) 2x+y+z–1=0 vàd :

a) Tìm số đo góc tạo bởi d và (P)

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua giao điểm của d và (P), vuông góc d , nằm trong (P)

Cho ba mặt phẳng (P) : mx+2y+z+n =0, (Q) x–y+2z–1=0 ,

(R) x–6y+7z+1=0 Tìm m ,n sao cho 3 mp trên cùng chứa một đường thẳng

Cho A(0;1;0) , B(2;2;2) , C(–2; 3; 1) và d :

a) Tìm M trên d sao cho AM ⊥ AB

b) Tìm N trên d sao cho thể tích tứ diện NABC bằng 3

c) Tìm K trên d sao cho diện tích ∆KAB có GT nhỏ nhất

Cho và hai điểm A(1; 2 ;–1), B(7;–2; 3) Tìm C trên d để chu

vi ∆ABC có giá trị nhỏ nhất

Cho d : và mp (P) 2x–2y+2z –3 =0

a) Tìm giao điểm A của d và (P) Viết PT hình chiếu vuông góc d’ của d lên (P)b) Tìm M trên (P) sao cho tỉ số có giá trị lớn nhất Với B là điểm cố định trên d sao cho AB = a > 0

Viết phương trình mặt cầu (S) :

a) Qua A(1; 0; 1) , B(1;–2; –1), C(3; 0; –1) và có tâm thuộc mp (P) x + z = 0 b) Tâm I(0; 0; 4), cắt (Q): 4x+3y–5=0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1

Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d : và tiếp xúc với 2

mặt phẳng (P): x+2y–2z–2 =0 , (Q) x + 2y – 2z + 4 = 0

Gọi (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) (x–3)2+(y–2)2+(z–10)2= 100 với mặt phẳng (P) 2x–2y–z+9=0 Tìm tâm và bán kính của (C)

Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; –1) cắt d: x y 1 z 1

tại 2 điểm A, B sao cho AB = 6

Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) có phương trình :

x2 + y2+ z2 –10x + 2y + 26z – 113 = 0 và song song với 2 đường thẳng

d1: ; d2 :

Cho điểm I ( 1; 2; –2) và (P) 2x + 2y + z + 5 = 0

a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mp (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 8π

b) CMR : (S) tiếp xúc với d : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tiếp xúc với (S)

Gọi (C) là giao tuyến của (P) x– 2y +2z +1= 0 và mặt cầu (S)

x2+y2+z2–4x+6y+6z+17=0

a) Xác định tâm và bán kính của (C)

b) Viết PT mặt cầu (S’) chứa (C) và có tâm trên (Q) : x + y + z + 3 =0

Cho 2 mặt phẳng (P) : 5x–4y+z–6 =0 ; (Q) 2x–y+z+7=0 và đường thẳng d :

a) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của d và (P) sao cho (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích bằng 2π

b) Tìm điểm đối xứng của I qua (Q)

Cho 4 điểm A(1; 1; 1) , B(1; 2; 1) , C(1; 1; 2) , (2; 2; 1)

a) CMR : 4 điểm A,B,C,D lập thành một tứ diện Tính VABCD

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Cho hai đường thẳng:

x=2+t

2 ' ( ) : 3 ( '): y=1-t , '

z=2t

1 '

t t R y

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (∆)và (∆’)

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (∆) và vuơng gĩc với (∆’)

Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của (∆)và (∆’)

Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + 6=0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).Từ đĩ suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn mà ta ký hiệu là (C) Tính bán kính R và tọa độ tâm H của đường trịn (C)

Phụ lục GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN BẰNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ



I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn

hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ

đã chọn và độ dài cạnh của hình.

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O)

Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan

(có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)

Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :

• Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).

• Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

• Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.

• Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán

Các dạng toán thường gặp:

• Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng

• Góc giữa hai đường thẳng  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Góc giữa hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện

• Diện tích thiết diện  Bài toán cực trị, quỹ tích

• Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng tích của

S với cosin của góc ϕgiữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu

S' =S.cosϕ

2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ' , B ' , C ' khác với S Ta luôn có:

SC

SC SB

SB SA

SA V

V ABC S

C B A

.

' ' '

Ta thường gặp các dạng sau

1 Hình chĩp tam giác

a Dạng tam diện vuơng

Ví dụ 1 Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc

Điểm M cố định thuộc tam giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ

các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

-ïï = íï

-ïï =ïïî

ïï = íï

-ïï =ïïî

uur uur = …

Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.

Ví dụ 3 ( Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh

đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN)

Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm DABC Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA

Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ

nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông

b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO

vuông góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b DSAD đều cạnh a

và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:H(0; 0; 0), A( a; 0; 0 , B) (a; b; 0)

như cỏc dạng trờn.

 Vớ d ụ1: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D'

 CMR AC' vuông góc mp’ (A'BD)

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

sao cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy

 Vớ dụ 2 Tứ diện ABCD : AB, AC, AD

đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4

Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử dụng tọa độ

Đề các trong không gian ta làm như sau:

+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định

+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh

+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm cực trị

+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích

Chỳ ý

+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy Chân đường cao là trọng tâm của đáy.

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy

+ Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật

 Bổ sung CÁC DẠNG BÀI TẬP dùng phương pháp tọa độ

1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC

( Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC),

AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Cho DABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4 Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6 Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF

1 Chứng minh H là trung điểm của SD

2 Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE)

3 Tính thể tích hình chóp A.BCFE

Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB)

1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’

2 Gọi S là điểm đối xứng của H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB

1 Tính góc j giữa (OMN) và (OAB).

2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm DANP

3 ChMRằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 12 12 12

.

a = b + cCho hình chóp S.ABC có DABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy Biết AB

AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm của SC

1 Tính diện tích DMAB theo a

2 Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a

3 Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]

Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân tại B, AB = SA = 6 Cạnh SA vuông góc với đáy Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K

1 Chứng minh HK vuông góc với CS

2 Gọi I là giao điểm của HK và BC Chứng minh B là trung điểm của CI

3 Tính sin của góc giữa SB và (AHK)

4 Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4 Cạnh bên SA = 5

và vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm cạnh AB

1 Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( )a đi qua AB và vuông góc với SC

1 Tìm điều kiện của h theo a để ( )a cắt cạnh SC tại K

2 Tính diện tích DABK

3 Tính h theo a để ( )a chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau

2 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm CD.

1 Tính diện tích DSBE

2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)

3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3.

1 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)

3 Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm Cạnh bên SA vuông góc với

đáy và SA = 3 2cm Mp( )a đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB,

SC, SD lần lượt tại H, M, K

1 Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD

2 Chứng minh BD song song với ( )a

3 Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của DSAC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a DSAD đều và vuông góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm của AD

1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD)

2 Mặt phẳng ( )a qua H và vuông góc với SC tại I Chứng tỏ ( )a cắt các cạnh SB, SD

3 Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O SO vuông góc với đáy và

SO = 2a 3, AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng ( )a qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B ', C', D'

1 Chứng minh DB ' C ' D ' đều

2 Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao

SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a)

1 Tìm vị trí điểm M để diện tích DSBM lớn nhất, nhỏ nhất

m

3

= gọi K là giao điểm của BM và AD.Tính góc phẳng nhị diện [A,SK, B].

3 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC

1 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

2 Tính khoảng cách giữa IK và AD

3 Tính diện tích tứ giác IKNM.

(Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính gĩc phẳng nhị diện [B, A’C, D]

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện cĩ diện tích nhỏ nhất

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

1 Chứng minh A’C vuơng gĩc với (AB’D’)

2 Tính gĩc giữa (DA’C) và (ABB’A’)

3 Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2) < <

a Chứng minh MN song song (A’D’BC)

b Tìm k để MN nhỏ nhất Chứng tỏ khi đĩ MN là đoạn vuơng gĩc chung của AD’ và DB

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = 2, AD = 4, AA’ = 6 Các điểm M,

N thỏa AMuuur = mAD, BNuuur uuur =mBB' (0uuur ££m 1) Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’

1 Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD)

2 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

3 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp DA ' BD

4 Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ độ dài cạnh là 2cm Gọi M là trung điểm

AB, N là tâm hình vuơng ADD’A’

1 Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N

2 Tính bán kính r của đường trịn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’,

B, C’, D

3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương

( Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy hình thoi cạnh a, BAD· = 60 0 Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’

1 Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng

2 Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuơng

Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a 3 và vuông góc với đáy

1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC)

3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC Biết rằng góc giữa

MN và (ABCD) bằng 600

2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH⊥(ABCD) với SH=a

1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy Gọi M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho

4

3,

2

a DN

a

BM = = CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc

Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho

2

6

a

SD= , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau

Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB=a 2 OC=c (a,c>0) Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM

a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE

b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P)

c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a

1) Tính theo a khoảng cách giữa AD' và B'C

2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số =3

1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD')

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA=a 6

2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

Chuyên đề H×NH HäC KH¤NG GIAN (cỉ ®iĨn)

+ Tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH

+ Hình chĩp là hình đa diện cĩ một mặt là một đa giác gọi là đáy các mặt cịn lại là

những tam giác cĩ chung đỉnh, các cạnh khơng thuộc đa giác đáy gọi là cạnh bên + Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau +Trong hình chĩp đều:

• Hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy.

• Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

• Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

• Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

+ Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là lăng trụ đứng-các mặt bên

+ Lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều- các mặt bên của hình

lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.

+ Lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Hình hộp cĩ tất cả 6 mặt là

+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mp(P).

• Nếu d > R mp(P) khơng cắt mặt cầu.

• Nếu d = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu.

• Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường trịn cĩ bán kính

+ Cơng thức diện tích và thể tích

+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện.

+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu cĩ

1./ Là điểm mà cách đều các đỉnh của khối đa diện.

2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà các đỉnh nhìn đoạn thẳng đĩ dưới một gĩc vuơng.

3./ Là giao điểm của các trục đường trịn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện.

4./ Là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện.

+Hình chĩp đều luơn nội tiếp trong một mặt cầu cĩ tâm nằm trên đường cao của hình chĩp.

+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đáy lăng trụ nội tiếp đường trịn.

§5 KHỐI TRỤ -KHỐI NĨN

Hình Học LTĐH2009 -38 - GV Nguyễn Văn Nhương

 Mặt trụ là hình trịn xoay sinh bởi đường

thẳng l khi quay quanh ∆ song song với l.

 Hình trụ là hình trịn xoay sinh bởi bốn cạnh

của hình chữ nhật khi quay xung quanh một

đường trung bình của hình chữ nhật đĩ.

 Hình Nón – Trụ

Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a

a) Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó

b) Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R)và (O’;R),

Một hình nón đỉnh O’ đáy là hình tròn (O;R)

a) Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần tính tỉ số thể tich của hai phần đó

Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.b) Cho một dây cung của đường tròn đáy của hình nón sao cho mp(SBC) tạo với đáy hình nón một góc 60o Tính diện tich tam giác SBC

c) Tính diện tích và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón

 Mặt cầu

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , ABCD là hình chữ nhật và AB = a , SA =

BC = 2a Chứng minh rằng 5 điểm S,A,B,C,D cùng nằm trên 1 mặt cầu.Tìm tâm ,bán kính của mặt cầu đó

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) BE , BF là đường cao của tam giác ABC và SBC Gọi H và H’ lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

a)Chứng minh rằng SH’ , AH và BC đồng qui tại một điểm I

b)Chứng minh rằng 5 điểm E,F,I,S,B ở trên một mặt cầu

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥(ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a Dựng mặt phẳng β đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC,β lần lượt cắt SB ,SC ,SD tại B’ ,C’ ,D’

a)Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố địnhb) Tính diện tích mặt cầu ấy

Trong mặt phẳng α cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đường kính AD.Trên đường thẳng ⊥α tại A ta lấy điểm S Gọi H,K là hình chiếu của A trên SB và SC a)Chứng minh rằng các tam giác AHD,AKD vuông

b)Chứng minh rằng 5 điểm A,B,C,H,K nằm trên 1 mặt cầu

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy = a,cạnh bên = 2a.Tìm tâm,bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm S,A,B,C

Trong mặt phẳng α cho đường tròn đường kính AB = 2R Trên đường tròn ta lấy 1 điểm C.Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB).Gọi I là trung điểm CH Trên tia Ix⊥α ta lấy điểm S sao cho S HˆI= 60o Chứng minh rằng ∆SAB = ∆CAB.từ đó suy ra tâm ,bán kính của mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C

Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) ,và các cạnh SA = a AB = b, AC= c.Xác định tâm,bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C trong các trường hợp sau: a)C

Aˆ

B = 90o b)B AˆC =60o và b = c c)B AˆC = 120o và b = cCho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA = a ABCD là là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a Gọi E là trung điểm cạnh AD Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a)Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD)

b)Tính góc giữa cạnh bên và đáy

c)Tính góc giữa mặt bên và đáy

d)Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Cạnh bên hợp với đáy 1 góc

φ = 60o

a)Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

b)Tính góc giữa mặt bên và đáy

.Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) và đáy là tam giác đều cạnh a Mặt bên (SBC) hợp với đáy 1 góc φ = 30o

a)Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

b)Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC)

 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ,đường thẳng

Cho mặt cầu tâm O đường kính AB = 2R.Điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH =

34

R Mặt phẳng α⊥ AB tại H, cắt mặt cầu theo đường tròn (L).Tính diện tích (L).Cho mặt cầu S(O,R) ; A là 1 điểm nằm trên mặt cầu Mặt phẳng α qua A sao cho góc giữa OA và α bằng 30o

a)Tính diện tích đường tròn thiết diện giữa α và mặt cầu