Hình học 12: Các bài toán liên quan đến mặt cầu (có đủ 4 mức độ và đáp án chi tiết)

Bên trong file là Các bài toán liên quan đến mặt cầu mà trong các đề thi học sinh sẽ gặp phải trong quá trình làm bài. Ngoài ra bên trong tài liệu còn có phương pháp giải chi tiết vô cùng thích hợp cho tất cả những học sinh đang học lớp 12 và chuẩn bị thi lên đại học. Chúc các em học tập thật tốt và đạt được kết quả cao.

Câu 2 Cho mặt cầu  S có tâm I, bán kính R và điểm A thoả IAR Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Điểm A nằm trên mặt cầu  S B Điểm A nằm trong khối cầu  S

C Điểm A nằm ngoài khối cầu  S D Điểm A là tâm mặt cầu  S

Câu 3 Công thức tính thể tích V của khối cầu có bán kính bằng R là

A 4 R 2 B 2 R 2 C R2 D 6 R 2

Câu 5 Cho mặt cầu  S có diện tích bằng 2

8 a , khi đó bán kính r của mặt cầu  S là

A r2 2a B r2a C ra D r 2a

Câu 6 Cho khối cầu có thể tích là  3

36 cm Bán kính r của khối cầu là

A r3 2 cm  B r6 cm  C r3 cm  D r 6 cm 

Câu 7 Cho mặt cầu có diện tích là  2

72 cm Bán kính mặt cầu là

A R6 cm  B R3 2 cm  C R 6 cm  D R3 cm 

Câu 8 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

B Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

C Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

D Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 9 Khối cầu ( )S có bán kính bằng r và thể tích bằng V Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 13 Một mặt cầu sẽ ngoại tiếp được loại hình chóp nào sau đây?

A Hình chóp có đáy là hình thoi B Hình chóp có đáy là hình thang vuông

C Hình chóp có đáy là hình chữ nhật D Hình chóp có đáy là hình bình hành

Câu 14 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp

B Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp

C Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp

D Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 15 Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

A mặt phẳng trung trục của đoạn thẳng AB

B đường thẳng trung trục của đoạn AB

C mặt phẳng song song với đường thẳng AB

D trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 16 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có các điểm E, F, G

như hình vẽ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D    

trùng với điểm nào sau đây?

A E B F

C G D A

Câu 17 Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

a, b,c Khi đó bán kính r của mặt cầu là

V

19

V

13

V

V 

Câu 29 Cho mặt cầu S O R; và mặt phẳng Biết khoảng cách từ O đến bằng

Câu 30 Cho mặt cầu tâm I bán kính R 2, 6cm Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng

2, 4cm Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

Câu 31 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy Đường

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng:

Câu 33 Cho mặt cầu tâm O Đường thẳng d cắt mặt cầu này tại hai điểm M N, Biết rằng MN24 và

khoảng cách từ O đến d bằng 5 Tính diện tích S của hình cầu đã cho

Câu 37 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AC6a SA vuông góc với đáy và

Câu 44 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b

b

b a D

2

2 22

R

36481

R

3827

R

3

8 39

R

Câu 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi Mvà N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN

Câu 49 Có 4 viên bi hình cầu có bán kính bằng 1 cm Người ta đặt 3

viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn Sau đó đai chặt 3 viên

bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc với cả 3 viên bi trên như hình vẽ

Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt

Câu 50 Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước Người ta cho

ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông

cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với

nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của

đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai

cạnh của đáy bể Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một

BẢNG ĐÁP ÁN

11.A 12.D 13.C 14.B 15.A 16.A 17.A 18.B 19.A 20.D

21.D 22.C 23.C 24.A 25.B 26.D 27.D 28.A 29.B 30.C

31.A 32.A 33.D 34.B 35.C 36.C 37.C 38.C 39.A 40.A

41.D 42.C 43.A 44.A 45.A 46.B 47.B 48.D 49.A 50.B

Câu 1 Trong không gian cho điểm I và số thực dương R Tập hợp tất cả các điểm M cách điểm I một

Câu 2 Cho mặt cầu  S có tâm I, bán kính R và điểm A thoả IAR Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Điểm A nằm trên mặt cầu  S B Điểm A nằm trong khối cầu  S

C Điểm A nằm ngoài khối cầu  S D Điểm A là tâm mặt cầu  S

Lời giải Chọn C

Câu 3 Công thức tính thể tích V của khối cầu có bán kính bằng R là

Câu 5 Cho mặt cầu  S có diện tích bằng 2

8 a , khi đó bán kính r của mặt cầu  S là

Câu 6 Cho khối cầu có thể tích là  3

36 cm Bán kính r của khối cầu là

A r3 2 cm  B r6 cm  C r3 cm  D r 6 cm 

Lời giải

Câu 8 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

B Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

C Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

D Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải Chọn D

Câu 9 Khối cầu ( )S có bán kính bằng r và thể tích bằng V Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 11 Diện tích S của mặt cầu có bán kính R 5a là

Diện tích mặt cầu: S4R2 2

20 a

Câu 12 Cho mặt cầu S I R và mặt phẳng  ;   P Giả sử d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt

phẳng  P Biết mặt phẳng  P tiếp xúc mặt cầu Khẳng định nào sau đây đúng?

A R2d B Rd C d 2R D d3R3 0

Lời giải Chọn D

Ta có:d d I P( , ( ))IH    R d R d3R3 0

Câu 13 Một mặt cầu sẽ ngoại tiếp được loại hình chóp nào sau đây?

A Hình chóp có đáy là hình thoi B Hình chóp có đáy là hình thang vuông

C Hình chóp có đáy là hình chữ nhật D Hình chóp có đáy là hình bình hành

Lời giải

Chọn C

Câu 14 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp

B Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp

C Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp

D Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải Chọn B

Câu 15 Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

A mặt phẳng trung trục của đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trục của đoạn AB

C mặt phẳng song song với đường thẳng AB D trung điểm của đoạn thẳng AB

Lời giải Chọn A

Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn

có IAIB Do đó I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Câu 16 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có các điểm E, F, G như hình

vẽ sau:

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D     trùng với điểm nào sau đây?

A E B F C G D A

Lời giải Chọn A

Dễ thấy EAEBECEDEAEBECED nên E là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D    

Câu 17 Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c Khi đó bán kính r của mặt

Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b,c là a2 b2 c2

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là trung điểm của đường chéo

Do đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là 1 2 2 2

2 a b c

A

B I

Câu 18 Cho mặt cầu S O R và điểm  ;  A cố định với OAd Qua A, kẻ đường thẳng  tiếp xúc với mặt

cầu S O R ; tại M Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

A 2R2d2 B d2R2 C R22d2 D R2d2

Lời giải Chọn B

Vì tiếp xúc với S O R tại  ;  M nên OM  tại M

Xét tam giác OMA vuông tại M, tacó:

Gọi   là mặt phẳng chứa đường thẳng OM thì mặt

phẳng   luôn cắt mặt cầu S O R theo giao tuyến  ;  là đường tròn  C có tâm O, bán kính R Trong mặt

phẳng   , ta thấy từ điểm M nằm ngoài đường tròn

 C ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến MT , 1 MT với đường 2

tròn  C Hai tiếp tuyến này cũng là tiếp tuyến của mặt cầu

 ; 

S O R

Do có vô số mặt phẳng   chứa đường thẳng OM cắt mặt cầu S O R ; theo giao tuyến là các đường tròn  C khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M nằm ngoài mặt cầu

Câu 20 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 4a Tính bán kính R của mặt cầu nội tiếp hình

lập phương ABCD A B C D    

A R4a B R2 2a C R4 2a D R2a

Lời giải Chọn D

Dễ thấy I là tâm mặt cầu nội tiếp hình lập phương ABCD A B C D    

α

C ( )

Công thức diện tích mặt cầu 2

4

S R nên ta có tỉ lệ

2 2

Câu 22 [Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội - Thi HKI (2016 - 2017)] Cho 2 khối cầu  S1 có bán kính R1 , thể

tích V1 và  S2 có bán kính R2 , thể tích V2 Biết V2 8V1 , khẳng định nào sau đây đúng?

A R2 2 2R1 B R2 4R1 C R2 2R1 D R1 2R2

Lời giải Chọn C

O

H

r

Diện tích mặt cầu là S 4R2 100 R 5  cm



Câu 27 [THPT Chu Văn An - Hà Nội - Thi HKI (2016 - 2017)] Một mặt cầu có diện tích bằng 16 , tính

thể tích của khối cầu đó

V V

V

19

V

13

V

V 

Lời giải Chọn A

43

Gọi H là hình chiếu của O xuống

Câu 30 Cho mặt cầu tâm Ibán kính R 2, 6cm Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng

2, 4cm Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng cắt mặt cầu S I;2, 6cm theo một đường tròn H r;

Câu 31 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy Đường

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng:

A Độ dài cạnh SC B. Độ dài AC

C. Độ dài cạnh SB D. Độ dài cạnh SA

Lời giải Chọn A

Suy ra: Hai điểm A , B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Vậy đường kính mặt cầu là SC

Câu 32 Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là 2, 4 m

Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:

Lời giải Chọn A

Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có 2 2 2

d R r Theo giả thiết R 2m và 2 2, 4 2, 4 1, 2m

2

Vậy d R2 r2 1, 6m

Câu 33 Cho mặt cầu tâm O Đường thẳng d cắt mặt cầu này tại hai điểm M N, Biết rằng MN24 và

khoảng cách từ O đến d bằng 5 Tính diện tích S của hình cầu đã cho

A S100 B S48 C S52 D S676

Lời giải Chọn D

M O

N

2 2

132

Câu 34 Cho mặt cầu S O R; và một điểm A, biết OA 2R Qua A kẻ một cát tuyến cắt S tại B và C sao

cho BC R 3 Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng

Gọi H là hình chiếu của O lên BC

Ta có OB OC R, suy ra H là trung điểm của BC nên 3

Câu 35 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABa, AD2a và AA 2a Tính bán kính R của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C 

D A

Ta có AB C  ABC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C  có đường kính AC Do đó bán kính là 1 2    2 2 3

a

Câu 36 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông

góc với mặt phẳng BCD, AB5a , BC3a và CD4a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD

Lời giải Chọn C

Tam giác BCD vuông tại C nên áp dụng định lí Pitago, ta được BD5a

Tam giác ABD vuông tại B nên áp dụng định lí Pitago, ta được AD5a 2

Vì B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là trung

điểm I của AD Bán kính mặt cầu này là:  5 2

R

Câu 37 [THPT Sóc Sơn - Kiên Giang - Thi HKI (2017 - 2018)]Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác

vuông tại B, AC6a SA vuông góc với đáy và SA8a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A R10a B R12a C R5a D R2a

Lời giải Chọn C

Gọi I là trung điểm của SC , gọi M là trung điểm của AC Ta thấy M là tâm tam giác ABC ,

IM SA nên IM ABC Vậy IM là trục của tam giác ABC và IAIBIC , mặt khác IAIC

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác SAC ) Vậy

Câu 38 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB3a,

12a

4a 3a

Cách 1:

Gọi O O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy Suy ra: 1, 2

-Trung điểm I của O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương 1 2

Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cũng là trung điểm của một đường chéod (giao các

đường chéo) của hình lập phương

1

I M

O

B S

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC khi đó SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong tam giác SAO vẽ đường trung trực Mx của SA cắt SO tại I

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính rSI

Phương pháp tự luận:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC , ta có SOABC nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Gọi N là trung điểm của SA , trong mpSAO kẻ trung trực của SA cắt SO tại  I

thì IS = IA = IB = IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bán kính mặt cầu

là RSI

Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có SN SI

SO  SA Suy ra

Hình chóp tứ giác đều S ABCD có O là tâm của ABCD .

Vì tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a nên theo định lý Pytago đảo, tam giác SAC vuông cân

AC a

SOOA  Mặt khác O cách đều các đỉnh , , , A B C D nên O là tâm mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 2

Phương pháp tự luận:

Gọi O là tâm đáy thì SO là trục của hình vuông ABCD Gọi N là trung điểm của SD , trong mp

(SDO) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SO tại I thì IS = IA = IB = IC = ID nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính mặt cầu là RSI

Ta có

2

Phương pháp trắc nghiệm:

b a D

2

2 22

b

Lời giải Chọn A

Phương pháp tự luận:

Gọi O là tâm đáy thì SO là trục của hình vuông ABCD Gọi N là trung điểm của SD , trong mp

(SDO) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SO tại I thì IS = IA = IB = IC = ID nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính mặt cầu là R SI

Ta có

2

Câu 45 [THPT Chu Văn An - Hà Nội - Thi HKI (2016 - 2017)]Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a , SA(ABCD),SA2 a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Lời giải Chọn A

Vậy các điểm A B D, , đều nhìn đoạn SC dưới một góc vuôn Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp chính là trung điểm I của SC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S ABCD là

R

36481

R

3827

R

3

8 39

R

Lời giải Chọn B

O

R I

C B

21

OA SO

R t

   t R

Câu 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN

Câu 48 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A , ABa, ACa 2 Biết rằng góc

giữa hai mặt phẳng AB C , ABC bằng 60  và hình chiếu A lên mặt phẳng A B C   là trung điểm H của đoạn A B  Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB C 