A05 1 r TOÁN CAO cấp

- Nhớ bảng đạo hàm cơ bản, biết cách vận dụng để tính đạo hàm và vi phân của các hàm đa thức, mũ, logarit,…  Đọc TLHT, xem kỹ các ví dụ trong TLHT..  Khái niệm và kỹ năng cần thiết: -

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BAN CƠ BẢN

LƯU HÀNH NỘI BỘ

MỤC ĐÍCH

Tài liệu này nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ

xa nắm vững nội dung ôn tập và làm bài kiểm tra hết môn hiệu quả

Tài liệu này cần được sử dụng cùng với tài liệu học tập của môn học và bài giảng của giảng viên ôn tập tập trung theo chương trình đào tạo

NỘI DUNG HƯỚNG DẪN

Nội dung tài liệu này bao gồm các nội dung sau:

 Phần 1: Các nội dung trọng tâm của môn học Bao gồm các

nội dung trọng tâm của môn học được xác định dựa trên mục tiêu học tập, nghĩa là các kiến thức hoặc kỹ năng cốt lõi

mà người học cần có được khi hoàn thành môn học

 Phần 2: Cách thức ôn tập Mô tả cách thức để hệ thống hóa

kiến thức và luyện tập kỹ năng để đạt được những nội dung trọng tâm

 Phần 3: Hướng dẫn làm bài kiểm tra Mô tả hình thức kiểm

tra và đề thi, hướng dẫn cách làm bài và trình bày bài làm và lưu ý về những sai sót thường gặp, hoặc những nỗ lực có thể được đánh giá cao trong bài làm

 Phần 4: Đề thi mẫu và đáp án Cung cấp một đề thi mẫu và

đáp án, có tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra và cách thức làm bài thi

(Bảng chi tiết đính kèm)

TRƯỞNG BAN CƠ BẢN

Ninh Xuân Hương

Phần 1

CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM

Chương 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1.1 Đạo hàm và vi phân

1.2 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị

1.3 Phân tích một số bài toán kinh tế

Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2.1 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần

2.2 Cực trị địa phương, cưc trị có điều kiện

2.3 Ứng dụng vào bài toán kinh tế

Chương 3: MA TRẬN

3.1 Định nghĩa và các phép toán

3.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

3.3 Tìm ma trận nghịch đảo

Chương 4: ĐỊNH THỨC

4.1 Định nghĩa, các phương pháp tính và tính chất 4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1 Định nghĩa và phương pháp Gauss-Jordan

5.2 Hệ thuần nhất và phương pháp Cramer

5.3 Mô hình cân bằng tuyến tính

Phần 2

CÁCH THỨC ÔN TẬP

Chương 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

o Đạo hàm và vi phân :

 Các khái niệm và kỹ năng cần nắm vững: đạo hàm, vi phân

- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và vi phân

- Nhớ bảng đạo hàm cơ bản, biết cách vận dụng để tính đạo hàm và vi phân của các hàm đa thức, mũ, logarit,…

 Đọc TLHT, xem kỹ các ví dụ trong TLHT

 Làm bài tập 1,8

o Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị

 Khái niệm và kỹ năng cần thiết:

- Nắm được các phuơng pháp tìm cực trị của hàm số, đặc biệt phải biết cách xét dấu của một biểu thức

 Đọc TLHT, xem kỹ các ví dụ trong TLHT

 Làm bài tập 14

o Phân tích một số bài toán kinh tế

 Kiến thức và kỹ năng cần thiết :

- Nhớ được biểu thức toán học của biên tế, hệ số co giãn, giải được bài toán lợi nhuận cực đại

- Áp dụng chính xác các công thức để tính các đại lượng kinh tế

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 18

Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

o Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần

 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững: đạo hàm riêng, vi phân toàn phần

- Công thức tính vi phân toàn phần cấp 1, cấp 2

- Cần ghi nhớ : đối với hàm z  f x y   , có hai biến x, y , khi tính đạo hàm riêng theo biến x (zx ) ta coi y là hằng số, và

ngược lại khi tính đạo hàm riêng theo biến y, coi x là hằng

số Khi đó, việc tính đạo hàm riêng giống như tính đạo hàm của hàm 1 biến

- Xem kỹ các ví dụ được trình bày trong TLHT

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 2, 3,7,8,9

o Cực trị địa phương, cưc trị có điều kiện

 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững :

- Cực đại và cực tiểu địa phương, cực đại và cực tiểu có điều kiện

- Các bước tìm cực trị địa phương

- Biết dùng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện

Chú ý: Nếu từ điều kiện    x y ,  0 ta tính được y theo x: y     x thì bằng cách thay y     x vào z ta

xem z như hàm một biến Khi đó có thể tìm cực trị của hàm z như hàm theo biến x ( làm tương tự nếu tính được x theo y)

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 10, 11

o Ứng dụng vào bài toán kinh tế

 Khái niệm và kỹ năng cần thiết:

- Ứng dụng tìm cực trị địa phuơng để giải được bài toán tìm sản luợng để lợi nhuận cực đại trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo và trong điều kiện sản xuất độc quyền

- Ứng dụng cực trị có điều kiện để giải được bài toán người tiêu dùng

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 12,13,14

Chương 3: MA TRẬN

o Định nghĩa và các phép toán

 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững:

- Nhận dạng được các loại ma trận, sử dụng được các phép toán ma trận

- Đặc biệt đối với phép nhân hai ma trận, cần nắm vững điều kiện khi nào thì nhân được và quy tắc nhân hai

ma trận

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 1

o Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững:

- Ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ma trận bậc thang, hạng của ma trận

- Biết cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về ma trận bậc thang tương đương

- Biết cách tìm hạng của ma trận

 Đọc TLHT

 Đọc kỹ các ví dụ

o Tìm ma trận nghịch đảo

 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững: Ma trận khả nghịch,

- Biết cách tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

- Biết giải phương trình ma trận Chú ý phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán nên chú ý thứ tự A và X: Nếu tồn tại A1 thì A X   B X  A B1. và

1

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 4

Chương 4: ĐỊNH THỨC

o Định nghĩa, các phương pháp tính định thức và tính chất

 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết:

- Hiểu được định nghĩa và tính được định thức

- Biết vận dụng các tính chất của định thức để tính định thức

- Khi tính định thức các phép biến đổi được áp dụng cho cả dòng và cột

- Đặc biệt, biết sử dụng quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3

- Lỗi sai thuờng gặp khi tính định thức: không đổi dấu định thức khi đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột)

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 1,2

o Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức

 Các khái niệm và kỹ năng cần nắm vững:

- Tìm được điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

- Hiểu rõ khái niệm ma trận các đồng thừa (phần phụ đại số), ma trận phó

- Công thức tính ma trận nghịch đảo

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 7

Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

o Định nghĩa và phương pháp Gauss-Jordan

 Khái niệm và kỹ năng cần thiết: Hệ phương trình tuyến tính, phương pháp Gauss – Jordan

- Kỹ năng sử dụng các phép biến đổi trên dòng của ma trận để tìm ma trận bậc thang tương đương Nắm vững định lý Kronecker – Capelli

- Lỗi hay mắc: không xác định được hạng của ma trận

hệ số và hạng của ma trận mở rộng từ đó không kết luận đuợc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trong các trường hợp

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 7

o Hệ thuần nhất và phương pháp Cramer

 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết: Quy tắc Cramer

- Tính thành thạo định thức Áp dụng công thức nghiệm của hệ Cramer

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 8

o Mô hình cân bằng tuyến tính:

 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết:

- Hiểu được mô hình cân bằng tuyến tính

- Biết áp dụng quy tắc Cramer để tìm đơn giá tại thời điểm cân bằng thị trường

 Đọc TLHT

 Làm bài tập 1, 2

o Mô hình Input-Output

 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết:

- Hiểu được mô hình input – output mở Letiontief: giải thích được ý nghĩa của các hệ số của ma trận hệ

số đầu vào

- Tính được sản lượng của các ngành kinh tế, chi phí nguyên liệu đầu vào và nhu cầu của ngành kinh tế mở

 Đọc TLHT

Phần 3

HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA

a Hình thức kiểm tra và kết cấu đề:

Đề kiểm tra được ra theo hình thức tự luận, thời gian 90 phút Sinh viên được phép sử dụng tài liệu giấy

Đề gồm có 5 bài, điểm và nội dung mỗi bài được phân phối như sau:

o Bài 1 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 1 (Phép

tính vi phân hàm một biến):

 Tính đạo hàm, tìm cực trị của hàm số 1 biến

 Ứng dụng cực trị hàm một biến trong kinh tế: Bài toán lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận cực đại

o Bài 2 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 2 (Phép

tính vi phân hàm nhiều biến), trong đó:

 Tìm đạo hàm riêng hoặc vi phân toàn phần cấp 1 hoặc cấp 2 của hàm số 2 biến Tìm cực trị (cục bộ) của hàm hai biến

 Ứng dụng trong kinh tế: Bài toán lập kế hoạch sản xuất

để đạt lợi nhuận cực đại (trong điều kiện kinh doanh hoàn hảo hoặc độc quyền)

o Bài 3 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 3 (Ma

trận), trong đó tập trung vào tìm dạng nghịch đảo (nếu

có) của một ma trận vuông cấp 3

o Bài 4 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 4 (Định

thức)trong đó tập trung vào các phương pháp tính định

thức của một ma trận vuông( đến cấp 4)

o Bài 5 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 5 (Hệ

phương trình tuyến tính) trong đó:

 Giải một hệ phương trình tuyến tính (có 3 hoặc 4 ẩn) Yêu cầu phải trình bày từng bước giải, không được dùng máy tính để tìm ngay ra nghiêm

 Ứng dụng trong kinh tế: Mô hình cân bằng tuyến tính (hay tìm điểm cân bằng thị trường)

Lưu ý: trong hai bài 1 và 2, phải có ít nhất một bài ứng dụng

trong kinh tế

b Hướng dẫn làm bài phần tự luận:

Yêu cầu chung:

o Trước hết phải đọc thật kỹ đề bài để làm đúng và vừa đủ theo yêu cầu của bài Làm thừa hoặc không đúng phương pháp so với yêu cầu sẽ không được tính điểm

o Không cần làm bài theo thứ tự Câu dễ làm trước

o Các yêu cầu tính toán cần làm cẩn thận để tránh bỏ sót

o Bài làm phải thật chi tiết, không viết tắt, các kí hiệu toán học phải viết rõ ràng và thống nhất

Hướng dẫn cụ thể

o Chương 1: Khi tìm cực trị, trước hết phải tìm miền xác

định của hàm số Tìm điểm dừng thuộc miền xác định, Sau đó có thể dùng một trong hai cách sau để tìm cực trị: 1) Lập bảng xét dấu ý, suy ra cực trị

Trong các bài toán kinh tế, sau khi tính toán xong phải kiểm chứng tính đúng đắn( phải dương) của các đại lượng như chi phí, doanh thu, hàm cung, hàm cầu,

o Chương 2: Lưu ý kĩ yêu cầu đề bài: tính đạo hàm riêng

hay vi phân toàn phần, cấp 1 hay cấp 2 Đối với vi phân toàn phần cấp 2, nhớ nhân 2 vào Z”xy

o Chương 3:

Trước khi tìm ma trận nghịch đảo cần kiểm tra điều kiện khả nghịch của ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 3 bằng một trong hai cách

1) Dùng phương pháp Gauss: cần ghi rõ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

2) Dùng định thức: Cần nhớ chính xác công thức

det

A

  Trình bày cụ thể các bước tính định thức và ma trận phó (adj A)

Khi giải xong cần thử lại ngoài giấy nháp (nhân ma trận tìm được với ma trận ban đầu phải bằng ma trận đơn vị I

để kiểm tra)

o Chương 4: Tính định thức:

- Chú ý khi tính định thức có thể biến đổi trên cả dòng

và cột

- Nhớ đổi dấu định thức khi đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột

- Khi tính định thức cần lưu ý dấu của định thức

o Chương 5: Giải hệ phương trình tuyến tính có thể bằng hai cách

1) Phương pháp Gauss ( dùng cho mọi loại hệ ) chú ý thực hiện chính xác các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

2) Quy tắc Cramer cho hệ Cramer

Cả hai cách trên đều phải trình bày từng bước giải Tuyệt đối không bấm máy tính ra ngay nghiệm của hệ

o Chép bài người khác sẽ không được tính điểm

Phần 4

ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI

MÔN: TOÁN CAO CẤP NĂM HỌC:

LỚP: HỆ: ĐTTX

Thời gian làm bài: 90 phút SV được sử dụng tài liệu

Câu 1(2 điểm): Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản

phẩm Q và bán với giá P, biết hàm cầu QD = D(P) = 656 P

2

 và hàm tổng chi phí là C = C(Q) = Q3 – 77Q2 + 1000Q + 40.000 Hãy xác định mức sản lượng sản phẩm Q để công ty có lợi nhuận cao nhất

Câu 2(2 điểm): Tìm cực trị của hàm số hai biến:

18

z  x  y  xy

Câu 3(2 điểm):

Cho ma trận:

A

Hãy tìm A -1(nếu có)

Câu 4 (2 điểm):Hãy tính định thức của ma trận sau:

1 1 1 1

2 3 1 0

1 1 1 1

B



Câu 5 (2 điểm): Giải hệ phương trình tuyến tính sau:









ĐÁP ÁN

Câu 1:

Từ hàm cầu 656 1312 2

2

P

1312 2 1312 2

3 2

1312 2 77 1000 40000

75 312 40000

L R C

 

Bài toán trở thành tìm Q sao cho L cực đại

Ta có: L'   3 Q2 150 Q  312

52

Q L

Q

 



    

Ta loại nghiệm Q = -2 do Q là sản lượng nên luôn dương

Ta có: L"   6 Q  150  L"Q52   6.52 150    162  0

=> L đạt cực đại khi Q = 52 với Lmax = 38.416

Khi đó: Doanh thu R = 62.816 và Chi phí C = 24.400

Câu 2: Tìm cực trị của hàm số hai biến: z    x3 y3 18 xy

Ta có

3 18 ; 3 18

2

2

3 18 0

3 18 0



=> Có 2 điểm dừng M1(0;0) và M2(6;6)

Ta có: 2 2

" " "

6 ; 6 ; xy 18

* Tại điểm dừng M1(0;0):

Đặt

 

 

 

2

2

"

"

"

x

xy

y

A Z

B Z

 2 2

18 0.0 324 0

=> Z không đạt cực trị tại M1(0;0)

* Tại điểm dừng M2(6;6):

Đặt

 

 

 

2

2

"

"

"

6;6 6.6 36

x

xy

y

A Z

B Z

C Z

2

B AC

        

Vì

972 0

36 0

A





Câu 3 (2 điểm): Cho ma trận:

A

Hãy tìm ma

trận nghịch đảo A -1(nếu có)

Ta có:

     

       

     

       

1 1 3

3 3 6 2 1

1 1 4 2 4 3

A I

 

   

 

Câu 4 (2 điểm): Hãy tính định thức của ma trận sau:

B



Ta có:

(2) (2) 2(1) (3) (3) (1) (4) (4) (2) (4) (4) (1)

2 2

6

3 0

B

B

 

 

Câu 5 (2 điểm):

Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

 

*









Đặt :

1 2 3 4

x x

x x

 

 

 

 

Thì (*) < = > A.X = B

Ta có :

 

   

(2) (2) 2(1) (3) (3) 3(1) (4) (4) 2(1)

(2) (2) (3)

(3) 3 7 2

|

1 2 3 1 2

0 1 2 3 6

0 7 10 4 1

0 0 5 3 1

A B

 

 

 

 

 

(3) 3 4 (4) 4 5 3

1 2 3 1 2

0 1 2 3 6

0 0 4 18 43

0 0 5 3 1

0 0 1 14 44 0 0 1 14 44

0 0 5 3 1 0 0 0 73 219

Thay vào hệ phương trình, ta có:

4

2

1

1

x

x







Kết luận: Vậy hệ PT trên có nghiệm:

4 2 3 4

1 1 2 3

x x x x





  



 



 



MỤC LỤC

Phần 1 CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM 3

Phần 2 CÁCH THỨC ÔN TẬP 4

Phần 3 HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA 10

Phần 4 ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN 14