MỘT số DẠNG GIẢI NHANH cực TRỊ KHÔNG GIAN

Bên trong file là tổng hợp một số dạng toán cực trị không gian mà trong các đề thi học sinh sẽ gặp phải trong quá trình làm bài. Ngoài ra bên trong tài liệu còn có phương pháp giải nhanh cực trị không gian vô cùng thcish hợp cho tất cả những học sinh đang học lớp 12 và chuẩn bị thi lên đại học. Chúc các em học tập thật tốt và đạt được kết quả cao.

MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN

ÔN TẬP NGÀY 24/06/2021

Cho  P và hai điểm A, B

Tìm M  P để MA MB

min

+ Nếu A và B trái phía so với  P

M A B, ,

 thẳng hàngM AB  P

+ Nếu A và B cùng phía so với  P

TìmB ' là đối xứng của Bqua  P

M A B, , '

 thẳng hàng M AB' P

Cho  P và hai điểm A, B

Tìm M  P để MA MB

max

+ Nếu A và B cùng phía so với  P

M A B, ,

 thẳng hàng M AB  P

+ Nếu A và B trái phía so với  P

TìmB ' là đối xứng của Bqua  P

MA MB' AB'

Cho điểm M x y z M; M; M không thuộc

các trục và mặt phẳng tọa độ Viết

phương trình  P qua M và cắt 3 tia

Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho

O ABC

V . nhỏ nhất?

 

P

Viết phương trình mặt phẳng P chứa

đường thẳng d, sao cho khoảng cách

từ điểm Md đến  P là lớn nhất?

   

Qua A d P

:





Viết phương trình mặt phẳng  P

quaA và cách M một khảng lớn nhất

?

   

P

Qua A P

:  



Viết phương trình mặt phẳng P chứa

đường thẳng d, sao cho  P tạo với

 ( không song song với d) một

góc lớn nhất là lớn nhất ?

   

Qua A d P

  :

,  ,



   



Cho / / P Viết phương trình

đường thẳng d song song với  và

cách  một khoảng nhỏ nhất ?

Lấy A  gọi Alà hình chiếu vuông góc của A trên  P

d

Qua A d

u u

  :







Viết phương trình đường thẳng d đi

qua điểm A cho trước và nằm trong

mặt phẳng  P cho trước

sao cho khoảng cách từ điểm M cho

trước đến d là lớn nhất ( AM không

 

Qua A d d

:

,





vuông góc với  P ) ?

Viết phương trình đường thẳng d đi

qua điểm A cho trước và nằm trong

mặt phẳng  P cho trước

sao cho khoảng cách từ điểm M cho

trước đến d là nhỏ nhất

( AM không vuông góc với  P ) ?

   

Qua A d d

:

,

  ,





Viết phương trình đường thẳng d đi

qua điểm A P cho trước, sao cho

dnằm trong  P và tạo với đường

thẳng  một góc nhỏ nhất ( cắt

nhưng không vuông góc với  P )?

   

Qua A d d

:

,

  ,





Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1; 2 , B 3; 1;0    và đường thẳng

x 1 t

z 2t

 





    

 



Tìm điểm M trên  sao cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

3 3 3

  B

1 4 4

3 3 3

1 4 4

3 3 3

1 4 4

3 3 3

Giải:………

………

………

………

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2; 1;3 , B   4;7;5 Tìm điểm M trong mặt phẳng (Oxy) sao cho MAMB ngắn nhất A 1 M ;2;0 4       B 1 M ; 2;0 4       C 1 M ; 2;0 4        D 1 M ; 2;0 4        Giải:………

………

………

Câu 3 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 1 , B 5;0;3     và C 7; 2; 2 Tọa độ của điểm S   trong mặt phẳng (Oyz) sao cho SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: A S 0; 4;1   B S 0; 4;1   C S 0; 4; 1   D S 0; 4; 1    Giải:………

………

………

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 0; 2; 4      và C 5;3; 2 Có hai điểm S trên   trục Ox sao cho thể tích khối tứ diện SABC bằng 6 Khi đó tổng các hoành độ của hai điểm đó bằng: A 12 B 10 C 14 D 15 Giải:………

………

………

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 0; 2; 4      và C 5;3; 2 Gọi S là một điểm   trên trục Ox sao cho thể tích tứ diện SABC bằng 6 Khi đó đường cao SH của tứ diện bằng:

Giải:………

………

………

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 0;0;3 , B 1;1;5 ,     C3;0;0 , D 0; 3;0    Xét các khẳng định sau:

(I) Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng (II) Diện tích tam giác ABC bằng 3 3

2 (III) ABCD là hình bình hành Chọn câu trả lời đúng

C Chỉ (II) và (III) đúng D Cả (I), (II) và (III) đều đúng

Giải:………

………

Câu 7 Viết phương trình mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q : 2x y 3z 7 0 sao cho  P hợp với ba mặt phẳng tọa độ tạo thành tứ diện có thể tích bằng 6

A 2x     y 3z 6 0 B 2x     y 3z 2 0

C 2x     y 3z 4 0 D 2x     y 3z 5 0

Giải:………

………

………

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 4;9 Viết phương trình mặt phẳng    P qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:………

………

………

Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;0;1 và mặt cầu       2  2 2

S : x4  y 1  z 1 25 Các mặt phẳng qua gốc tọa độ O và qua điểm M đồng thời cắt mặt cầu  S theo một đường tròn có bán kính bằng 4 có phương trình là:

4x 7y 4z 0



2x y 2z 0 4x 7y 4z 0



4x 7y 4z 0



2x y 2z 0 4x 7y 4z 0



Giải:………

………

………

Câu 10 Cho hai mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng

 P : 2x   y z 6 0; Q : x  2y  z 3 0 Khi đó, tỉ số hai bán kính là:

Giải:………

………

………

Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 5 0 Hỏi đường thẳng

 thay đổi nằm trên  P tạo với mặt phẳng Oyz góc lớn nhất? 

A 90 B arcsin2 2

3 C

2 2 arccos

3 D 30 Giải:………

………

………

………

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :x   y z 3 0 và điểm A1;1;1 và đường thẳng : 2 1 2 1     x y z d Đường thẳng  qua A , nằm trong  P và cách đường thẳng d một khoảng lớn nhất bằng: A 3 B 1 3 C 2 2 D 2 Giải:………

………

………

………

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x y 4z0, đường thẳng 1 1 3 : 2 1 1 x y z d       và điểm A1;3;1 thuộc  P Đường thẳng  đi qua A, nằm trong  P và cách d một khoảng lớn nhất Gọi ua b; ;1 là một véctơ chỉ phương của  Giá trị biểu thức a2b bằng A 3 B 0 C 4 D 7 Giải:………

………

………

………

Câu 14 [2H3-2.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;5;3 và đường thẳng 1 2 1 : 1 1 2 x y z d      Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cách điểm A một khoảng lớn nhất Hỏi vec tơ nào dưới đây là một vec tơ pháp tuyến của  P ? A n11; 4;1 B n2   1; 4;1 C n3 1; 4; 1  D n4 1; 4;1  Giải:………

………

………

………

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 0; 2, B2;1;3 và đường thẳng 1 2 1 : 1 1 2     x  y  z Gọi M là điểm thuộc đường thẳng  Giá trị nhỏ nhất của MA2MB2là? A 455 12 B 425 12 C 185 4 D 165 4 Giải:………

………

………

………

Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0; 1; 2 , B2;1;1 và đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z     Gọi d là đường thẳng đi qua Acắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng  lớn nhất Khoảng cách lớn nhất đó là? A 3 2 B 11 C 3 D 1 11 Giải:………

………

………

………

Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2 4 4 3 x y z d       và mặt phẳng  P : 2x y 2z 1 0 Đường thẳng  qua điểm E2;1; 2 , song song với  P đồng thời tạo với d góc bé nhất Biết rằng  có một vec tơ chỉ phương u m n; ;1 Tính 2 2 T m n A 5 B 4 C 4 D 3 Giải:………

………

………

………

Câu 18 Cho hình chóp đều S.ABC có AB a , SB2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A 2 3 11 a S   B 2 3 11 a S  C 2 12 11 a S   D 2 12 11 a S  Giải:………

………

………

………

Câu 19 Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h A 2 h x B 3 h x C 2 3 h x D 3 h x Giải:………

………

………

………

Câu 20 Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là h Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ) Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h A 3 h x B xh 3 C 2 3 h x D 3 3 h x Giải:………

………

………

………

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O và BD a. Hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng đáy là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 0

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. bằng

A a. B .

2

a

C 3

a

D 4

a

Giải:………

………

………

………

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a Đường thẳng SA vuông góc với đáy ABCD và SA a 2. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S A E M F, , , , bằng A a B a 2. C 2 a D 2 2 a Giải:………

………

………

………

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc đáy . ABCD Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD bằng A a B a 2. C 2 a D 2 2 a Giải:………

………

………

………

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. bằng A 3 3 a B 3 2 3 a C 3 6 a D 3 11 11 162 a Giải:………

………

………

………

Câu 25 Cho hình chóp đều S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng 2 3 3 a Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABD. bằng A 37 6 a B 35 7 a C 36 7 a D 39 7 a Giải:………

………

………

………

Câu 26 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang cân với AD DC CB 1, AB 2. Gọi O là giao điểm của AC và BD, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt ABCD là trung điểm của OA. Đường thẳng SC tạo với mặt đáy ABCD một góc bằng 60 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. bằng A 17 59 54 B 31 61 81 C 31 51 162 D 61 61 162 Giải:………

………

ĐÁP ÁN

Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1; 2 , B 3; 1;0    và đường thẳng

x 1 t

z 2t

 





    

 



Tìm điểm M trên  sao cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

3 3 3

  B

1 4 4

3 3 3

1 4 4

3 3 3

1 4 4

3 3 3

HD: Ta có

2

MA  MB nhỏ nhất khi

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2; 1;3 , B   4;7;5 Tìm điểm M trong mặt phẳng (Oxy) sao cho MAMB ngắn nhất

4

  B

1

M ; 2;0 4

1

M ; 2;0 4

1

4

  

HD: Gọi M x; y;0 Vì A và B ở cùng phía đối với mặt phẳng (Oxy) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua   mặt phẳng (Oxy) thì ta có B  4;7; 5  Khi đó MA MB MA MB AB do đó MAMB nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra A, M, B thẳng hàng AMx2; y 1; 3   và AB   6;8; 6  cùng phương Từ đó x 1, y 2

4

  

Câu 3 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 1 , B 5;0;3     và C 7; 2; 2 Tọa độ của điểm S   trong mặt phẳng (Oyz) sao cho SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) là:

A S 0; 4;1   B S 0; 4;1   C S 0; 4; 1   D S 0; 4; 1   

HD: Gọi S 0; y; z   SAABC nên vectơ AS  1; y2; z 1  cùng phương với vectơ

AB; AC 6;12;12

  suy ra S 0; 4;1  

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 0; 2; 4      và C 5;3; 2 Có hai điểm S trên   trục Ox sao cho thể tích khối tứ diện SABC bằng 6 Khi đó tổng các hoành độ của hai điểm đó bằng:

HD: Gọi S x;0;0 , ta có   VSABC 1 AB; AC AS 6 x 6 36 x 42

6

         hoặc x   30

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 0; 2; 4      và C 5;3; 2 Gọi S là một điểm   trên trục Ox sao cho thể tích tứ diện SABC bằng 6 Khi đó đường cao SH của tứ diện bằng:

ABC

3V

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 0;0;3 , B 1;1;5 ,     C3;0;0 , D 0; 3;0    Xét các khẳng định sau:

(I) Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

(II) Diện tích tam giác ABC bằng 3 3

2 (III) ABCD là hình bình hành

Chọn câu trả lời đúng

A Chỉ (I) và (II) đúng B Chỉ (I) và (III) đúng

C Chỉ (II) và (III) đúng D Cả (I), (II) và (III) đều đúng

HD: Ta có AB1;1; 2 , AC   3;0; 3 , AD  0; 3; 3 , AB; AC       3; 3;3 Do đó

AB; AC AD 0

  nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Mặt khác ABC

3 3 S

2

 , DC  3;3;0 không bằng AB suy ra (III) sai

Câu 7 Viết phương trình mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q : 2x y 3z 7 0 sao cho  P hợp với ba mặt phẳng tọa độ tạo thành tứ diện có thể tích bằng 6

A 2x     y 3z 6 0 B 2x     y 3z 2 0

C 2x     y 3z 4 0 D 2x     y 3z 5 0

HD: Mặt phẳng  P : 2x y 3zm0, m 7 Mp P cắt ba trục tọa độ tại m

2

B 0;m;0 ,C 0;0;

3

3 OABC

m

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 4;9 Viết phương trình mặt phẳng    P qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất

HD: Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0;c với       a, b,c0 Mp P có dạng x y z 1

a   b c Mp P qua

 

M 1; 4;9 nên 1 4 9 1

a   b c OABC 1 abc

3

Dấu bằng xảy ra khi

a 3

c 27







 



Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;0;1 và mặt cầu       2  2 2

S : x4  y 1  z 1 25 Các mặt phẳng qua gốc tọa độ O và qua điểm M đồng thời cắt mặt cầu  S theo một đường tròn có bán kính bằng 4 có phương trình là:

4x 7y 4z 0



2x y 2z 0 4x 7y 4z 0



4x 7y 4z 0



2x y 2z 0 4x 7y 4z 0



HD: Mặt cầu (S) có tâm I 4;1; 1   và bán kính R5 Đường tròn giao tuyến có bán kính r 4, do đó khoảng cách từ I đến (P) là d R2r2 3

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng axby cz 0 vì M P      a c 0 c a (1)

Ta có     4a2 b2 c2

 

  Thế (1) vào (2):

5a b 3 2a b

       hay 7a4b Suy ra ta được hai mặt phẳng 2x   y 2z  0 hoặc

4x 7y 4z    0

Câu 10 Cho hai mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng

 P : 2x   y z 6 0; Q : x  2y  z 3 0 Khi đó, tỉ số hai bán kính là:

HD: Tâm I 0; b;0 cách đều hai mặt phẳng  

R

b 1

 

15

R

6

R 6

 Vậy tỉ số hai bán kính là 3 :1

Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 5 0 Hỏi đường thẳng

 thay đổi nằm trên  P tạo với mặt phẳng Oyz góc lớn nhất? 

A 90 B arcsin2 2

3 C

2 2 arccos

3 D 30

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng Oyz có véctơ pháp tuyến  1; 0; 0 , gọi  a b c là véctơ chỉ phương của đường thẳng ; ; 

, ta có a2b2c  0 a 2b c 

Sin

sin

3 1

2

Do đó max arcsin2 2

3

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :x   y z 3 0 và điểm A1;1;1 và

đường thẳng : 2



d Đường thẳng  qua A , nằm trong  P và cách đường thẳng d

một khoảng lớn nhất bằng:

A 3 B 1

Lời giải Chọn A

Dễ thấy A P

d có VTCP u d 1; 2; 1 

 P có VTPT n1;1;1

Dễ thấy d cắt  P và B2; 0; 0d

Giả sử  có VTCP ua b c ; ;   2 2 2 

0

a b c

  P u n    a b c 0  1

u u d  c b c a b a

1; 1; 1

AB

 

;





d d

d d

3 3

3





c a

2 3



c ac a

c ac a

Xét a0  ;  3 22 3

3

d d   c 

c (với c0) Xét c0   22 3

d d   a 

Xét a0 và đặt t c

a,   22

2 1

3 6 11

 

 

 

t t

d d

t t

Xét   22

2 1

3 6 11

 



 

t t

f t

t t ,  

 2 2

16 16

3 6 11



 

 

t

f t

t t

, f t    0 t 1

Ta có BBT:

 



 

3

3

Dựa vào bảng biến thiên, ta được   1

3



f t Suy ra d d ;  3

Vậy maxd d ;  3, khi a0, chọn c1

  1

b 1

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x y 4z0, đường thẳng

:

d     

 và điểm A1;3;1 thuộc  P Đường thẳng  đi qua A, nằm trong  P

và cách d một khoảng lớn nhất Gọi ua b; ;1 là một véctơ chỉ phương của  Giá trị biểu thức a2b bằng

A 3 B 0 C 4 D 7

Lời giải

Vì   P u n          0 a b 4 0 b 4 a u a; 4a;1

Và điểm B1; 2;3  d AB0; 4; 2  Bấm máy với a1000 để có

d d

Dấu bằng đạt tại a11,b   7 a 2b 3