Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình học không gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ

Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài toán mà học sinh khóđịnh hướng về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâmlý e ngại khi gặp yêu cầu có yếu tố l

MỤC LỤC

Trang

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung 1

2.1 Cơ sở lý luận 1

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng đề tài 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề ……… 2

2.3.1 Phương pháp sử dụng tính chất hình học……… ………… 2

2.3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản……… ……… 6

2.3.3 Phương pháp sử dụng kĩ thuật đặt biến để đưa về xét cực trị hàm số ….12

2.3.4 Phương pháp sử dụng kĩ thuật trải hình……… .17

2.4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm………… .19

3 Kết luận, kiến nghị 20

Kết luận 20

Kiến nghị……… ……… … 20

Tài liệu tham khảo 21

Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài toán mà học sinh khóđịnh hướng về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâm

lý e ngại khi gặp yêu cầu có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất (do quan niệm nhất quánrằng, câu hỏi về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là câu hỏi khó nhấttrong nhiều kỳ thi như học sinh giỏi các cấp, thi THPT quốc gia hay thi ĐH, CĐtrước đây) Để giải được lớp các bài toán này, chúng ta cần một kiến thức tươngđối tổng hợp về véc tơ, về hình học đơn thuần, về bất đẳng thức, về hàm số…

Với những lý do trên, nhằm giúp học sinh hứng thú hơn với môn Toán vàđặc biệt là hình học, góp phần hình thành tư duy quy lạ về quen, vận dụng linhhoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên

cứu tìm tòi và sáng tạo, tôi trình bày chuyên đề “ Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình học không gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình họckhông gian liên quan đến khối chóp và lăng trụ

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này xoay quanh các dạngtoán cực trị hình học không gian như: tìm hoặc xác định các yếu tố của khốichóp, lăng trụ để thể tích lớn nhất, nhỏ nhất; chu vi một đa giác lớn nhất, nhỏnhất

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sauđây:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp khái quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

2.NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phươngpháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trởthành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán.Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nângcao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).

Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới hai cáchlàm là phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và phương pháp hàm số.Chuyên đề cố gắng khắc phục điểm yếu về kĩ năng sử dụng bất đẳng thức Cô-sicho học sinh

2.2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.

- Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản trong hình học không gian,

không biết vận dụng các kiến thức về véc tơ, bất đẳng thức, hàm số

- Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài toán có yêu cầu về giá trị

Ví dụ 1 Cho hình chóp .S ABC có SA a= , SB=a 2, SC =a 3 Tính thểtích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

6.3

a

V = D.

3 max

6.6

Dấu '' ''= xảy ra khi SA SB SC đôi một vuông góc với nhau., ,

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là

3 max

A

H

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD có AB=3a, AC=4a, AD=5a Gọi M N P, ,lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB , DBC , DCA Tính thể tích V của tứ diện DMNP khi thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

.

2

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABC có SA= x (0< <x 3), tất cả các cạnh còn lại

đều bằng 1 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

A

max

1.4

V = [2].

Giải

Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1

Gọi N là trung điểm BC Trong tam giác SAN , kẻ SH ^AN ( )1

● SN là đường cao của tam giác đều 3.

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra SH ^(ABC).

Diện tích tam giác đều ABC là 3.

Ví dụ 4 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB= và các cạnh còn lại đều bằngx

2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

C

B A

S

x

4

N H

C B

A

x

Tam giác BCD đều cạnh bằng 2 3Þ BN = 3

ABCD

V lớn nhất H º N Khi đó ANB vuông.

Trong tam giác vuông cân ANB , có

2 3 2

AB=BN = Chọn A

Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh

bên SA b= và SA^(ABCD) Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình

chiếu vuông góc của S trên BM Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

a b

[2]

Giải Cách 1.

đường tròn đường kính AB.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh

Nhận xét: AH BH ràng buộc với nhau bởi một đại lượng không đổi là AB nên,

ta có cách giải khác bằng kiến thức bất đẳng thức Cô-si như sau:

V = Û HA=HB Û H trùng với tâm đáy hay M trùng với D.

Ví dụ 6 Cho hình chóp đều S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên

bằng 2 3

3

a và O là tâm của đáy Mặt phẳng ( ) P thay đổi chứa SO và cắt các

đoạn thẳng AB,AC lần lượt tại các điểm M, N( M,N khác A) Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM Khi góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính AM2+AN2

A a 2 B

2

3.4

a

D

2

8.9

a

[4]

Giải.

Gọi H là hình chiếu của A trên MN , ta có AH MN AH (SMN)

2

2 33

Nhận xét: Nếu chỉ là nhận biết nhanh kết quả trong một câu hỏi trắc nghiệm,

giáo viên cũng nên chỉ cho học sinh thấy, MN qua O và cần có một vị trí đặc biệt thì chỉ có trường hợp MN song song với BC Từ đó dẫn tới được kết quả.

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC đều cạnh a Một điểm M thay đổi trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABC ) tại A ( M khác A ) Gọi H , O lần lượt là trực tâm tam giác MBC và ABC Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OHBC bằng:

khối tứ diện OHBC lớn nhất khi HH' lớn nhất

Do H chạy trên đường tròn đường kính OD nên HH' lớn nhấtÛ

2.3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản

Trong phương pháp này, học sinh cần được rèn luyện kĩ năng sử dụng và biết cách chọn “điểm rơi” trong khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Ví dụ 1 Trên ba tia Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các, ,

điểm , ,A B C sao cho OA=a OB, =b OC, = Giả sử c A cố định còn ,B Cthay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA OB OC= + Tính thể tích lớn nhất Vmax của

khối tứ diện OABC

Gọi , , a b c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Khi đó Stp=2(ab bc ca+ + ).Theo giả thiết ta có a2+ + =b2 c2 AC'2=18.Từ bất đẳng thức a2+ + ³b2 c2 ab bc ca+ + , suy ra

Ví dụ 3 Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài

đường chéo bằng 6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.

A Vmax =16 2. B Vmax =12. C Vmax =8 2. D Vmax =6 6. [2].

Giải Giả sử , , a b c là các kích thước của hình hộp chữ nhật.Độ dài đường chéo của

hình chữ nhật là a2+ +b2 c2 Tổng diện tích các mặt là 2(ab bc ca+ + ).Theo giả thiết ta có ( )

.366

Xét hàm số f a( )= -a3 6 2a2+18a với aÎ (0;4 2 ,ù

ú

û ta được (max0;4 2 f x( ) f( )2 f(4 2) 8 2

a b c

V =abc£æçç + + ÷ö÷=

÷

không xảy ra

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh

bên SA= y ( y> và vuông góc với mặt đáy 0) (ABCD Trên cạnh ) AD lấyđiểm M và đặt AM = x (0< < Tính thể tích lớn nhất x a) Vmax của khối chóp

A

3 max

3.3

a

V = B

3 max

3.8

a

V = C

3 max

3.24

a

V = D

3 max

.8

Nhận xét: Khi dùng BĐT Cô-si đánh giá theo chiều tích sang tổng thì cần thêm

bớt hệ số để vế bên tổng triệt tiêu biến x.

Cách 2.Xét hàm f x( ) (= +a x) a2- x2 trên (0;a , ta được )

0;

3 3max

38

y

M

B A

S

ïï + =ïî

Dấu '' ''= xảy ra khi x= = Þy z a= = Chọn D.b c.

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC= Trên đường thẳng qua2

A vuông góc với mặt phẳng (ABC lấy các điểm ,) M N khác phía so với mặt

phẳng (ABC sao cho ) AM AN = Tính thể tích nhỏ nhất 1 V của khối tứ diệnmin

MNBC M ABC N ABC ABC

Dấu '' ''= xảy ra khi và chỉ khi x= = Chọn D.y 1

Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA a= và

SA^ ABCD Trên SB SD lần lượt lấy hai điểm ,, M N sao cho SM m 0,

SB = >0

6.72

B M

N

c b

a

z

y x

S

A

B

C

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với , a b> 0

Cách 1 Theo giả thiết ta có 2a2+4ab=32

= ç ÷÷=

çè ø

Ví dụ 9 Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều Khi

diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng baonhiêu?

N S

A

B

C D

M

A 3 4 V B 3V C 3 2 V D.3 6 V [2].

Giải

Gọi h> là chiều cao lăng trụ; 0 a> là độ dài cạnh đáy.0

Theo giả thiết ta có

3 4 32

Khi đó A B ¢ là hình chiếu của A C¢ trên mặt phẳng (ABB A¢ ¢)

C' D'

Ví dụ 11 Cho tam giác OAB đều cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông

góc với mặt phẳng (OAB lấy điểm ) M sao cho OM = Gọi , x E F lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB Gọi ON là giao điểm của EF và

d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.

2 3

4 3

F E

N

M

B

A O

Chọn A.

2.3.3 Phương pháp sử dụng kĩ thuật đặt biến để đưa về xét cực trị hàm số

Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải biết cách xác định đại lượng còn

thiếu, đặt biến và đưa yêu cầu của bài toán về xét cực trị hàm số( nhiều bài có thể giải bằng cách sử dụng BĐT, thường là BĐT Cô-si)

Một vài nguyên tắc đặt biến thường gặp như: Nếu tam giác vuông biết độ dài một cạnh thì đặt biến là độ dài một trong hai cạnh còn lại.Nếu tứ giác là hình chữ nhật, vuông, thoi…biết một cạnh thì đặt biến là độ dài cạnh kề với nó…

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , C cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC Biết ) SC = tính thể tích lớn1,nhất Vmax của khối chóp đã cho.

Diện tích tam giác 1 1 2

Nhận xét: Do ABC là tam giác vuông cân tại , C nên việc đặt CA CB= = >x 0

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , C AB= 2Cạnh bên SA= và vuông góc với mặt phẳng đáy 1 ( ABC Tính thể tích lớn).nhất Vmax của khối chóp đã cho.

S

1

x x

S

C

Nhận xét: Trong bài toán này, do vai trò của AC BC là như nhau nên có thể,

đặt AC = > hoặc x 0 BC = > Có thể dùng phương pháp hàm số để tìm giá x 0

Gọi I là trung điểm của BC Suy ra IA IB = =ICÞ I là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SA=SB=SC= suy ra 2 I là hình

chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) Þ SI ^(ABC)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Vì S ABC là hình chóp đều Þ SO^(ABC)

A S

S

A

B

C M O

Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= ,4

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD và ) SC= Tính thể tích6lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

f x = x - x trên (0;2 5 )

Ví dụ 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng

1; SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD và ) SC = Tính thể tích lớn nhất1

Nhận xét: Có thể đặt SO = ta cũng có lời giải tương tự x

Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD=4.Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã

Đặt AB= > Tam giác vuông x 0 ABC có ,

S ABCD

Ví dụ 8 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB= SC= và mặt bên (SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt)

phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

S

4

x

Gọi H là trung điểm của ADÞ SH ^AD.

(SAD) (^ ABCD)Þ SH ^( ABCD). Giả sử AD= > x 0

Suy ra

2.2

ax SD

=

Thể tích khối chóp

H

H

D S

C

Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , C AB=4

2,

SA=SB= SA^(ABC) Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

lên SB và SC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S AHK

Tam giác SAB cân tại A , có đường cao AH suy ra H là

trung điểm của SB nên 1

= ç ÷÷=

çè ø

Chọn A.

2.3.4 Phương pháp sử dụng kĩ thuật trải hình

Khi giải một bài toán về hình chóp mà các dữ kiện của nó liên quan đến tổng các cạnh, hoặc tổng các góc phẳng …thì việc phẳng hoá hình chóp (tức là trải phẳng tứ diện đó lên một mặt phẳng) sao cho phù hợp sẽ cho ta một lời giải gọn gàng và dễ hiểu.

Ví dụ 1 Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S ABCD

cạnh bên bằng 200m , góc · ASB=150bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng

quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong đó điểm L cố định và LS=40m

B

C 40 31 40+ mét D 40 111 40+ mét [7].

Giải.

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL+LS.Từ giả thiết vềhình chóp đều S ABCD ,ta có · ASL=1200.Ta có:

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40+ mét Chọn C.

Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác .S ABC có đáy ABC vuông tại A ,

SA^ ABC và SA= ; hai điểm ,h B C thay đổi sao cho AB AC h+ = Gọi ,I J

là các điểm lần lượt di động trên các cạnh SB và SC Tìm giá trị nhỏ nhất của

chu vi tam giác IJA

Trên tia AC và tia AB lần lượt lấy các

điểm ', ''A A sao cho AA' AA'' SA h= = =

Như vậy mặt xung quanh của hình chóp đã

được trải ra trên mặt phẳng chứa đáy.

Ví dụ 3 Cho hình chóp đều S ABC có · ASB= °30 ; AB a= Lấy ,B C′ ′ lần lượtthuộc cạnh SB SC Tính giá trị nhỏ nhất đó của chu vi , ∆AB C′ ′.

a D ( 3 1)

.2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài này bản thân tôi áp dụng trọng việc dạy và luyện cho học sinh ônthi THPT quốc gia và học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Đa số học sinh có hứngthú, vận dụng tốt và phần nào tự tin khi gặp dạng toán này

Kết quả cụ thể ở các lớp khối 12, sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệmnày vào giảng dạy được thể hiện qua bài kiểm tra như sau :

Sốlượng Tỷ lệ2018-2019 12A3 40 7 17,5% 20 50 % 13 32,5%

% %Như vậy tôi thấy sáng kiến kinh nghiệm trên có hiệu quả Mặc dù cố gắngtìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót Tôi rất mong được sựquan tâm, nghiệp bổ sung và góp ý của tất cả các đồng nghiệp Tôi xin chân

Kiến nghị

Nhằm giúp học sinh học tốt hơn về hình học không gian, đặc biệt là các

bài toán có yếu tố lớn nhất nhỏ nhất, bản thân tôi có kiến nghị:

- Trong phân phối chương trình môn Toán lớp 12, các cấp có thẩm quyềnnên tăng cường thêm số tiết cho hình học không gian

- Đối với học sinh lớp 12, giáo viên nên dành một số tiết tự chọn để ôntập lại cho các em về hình học tổng hợp, rèn luyện thêm kĩ năng vận dụng bấtđẳng thức cơ bản vào giải toán, thành thạo việc sử dụng bất đẳng thức Cô-sitrong các bài toán cực trị đại số cũng như hình học Giáo viên cần chuẩn bị các

mô hình thực tế để học sinh dễ quan sát và cũng nên ứng dụng công nghệ thôngtin vào các tiết giảng về nội dung này

-Vì thời gian trong phân phối chương trình không thể đáp ứng được việctruyền thụ nội dung các phương pháp giải nên cần tổ chức phụ đạo cho học sinhvào những buổi ngoài thời khoá biểu

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình, không sao chép nội dung củangười khác