Viết phương trình đường thẳng trong không gian

Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là : “Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phư

Trang 1

Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập, không ngừngnâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác,chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vàothực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bàitoán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưngtheo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”,không để ý đến các tính chất hình học

Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìmcách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát Chính vì vậydẫn đến tình trạng

các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình đường thẳng trong không gian

Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy côđồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho họcsinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của

mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là :

“Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng

trong không gian”.

+) Véctơ chỉ phương của đường thẳng

Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học Bài toán viết phương trình đường thẳng cũng

chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường

minh

Dạng tường minh:

Trang 2

1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua.

2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương

Dạng không tường minh:

- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó, dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học, vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài

Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn trong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:

Bài toán 1:Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua

Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện khác của bài toán

Bài toán 2:Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.

Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai khi đứng trước một bài toán

Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý đến các

điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau:

+) Biết hai điểm đi qua

+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:

Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.

Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.

Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không được trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có được chấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào?

Các khắc phục không có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng tham số thông qua ví dụ sau:

Trang 3

Suy ra  đi qua

+) Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích có hướng của hai mặt phẳng

Vậy  có phương trình dạng tham số:

Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng cần hướng chohọc sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới

CƠ SỞ THỰC TIỄN

Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tôi thấy học sinh không còn lúng túng trước bài toán hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định, các em đã nắm chắc

nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ chỉ phương” Đa số các em học

sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết các bài tập SGK và bài tập sách bài tập

hình học nâng cao 12 Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho bài toán không? Từ đó kích

thích sự tò mò tìm cách giải mới cho mỗi bài toán cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lờigiải khá độc đáo khác cho bài toán Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin được trình bày nội dung

đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài toán đó được rút ra từ hai định hướng cớ bản nêu trên.

Bài toán 1:Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua

+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài

+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ

trong bài toán

Trang 4

+) Mặt phẳng ()  có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:

+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Các cách giải:

Cách 1:

Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng () nên song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ().Vậy  nhận làm véctơ chỉ phương nên có phương trình dạng tham số:

Cách 2: Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng () nên  là tập hợp các điểm sao cho:

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng 

(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)

Ví dụ 2

Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình của đường thẳng  qua và song

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

+) Quan hệ: Đường thẳng  song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có

phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

Trang 5

1) Đề cho:

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :

+) Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương

+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng và

Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:

Định hướng 1:

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng

Vậy đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng và

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng tại P

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng tại Q

Vậy đường thẳng  cũng là đường thẳng PQ

Từ đó dẫn đến các cách giải

Cách giải:

Cách 1:

 Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau  và

Vậy có hai chỉ phương là và , suy ra pháp tuyến của :

 Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau  và

Vậy có hai chỉ phương là và , suy ra pháp tuyến của :

Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương:

Hay  có phương trình:

Cách 2:

Gọi P là giao điểm của  và

Gọi Q là giao điểm của  và

Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng  nên thẳng hàng hay:

2

 Q� �2 Q 2 t';3 2 '; 1 t  t'

Trang 6

và đi qua A nên có phương trình:

Ví dụ 4

Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng  đi qua đồng thời

1) Đề cho:

+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :

+)Đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương

A P

AM u u

uuuur ur r

 1

AN u u

uuur uur r

 2

Trang 7

+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt

Đường thẳng  vuông góc với (có thể cắt hoặc không cắt)

Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:

Không thể dựa vào điều kiện  cắt vì mối qua hệ này không chắc chắn xảy ra.

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)

+)Đường thẳng  cắt đường thẳng tại P

+)Đường thẳng  vuông góc với nên

Suy ra đường thẳng  cũng là đường thẳng PA

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng nên xác định một mặt phẳng

+) Đường thẳng  vuông góc với nên xác định một mặt phẳng qua A và

Mặt khác chứa  nên đi qua A

Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với , nên nhận là véctơ pháp tuyến

Ví  là giao của và nên có chỉ phương

Trang 8

Ngoài hai cách giải trên, ta còn có thể tìm trực tiếp véctơ chỉ phương

-Cách 3: Gọi là chỉ phương của đường thẳng  cần tìm

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :

8

b c

Trang 9

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

Cách giải:

Gọi là mặt phẳng qua A và chứa d

Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với d

Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương:

Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với mỗi bài toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài toán

Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối với bài toán khác Như ví dụ sau:

Ví dụ 6

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu

Viết phương trình tiếp tuyến  với mặt cầu (S) biết tiếp tuyến đó đi qua và song song với mặt phẳng ()

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

r

Trang 10

Nếu chọn Tiếp tuyến cần tìm:

Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài

Bài toán 2:Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho trước và các mối quan hệ hình học.

+) Đường thẳng đi qua có chỉ phương

1

b a

5

b a

 M22;1;0 uur13; 1;1 

Trang 11

+) Quan hệ: Đường thẳng

Đường thẳng  cắt cả và

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng 

Cách giải:

Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với hai đường thẳng ,

Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)

Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với (P)

Trang 12

Mặt khác không vuông góc với (P) nên cắt đường

-thẳng qua M và vuông góc với (P)

Vây đường thẳng cần tìm  là đường thẳng qua M và

+)Đường thẳng đi qua có chỉ phương

+)Quan hệ: Đường thẳng vuông góc và cắt

Đường thẳng  vuông góc và cắt

Cách giải:

Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với và

Trang 13

Suy ra , , hay đường vuông góc chung có phương trình:

Cách 2: (Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng)

Ta có: su ra đường vuông góc chung có chỉ phương

Gọi () là mặt phẳng xác định bởi  và Vậy () đi qua điểm và có véctơ pháp

Gọi () là mặt phẳng xác định bởi  và Vậy () đi qua điểm và có véctơ pháp

Trong không gian tọa độ Oxyz

trình tham số của đường thẳng  nằm trong (P), cắt và vuông góc với d.

Trang 15

+) Đường thẳng đi qua có chỉ phương

+) Quan hệ: Đường phân giác  là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng xác định bởi và đồng thời cách đều cả hai đường thẳng đó

Cách giải:

Đường phân giác đi qua giao điểm A của hai đường thẳng và

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:

Đặt

Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác và

+) Phân giác có chỉ phương cùng phương với có tọa độ: nên có phương

Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) và cách d một khoảng là

1

2 2

u u v

uruuruur

2;3; 3

 P

 �

Trang 16

Đường thẳng

Cách giải:

Cách 1: Đường thẳng  có cùng chỉ phương với d

Điểm đi qua:

Gọi là hình chiếu của M trên đường thẳng , suy ra:

AM AM

t t

Trang 17

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình:

Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)

Đường thẳng cần tìm là giao của mặt phẳng (P) với mặt phẳng () vuông góc với (P) và cách d một khoảng bằng

Mặt phẳng () có véctơ pháp tuyến: nên phương trình có dạng:

13 14

27

d d

Trang 18

Gọi () là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Mặt phẳng () có pháp tuyến đi qua và cóvéctơ pháp tuyến

+) Đường thẳng d đi qua có chỉ phương

Cách giải:

Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)

Để xác định hai điểm đi qua của đường thẳng :

+) Nếu d cắt () tại N thì N là một điểm đi qua của , lấy một điểm M bất kì trên d không thuộc (), xác định hình chiếu M’ của M trên () Ta có hai điểm đi qua của .

+)Nếu d không cắt () thì lấy hai điểm phân biệt M, Ntrên d, xác định hinhd chiếu M’, N’ của M và N trên () Ta có hai điểm đi qua của .

Để xét sự tương giao của d và (), ta xét hệ:

Trang 19

Vậy d giao với () tại , đường thẳng  đi qua điểm N

Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với (), nhận véctơ pháp tuyến của () là chỉ phương Có

Cách 2: (Xác định hai mặt phẳng có giao là đường thẳng cần tìm)

Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng () , vậy

1 1

Trang 20

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:

Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm)

Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d, Hình chiếu d’ của d là tập dợp các điểm hình

chiếu của M trên mặt phẳng

Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vuông góc  của đường thẳng

trên mặt phẳng

Ví dụ 13

1.Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của  trên mặt phẳng ()

trên mặt phẳng ()

1) Đề cho:

 M11;1; 2  uur12;3;12

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	436,2 KB