ĐÁP án CHI TIẾT đề MINI TEST 04

Lời giải Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên.. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1.. Tìm số phần tử của S... Cho hàm số

Sưu tầm và biên soạn

Phạm Minh Tuấn

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

ĐỀ MINI TEST 04 Thời gian: 45 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm có 5 trang, 15 câu

Họ và tên:………Số báo danh:………

Câu 1 Hàm số yx3  3x 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A  ,1 B 1,  C  1,1 D  2,2

Câu 2 Cho hàm của hàm số f x  đồng biến trên tập số thực , mệnh đề nào sau đây là

đúng ?

A Với mọi x x1 , 2   f x   1 f x2

B Với mọi x1  x2  f x   1 f x2

C Với mọi x x1 , 2  f x   1  f x2

D Với mọi x1  x2  f x   1 f x2

Lời giải

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên

Câu 3 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  3; 1 B 0;   C   ; 2 D  2; 0

Câu 4 Cho hàm số 2

2

mx y

x m





 , m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 Tìm số phần tử của S

A 1 B 5 C 2 D 3

Lời giải

Tập xác định \

2

m

2 2

4 2

m y

x m



 

Yêu cầu bài toán

 

2

4 0 0;1 2

m m



 





0 2 1 2

m m m

  





 





0 2

m m m

  









0 m 2

Câu 5 Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình bên dưới:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0 B Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;  

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng  ;0 và 1;  , hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1

Câu 6 Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Xét các mệnh đề sau:

(I) Nếu f x  0, x I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I) thì hàm

số đồng biến trên I

(II) Nếu f x  0, x I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I) thì hàm

số nghịch biến trên I

(III) Nếu f x  0, x I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I

x

y

2 1 2

Hide Luoi vuong

3

(IV) Nếu f x  0, x Ivà f x  0 tại vô số điểm trên I thì hàm số f không thể nghịch biến trên khoảng I

Trong các mệnh đề trên Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

A I và II đúng, còn III và IV sai B I, II và III đúng, còn IV sai

C I, II và IV đúng, còn III sai D I, II, III và IV đúng

Lời giải

Các mệnh đề I, II đúng còn các mệnh đề III, IV sai

Mệnh đề III sai vì thiếu điều kiện dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I Mệnh đề IV sai vì ta xét hàm số f x  cos2x 2x 3 có f x   2 1 sin2  x 0,  x

và   2 1 sin 2  0  

4

tức là f x  0 tại vô số điểm trên

Mặt khác hàm số f x  cos2x 2x 3 liên tục trên ;  1

  do đó hàm số f x  nghịch biến trên mỗi đoạn

 , k  Vậy hàm số nghịch biến trên

Câu 7 Cho hàm số y f x  Biết hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số  2

2 3

y f x x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1 1;

3 2

1

; 2

1

; 3

1

2 ; 2

Lời giải

Xét hàm số y f2x 3x2 ta có: y 2 6  x f 2x 3x2

2

1

x x

x









TH2:  2

2

1

2 6 0

3

x



Hợp TH1 và TH2 lại ta được 1

3

x

Vậy hàm số đồng biến trên ;1

3

Câu 8 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2020; 2020 để hàm số

y x  m x  m x nghịch biến trên khoảng  a b; sao cho b a  3

Lời giải

Ta có y  6x2  6m 1x 6m 2

Hàm số nghịch biến trên  a b; x2 m 1 x m    2 0 x  a b;

2

6 9

0 x m 1 x m 2 0 x

TH2:     0 m 3 y có hai nghiệm x x x1 , 2 2 x1

Hàm số luôn nghịch biến trên x x1 ; 2

Yêu cầu đề bài:

0

m

m

 



Câu 9 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên của hàm số y f x( )

được cho như hình vẽ bên Hàm số 1

2

x

y f  x

  nghịch biến trên khoảng

A  2; 4 B  0; 2 C  2;0 D   4; 2

Lời giải

Đặt   1

2

x

g x  f  x

  thì   1

x

g x   f  

Ta có   0 1 2

2

x

g x   f  

2

x

f   

x

2

x

f   

2

x

a a

Vậy hàm số 1

2

x

  nghịch biến trên   4; 2

Câu 10 Cho hàm số 1 3   2

3

y x  m x  mx Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m là

nửa khoảng ;p

q



p

q là phân số tối giản, p q,



 ) để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 1; 4  Tính p q ?

Lời giải

Ta có: 2  

YCBT  y 0,  x  1; 4     2

2m x 2 x 2x

    ,  x  1; 4  

   

2m x 2 x x 2

    ,  x  1; 4    m 2x,  x  1; 4    m 21

Câu 11 Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

ó bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số

  2  2

I àm số g x  đồng biến trên hoảng   4; 2 

II àm số g x  nghịch biến trên hoảng  0; 2

III àm số g x  đạt cực tiểu tại điểm  2

IV àm số g x  có giá trị cực đại bằng  3

Lời giải

 

y f x

Từ bảng biến thiên ta có hàm số yf x  có

  0

2

x x

 

2

x x

 

 , f x     0 0 x 2 và f 0   1, f 2   2 Xét hàm số g x   f 2  x 2 ta có g x  f2 x

Giải phương trình   2 0

0

x

g x

x

  

Ta có

  0

g x   f2 x 0  f2 x 0     0 2 x 2    0 x 2

  0

g x   f2 x 0  f2 x 0 2 0

x x

  



2 0

x x

 

 

  0 2 0 2

  2 2 2 2

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số g x  đồng biến trên khoảng  0; 2 nên I sai

Hàm số g x  đồng biến trên khoảng  ;0 và 2; nên II sai

Hàm số g x  đạt cực tiểu tại x 2 nên III sai

Hàm số g x  đạt cực đại tại x 2và g CĐg 0 nên IV đúng

Câu 12 Hàm số 2  1 1

2

y

x



 (m là tham số) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m là nửa khoảng ; p

q

 

  , (

p

q là phân số tối giản, p q,



 ) để hàm số đã cho

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó Tính p q ?

Lời giải

Tập xác định D \ 2  Đạo hàm:

 

2

g x

y

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y   0, x D

( Dấu ' '  chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D)

   2

4 2 1 0 ,

Điều kiện:   0 (vì a   1 0)  4    1 2m  1 0  2m  5 0  5

2

m 

Câu 13 Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y13x312mx22mx3m4

nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 Tính tổng tất cả phần tử của S

Lời giải

TXĐ: D

Ta có: y x2 mx 2m, y   0 x2 mx 2m 0  1

Để hàm số đã chonghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì  1 phải có hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2  3 Điều này tương đương với

1 2

0 3



 





2 2

8 9 0



 



1 9

m m

  

Do đó, S  1;9

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 8

Câu 14 Cho hàm số f x mx4  2x2  1 với m là tham số thực Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của m thuộc khoảng  2018; 2018 sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;1

2

Lời giải

0

m : y    0 x 0 Hàm số đồng biến trên 0;   m 0 thỏa mãn

0

2

0 0

x x

y

 

 







BBT :

Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng 0;1

2

So với điều kiện   m 4

Mặt khác, theo giả thiết m  2018; 2018

m

  







 suy ra có 2014 giá trị nguyên của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán

Câu 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số 5 1

2

m

y x

x



  

 đồng biến trên

 5;

  

Lời giải

Tập xác định: D \ 2  Đạo hàm:

2

1

y

Xét hàm số   2

4 3

f x x  x trên   5;  Đạo hàm: f x  2x 4 Xét f x       0 x 2 y 1 Ta có: f 5  8

Bảng biến thiên:

Do  2

x  với mọi x 5;   nên y 0,  x 5;   khi và chỉ khi f x  m,

 5;

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:     m 8 m 8

Mà m nguyên âm nên ta có: m         8; 7 ; 6; 5; 4; 3; 2; 1

Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số 5 1

2

m

y x

x



  

 đồng biến trên   5; 

Câu 16 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y2m 3 x 3m 1 cos x

nghịch biến trên

Lời giải

2 3 3 1 cos 2 3 3 1 sin

Hàm số y2m 3 x 3m 1 cos x nghịch biến trên  y 0 với  x

3m 1 sin x 3 2m

     1 với  x

+ Với 1

3

m  ta có   2

1 0.sin 3

3

x

   (vô lý) Do đó 1

3

m  không thỏa mãn

+ Với 1

3

m  ta có   3 2

1 sin

1 3

m x

m



 luôn đúng với  x

m

m m



+ Với 1

3

m  ta có   3 2

1 sin

1 3

m x

m



 luôn đúng với  x

3 2

1

1 3

m m



2 5

0

1 3

m m





3 m 5

Mặt khác m  m 0; 1; 2; 3; 4     

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài ra

Câu 17 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2018; 2018  để hàm số y x2   1 mx 1

đồng biến trên    ; 

Lời giải

TXĐ: D

2 1

x

x

Hàm số đồng biến trên  y 0,  x

2 1

x m x

 ,  x  1 Xét  

2 1

x

f x

x



 trên

 

x f x

   ; lim   1

x f x

 

 

1

f x

  0,  x nên hàm số đồng biến trên

Ta có:

2 1

x m x



Mặt khác m   2018; 2018   m  2018; 1  

Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện

Câu 18 Cho hàm số y f x  có       2 

f x  x x x x  x Hàm số

2 5

yg x  f x    x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  ;1 B  1; 2 C  3; 5 D 0;3 .

2

Lời giải

Ta có     3 2      2  2 2 

Khi đó   1

2

x

g x

x

 



Bảng xét dấu của hàm số g x'( ) như sau

Vậy hàm số y g x   nghịch biến trên  ;1 

Câu 19 Cho hàm số y f x  liên tục trên thỏa mãn f 1  0 và

  Hàm số g x   f x  2x2 đồng biến trên khoảng

A  1; 3 B 0;1

3

1

;1 3

ời giải

Ta có        2  

Đặt t f x  ta được phương trình t2 x t x  6  3x4  2x2  0

Ta có 2  6 4 2 6 4 2  3 2

Vậy

3

3

3

3

2 2

2







Suy ra  

 

3 3 2



  



Do f 1  0 nên f x   x3 x

Ta có

  3 2   2 1

3

Câu 20 Cho hàm số y f x , hàm số f x x3 ax2 bx c a b c  , ,   có đồ thị như hình vẽ

Hàm số g x  f f x    nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;  B   ; 2 C  1;0 D 3; 3

3 3



Lời giải

Vì các điểm  1;0 , 0;0 , 1;0     thuộc đồ thị hàm số y f x  nên ta có hệ:

Ta có: g x  f f x   g x  f f x   ''f  x

3 3

3 2

0 1

1

3 1 0

x

  



 







1 0 1,325 1,325 3 3

x x x x x



  









  



  



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên g x  nghịch biến trên   ; 2

Câu 21 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên Biết đồ thị hàm số yf x'  như hình vẽ

Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m  2019; 2019 sao cho hàm số g x  f x m  đồng biến trên khoảng  2;0 Số phần tử của tập S là

ời giải

Ta có g x'  f x m'  

g x

Do đó từ đồ thị hàm số y f x'  suy ra g x'   0 f x m'         0 x m 2 x m 2 Hàm số g x  f x m  đồng biến trên khoảng  2;0 khi và chỉ khi g x'     0, x  2;0

Mà tham số m  2019; 2019 và là gía trị nguyên thoả mãn m  4 nên

 2018; 2017; ; 5; 4

m     Vậy tập S có 2015 phần tử

Câu 22 Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số y e 3f 2 x 1 3f 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;   B  1; 3 C   ; 2 D  2;1

ời giải

Ta có :   3  2  1    2     3  2  1  2  

3 2 f x 2 3f x.ln 3 2 3 f x 3f x.ln 3

   

Câu 23 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị yf x'  như hình vẽ sau

Hỏi đồ thị hàm số    3   1  

2

f x f x

g x  f e   nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A   ; 5  B 3; 7 .

4

  C   1; . D   3; 1 

Lời giải

Ta có:

                

            

' 3 2 ln 2 ' 2

  ' 0.

ycbtg x  Mà ta thấy rằng:

3 1

3 1

3 1

3 1

3 2 ln 2 0

3 2 ln 2 0

f x f x

f x f x

f x f x

f x f x

e e

f e e











Suy ra    

5

4

x





Vậy hàm số g x  nghịch biến trên   ; 5

Câu 24 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên

Và hàm số y g x   có bảng biến thiên

2 3

2

x

 chắc chắn đồng biến trên khoảng nào?

A  2;1 B  1;1 C 3;1

2



Lời giải

2

x



Tập xác định: 3;1

2

  Từ tập xác định loại được phương án A, D

Ta có:        

Với phương án , có g x'  0 trên 3; 1

2

  nên chưa ết luận được về dấu của hàm số

cần xét

Câu 25 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x 1x 1x 4 ;  x Có bao nhiêu số nguyên

2019

m để hàm số   2

1

x

x



  đồng biến trên 2;  

Lời giải

Ta có:  

 2

1 1

x

x x



Hàm số g x  đồng biến trên 2;  

 g x    0; x 2;  

0; 2;

1 1

x

x x







0; 2;

1

x

x



Ta có: f x   0 x 1x 1x   4 0 1

x x

  

  



0; 2;

1

x

x



2

1 2

1

x

x x

x

 







Hàm số   2

1

x

x



 ; x2;   có bảng biến thiên:

ăn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện  2 không có nghiệm m thỏa mãn

Điều kiện  1   m 1  m 1,kết hợp điều kiện m2019 suy ra có 2018 giá trị m

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:

Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x 1x 1x 4 ;  x Có bao nhiêu số nguyên 2019

m để hàm số   2  

1

x

x



  đồng biến trên 2;  