bài tâp hình và 100 đề thi học kì 2 có đáp án đầy đủ

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD, chứng minh rằng CH vuông góc với AH.. C a Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M có hoành độ x0 = -1 b Viết các phương trình tiếp t

MỘT SỐ BÀI HÌNH SƯU TẦM QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1/ Cho hình chóp S.ABC có AB = a 2, SA = SB = SC =a, SA, SB, SC đôi một vuông góc Gọi H là trực tâm

của ABC

a Chứng minh rằng: SA BC SB AC , 

b Chứng minh rằng: SH ABC

.

c Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có

b/ Từ câu a Suy ra SH ABC

c Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)

Ta có HSABCsuy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)

Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA

 

3

33

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 

trong đó  là góc sao cho

3cos

2

b a

 

2

/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, SAABCD

, SA = a, BAD 120 .

a Tính số đo góc của BD và SC.

b Gọi H là trung điểm của SC Chứng minh rằng: OH ABCD

c Tính số đo của góc SB và CD.

a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra ACBD

c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB

bằng 450 vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A

3/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, BAC30, SA SB SC SD a    .

a Chứng minh rằng: SOABCD

.

b Tính góc giữa SC và (ABCD).

c Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng: MN SBD.

d Tính khoảng cách giữa SB và AC.

a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên

suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)

vì BCA  300suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra

32

d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB

Ta có ACSBD AC HO Đoạn thẳng OH là đoạn

vuông góc chung của AC và SB

Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH = 2

a

4/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC cân tại A, đường cao AH là đường cao của tam giác

ABC và AH= a, góc BAC 120, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 3 Goi K là hình chiếu

vuông góc của A lên SH.

a Chứng minh rằng: AKSBC.

b Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).

c Tính khoảng cách giữa SA và BC.

Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a

5/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD 60, 

32

a SA

Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của ABD.

a Chứng minh rằng: BDSAC

Tính SH, SC.

b Gọi  là góc của (SBD) và (ABCD) Tính tan

c Tính khoảng cách giữa DC và SA.

a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH BD

ABCD là hình thoi suy ra ACBD

ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD 600nên tam giác ABD là

tam giác đều cạnh a

6/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh 2a, SAABC

, SA = a Gọi I là trung điểm của BC.

a Chứng minh rằng: BCSAI

b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

c Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

a/ Ta có SAABC SABC

(1)ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI  BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC  (SAI)

b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)

BC SAI

SBC ABC SI AI SIA SBC SAI SI

7/ Cho hình chóp S.ABC, SAABC

, ABC đều Gọi I là hình chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên

SI và SA2 3,a AB2a

a Chứng minh rằng: AHSBC

.

b Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)

c Tính khoảng cách giữa SA và BC.

BC SAI

AI SBC SAI SI

a ABC SAI AI

Trong đó  là góc sao cho tan = 2

c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI = 2a 3

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 Gọi I là trung

điểm của SO

a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

II Phần riêng

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình : x5 3x1 có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 2

Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số ycot 2x Chứng minh rằng: y 2y2  2 0

b) Cho hàm Số

x y

 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình: x17 x111 có nghiệm

Câu 6b: (2,0 điểm)

a) Cho hàm số

x y x

34





 Chứng minh rằng: 2y2 (y1)y

.b) Cho hàm số

x y

a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM  CD, SM  CD  CD  (SOM)

c) AC  BD, AC SO  (SBD) (do SO(ABCD)) AC(SBD)

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ tiếp điểm.

x

0 2

14

Câu 2 ( 3 điểm ): Cho hàm số yf x( ) x32x27x 5

1) Tính f x '( )và giải bất phương trình f'

( x )<0 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;

3)

3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

Câu 3 ( 3 điểm ): Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Gọi I và

J lần lượt là trung điểm của BC và CD 1 Chứng minh : CD  (ABJ) 2 Chứng minh : (ABC)  (ADI)

3 Tính góc giữa đường thẳng AJ và mặt phẳng (BCD) biết AB =

32

a

Câu 4 ( 1.5 điểm ): Cho hàm số y  2sin 2 x c  os2 x  2 cos x  8sin x  2 x  2011

1 Tính y ' 2 Giải phương trình :y  ' 0.

2

x

x x

2 2

x x

f là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên [0; 1] và [1; 4] (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

0.5đ0.250.25

Câu

3

m

1 Ta có CDBJ (vì BCD là tam giác đều) (1)

0.25đ

2 Ta có DI BC (vì BCD là tam giác đều) (1)

0.25đ0.25đ0.25đ

c Ta có BJ là hình chiếu vuông góc của AJ lên mp(BCD)

nên (AJ, (BCD)) = (BJ, AJ) =



AJB

AJB vuông tại B suy ra

32

32



a AB AJB

0.25đ

điểm

)

2 y’ = 0  4cos 2x 2sin 2x 2sin x 8cos x 2 0    

 2sin xcosx sin x 4cos x 4cos x 1 0  2    (1)

0.25đsin x(2cosx 1) (2cosx 1)(2 cos x 3) 0

ĐỀ3

Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: 1)

2 3.5lim



 2) ysin 34 x

Câu 4Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y2x34x2 3tại điểm có hoành độ bằng 1

Câu 5 (3,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) 1) Chứng minh: CD(SAD)

2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD, chứng minh rằng CH vuông góc với AH

3) Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SCD)

Câu 2 (2,0 điểm) Tìm m để hàm số

2 2



 2) y c os 23 x

Câu 4 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 32x2 1

tại điểm có hoành độ bằng 2

Câu 5 (3,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh SB bằng a và vuông góc với

mặt phẳng (ABCD)

1) Chứng minh: CD(SBC)

2) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên SC, chứng minh rằng BK vuông góc với KD

3) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SCD)

CÂU Đề I II Điểm Đề IV

Câu 1

(2,0 điểm)

1)

23

153

0.5

0.250.25

1)

42

172

2 2 3

3

3

12lim

9( 3)( 4)lim

x x

( 3)7

( 3)

y

x x

3 3

' 4sin 3 (sin 3 ) '12sin 3 cos3

Hình vẽ 1) Lý luận: CDAD

CDSA Suy ra: CD(SAD)

2) Lý luận: AHSD

AHCD Suy ra: AH(SCD) Suy ra: AHCH

3) Lý luận được HC là hìnhchiếu của AC lên (SCD)

 góc giữa AC và (SCD) là

ACH

Tính:

22

a

AH 

, AC a 2Tính:

0.50.5

0.250.25

0.250.250.250.25

0.50.250.50.25

0.250.250.250.25

0.25

0.250.25

0.25

Tính: f(2) m 6Tính:

2 2 2

2

2

3 10lim

4( 2)( 5)lim

( 2)1

( 2)

y

x x

2 2

Hình vẽ 1) Lý luận: CDBC

CDSB Suy ra: CD(SBC)

2) Lý luận: BKSC

BKCD Suy ra: BK(SCD) Suy ra: BKKD3) Lý luận được KD là hình chiếu của BD lên (SCD)

 góc giữa BD và (SCD) là BDK

Tính:

22

b Chửựng minh raống phửụng trỡnh sau coự ớt nhaỏt 2 nghieọm: 2 x3 5 x x2   1 0

Baứi 3 (2 ủieồm): a Cho f x ( )  3 1 x  Tính f ’’(1)

b Cho (C):

x

Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) bieỏt tieỏp tuyeỏn coự heọ soỏ goực baống 3

Baứi 4 (3 ủieồm): Cho hình chóp ủeàu S.ABCD coự caùnh ủaựy baống a, caùnh beõn baống a 2 Gọi I, J lần lợt làtrung điểm của AD và BC.a Chứng minh (SIJ)  (SBC)

b Tính cosin của góc giữa AD và SB.c Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB

Baứi 5 (1 ủieồm): Cho hàm số f x ( )  mx3  (2 m  1) x2  ( m  2) x  2 Xỏc định m để

x x

Baứi 3 (2 ủieồm):

2Pttt tthỏa ycbt là: y = 3x – 4 và y = 3x + 4 (0,25 đ)

Bài 4: Gọi O là tâm hình vuông ABCD

(0,5 đ)

c SO =

6 2

a

Gọi H là hình chiếu của O lên SJ

Khi đó, ta có : OH =

3 14

a

(0,5 đ)Bài 5: f x ( )  mx3  (2 m  1) x2  ( m  2) x  2

f’(x) = 3 mx2  2.(2 m  1) x  ( m  2) (0,25 đ)Trường hợp m = 0: không thỏa mãn ycbt (0,25 đ)

y 

c) y = √ x (x2- √ x +1) 2) Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với

đường thẳng d : y = - x + 2

Câu 4: (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a 2 và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD)

a.Chứng minh CD(SAD)

b.Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD)

c.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

ĐỀ6 Câu 1: (2.0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) x

2 3 2

3

3lim





c) y   2 x2 3 x  1 3 2) Cho hàm số y =x2  2x3 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

b) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2

Câu 4: (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a 2 và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD)

a.Chứng minh BC(SAB)

b.Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD)

c.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

0.25 b

Ta có:

3 3

lim (2 1) 5 0

x x

2 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

3 1.a Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2 Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 2x 2 (C)

2.a Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x 0 = 2.

Gọi M(2 ;y0) là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm

số (C), khi đó: 0

'(2) 4(2) 0

0.25 2.b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với

đường thẳng d : y = - x + 2.

Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm

D A



 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) là:

427

y x

.Vậy có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y=-x+2 là:

y = -x và

427

Gọi OACBD, H là hình chiếu của O lên SC Ta có :

(ABCD))

110

0.5

0.25

0.25 b

x

x x

3

3lim

lim ( 3) 6 0

x x

3

x

x x

2 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

- Khi x <1 thì hàm số f(x) = 2x + 3 xác định nên f(x) liên tục( ; 1) (2)

 Hàm số gián đoạn tại x = 1 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hàm số f(x) liên tục trên ( ; 1), (1;  ) vàgián đoạn tại x = 1

0.25

0.25 0.25

D A

2.b Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp

tuyến có hệ số góc bằng 2

Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm

số (C) Do tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc bằng 2 nên

f x   x    x  và y0 = f(2) =3

 N(2 ; 3) là tọa độ tiếp điểm

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến có

(tương tự đề 1)

ĐỀ SỐ 8

I PHẦN CHUNG ( 8 điểm) Dành cho tất cả các học sinh

Câu I (2 điểm) Tìm các giới hạn sau :1

0

4 2lim

(Do ABCD là hìnhvuông)( Do SA 

(ABCD))

Câu II (1 điểm) Hàm số sau có liên tục tại điểm x0 = 1 không ?

Câu IV (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 2a , góc ABC bằng 300 , SA  (ABC) , SA = a 3 Gọi I

là trung điểm của BC

1 Chứng minh: BC  (SAI) 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

II PHẦN RIÊNG ( 2 điểm) Học sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình Chuẩn

Câu Va (1 điểm) Giải phương trình f '(x) = 0 với f(x) =



 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếptuyến đó có hệ góc bằng 1

B Theo chương trình Nâng cao

Câu Vb (1 điểm) Giải phương trình f '(x) = -4 với f(x) = –sin2x – 4sinx – 4cosx

Câu VIb (1 điểm) Cho hàm số y = f(x) =

13

x x



 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếptuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O

ĐỀ SỐ 9

I PHẦN CHUNG ( 8 điểm) Dành cho tất cả các học sinh

Câu I (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:1

Câu IV (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 2a , góc BAC bằng 1200 , SA  (ABC) , SA = a 3 Gọi I

là trung điểm của BC.1 Chứng minh: BC  (SAI).

2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

II PHẦN RIÊNG ( 2 điểm) Học sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình Chuẩn

Câu Va (1 điểm) Giải phương trình f '(x) = 0 với f(x) =

1

2( sin2x + cos2x ).

Câu VIa (1 điểm) Cho hàm số y = f(x) =

13

x x



 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếptuyến đó có hệ góc bằng 4

B Theo chương trình Nâng cao

Câu Vb (1 điểm) Giải phương trình f '(x) = -6 với f(x) =

1

2sin2x + 6cosx + 6sinx

Câu VIb (1 điểm) Cho hàm số y = f(x) =

1

x x

0 0

20

x x

y' = -4  -sin2x – 4(cosx – sinx) + 4 = 0 Đặt t = cosx – sinx = 2cos x( 4)



 ,  2 t 2Khi đó PT thành : t2 -4t +3 = 0  t = 1 hoặc t = 3 (loại)

y = x hoặc y = -x , nghĩa là : f '(x0) = 0 2

4(x 3) = ±1 

0 0

15

x x

0 0

24

x x

y' = -6  sinx.cosx – 6(sinx – cosx) + 6 = 0 Đặt t = sinx – cosx = 2 s (in x 4)



 ,  2 t 2Khi đó PT thành : t2 + 12t -13 = 0  t = 1 hoặc t = -13 (loại)

0,25

OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng

y = x hoặc y = -x , nghĩa là : f '(x0) = 0 2

1(x 1) = ±1 

0 0

20

x x

y f x

a x nÕu x 4 Tìm tham số a để hàm số f liên tục tại x = 4

Câu 4 : (2 điểm)

1) Chứng minh hàm số y x sin x thỏa mãn hệ thức : x.y 2 y ' sin x   x.y '' 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C của hàm số :y x 3 5x2 ,biết tiếp tuyến đi 2 Qua điểm N(0; 9)

Câu 5 : (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh AB = a 3 , SAABCD và SA = a.1) Chứng minh rằng: BC SAB

2) Kẻ AH SB và AK SD Chứng minh rằng : SAC  AHK

3) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – TOÁN 11 - NC

5



0.250.250.25

2) Chứng minh (SAC)(AHK)

0.250.250.25

Câu 1: (1đ) Tìm

2 2

x y

x

Câu 5: (3đ) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a

Có SA vuông góc với đáy ABCD, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD) bằng 600 Hình chiếu vuông góc của O trên SC là H

a) Chứng minh rằng tam giác SAB là tam giác vuông b) Chứng minh rằng: SC  mp(BHD)

c) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) theo a

B Phần tự chọn:

Phần 1: (Ban cơ bản)

Câu 1: (1đ) Tìm

2 2

Phần 2: (Ban nâng cao)

Câu 1: (1đ) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị củatham số m: (m2 – m + 4)x2011 – 2x + 1 = 0

Câu 2: (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ):