Chứng minh rằng tổng các bình phương của tất cả các ước số của số tự nhiên n n >2 nhỏ hơn n .2 n.. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B,C,D,A’,B’,D’ tới đường chéo AC’ bằng nhau..
Trang 1SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
……… LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2004- 2005
-Đề chính thức Môn : Toán
(Bảng B) Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi ; 18-03-2005
-Bài 1: (5đ)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của tất cả các ước số của số tự nhiên n
(n >2) nhỏ hơn n 2 n
Bài 2; (5đ)
Cho sinx= 2sin(x+y) chứng minh rằng : ( ) cossin 2
−
= +
y
y y
x
Bài 3; (5đ)
3
4 2 2 3
381x−8 =x − x + x−
Bài 4: (5đ)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh rằng khoảng cách từ
các điểm B,C,D,A’,B’,D’ tới đường chéo AC’ bằng nhau Tính khoảng cách đó
-o0o -SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
……… LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005- 2006
Đề chính thức Môn : Toán - Bảng B
Thời gian làm bài: 150 phút
( Không kể thời gian phát đề )
Ngày thi :18-03-2006
-Câu 1:(5 điểm)
Chứng minh rằng nếu một cấp số nhân có n số hạng (n ≥ 3 ) là các số tự nhiên phân
biệt và có công bội cũng là một số tự nhiên thì tổng của tất cả n số hạng đó không
thể là lũy thừa của 5
Câu 2:(5 điểm)
Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:
≥
=
=
3
, 1
1
n u u
u
n n
Trang 2CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
nghiệm đó
Câu 4:(5điểm)
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong mộ tứ diện đều cạnh a
-Hết -SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
……… LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006- 2007
Đề chính thức Môn : Toán
(Bảng B) T hời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi :18-03-2007
-Câu 1:(5 điểm)
Chứng minh rằng dãy số (un) với un =n2 không phải là một cấp số cộng
Câu 2:(5 điểm)
Chứng minh rằng nếu (a+c)(a+b+c) < 0 thì :
(b-c)2 > 4a(a+b+c)
Câu 3:(5 điểm)
Giải phương trình:
2
1 cos 2
3 cos 16
9 cos
2
1 cos 16
1 + 4 x− 2x+ + 4x− 2x =
Câu 4:(5điểm)
Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy
bằng a và có cạnh bên bằng b
Trang 3
-Hết -SỞ GD –ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
……… LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2004- 2005
Đề chính thức Môn : Toán
( Bảng B) Thời gian làm bài 180 phút
( Không kể thời gian phát đề )
Ngày thi : 12-12-2004
-Bài 1: (4đ)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì :n n < 1 + n2
Bài 2; (5đ)
Chứng minh rằng dãy (un) xác định sau đây là dãy số tăng :
≥ +
= +
=
1 , 2 1
2 1
n n n
u u
Bài 3; (5đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số : =2cossin ++21
x
x y
Bài 4: (5đ) Cho n điểm trong mặt phẳng , với n > 4 , trong số đó không có ba điểm nào thẳng
hàng chứng minh rằng có ít nhất (n−3)(2n−4) tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm trong số n điểm đã cho
-o0o -TRƯỜNG THPT VÂN CANH
-
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2004- 2005
-Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Ngày thi :
-I/ ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC :
Bài 1: (4đ)
Cho c ≤ 1 Chứng minh bất đẳng thức : a2 +b2+c2 +abc≥ 0 ; ∀a,b
Bài 2; (4đ)
Trang 4CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP TỈNH VÀ CẤP TRƯỜNG LỚP 11 VÀ 12
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
M= 3cosA+ 2(cosB+cosC)
II/ HÌNH HỌC ( 8đ)
Bài 4: (4đ)
Cho tam giác Abc có trung tuyến AM và đường phân giác trong AD Đương tròn
ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB tại E và cắt AC tại F Chứng minh BE=CF
Bài 5: (4đ)
Cho tứ diện ABCD trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên cạnh BC lấy điểm N
bất kỳ Gọi ( )α là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và sông với CD
Hãy xác định vị trí của điểm N trên BC sao cho thiết diện tạo bỡi ( )α với tứ diện ABCD là hình bình hành
SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH
LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007
Môn thi : Toán Thời gian:120 phút ( Không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 15/10/2006
Bài I: Chứng minh rằng:
1) tga+tgb = cos(a2+sin(b)+acos(+b)a−b) với mọi a,b,a+b,a-b≠ π +kπ
2 k∈Z
2) cos(sinx) > o với mọi x∈(o,π)
3) sinx.cosx ≤21 với mọi x∈R
Bài II: Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = COS 2
12
π
+ COS 2
12
3 π + COS 2
12
5 π + COS 2
12
7 π + COS 2
12
9 π + COS 2
12
11π
2) B = cos 8x
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
+ +
16
;
0 π
Bài III: Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
Trang 51) Nếu = 3
+ +
+ +
CosC CosB
CosA
SinC SinB
SinA
thì tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 60ο
2) CosA.CosB.CosC ≤ 81
Bài IV: Cho hình chóp tam giác ABC với ABC là tam giác vuông tại A Biết AB=a ,SB= a ,M là
một điểm trên cạnh AB sao cho BM = x (0 < x < a), O là trung điểm của cạnh BC
1) Tìm thiết diện của mặt phẳng (α ) đi qua M và song song với cạnh SB và OA.Chứng minh thiết diện này là hình thang
2) Cho biết MQ là đường cao của hình thang thiết diện này.Tính diện tích hình thang theo a
và x Tìm x để diện tích này đạt giá trị lớn nhất