Rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải các bài toán cực trị trong số phức bằng việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng

Tuy nhiên, kể từ khi thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dành cho các bài toán về số phức trong đề xuất hiện thêm nhiều bài toán khó ở mức độ “vận d

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn Toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án Đây thực sự là một thách thức lớn

Trong những năm trước đây, kể từ khi được đưa vào chương trình mới, các bài toán về số phức xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh ĐH – CĐ, trong cấu trúc chung của đề thi giai đoạn này các bài toán

về số phức thường nằm ở mức độ “nhận biết, thông hiểu”, hầu hết học sinh chỉ cần nắm chắc kiến thức cơ bản là có thể lấy điểm phần này Tuy nhiên, kể từ khi thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dành cho các bài toán về số phức trong đề xuất hiện thêm nhiều bài toán khó ở mức

độ “vận dụng, vận dụng cao”, trong đó có lẽ lớp các bài toán về “cực trị số phức” gây ra không ít khó khăn cho cả người dạy lẫn người học nhất Bởi vậy,

tìm ra ngọn nguồn của bài toán đó sẽ góp phần giúp cho cả giáo viên, học sinh tiếp cận bài toán một cách linh hoạt hơn, từ đó làm tăng tính hiệu quả trong việc giảng dạy, ôn tập môn Toán nói chung và chủ đề số phức nói riêng

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài

toán khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính

toán sẽ rất cồng kềnh, phức tạp nên rất khó để giải quyết được vấn đề trong một khoảng thời gian ngắn Đây phải chăng là một hướng tiếp cận khoa học và triệt

để hơn? Áp dụng phương pháp đó có giúp học sinh giải quyết được vấn đề thời gian khi giải toán? Có thể giúp giáo viên tự tạo ra được các bài toán tương tự để phục vụ cho công tác giảng dạy của mình?

Những câu hỏi đó đã thôi thúc tôi tìm hiểu thông qua các tài liêu; đề thi thử,

chính thức các năm 2017 và 2018 Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài “ Rèn Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức Bằng Việc Khai Thác Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng”

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung

vào mối quan hệ giữa các kiến thức về số phức với các kiến thức về hình học tọa

độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức

2 Phạm vi nghiên cứu: Để thực hiện đề tài này, tôi đã nghiên cứu dựa trên

các tài liệu viết về số phức, các dạng bài toán về cực trị số phức, cực trị trong hình học phẳng (đã giảng dạy trong chương trình hình học lớp 10) cũng như các dạng toán có liên quan thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề thi THPT quốc gia Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán cực trị trong số phức như biến đổi đại số sử dụng kiến thức về hàm số, kiến thức về BĐT, kiến thức về vectơ, tuy nhiên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài tôi chỉ tập trung vào các vấn đề chính như sau:

 Tiếp cận một số bài toán “cực trị trong số phức” theo hướng hình học

 Đưa ra phương pháp xây dựng các bài toán tương tự để làm tài liệu giảng dạy cho GV

 Đưa ra các ví dụ minh họa cho lập luận của mình

III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

1 Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp

12 tiếp cận bài toán “cực trị trong số phức” một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ

đó cung cấp, rèn luyện cho các em các kỹ năng giải và trình bày dạng toán này Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề số phức thuộc bộ môn Toán ở trường trung học Phổ thông

2 Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đúc

rút các kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ đó xây dựng và trình bày một cách

có hệ thống các kiến thức, phương pháp giải toán và các bài tập điển hình của bài toán “cực trị trong số phức” Ghi chép và tổng hợp các kết quả thực nghiệm thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy

IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

Trong thực tiễn giảng dạy chủ đề số phức, ta bắt gặp các bài toán “cực trị trong số phức”, nếu người giáo viên có thể hệ thống một cách ngắn gọn nhưng đầy đủ lý thuyết, đồng thời xây dựng được hợp lý các phương pháp áp dụng lý thuyết đó vào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này Từ đó phát huy, khơi dậy khả năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán

đồng thời gây hứng thú học tập cho các em

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả

thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và

đi đến kết luận

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán

VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI:

Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình và bước đầu đã thu được những kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đều đã khá chủ động và tự tin khi đối mặt với bài toán “cực trị trong số phức” nói chung Qua đó phát huy được tính tích cực, tư duy độc lập sáng tạo của mình trong việc giải toán

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

I.1 Cơ sở lý thuyết của đề tài:

 Số phức liên hợp của số phức z a biđược kí hiệu là z và z a bi

 Hai số phức bằng nhau: Cho z1 a1 b i z1, 2 a2b i2 , khi đó

c Biểu diễn hình học của số phức và một số mở rộng:

 Biểu diễn hình học của số phức z x yi với x y,  trên mặt phẳng tọa độ

là điểm M x y ; Khi đó z OM

 Biểu diễn hình học của hai số phức z và z là hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z và z lần lượt là các hình

   C , C' thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục Ox

 Nếu điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 là A B, thì

 với M là trung điểm đoạn AB

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 là A B, Số phức z thay đổi thỏa mãn zz1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung trực của đoạn

AB

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 là A B, Số phức z thay đổi thỏa mãn zz1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z

thay đổi thỏa mãn zz0  R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z chính là đường tròn tâm I bán kính R

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z

thay đổi thỏa mãn zz0  R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền trong đường tròn tâm I bán kính R

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z

thay đổi thỏa mãn zz0  R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền ngoài đường tròn tâm I bán kính R

 Cho hai số phức z z1, 2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A B, Một số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1 z z2   a 0 Khi đó:

+) Nếu z1z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận A B, làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a

+) Nếu z1z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB

I.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài:

Trong thực tế hiện nay khi gặp các dạng toán “cực trị trong số phức” được phát triển từ bài toán “cực trị trong hình học phẳng” thường làm các học sinh kể

cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kết quả mong đợi

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian

để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số

Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như là gặp những bài toán mới

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như cách giải đơn giản, thuận lợi để kết thúc bài toán

II CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: II.1 VẤN ĐỀ 1: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng:

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A và đường thẳng  d Tìm điểm M chạy trên đường thẳng  d sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất

a Hướng dẫn giải:

(d) d(M,d)

A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d

Khi đó AM AH, nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d và AMmin AH d M d , 

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được

một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+) Cho số phức z x yi ( ,x y ) sao cho ax by  c 0 ( , ,a b c )

+) Cho số phức z thỏa mãn zz1  z z2 với z z1, 2 là hai số phức đã biết

c Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d :x 2y  1 0

Với mỗi điểm M x y ; biểu diễn số phức z x yithi z OM OH với H

là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng  d và OH là khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng  d

Bài tập 3: [Thi thử chuyên Võ Nguyên Giáp lần 1 năm 2017]

Biết số phức z x yi, x, y   thỏa mãn điều kiện z  2 4i  z 2i có mô đun nhỏ nhất Tính 2 2

Với mỗi điểm M x y ; biểu diễn số phức z x yithì z OM OH với H

là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng  d và OH là khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng  d

Vậy z nhỏ nhất khi x 2, y 2 Khi đó P 8

Bài tập 4: [Thi thử chuyên ĐH Vinh – Nghệ an - Lần 2 năm 2017]

Cho các số phức z w, thỏa mãn z  2 2i  z 4 ,i w iz 1. Giá trị nhỏ nhất của

Gọi A 2; 2 ,  B 0; 4 và M là điểm biểu diễn số phức z

Từ đề bài ta có:MAMB, hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn

AB Quỹ tích điểm M là đường thẳng  d :x  y 2 0

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Bài tâp 4

Bài tâp 6: [ Thi thử Sở GD – Long An - 2018] Cho các số phức z thỏa mãn

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Bài tâp 4

Bài tâp 7: Cho số phức z thỏa mãn uz 3 i z 1 3ilà một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Từ hai trường hợp  Min z i 1

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng  d Điểm M chạy trên đường thẳng  d sao cho tổng độ dài đoạn

AM BM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM BM

a Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp

+) Trường hợp 1 : hai điểm A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng  d

(d) D

B M

Ta có MAMBAB nên MA MB min  AB, đạt được khi M AB ( )d

+) Trường hợp 2 : hai điểm A, B cùng phía đối với đường thẳng  d

(d) D

M A B Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là  d Khi đó bài toán

số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện nhanh

yếu tố hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ

để xác định nhanh vị trí của A B, với đường thẳng  d

d B

A

M M'

d H

A

B

A'

M M'

Bài toán trở về: Tìm điểm M (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ

nhất

Ta thấy A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

Gọi A’(1 ; -1) là điểm đối xứng của A qua d

Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

 P = MA + MB ≥ AB Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = AB  d

 Pmin = AB  17

Ta còn có thể mở rộng bài toán như sau:

Bài tâp 13: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i  z 2i Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2i   z 1 2i

Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

 P MA MB  MA'MB  A B'

Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = A’B  d

d H

B

A

A'

M M'

Gọi H = AA’  d  H  d và H là trung điểm AA’

Dễ dàng thấy IMmin IHvà IMmax  maxIA IB; 

+) Trường hợp 2 : điểm H nằm ngoài đoạn AB

I

H B

Dễ dàng thấy IMmin  minIA IB;  và IMmax  maxIA IB; 

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:

 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó

 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mô-đun zz0 với z0 là một số phức đã biết

 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z z, 0 lần lượt là M I, Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là AB Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được

một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng Điều kiện kiểu này chủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MAMBAB Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số

dạng sau:

+) Cho số phức z thỏa mãn z  z1 z z2 a với z z1, 2 là hai số phức đã biết

và z1 z2 a.(Đây là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở phần cơ sở lý thuyết)

+) Cho số phức z thỏa mãn z  z1 z z2 nhỏ nhất với z z1, 2 là hai số phức đã biết

Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn z là phần đường thẳng bị giới hạn

ở miền trong đường tròn, elip Chẳng hạn như:

+) Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường thẳng, điều kiện còn lại là zz0 r hoặc z  z1 z z2  2a

c Ví dụ minh họa:

Bài tâp 14: [ Thi thử THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018] Xét số phức z thỏa mãn z     2 i z 4 7i  6 2 Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1 i Tính P m M

Hướng dẫn giải:

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, gọi A 2;1 ,  B 4;7

Từ giả thiết z     2 i z 4 7i  6 2 MA MB  AB Quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB

Gọi I1; 1   thì z   1 i IM

Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB

nằm trong đoạn AB Lại có: 13, 73, ( ; ) 5 2

Bài tâp 15: [ Thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình - 2018]

Xét số phức z thỏa mãn z  1 2i   z 2 2i nhỏ nhất Gọi m,M lần lượt là giá trị

Gọi I 0; 4 thì z 4i IM

Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB

nằm ngoài đoạn AB Lại có:IA 5,IB 2 10  P 2 2

Bài tâp 16: Xét số phức z thỏa mãn 2 8 8

z i

A 4 B 3 C 6 5

5 D 2 5

Hướng dẫn giải:

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Vì z    2 z 8 8i nên M thuộc đường thẳng  d : 2x  y 10  0

Mà z  5 nên M thuộc miền trong đường tròn   2 2

Lại có  d cắt  C tại hai điểm phân biệt A(3; 4), (5; 0)B nên quỹ tích điểm

M là đoạn thẳng AB Gọi I 0; 4 thì z 4i IM

Vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng

 d nằm ngoài đoạn AB mà IA 41,IB 3 nên z 4imin  3

Bài tâp 17: Cho số phức z thỏa mãn z    1 i z 3 2i  5 Gọi M, m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M+ m

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi

Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1)  z  1 i MI

II.2 VẤN ĐỀ 2: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn  C có

tâm I bán kính R Điểm M thay đổi trên đường tròn  C Xác định vị trí điểm

Mđể độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này

M

a Hướng dẫn giải: Ta xét ba trường hợp

+) Trường hợp 1: Điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn  C

 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z z, 0 lần lượt là M A, Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là  C Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được

một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường tròn Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+) Cho số phức z thỏa mãn zz0 R với z0 là hai số phức đã biết

+) Cho số phức z thỏa mãn zz1 k zz2 với z z1, 2 là hai số phức đã biết và 0

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Vì z2  4i  2 nên quỹ tích điểm M là đường tròn  C tâm I 2; 4 bán kính 2

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

Vì z  2 nên quỹ tích điểm M là đường tròn  C tâm O bán kính R 2

