CĐề BD toán tuổi thơ pt nghiệm nguyên

Question 9: Find three positive integers so that their sum is equal to their product... Question 17: How many values does x have so that 9x + 5 is the product of two consecutive integers

CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN VÀ NGHIỆM NGUYÊN

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức

2 3 2

x x



 là một số nguyên.

Question 1: Find the integer value of x so that the value of the expression 2 3

2

x x



 is an integer.

Lời giải:

Đặt A = 2 3

2

x x



 (ĐK: x�2)

Ta có: A 2 4 1 ( 2).( 2) 1 ( 2) 1

x

A có giá trị nguyên khi x �2 Ư(1) = 1; 1 

�

Vậy x =1 hoặc x = 3

Bài 2: Tìm các số nguyên n để biểu thức 3 3 22 2 1

n n

   nhận giá trị nguyên.

Question 2: Find the integers n so that the expression 3 3 22 2 1

n n

   receives the integer value.

Lời giải:

ĐK: n  -1 Ta có:

1

Để biểu thức nhận giá trị nguyên với mọi n nguyên thì 2 2

1

n  n phải nguyên

 n2 + n +1 Ư(2) = � �1; 2

Mà n2 + n +1 = n(n+1) +1 là số lẻ nên (n2 + n +1)  1

 Với n2 + n +1 = 1  n = 0 (nhận) ; n = – 1 (loại)

 Với n2 + n +1 = – 1  1 2 3

n    (vô lí) Vậy n = 0

Bài 3: Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích của chúng bằng 57120.

Question 3: Find four consecutively positive integers, knowing that their product is equal to 57 120.

Lời giải:

Gọi n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 là bốn số nguyên dương liên tiếp

Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 57120

 (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) = 57120

 (n2 + 3n + 1 – 1)(n2 + 3n + 1 + 1) = 57120

 (n2 + 3n + 1)2 – 1 = 57120

 (n2 + 3n + 1)2 = 57121 = 2392

 n2 + 3n + 1 = 239 hoặc  n2 + 3n + 1 = – 239 (vô nghiệm, vì n2 + 3n + 1 > 0)

 n2 + 3n – 238 = 0

 n = 14 (nhận) hoặc n = – 17 (loại)

Vậy bốn số cần tìm 14, 15, 16, 17

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0

Question 4 : Find the integers x, y, z satisfying the equation 9x2 + y2 + 2z2 - 18x + 4z - 6y + 20 = 0

Lời giải:

Pt  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + (2z2 + 4z + 2) = 0

 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2(z + 1)2 = 0

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ; (y – 3)2 ≥ 0 ; (z + 1)2 ≥ 0 với mọi x, y, z

Nên pt 

1 0

3 0

1 0

x

y

z

 

�

�  

�

�  

�

vậy x = 0, y = 3, z = – 1

Bài 5: Xác định giá trị của x và y để có đẳng thức 5x2 + 5y2 + 8xy = 2x – 2y – 2

Question 5: Determine the value of x and y to have the identity 5x2 + 5y2 + 8xy = 2x – 2y – 2

Lời giải:

Ta có: 5x2 + 5y2 + 8xy = 2x – 2y – 2

 5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0

 (x2 – 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) + (4x2 + 8xy + 4y2) = 0

 (x – 1)2 + (y + 1)2 + 4(x + y)2 = 0

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ; (y + 1)2 ≥ 0 với mọi x, y

Nên 

1 0

1 0 0

x

y

x y

 

�

�  

�

�  

�

vậy x = 1, y = – 1

Bài 6: Tìm ba số x, y, z sao cho biểu thức x2  5 y2  4 xy  10 x  22 y     x y z 26 có giá trị bằng 0

Question 6: Find three numbers x, y, z so that the expression x25y24xy10x22y   x y z 26 has a value of zero

Lời giải:

Theo đề bài ta có: x2  5 y2  4 xy  10 x  22 y     x y z 26 0 

 (x2 – 4xy + 4y2) + (10x – 20y) + 25 + (y2 – 2y + 1) + x y z   = 0

 [(x – 2y)2 + 10(x – 2y) + 25] + (y – 1)2 + x y z   = 0

 [(x – 2y)2 + 10(x – 2y) + 25] + (y – 1)2 + x y z   = 0

 (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + x y z   = 0

Vì (x – 2y + 5)2 ≥ 0 , (y – 1)2 ≥ 0 , x y z   ≥ 0 với mọi x, y, z

Nên 

1 0

0

x y

y

x y z

�

�  

�

�   

�

Vậy x = – 3 , y = 1 , z = 2

Bài 7: Tìm các số nguyên dương n để n1988 + n1987 + 1 là một số nguyên tố

Question 7 : Find the positive integers n so that n1988 + n1987 + 1 is a prime number

Lời giải:

+) với n = 1, ta có n1988 + n1987 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 là số nguyên tố

+) với n ≥ 2, ta có n1988 + n1987 + 1 > n2 + n + 1

Ta lại có: n1988 – n2 = n2(n1986 – 1)

= n2[(n3)662 – (13)662] chia hết cho n3 – 13

Mà n3 – 13 = (n – 1)(n2 + n + 1)

Suy ra n1988 – n2 chia hết cho n2 + n + 1

Tương tự n1987 – n = n(n1986 – 1) chia hết cho n2 + n + 1

Do đó n1988 – n2 + n1987 – n + n2 + n + 1 = n1988 + n1987 + 1 chia hết cho n2 + n + 1

 n1988 + n1987 + 1 có nhiều hơn hai ước

 n ≥ 2 thì n1988 + n1987 + 1 là hợp số

Vậy n = 1 thì n1988 + n1987 + 1 là số nguyên tố

Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5y2 = 345

Question 8: Find the positive integer root of the equation 3x2 + 5y2 = 345

Lời giải:

Vì 345 vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 5

nên 3x2 + 5y2 vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 5

mà (3, 5) = 1  x M 5 và y M 3  x = 5a , y = 3b (a,b  Z+)

thay vào phương trình ta có: 3 25a2 + 5 9b2 = 345  5a2 + 3b2 = 23 (1)

 a2 < 23

5 , b2 < 23

3  a �2 , b �2  a = 1; 2 và b = 1; 2 Thay lần lượt các giá trị của a và b vào (1) ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất với a

= 2 , b = 1 Khi đó x = 10 , y = 3

Bài 9: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Question 9: Find three positive integers so that their sum is equal to their product.

Lời giải:

Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z

Ta có: x + y + z = xyz (1)

Do vai trò của các số x,y,z như nhau nên giả sử 1 x y z� � �

Vì x + y + z = xyz � 3z và z > 0 �xy � 3 �xy {1; 2; 3}

+) Với xy = 1, ta có x = 1 và y = 1 Thay vào (1) ta được 2 + z = z (loại)

+) Với xy = 2, ta có x = 1 và y = 2 Thay vào (1) ta được z = 3 (thỏa mãn)

+) Với xy = 3, ta có x = 1 và y = 3 Thay vào (1) ta được z = 2 (loại, vì y � z)

Vậy ba số nguyên dương cần tìm là 1, 2, 3

Bài 10: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5x

Question 10 : Find the natural numbers x such that 2x + 3x = 5x

Lời giải:

� � � � 

� � � � �� � � � (1)

+) Với x = 0, ta có (1) �1 + 1 = 1 (loại)

+) Với x = 1, ta có (1) � 2 3

5 5 = 1 (nhận)

+) Với x ≥ 2, ta có 2 2 , 3 3

1

� � � �   

� � � � �

Vậy x = 1

Bài 11: Xác định các số nguyên x, y, z để thỏa mãn x3 + 2y3 = 4z3

Question 11: Determine the integers x, y, z to satisfy x3 + 2y3 = 4z3

Lời giải:

Ta thấy x M 2 , đặt x = 2x1 (x1Z), thay vào pt rồi chia cả hai vế cho 2 ta được 4x1 + y3 = 2z3 (1)

 y M 2 , đặt y = 2y1 (y1Z), thay vào (1) rồi chia cả hai vế cho 2 ta được 2x1 + 4y1 = z3 (2)

 z M 2 , đặt z = 2z1 (z1Z), thay vào (1) rồi chia cả hai vế cho 2 ta được x1 + 2y1 = 4z1

Như vậy nếu (x, y, z) là nghiệm của phương trình đã cho thì (x1, y1, z1) cũng là nghiệm của phương trình với x = 2x1 , y = 2y1 , z = 2z1

Tương tự (x2, y2, z2) cũng là nghiệm của phương trình với x1 = 2x2 , y1 = 2y2 , z1 = 2z2

Tương tự như thế ta suy ra x, y, z đều chia hết cho 2k (kZ)

 x = y = z = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 12: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 3 = y2

Question 12: Find the natural root of the equation 2x + 3 = y2

Lời giải:

+) Nếu x = 0 thì y2 = 4  y = 2

+) Nếu x = 1 thì y2 = 5 (loại)

+) Nếu x > 1 thì 2xM 4  2x + 3 chia cho 4 dư 3 còn y2 chia cho 4 dư 1 (không TM pt)

Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên (x; y) là (0; 2)

Bài 13: Tìm x và y biết 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y)

Question 13: Find x and y knowing that 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y)

Lời giải:

Ta có: 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y)

 2x2 + y2 + 6 – 4x + 4y = 0

 (2x2 – 4x + 2) + (y2 + 4y + 4) = 0

 2(x – 1)2 + (y + 2)2 = 0

 ��  �x y 1 02 0 (vì (x – 1)2 ≥ 0 và (y + 2)2 ≥ 0 với mọi x, y)

Vậy x = 1 và y = 2

Bài 14: Xác định các giá trị của x và y để thỏa mãn 22  

4

y y

x x

4

y y

x x

Lời giải:

4

y y

x x

2

2 2

y y

x x

�

2 2

10

�

   

2 2

10

�

Vì (x – 1)2 + 2 ≥ 2 nên  2

10

5

  và (y + 2)2 + 5 ≥ 5

Do đó từ (1) suy ra (x – 1)2 = 0 và (y + 2)2 = 0

Vậy x = 1 và y = – 2

Bài 15: Xác định các số a và b sao cho đa thức x3 + 4x2 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x – 2

Question 15: Determine the numbers a and b so that the polynomial x3 + 4x2 + ax + b is divisible by the polynomial x2 + x – 2

Lời giải:

Cách 1: Thực hiện phép chia ta được thương x + 3 và số dư (a – 1)x + b + 6

Để phép chia trên là phép chia hết thì (a – 1)x + b + 6 = 0

Suy ra a – 1 = 0 và b + 6 = 0

Vậy a = 1 và b = – 6

Cách 2: Gọi thương của phép chia là Q(x), ta có:

x3 + 4x2 + ax + b = (x2 + x – 2) Q(x) = (x – 1)(x + 2) Q(x)

thay x = 1 ta được 5 + a + b = 0 (1)

thay x = – 2 ta được 8 – 2a + b = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 1 và b = – 6

Bài 16: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x + 57 = y2

Question 16: Find the positive integer root of the equation 2x + 57 = y2

Lời giải:

+) Với x lẻ, đặt x = 2n + 1 (n  Z)

Ta có: 2x = 22n + 1 = 2 4n = 2.(3 + 1)n = 2(3k + 1) (áp dụng tính chất (a + b)n = ak + bn = 6k + 2 (k  Z)

Do đó vế trái của pt chia cho 3 dư 2 còn vế phải là số chính phương nên chia cho 3 không dư 2 (loại) +) Với x chẵn, đặt x = 2n (n  Z)

Ta có: y2 – 22n = 57  (y – 2n)(y + 2n) = 3.19

Vì y + 2n > 0 nên y – 2n > 0 và y + 2n > y – 2n , do đó ta có bảng sau

Ta có: 26 + 57 = 112 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) là (6; 11)

Bài 17: Có bao nhiêu giá trị của x để 9x +5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Question 17: How many values does x have so that 9x + 5 is the product of two consecutive integers.?

Lời giải:

Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) (với n  Z)

 36x + 20 = 4n2 + 4n

 36x + 21 = 4n2 + 4n + 1

 3(12x + 7) = (2n + 1)2

Do đó số chính phương (2n + 1)2 chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9

Ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3( 12x + 7) không chia hết cho 9 ( mâu thuẫn trên) Vậy không tồn tại số nguyên x thỏa mãn bài toán

Bài 18: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) để thỏa mãn phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2

Question 18: How many pairs of integers (x, y) are there to satisfy the equation:

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2

Lời giải:

Pt  (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2

 (x2 + 3x + 1 – 1)(x2 + 3x + 1 + 1) = y2

Đặt x2 + 3x + 1 = a (a  Z), ta được

a2 – 1 = y2  a2 – y2 = 1  (a + y)(a – y) = 1 (*)

Nếu y thỏa mãn phương trình thì –y cũng thỏa mãn phương trình

Giả sử y ≥ 0, từ (*) suy ra a + y = a – y  y = 0

Thay y = 0 vào pt đã cho ta có x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0

 x1 = 0 ; x2 = – 1 ; x3 = – 2 ; x4 = – 3

 y1 = y2 = y3 = y4 = 0

Vậy có 4 cặp số nguyên (x; y) là: (0; 0) , (– 1; 0) , (– 2; 0) , (– 3; 0)

Bài 19: Tìm tất cả các giá trị của x,y thỏa mãn đẳng thức: y2 + 2y + 4x = 2x+1 – 2

Question 19: Find all values of x, y to satisfy the identity: y2 + 2y + 4x = 2x+1 – 2

Lời giải:

Pt  (y2 + 2y + 1) + (4x – 2x+1 + 1) = 0

 (y + 1)2 + (2x – 1)2 = 0

 (2x – 1)2 = 0 và (y + 1)2 = 0

 x = 0 và y = – 1

Vậy có duy nhất cặp số (x; y) là (0; -1)

Bài 20: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1x  y 13

Question 20: Find the positive integer root of the equation : 1 1x y 13

Lời giải:

Do vai trò của x và y như nhau Giả sử x ≥ y

Vì 1 1x y 13 1 1 3

Mặt khác, do x ≥ y ≥ 1 nên 1 1 1 1 1 1 1 2 6

x  y� ��x y y y y (2)

Từ (1) và (2)  4 ≤ y ≤ 6

+) với y = 4 ta có: 1 1 1 1 12

x    �  (nhận) +) với y = 5 ta có: 1 1 1 2 15

x    �  (loại) +) với y = 6 ta có: 1 1 1 1 6

x    �  (nhận).

Vậy các nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình là: (4; 12) , (12; 4) , (6; 6)

Bài 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 9x + 2 = y2 + y

Question 21: Find the integer root of the equation 9x + 2 = y2 + y

Lời giải:

Pt  9x + 2 = y(y + 1) (1)

Ta có: 9x + 2 chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2

 y = 3k + 1 và y + 1 = 3k + 2 (k  Z)

Thay y = 3k + 1 vào (1) ta được 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)

 9x + 2 = 9k2 + 9k + 2  9x = 9k(k + 1)  x = k(k + 1) và y = 3k + 1 (k  Z)

Vậy pt có vô số nghiệm nguyên (x; y)

Bài 22: Tìm các giá trị nguyên của x và y để thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – x – y = 8

Question 22: Find the integer value of x and y satisfying the equation : x2 + y2 – x – y = 8 Trả lời:

Reply:

Lời giải:

Pt  4x2 + 4y2 – 4x – 4y = 32

 (4x2– 4x + 1) + (4y2 – 4y + 1) = 34

� 2x 12 2y  12 32 52 2 1 3

x y

 

�

� �

 

x y

 

�

� �

 

� Giải các hệ trên ta được các nghiệm nguyên (x; y) là: (2; 3) , (-1; -2) , (3; 2) , (-2; -1)

Bài 23: Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159

Question 23: Solve the equation 3x + 17y = 159 to find its integer roots.

Lời giải:

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình

Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y cũng chia hết cho 3  y chia hết cho 3 (vì 17 và 3 là nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t (t  Z), thay vào phương trình ta được

3x + 17 3t = 159  x + 17t = 53  x = 53 – 17t và y = 3t (t là số nguyên tùy ý)

Vậy pt có vô số nghiệm nguyên (x; y)

Bài 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 19x2 + 28y2 = 729

Question 24: Find positive integer roots of the equation: 19x2 + 28y2 = 729

Lời giải:

Pt  (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729

Ta thấy: 18x2 + 27y2 và 729 đều chia hết cho 3 nên x2 + y2 chia hết cho 3

Suy ra x và y đều chia hết cho 3

Đặt x = 3u và y = 3v (u,v  Z), thay vào phương trình đã cho và chia cả hai vế cho 9 ta được:

19u2 + 28v2 = 81 (1)

Từ (1) lập luận tương tự suy ra u = 3u1 và v = 3v1 (u1,v1  Z), thay vào phương trình (1) và chia cả hai vế cho 9 ta được: 19u1 + 28v1 = 9 (2)

Từ (2) suy ra u1 và v1 không đồng thời bằng 0

Do đó 19u12 + 28v12 ≥ 19 > 9 nên phương trình vô nghiệm

Bài 25: Tìm các nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

a) xy – x – y = 2 ; b) xy + x + y = 9

Question 25: Find the integer roots of each of the following equations:

a) xy – x –y = 2 ; b) xy + x + y = 9

Lời giải:

a) xy – x – y = 2  x(y – 1) – (y – 1) = 3  (x – 1)(y – 1) = 3

suy ra x – 1 và y – 1 đều thuộc ước của 3

Do vai trò của x và y như nhau, giả sử x ≥ y  x – 1 ≥ y – 1

Từ đó tìm được các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là: (4; 2) , (2; 4) , (0; -2) , (-2; 0)

b) xy + x + y = 9  x(y + 1) + (y + 1) = 10 (tương tự như câu a)

Bài 26: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 là một số chính phương

Question 26: Find the integer value of x so that the expression x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 is a square number

Lời giải:

Đặt y2 = x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 (y  Z)

 y2 = (x2 + x)2 + (x2 + x + 3)

Ta chứng minh a2 < y2 < (a + 2)2 với a = x2 + x để suy ra y2 = (a + 1)2

Thật vậy y2 – a2 = x2 + x + 3 = (x + 1

2)2 + 11

4 > 0  y2 > a2 (1) (a + 2)2 – y2 = x2 + x + 3 – (x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3) = 3x2 + 3x + 1 = 3(x + 1

2)2 + 1

4 > 0

 y2 < (a + 2)2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra y2 = (a + 1)2

 x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 = (x2 + x + 1)2

 x2 + x – 2 = 0  x = 1 hoặc x = - 2 thì biểu thức đã cho bằng 9 = 32

CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN VÀ NGHIỆM NGUYÊN

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức 2 3

2

x x



 là một số nguyên.

Bài 2: Tìm các số nguyên n để biểu thức 3 3 22 2 1

n n

Bài 3: Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích của chúng bằng 57120.

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0

Bài 5: Xác định giá trị của x và y để có đẳng thức 5x2 + 5y2 + 8xy = 2x – 2y – 2

Bài 6: Tìm ba số x, y, z sao cho biểu thức x2  5 y2  4 xy  10 x  22 y     x y z 26 có giá trị bằng 0

Bài 7: Tìm các số nguyên dương n để n1988 + n1987 + 1 là một số nguyên tố

Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5y2 = 345

Bài 9: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Bài 10: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5x

Bài 11: Xác định các số nguyên x, y, z để thỏa mãn x3 + 2y3 = 4z3

Bài 12: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 3 = y2

Bài 13: Tìm x và y biết 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y)

4

y y

x x

Bài 15: Xác định các số a và b sao cho đa thức x3 + 4x2 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x – 2

Bài 16: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2x + 57 = y2

Bài 17: Có bao nhiêu giá trị của x để 9x +5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Bài 18: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) để thỏa mãn phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2

Bài 19: Tìm tất cả các giá trị của x,y thỏa mãn đẳng thức: y2 + 2y + 4x = 2x+1 – 2

Bài 20: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1x y 13

Bài 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 9x + 2 = y2 + y

Bài 22: Tìm các giá trị nguyên của x và y để thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – x – y = 8

Bài 23: Giải phương trình với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159

Bài 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 19x2 + 28y2 = 729

Bài 25: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình: a) xy – x – y = 2 ; b) xy + x + y = 9