Giải gần đúng phương trình vi phân

Giải gần đúng phương trình vi phân

Chương 6

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 :

Xét bài toán Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) của phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0

y’ = f(x, y), x  [a,b]a,b]

y(a) = y0Các phương pháp giải gần đúng :

 Công thức Euler

 Công thức Euler cải tiến

 Công thức Runge-Kutta

1 Công thức Euler :

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy

ta chia đoạn [a,b]a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n

xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b

Nghiệm gần đúng của bài toán là dãy {yk} gồm các giá trị gần đúng của hàm tại xk

Ta có yk  y(xk) , k =0, n

Giả sử bài toán có nghiệm duy nhất y(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]a,b]

Khai triển Taylor ta có

y(xk+1) = y(xk) + (xk+1-xk) y’(xk) + (xk+1-xk) 2 y’’(k)/2 với k  (xk, xk+1)

Công thức Euler :

yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1với h = xk+1 - xk

Ví dụ : Dùng công thức Euler tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy

y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1

y(0) = 0.5với n = 5

Tính sai số biết nghiệm chính xác là :

y(x) = (x+1)2 – 0.5ex

giải

ta có h = 0.2

x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1

Công thức Euler

y0 = 0.5

yk+1 = yk + h f(xk, yk) = yk + 0.2 (yk - xk2 +1)

2 Công thức Euler cải tiến :

yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, , n-1

k1 = hf(xk, yk),

k2 = hf(xk+h, yk + k1)với h = xk+1 - xk

Ví dụ : Dùng công thức Euler cải tiến tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy

y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1

y(0) = 0.5với n = 5

Tính sai số biết nghiệm chính xác là :

y(x) = (x+1)2 – 0.5ex

giải

ta có h = 0.2

x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1

Công thức Euler cải tiến

A = 0 (xk)

B = 0.5 (yk)

C = 0.2(B – A2 + 1) :

D = 0.2(B + C - (A+0.2)2 + 1):B=B + (C+D)/2:

A=A+0.2:

(A+1)2-0.5eA:Ans-B

3 Công thức Runge Kutta bậc 4 :

1

1 2

2 3

6 ( , )

Ví dụ : Xét bài toán Cauchy

y’ = 2.7xy + cos (x+2.7y), 1.2≤x

y(1.2) = 5.4Dùng công thức Runge-Kutta tính gần đúng y(1.5) với bước h = 0.3

xo = 1.2, yo = 5.4

y1 = y0 + (K1+ 2K2+ 2K3+ K4) /6

Công thức Runge-Kutta bậc 4

giải

K1= 0.3(2.7xoyo + cos(xo+2.7yo))

K2= 0.3(2.7(xo+0.3/2)(yo+K1/2) +cos(xo+0.3/2 +2.7(yo+K1/2))

K3= 0.3(2.7(xo+0.3/2)(yo+K2/2) +cos(xo+0.3/2 +2.7(yo+K2/2))

K4= 0.3(2.7(xo+0.3)(yo+K3) +cos(xo+0.3 +2.7(yo+K3)

Bấm máy ta được

K1 = 4.949578057 K2 = 8.367054617

K3 = 10.33000627 K4 = 19.41193853

y(1.5) = 15.69260639  15.6926

Ví dụ : Dùng công thức Runge-Kutta tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy

y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1

y(0) = 0.5với n = 5

Tính sai số biết nghiệm chính xác là :

y(x) = (x+1)2 – 0.5ex

giải

ta có h = 0.2

x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1

= 0.2(1.11yk – 1.11xk2 – 0.22xk + 1.099)

K4 = 0.2[a,b] yk+0.2(1.11yk–1.11xk2–0.22xk+1.099) – (xk+0.2)2 +1 ]

II GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PTVP :

Xét hệ phương trình vi phân cấp 1

y’1 = f1(x, y1, y2, , ym)y’2 = f2(x, y1, y2, , ym)

.y’m = fm(x, y1, y2, , ym)với a≤ x ≤ b và thỏa điều kiện ban đầu

y1(a) = 1, y2(a) = 2, , ym(a) = mNghiệm y = (y , y , …, y )

Để tìm nghiệm gần đúng, ta chia đoạn [a,b]a,b]

thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n và các điểm chia

Công thức Euler cải tiến :

Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng hệ pt vi phân

III GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP CAO:

Xét phương trình vi phân bậc m

y(m)(x) = f(x, y, y’, , y(m-1)), a≤x≤bvới điều kiện ban đầu

y(a) = 1, y’(a) = 2, , y(m-1)(a) = m

Đặt y1 = y, y2 = y’, y3 = y”, , ym = y(m-1)

Ta chuyển phương trình vi phân bậc m về hệ

m phương trình vi phân cấp 1

với điều kiện ban đầu

y1(a) = 1, y2(a) = 2, , ym(a) = m,

y’1 = y2y’2 = y3

y’m-1 = ymy’m = f(x, y, y’, , y(m-1))

Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng

pt vi phân cấp 2

y “ – 2 y’ + 2y = sinx e2x , 0≤x≤0.5 điều kiện ban đầu

y(0) = -0.4, y’(0) = -0.6với bước h = 0.1

So sánh với nghiệm chính xác biết nghiệm CX

y1(x) = 0.2e2x (sinx – 2cosx)

y2(x) = 0.2e2x(4sinx - 3cosx)=y’

đặt y1 = y, y2 = y’ chuyển pt về hệ

y’1 = y2y’2 = sinx e2x– 2 y1 + 2y2