TEST NHANH CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a.. c Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây A.. Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả

HTB –THPT HR

ĐỀ TEST NHANH HÌNH HỌC 12 CÁC DẠNG BÀI DÙNG CÔNG THỨC TÍNH NHANH

THỜI GIAN : 25 PHÚT

ĐỀ BÀI Câu 1 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a

A

3

2 2 3

a

3 2 4

a

3 2 12

a

Câu 2 Cho khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OAa ; OBb ; OC  c

Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây

A 1

6

V  a b c B 1

3

V  a b c C 1

2

V  a b c D V 3 a b c

Câu 3 Cho hình chóp S ABC với các mặt SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau từng đôi một 

Tính thể tích khối chópS ABC Biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAClần lượt là 4a , 2

2

a , 9a 2

3

Câu 4 Cho tứ diện S ABC có SA  , 1 SB  , 2 SC  và 3 ASBBSCCSA60 Tính thể tích khối

tứ diện S ABC

A 2

2

3

Câu 5 Cho hình chóp S ABC có AB AC4,BC2,SA4 3,SABSAC30 Tính thể tích

khối chóp S ABC

A V S ABC. 12 B V S ABC. 6 C V S ABC. 8 D V S ABC. 4

Câu 6 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a ; mặt bên tạo với đáy góc 0

60 Thể tích khối chóp S ABC là

A

3 2 3

a

3 3 24

a

3 3 3

a

3 24

a

Câu 7 Cho tứ diện ABCD có ABCD4 ;a ACBD5 ;a ADBC6a Tính thể tích khối tứ

diện ABCD

A

3

15 6

4

a

3

15 3 4

a

3

15 6 2

a

3

5 6 4

a

Câu 8 Cho hình chóp S ABC có SA x (0x 3); tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Tìm x để

khối chóp S ABC có thể tích lớn nhất

A 3

2

x  B 3

3

x  C 6

3

x  D 6

2

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích là V Gọi M P; lần lượt là trung

điểm của SB SD; Mặt phẳng (AMP) cắt SC tại N Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP

A 1

6V B

5

6V C

1

12V D

11

12V

Câu 10 Cho hình lập phương ' ' ' '

ABCD A B C D cạnh 2a Gọi M là trung điểm của BB ; điểm ' P thuộc cạnh DD sao cho ' 1 '

4

DP DD Mặt phẳng (AMP) cắt '

CC tại N Tính thể tích khối đa diện

A 3

2a B 3

3a C 11 3

3 a D

3 9

4a

Câu 11 Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a

A

3

a

5

a

2

a

2

a

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a Tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho

A 3 34

34

a

34

a

34

a

34

a

Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SAa và vuông góc

với đáyABC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

A 42

6

a

7

21

a

3

21

a

6

a

Câu 14 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópSABCD

A 42

6

a

7

21

a

3

21

a

6

a

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng qua A,

,

M P cắt cạnh SC tại N với M , Plà các điểm thuộc các cạnh SB, SD sao cho 1,

2

SN

SB 

2 3

SP

SD Tính thể tích khối đa diện ABCD MNP

.A 23

29

30

23

30V

Câu 16 Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông Biết rằng SAa, SB SC k

Đặt SBx Tính thể tích tứ diện SABC theo a k x, , và xác định SB SC, để thể tích tứ diện SABC lớn nhất

.A

2 6

ak

2 4

ak

2 12

ak

2 24

ak

HẾT

CẤU TRÚC ĐỀ TEST NHANH CÔNG THỨC TÍNH NHANH

(KHÔNG PHÂN MỨC ĐỘ NHẬN THỨC)

CÂU DẠNG BÀI TẬP

1 THỂ TÍCH TỨ DIỆN ĐỀU

2 THỂ TÍCH TAM DIỆN VUÔNG

3 TAM DIỆN VUÔNG CÓ 3 DIỆN TÍCH 3 MẶT

4 THỂ TÍCH KHI BIẾT 3 CẠNH BÊN VÀ 3 GÓC Ở ĐỈNH

5 THỂ TÍCH KHI BIẾT GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA 2 CẠNH ĐỐI

6 THỂ TÍCH BIẾT GÓC NHỊ DIỆN

7 THỂ TÍCH TỨ DIỆN CÓ 3 CẶP CẠNH ĐỐI BẰNG NHAU

8 THỂ TÍCH TỨ DIỆN CÓ 5 CẠNH BẰNG NHAU VÀ 1 CẠNH KHÁC

9 TÍNH NHANH TỶ SỐ CHÓP ĐÁY TỨ GIÁC

10 TÍNH NHANH TỶ SỐ LĂNG TRỤ

11 TÍNH NHANH BÁN KÍNH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐỀU

12 BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC

13 BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC

14 BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC

15 TÍNH NHANH LIÊN QUAN CHIA KHỐI

16 TÍNH NHANH LIÊN QUAN MAX MIN

BẢNG ĐÁP ÁN

11.D 12.D 13.D 14.D 15.D 16.D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 [2H1-3.2-2] Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a

A.

3

2 2 3

a

3 2 4

a

3 2 12

a

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn A

Giả sử tứ diện đều SABC Gọi O là tâm của tam giác ABC Ta có 1

3

V SO S 1

.sin 60 2

ABC

S AB AC a2 3, 2 3

3

a

3

a

O

S

A

B

C

1 S

V  SO

3

2 2 3

a

* Dùng công thức tính nhanh :

Thể tích của khối tứ diện đều cạnh b:

3 2 12

b

Áp dụng công thức trên ta có: 3 2

12

V AB 2 3 2

12

a



3

2 2 3

a

Câu 2 [2H1-3.2-1] Cho khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OAa;

OBb; OC  Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây c

A. 1

6

V  a b c B. 1

3

V  a b c C. 1

2

V  a b c D. V 3 a b c

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn A

OABC

Câu 3 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp S ABC với các mặt SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau 

từng đôi một Tính thể tích khối chópS ABC Biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAClần

lượt là 4a , 2 a , 2 2

9a

3

6 2a D 2 2a 3

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn D

SAB SAC

SC SB

SC SA SAC SBC SC















Chứng minh tương tự ta được: SBSA

S ABC

6 SA SB SC 6 SA SB SB SC SA SC

S S S

Cách 2:

Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:

Cho hình chóp S ABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau từng đôi 

một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là , , S S S Thể tích khối chóp 1, 2, 3 SABC là

1 2 3

2 3

S ABC

S S S

.

2

2 2 3

S ABC

S S S

Câu 4 [2H1-3.2-3] Cho tứ diện S ABC có SA  , 1 SB  , 2 SC  và 3 ASBBSCCSA60 Tính

thể tích khối tứ diện S ABC

A 2

2

3

Lời giải Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn B

Cách 1:

Gọi B , C lần lượt là các điểm trên SB và SC thỏa SB  , 1 SC  1

Khi đó tứ diện S AB C   là tứ diện đều có cạnh là 1

Do đó thể tích của khối tứ diện S AB C   là . 2

12

S AB C

Mặt khác ta lại có

.

.

6

S AB C

S ABC S AB C

S ABC

 

 

 

Cách 2:

Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:

Cho khối tứ diện S ABC có SA  , SB a  , SC b  , ASB  c  , BSC , CSA Khi đó

thể tích khối tứ diện S ABC được tính bằng công thức:

6

S ABC

abc

Áp dụng vào bài giải ta được thể tích của khối tứ diện S ABC là

.

6

S ABC

SA SB SC

1 2 cos 60 3cos 60

Câu 5 [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABC có ABAC4,BC2,SA4 3,SABSAC30

Tính thể tích khối chóp S ABC

A V S ABC. 12 B.V S ABC. 6 C. V S ABC. 8 D. V S ABC. 4

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê

Chọn D

Cách 1:

2 .cos 30

Tương tự ta cũng có SC  4 SBC là tam giác cân đỉnh S

Gọi M là trung điểm của BC Suy ra BCSM và BC AM

BC SM

BC SAM

1

1



BM , SM AM  SB2BM2  16 1  15

Gọi H là trung điểm của SA  MH SA và MH   15 2 2 32  3

nên 1 3.4 3 6

2

SAM

Cách 2:

Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:

Cho tứ diệnABCD Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD,  là góc giữa hai đường thẳng đó.Thể tích khối tứ diệnABCD : 1 sin

6

ABCD

V  AB CD d 



BC SM

BC SA

Gọi H là trung điểm của SA

Ta có  







MH SA

MH BC và MH   15 2 2 32  3

.

.d , sin , 4 3.2 3.sin 90 4

S ABC

Câu 6 [2H1-3.2-2] Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a ; mặt bên tạo với đáy góc 0

60 Thể tích khối chóp S ABC là

A.

3 2 3

a

3 3 24

a

3 3 3

a

3 24

a

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn C

Áp dụng công thức tính nhanh

3 tan 24

x

 với x2 ;a  600 ta có:

3 0 3

(2 ) tan 60 3

S ABC

Câu 7 [2H1-3.2-3] Cho tứ diện ABCD có ABCD4 ;a ACBD5 ;a ADBC6a Tính thể

tích khối tứ diện ABCD

A.

3

15 6

4

a

3

15 3 4

a

3

15 6 2

a

3

5 6 4

a

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn A

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích của tứ diện gần đều

1

6 2

ABCD

V  x y z x z y y z x với x4 ;a y5 ;a z6a ta có:

3

4

6 2

ABCD

a

Câu 8 [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABC có SA x (0x 3); tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1

Tìm x để khối chóp S ABC có thể tích lớn nhất

2

x  B. 3

3

x  C. 6

3

x  D. 6

2

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn D

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích :

.

S ABC

. 1 6

S ABC

Câu 9 [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích là V Gọi M P; lần

lượt là trung điểm của SB SD; Mặt phẳng (AMP) cắt SC tại N Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP

A. 1

6V B.

5

6V C.

1

12V D.

11

12V

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn B

Ta có a SA 1

SA

  ; b SB 2

SM

  ; c SC

SN

 ; d SD 2

SP

  và a c  b d   c 3

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích hình chóp tứ giác với đáy là hình bình hành :

.

4

S AMNP

  

6

6

S AMNP

Suy ra thể tích khối đa diệnABCDMNP bằng 5

6V

Câu 10 [2H1-3.2-3] Cho hình lập phương ' ' ' '

ABCD A B C D cạnh 2a Gọi M là trung điểm của BB ; '

điểm P thuộc cạnh DD sao cho ' 1 '

4

DP DD Mặt phẳng (AMP) cắt '

CC tại N Tính thể

tích khối đa diện ABCDMNPQ

A. 3

2a B. 3

3a C. 11 3

3 a D.

3 9

4a

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm

Chọn B

Ta có ' ' '

3

ABCD A B C D

Đặt x AA' 0

AA

2

BM y BB

  ; z CN'

CC

4

DP t DD

4

xz y t z

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích của khối lăng trụ ta có :

3

Câu 11 [2H2-2.2-3] Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh

bằng a

A

3

a

5

a

2

a

2

a

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều tất cả cạnh đều bằng a :

SA a

R  

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều

2

2

2

R

a

Câu 12 [2H2-2.2-3] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a Tính

bán kính mặt ầu ngoại tiếp khối chóp đã cho

A 3 34

34

a

34

a

34

a

34

a

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều:

2 2

SA R SO

Gọi O là tâm của hình vuôngABCD, suy raSOABCD

Ta có:

AC a

AO  

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có

2

(3 )

2 2

SO SA OA  a   

2 2

a

R



Câu 13 [2H2-2.2-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SAa và

vuông góc với đáyABC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

A 42

6

a

7

21

a

3

21

a

6

a

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Công thức nhanh hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy: Gọi h là chiều cao hình chóp

và r bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Ta có

2 2 2

h

R    r

  Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC :

,

a

Áp dụng công thức ta có

2 2

R     

Câu 14 [2H2-2.2-3] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

SABCD

A 42

6

a

7

21

a

3

21

a

6

a

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Công thức nhanh hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy: Gọi R R là bán kính đường tròn b, d ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy

Ta có

2

4

GT

R R R  Giao tuyến của SAB với ( ABCD) làAB

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

2

d

a

R  AO

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên

3

b

a

R SG

Áp dụng công thức

2 2

R R R        

Câu 15 [2H1-3.3-3] Cho hình chóp S ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành Mặt

phẳng qua A, M P, cắt cạnh SC tại N với M , P là các điểm thuộc các cạnh SB, SD sao

cho 1,

2

SM

SB 

2 3

SP

SD  Tính thể tích khối đa diện ABCD MNP

29

30

23

30V

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Công thức nhanh: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình hành lần lượt tại M N P Q, , , sao cho SM x,SN y,SP z,SQ t

SA  SB  SC  SD  ta có

.

4

S MNPQ

S ABCD

và 1 1 1 1

xz  y t

Ứng dụng công thức vào bài toán

x z  y  t z    

xyz

x y z t

Câu 16 [2H1-3.3-3] Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông Biết rằng SAa,

SB SC k Đặt SBx Tính thể tích tứ diện SABC theo a k x, , và xác định SB SC, để thể tích tứ diện SABC lớn nhất

.A.

2 6

ak

2 4

ak

2 12

ak

2 24

ak

Lời giải

Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong

Chọn D

Thể tích tứ diện:

SABC

x k x ak

V  SA SB SC ax kx  a    

Dấu bằng xảy ra khi

2

k

xk x x

HẾT