b Với điều kiện nào của hai đờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật.. b Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?. c Với điều kiện câu b hãy tính tỉ số d
Trang 1Kỡ I Cõu 5 : Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AC, K là
điểm đối xứng với M qua điểm I
a Tứ giỏc AMCK là hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
b.Tứ giỏc AKMB là hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
c Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để tứ giỏc AMCK là hỡnh vuụng ?2
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và AD
Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN K là giao điểm BN với CD
a c/m MDKB là hình thang
b Tứ giác PMQN là hình gì? chứng minh ?
c Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông ?
Câu 7: Cho hình thoi ABCD Chứng minh các đờng chéo AC; BD là trục đối xứng của hình thoi Cõu 8 : Cho hỡnh thoi ABCD, Gọi O là giao điểm của hai đường chộo Vẽ đường thẳng qua B và
song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đú cắt nhau ở K a) Tứ giỏc OBKC là hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
b) Chứng minh rằng AB = OK
c) Tỡm điều kiện của hỡnh thoi ABCD để tứ giỏc OBKC là hỡnh vuụng ?
Cõu 9: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và 0
60
ˆ
A Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD
a) Tứ giỏc ECDF là hỡnh gỡ? Vỡ sao ?
b) Tứ giỏc ABED là hỡnh gỡ? Vỡ sao ?
c) Tớnh số đo của gúc AED
Cõu 10/ Cho ABC Gọi M,N lần lợt là trung điểm của BC,AC Gọi H là điểm đối xứng của N
qua M
a) C/m tứ giác BNCH và ABHN là hbh
b) ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác BCNH là hình chữ nhật
Cõu 11/ Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo ( không vuông góc),I và K lần
l-ợt là trung điểm của BC và CD Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K
a) C/mrằng tứ giác BMND là hình bình hành
b) Với điều kiện nào của hai đờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật
c) Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng
Cõu 12/ Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AD và BC Đờng chéo
AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q
a) C/m tứ giác BEDF là hình bình hành
b) Chứng minh AP = PQ = QC
c) Gọi R là trung điểm của BP Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành
Cõu 13/ Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ
Cõu 14/ Cho ABC,các đờng cao BH và CK cắt nhau tại E Qua B kẻ đờng thẳng Bx vuông góc
với AB Qua C kẻ đờng thẳng Cy vuông góc với AC Hai đờng thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D
a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh M cũng là trung điểm của ED
c) ABC phải thỏa mãn đ/kiện gì thì DE đi qua A
Caõu 15:Cho hỡnh thoi ABCD coự hai ủửụng cheựo AC vaứ BD caột nhau taùi O Qua O keỷ OM, ON,
OP, OQ vuoõng goực vụựi AB, BC, CD, DA laàn lửụùt taùi M, N, P, Q
a) Chửựng minh: OM = ON = OP = OQ
Trang 2b) Chứng minh ba điểm M, O, P thẳng hàng.
c) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
d) Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì? Vì sao?
Câu 16/Cho hình bình hành ABCD cĩ AB=2AD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,CD
Gọi
CMR:
a/ Tứ giác AMCN là hình bình hành
b/ Tứ giác AMND là hình thoi
c/ Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua D, Gọi Q là điểm đối xứng với điểm N
qua D Hỏi Tứ giác ANKQ là hình gì? Vì sao?
d/ Hình bình hành ABCD cĩ thêm điều kiện gì để tứ giác ABCN là hình thang cân
Câu 17/ Cho tam giác ABC cân tại A Gọi E,F và D lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
Chứng minh:
a) Tứ giác BCDE là hình thang cân
b) Tứ giác BEDF là hình bình hành
c) Tứ giác ADFE là hình thoi
4
Câu 18/Cho ABC vuơng tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH Trên tia đối của tia
MA lấy điểm D sao cho MD = MA
1 Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?
2 Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC Chứng minh : BC // ID
3 Chứng minh : Tứ giác BIDC là hình thang cân
4 Vẻ HE AB tại E , HF AC tại F Chứng minh : AM EF
Câu 19/Cho ABC cân ở A Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
a) Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành b) BE cắt CF ở G Vẽ các điểm M ,N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật , AMGN là hình thoi
c) Chứng minh AMBN là hình thang Nếu AMBN là hình thang cân thì ABC cĩ thêm đặc điểm gì?
Câu 20/Cho tam giác ABC vuơng ở C GọI M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB.
GọI P là điểm đốI xứng của M qua điểm N
a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật
c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q Chứng minh : BQ = 2PQ
d) Tam giác ABC cần cĩ thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vuơng ? Hãy chứng minh ?
Câu 21/Cho tam giác ABC vuơng tại A, D là trung điểm BC Gọi M là điểm đối xứng của D qua
AB, E là giao điểm của DM và AB Gọi N là điểm đối xứng của D qua AC, F là giao điểm của DN
và AC
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ADBM là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh M đối xứng với N qua A
d) Tam giác vuơng ABC cĩ điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuơng?
Trang 3Cõu 22/Cho ABC caõn taùi A Goùi M laứ ủieồm baỏt kyứ thuoọc caùnh ủaựy BC Tửứ M keỷ ME // AB ( E AC ) vaứ MD // AC ( D AB )
a) Chửựng minh ADME laứ Hỡnh bỡnh haứnh
b) Chửựng minh MEC caõn vaứ MD + ME = AC
c) DE caột AM taùi N Tửứ M veỷ MF // DE ( F AC ) ; NF caột ME taùi G Chửựng minh
G laứ troùng taõm cuỷa AMF
d) Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa M treõn caùnh BC ủeồ ADME laứ hỡnh thoi
Cõu 23/Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB=2AD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và
CD
a) Chứng minh tứ giỏc EBFD là hỡnh bỡnh hành
b) Tứ giỏc AEFD là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
c) Gọi M là giao điểm của AF và DE ; N là giao điểm của BF và CE
Cõu 24/Chứng minh bốn đường thẳng AC, EF, MN, BD đồng qui
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, Evà F lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AF, CE với BD
a) Chứng minh : Tứ giỏc AECF là hỡnh bỡnh hành
b) Chứng minh : DM=MN=NB
c) Chứng minh : MENF là hỡnh bỡnh hành
d) AN cắt BC ở I, CM cắt AD ở J Chứng minh IJ, MN, EF đồng quy
Kè II
1/ Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600 Gọi E,F theo thứ tự là trung đIểm của
BC và AD
a)Tứ giác ECDF là hình gì?
b)Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao ?
c)Tính số đo của góc AED
2/ Cho ABC Gọi M,N lần lợt là trung điểm của BC,AC Gọi H là điểm đối xứng của N qua M.
a) C/m tứ giác BNCH và ABHN là hbh
b) ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác BCNH là hình chữ nhật
3/ Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo ( không vuông góc),I và K lần lợt là
trung điểm của BC và CD Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K a) C/mrằng tứ giác BMND là hình bình hành
b) Với điều kiện nào của hai đờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật
c) Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng
4/ Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AD và BC Đờng chéo AC cắt
các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q
a) C/m tứ giác BEDF là hình bình hành
b) Chứng minh AP = PQ = QC
c) Gọi R là trung điểm của BP Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành
5/ Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ
6/ Cho ABC,các đờng cao BH và CK cắt nhau tại E Qua B kẻ đờng thẳng Bx vuông góc với AB.
Qua C kẻ đờng thẳng Cy vuông góc với AC Hai đờng thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D
a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh M cũng là trung điểm của ED
c) ABC phải thỏa mãn đ/kiện gì thì DE đi qua A
7/ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD),E là trung điểm của AB.
a) C/m EDC cân
Trang 4b) Gọi I,K,M theo thứ tự là trung điểm của BC,CD,DA Tg EIKM là hình gì? Vì sao?
c) Tính S ABCD,SEIKM biết EK = 4,IM = 6
8/ Cho hình bình hành ABCD E,F lần lợt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) C/m 3 đờng thẳng AC,BD,EF đồng qui
c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành
d) Tính SEMFN khi biết AC = a,BC = b
9.Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,một đờng thẳng song song với 2 đáy, cắt các cạnh AD,BC ở M
và N sao cho MD = 2MA
a.Tính tỉ số
b.Cho AB = 8cm, CD = 17cm.Tính MN?
10.Cho hình thang ABCD(AB//CD).M là trung điểm của CD.Gọi I là giao điểm của AM và BD,
gọi K là giao điểm của BM và AC
a.Chứng minh IK // AB
b.Đờng thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F.Chứng minh: EI = IK = KF
11.Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm.Gọi I là giao điểm của các đờng phân
giác , G là trọng tâm của tam giác
a.Chứng minh: IG//BC
b.Tính độ dài IG
12.Cho hình thoi ABCD.Qua C kẻ đờng thẳng d cắt các tia đối của tia BA và CA theo thứ tự E,
F.Chứng minh:
a
b
c =1200( I là giao điểm của DE và BF)
13 Cho tam giác ABC và các đờng cao BD, CE.
a,Chứng minh:
b.Tính biết = 480
14.Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, BC = 20cm, AH = 8cm.Gọi D là hình chiếu của
H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB
a.Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC
b.Tính diện tích tam giác ADE
15.Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 15cm, AC = 20cm, đờng phân giác BD.
a.Tính độ dài AD?
b.Gọi H là hình chiếu của A trên BC Tính độ dài AH, HB?
c.Chứng minh tam giác AID là tam giác cân
16.Tam giác ABC cân tại A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đờng cao AD và BE gặp nhau ở H.
a.Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH
b.Tính độ dài HD, BH
c.Tính độ dài HE
17.Cho tam giác ABC, các đờng cao BD, CE cắt nhau ở H.Gọi K là hình chiếu của H trên
BC.Chứng minh rằng:
a.BH.BD = BK.BC
b.CH.CE = CK.CB
18.Cho hình thang cân MNPQ(MN //PQ, MN < PQ),NP = 15cm,đờng caoNI = 12cm,QI = 16 cm.
a) Tính IP
b) Chứng minh: QN NP
Trang 5c) Tính diện tích hình thang MNPQ.
d) Gọi E là trung điểm của PQ Đờng thẳng vuông góc với EN tại N cắt đờng thẳng PQ tại K Chứng minh: KN2 = KP KQ
19.Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đờng cao AH.
a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC
b) Tính BC, AH
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H Vẽ hình bình hành ADCE Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
d) Tính AE
e) Tính diện tích tứ giác ABCE
20.Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH Từ B kẻ tia Bx AB, tia Bx cắt tia
AH tại K
a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao?
b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA Từ đó suy ra: AB AC = AK CH
c) Chứng minh: AH2 = HB HC
d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm Tính AB, AH
21.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng cao AF, BE cắt nhau tại H Từ A kẻ tia Ax vuông góc
với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC Tia Ax và By cắt nhau tại K
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: HAE đồng dạng với HBF
c) Chứng minh: CE CA = CF CB
d) ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi
22.Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại
N sao cho gócAMN = gócACB
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM
b) Tính NC
c) Từ C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt MN tại K Tính tỉ số
MK
MN
23.Cho ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AD = 5cm
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CBD b) Tính CD
c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD
24.Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90o), đờng cao AH
Biết BH = 4cm, CH = 9cm
a) Chứng minh: AB2 = BH BC b) Tính AB, AC
c) Đờng phân giác BD cắt AH tại E (D AC) Tính
DBA
EBH
S
S
và chứng minh:
DA
DC EH
EA
25.Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm F Tia AF cắt BD và DC lần lợt ở E và G.
Chứng minh:
a) BEF đồng dạng với DEA; DGE đồng dạng với BAE
b) AE2 = EF EG c) BF DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC
26.Cho ABC, vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E Qua C kẻ tia Cx song
song với AB cắt DE ở G
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG
b) Chứng minh: DA EG = DB DE
c) Gọi H là giao điểm của AC và BG Chứng minh: HC2 = HE HA
27.Cho ABC cân tại A (góc A < 90o) Các đờng cao AD và CE cắt nhau tại H
Trang 6C B
A'
B'
C'
a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA
b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA Từ đó suy ra: DC2 = DH DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm Tính EC, HC
28.Quan sát lăng trụ đứng tam giác (hình 1) rồi điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
29.Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có hai đáy ABC và A’B’C’ là các tam giác vuông tại A và A’
(hình 2)
Tính Sxq và thể tích của hình lăng trụ
Biết: AB = 9cm, BC = 15cm, AA’ = 10cm
a
h
bHình 1c