Cực trị xác định giá trị cực đại của điện áp hiệu dụng khi thay đổi thông số mạch

Câu 23: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm một điện trở, một tụ điện và một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L có thể thay đổi, với u là điện áp hai đầu đoạn mạch và u RC là [r]

Tuyensinh247.com 1

1.Các công thức của các điện áp hiệu dụng cực đại khi thông số của mạch thay đổi:

a Điện áp hiệu dụng U R:

+ R thay đổi : UR(max) = U Khi R  

+ L,hay C, hay  thay đổi : UR(max) = U Khi 1

 khi ZL =

2 2

C C

2 2

L L

2 2

1 2

R

LC  L

2 Công thức thường gặp cần nhớ khi L,C, f thay đổi ( không Cộng hưởng):

 Tìm L để U Lmax :( Mạch điện hình vẽ bên phải khi L thay đổi)

Tuyensinh247.com 2

2 2 C Lmax

R + Z

R Với

2 2 C L

R + Z

L = ωZ

 Tìm C để U Cmax :( Mạch điện hình vẽ bên phải khi C thay đổi)

2 2 Cmax

R + Z

U = U

R Với

2 2 L C

OL =

2 - R

;

2 1

2

L C L

OC = 2 - R

(với điều kiện 2L R2

C  )

3 Bài tập về xác định giá trị cực đại U max khi thay đổi L, hoặc C, hoặc f

+Ví dụ 1 : Cho mạch điện như hình vẽ

Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức u200cos100t(V) Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100,

tụ điện có điện dung

C L

 ; aR2 Z C2; b 2Z C

UMBmax khi ymin: Vì aR2 Z C2> 0 nên tam thức bậc hai đạt cực tiểu khi

2

b x

C L

Hệ số công suất:

 2 2  2 2

a Tìm C để điện áp giữa hai đầu bản tụ đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó

b Tìm C để điện áp hai đầu MB đạt cực đại, tính giá trị cực đại đó

L C

L C

 ; aR2Z L2; b 2Z L)

UCmax khi ymin Vì hàm số y có hệ số góc a > 0, nên y đạt cực tiểu khi:

2

b x

L C

L C

Tuyensinh247.com 6

Vì U và

2 2 1

L C

L C

Từ (3) và (4) suy ra mối liên hệ: xC T x x1. 2

(Với những bài tập về cực trị của dòng điện xoay chiều, nếu ta sử dụng phương pháp

này thì sẽ có ngay đáp số, việc này rất thuận lợi cho học sinh làm rất nhanh những bài tập trắc nghiệm trong các kỳ thi ĐH-CĐ)

2 L C

U P

ax

2

2

L Lm

C Cm

UZ U

Z Z UZ U

 thì mạch cộng

hưởng

ax

U

= R

2 2

4 2

1 2 2

Tuyensinh247.com 10

L L

2UR U

Giá trị  làm cho I Max ;

U Rmax ; P Max còn U LCMin

cho cùng công suất và

giá trị  làm cho P max

LM

U L U

CM

U L U

R LC R C





2 2

1 2

R

 

a.Thay đổi R:

Câu 1: Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, R thay đổi được, cuộn dây không thuần cảm, có

điện trở r Khi R1   20 hoặc R2 110  thì công suất trong mạch như nhau Khi R  50 thì

công suất mạch cực đại Điện trở thuần r của cuộn dây là bao nhiêu?

Giải Cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển ( Các em tự giải nhé)

Tuyensinh247.com 11

Câu 2: Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp Cuộn dây không thuần cảm có điện trở thuần r,

điện trở R thay đổi được Khi RR1 hoặc RR2 thì mạch tiêu thụ công suất bằng nhau Điều

kiện của R để công suất trong mạch đạt giá trị cực đại thì biểu thức liên hệ giữa R, R1, R2, r

là gì?

Giải Cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển

+ công suất của mạch

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 2 2

1 2

CT

x  xx tức là (R r)  Rr Rr1 2  Suy ra R R   1r Rr r 2 

b.Thay đổi L :

Câu 4: Cho mạch điện xoay chiều gồm R, L và C mắc nối tiếp như hình vẽ Đặt vào hai đầu

đoạn mạch AB một điện áp u AB 100 3 cost(V) ( thay đổi được) Khi   1 thì UR

=100V; U C 50 2V; P = 50 6W ChoL 1



 H và UL > UC Tính UL và chứng tỏ đó là giá trị cực đại của UL

100

1001

Tuyensinh247.com 13

100 2 100 2

1

L L

U Z

L Z L

U Z

Câu 5: Cho đoạn mạch RLC có L thay đổi được Đặt vào 2 đầu đoạn mạch hiệu điện thế

xoay chiều có tần số f Khi 1

Giải Cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển

+ đây là bài toán L biến thiên, để hiệu điện thế trên cuộn dây thuần cảm đạt cực đại thì

Tuyensinh247.com 15

Câu 6: Đặt hiệu điện thế xoay chiều vào 2 đầu đoạn mạch RLC, biết cuộn dây thuần cảm và

giá trị L thay đổi được Khi 1

Giải Cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển

để Pmax thì ta chỉ cần làm một trong hai cách sau:

Có 2 giá trị của L cho cùng I, tìm L để Imax

Có 2 giá trị của L cho cùng P, tìm L để Pmax

Sau đây là lời giải theo cách thứ nhất:

   Các em cũng có thể tự giải theo cách thứ hai!

Câu 7: Cho mạch RLC nối tiếp : Điện trở thuần R, L thay đổi được, tụ điện có điện dung

C Điện áp xoay chiều đặt vào 2 đầu mạch u=U0cos(t) Khi thay đổi độ tự cảm đến 1 1

L





2 2 max

C L

200

1 200

C

Z

rad s L

Tuyensinh247.com 17

Chú ý: khi gặp bài toán C biến thiên, có 2 giá trị C1, C2 làm cho hiệu điện thế trên tụ trong hai trường hợp bằng nhau Tìm C để hiệu điện thế trên tụ đạt cực đại, nếu làm theo phương pháp cực trị của hàm số sẽ cho cách giải cực kì ngắn gọn, thực vật, sau khi viết:

2 2 2

.

10 ( )

2

10

( ) 2,5

10 ( )

4 2

10 ( ) 2,5

Z

Z R Z

2 2 2

4 2

Giải Cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển

2 1 2

U R PIR

Chú ý: khi gặp bài toán C biến thiên, có 2 giá trị C1, C2 làm cho hoặc là I1 = I2 hoặc P1=P2 hay hoặc là 1 2 tìm C để có cộng hưởng điện thì nên làm theo cách thứ 2 để nhanh chóng thu được kết quả 1 2

2

C C C



 thì điện áp hiệu dụng đặt vào tụ C không đổi Để điện

áp hiệu dụng đó đạt cực đại thì giá trị C là



C F 2π



C F 3π

L C

UZ U

L C

UZ U

Câu 11:Cho đoạn mạch điện xoay chiều ANB , tần số dòng điện 50Hz, đoạn AN chứa R=10

3  và C thay đổi ,đoạn NB Chứa L=



2 0

H Tìm C để U AN cực đại : A.C=106F B.200F

C

A R N L,r B

L L

U U

200100

L C

Câu 13: Đặt điện áp xoay chiều u  U 2 cos(100 t) V  vào đoạn mạch RLC Biết R  100 2 ,

tụ điện có điện dung thay đổi được Khi điện dung tụ điện lần lượt là C1  25 / ( F)   và

L,r M C

V

B

A

Tuyensinh247.com 21

2

C  125 / 3 ( F)   thì điện áp hiệu dụng trên tụ có cùng giá trị Để điện áp hiệu dụng trên điện trở

R đạt cực đại thì giá trị của C

L C

UZ U

L C

UZ U

400 25

2

- 300ZC +20000 = 0 Phương trình có hai nghiệm : ZC = 200Ω và Z’C = 100 Ω

L L

U U

R Z Z



  Lưu ý: R và C mắc liên tiếp nhau

Đề cho U AN cực đại bằng 2U AB suy ra:

2 2

R 1

Đáp án A

d.Thay đổi : Khi tần số góc  (hay f) thay đổi (còn R, L và C không đổi )

Câu 15: Đặt điện áp xoay chiều u=U0cost (U0 không đổi và  thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R,cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C

mắc nối tiếp,với CR 2

< 2L Khi  = 1 hoặc  = 2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có cùng một giá trị.Khi  = 0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị cực đại.Hệ thức liên hệ giữa 1,2 và 0 là :

2

2 2

Giải cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển

+ Từ dữ kiện điện áp trên tụ như nhau U1C = U2C ta biến đổi nhằm thu được biểu thức rút gọn.Ta có

1 2

1 2

) ( L C

L

Z Z R

UZ



1 1 2

2 1

)

1 (

C L R

2 2

)

1 (

C L R

 C

L

R 

+ 4 22

2 2 2 1

của Uc theo  nên ta viết:

Tuyensinh247.com 24

Chú ý: với bài toán có 2 giá trị của  là 1 và 2 làm điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm có cùng một giá trị Còn khi  = 0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn đạt cực đại Nếu chúng ta cũng giải theo phương pháp cực trị của hàm số (đánh giá kiểu hàm số), thì chúng ta sẽ viết

2

2 2 22 22

Câu 16: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp Điện áp xoay chiều đặt vào hai đầu

đoạn mạch có biểu thức u  U 2cos t,  tần số góc  biến đổi Khi     1 40 (rad / s) và khi

2 360 (rad / s)

     thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch điện có giá trị bằng nhau

Để cường độ dòng điện trong mạch đạt giá trị lớn nhất thì tần số góc  bằng

Giải 1: Nhớ công thức:Với  = 1 hoặc  = 2 thì I hoặc P hoặc UR có cùng một giá trị thì

IMax hoặc PMax hoặc URMax

A V1, V2, V3 B V3, V2, V1 C V3, V1, V2 D V1, V3,V2

Giải: Ta gọi số chỉ của các vôn kế là U: U1=IR =

2 2

)

1 (

C L R

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

1 )

1

U C

L C

L R

UL C

L R

L U

2 1

1

L C

L R

Tuyensinh247.com 26

) 2

(

2 2 2

2

2

R C

(

2 2

CR L

C  (2)

3 2

2 2 2 2 2 2

2

) 2

1 (

L R

C

U

C L R

C có giá trị cực tiểu y3minĐặt y = 2

, Lấy đạo hàm của y3 theo y, cho y’3 = 0

y = 2

2 2

2

2

1 2

2

L

R LC L

R C

=

) 2

(

2 2

CR L

C  -LC

1

=

) 2

( )

2 (

) 2

( 2

2 2 2

2

R L LC

CR R

L LC

CR L L

(

2 2

CR L

C  > 12 =

LC

1 Vậy ta có 32

2 2

(

2 2

CR L

Giải :

Ta tính cos  1 ứng với   1, ta có:

2 2

2

1 1

1 1

1 1



so với điện áp hai đầu đoạn mạch, khi ZC = ZC2 = 6,25ZC1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai tụ đạt giá trị cực đại Tính hệ số công suất của mạch

2 => 5,25ZL

2

- 6,25RZL – R2 = 0 => 21ZL

2

- 25RZL– 4R2

R Z Z



=

3 4 9

16 22

R

R

R 

= 12

) 12

25 3

4 ( R R

2 2 max

C L

200

1 200

Z

rad s L

A u và uRC vuông pha B.(UL)2Max= 2

Câu 24: Cho đoạn mạch điện không phân nhánh RLC Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch có

biểu thức u200cos100t(V) Điện trở R = 100, Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được,

tụ điện có điện dung

Câu 26: Cho mạch điện xoay chiều không phân nhánh RLC có tần số thay đổi được.Gọi

f0 ;f1 ;f2 lần lượt các giá trị tần số làm cho hiệu điện thế hiệu dung hai đầu điện trở cực đại, hiệu điện thế hiệu dung hai đầu cuộn cảm cực đại, hiệu điện thế hiệu dung hai đầu tụ điện cực đại.Ta có :

C

A R L B

V

M

2 2 2 2

2

2 2

100

) 100 ( 400 1 2

) (

L L L

C L C L C

L L

Z Z U

Z R

Z Z Z Z R

U Z

Z R

Z R U

y = ymax khi đạo hàm y’ = 0 => ZL2 – 200ZL -100 = 0

Câu 28: Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos100πt vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm R,

C và cuôn dây thuần cảm L thay đổi được Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng ở hai đầu L đạt giá trị cực đại và bằng 100V, khi đó điện áp 2 đầu tụ bằng 36V Giá trị hiệu dụng 2 đầu đoạn mạch là:



R C R

U

U U

Tuyensinh247.com 31

Ta dùng công thức: UL.UC = U2R U2C suy ra UR = 48V

Ta dùng công thức:

2 2 2 2 max 100 48 36 80

+ L biến thiên mà ULmax ta có giản đồ như hình bên

+ Theo hệ thức lượng của tam giác vuông ta có: 2RC C L

Từ (1) và (2): U2 = UL

2 – ULUC

=> (100 3)2 = UL

2 – 200UL => UL

2 – 200UL - 30000 = 0 => U Lmax = 300V

đáp án A

Câu 30: Cho mạch điện nối tiếp gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được,tụ điện C và điện trở R.Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u= 100 6 cos 100 t(v).Khi điện áp hiệu dụng trên cuộn dây đạt giá trị cực đại ULmax thì điện áp hiệu dụng trên đoạn mạch chứa

RC là 100V.Gía trị ULmax là?(ĐA 200V)

Câu 31: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 30 2V vào hai đầu đoạn mạch

RLC nối tiếp Biết cuộn dây thuần cảm, có độ cảm L thay đổi được Khi điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt cực đại thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện là 30V Giá trị hiệu điện thế hiệu dụng cực đại hai đầu cuộn dây là:

A 60V B 120V C 30 2V D 60 2V

Giải: Khi L thay đổi ULmax khi ZL =

2 2

C C

Z

 (1)và ULmax =

Câu 3 : Cho đoạn mạch điện AB gồm mạch AM mắc nối tiếp với mạch MB Mạch AM chỉ

chứa cuộn cảm thuần có độ tự cảm L = 1

2πH; mạch MB gồm điện trở hoạt động R = 40Ω và

Tuyensinh247.com 33

một tụ điện có điện dung thay đổi được Giữa AB có một điện áp xoay chiều u =

200cos100πt(V) luôn ổn định Điều chỉnh C cho đến khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu mạch MB đạt cực đại (UMB)Max Giá trị của (UMB)Max là

A 361 V B 220 V C 255 V D 281 V

Giải: công thức ax

2 2

2 R4

RCM

U U



  -thay các số liệu váo sẽ ra đáp án

Câu 4: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp Biết R = 30Ω, ZL = 40Ω, còn C thay đổi

được Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp u = 120cos(100t - π/4)V Khi C = Co thì điện

áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại UCmax bằng

A UCmax = 100 2V B UCmax = 36 2V C UCmax = 120V D UCmax = 200 V

Câu 5: (ĐH-2011) Đặt điện áp xoay chiều u  U 2 cos 100  t (U không đổi, t tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm

 5

3 2 2

2 2

L L

R R

Z R U

R

Z R

Đáp án B

Câu 6: Cho mạch điện xoay chiều không phân nhánh có điện trở hoạt động bằng 15Ω, một cuộn cảm thuần có độ tự cảm 2

5π H và một tụ điện có điện dung C=500 F

π  Điện áp giữa hai đầu mạch điện là u=75 2cos100πt(V) luôn ổn định Ghép thêm tụ C’ với C thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị lớn nhất (UL)Max Giá trị của C’ và (UL)Max lần lượt là

A

-3 10

π F; 100V B

-3 10

π F; 200V C

-3 10 2π F; 200V D

-3 10 2π F; 100V Khi ghép thêm tụ C’ thì ULmax khi Z L Z cb=40 từ đó suy ra Cb ,thấy rằng Cb<C ,vậy mắc nối tiếp ,từ đó suy ra C’

Câu 7: Đặt điện áp xoay chiều u = U cos(100t)Vvào đoạn mạch RLC Biết R = 100

tụ điện có điện dung thay đổi được Khi điện dung tụ điện lần lượt là C1=25/π (µF) và C2 = 125/3π (µF) thì điện áp hiệu dụng trên tụ có cùng giá trị Để điện áp hiệu dụng trên điện trở

R đạt cực đại thì giá trị của C là:

GIẢI :

Tuyensinh247.com 34

* ZC1 = 400 ; ZC2 = 240

* UC1 = UC2 =>

2 1 2

1

) ( L C

C

Z Z R

U Z



2 2

2

) ( L C

C

Z Z R

U Z





=> 4002.(1002.2 + ZL

2 – 2ZL.240 + 2402) = 2402.(1002.2 + ZL

2 – 2ZL.400 + 4002)

=> ZL

2 – 300ZL + 20000 = 0 => ZL = 100 và 200

* Để điện áp hiệu dụng trên điện trở R đạt cực đại => có cộng hưởng ZL= ZC

104

Câu 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Điện dung C có giá trị thay đổi được và cuộn dây thuần cảm Điều chỉnh giá trị của C và ghi lại số chỉ

lớn nhất trên từng vôn kế thì thấy UCmax = 3ULmax Khi đó

UCmax gấp bao nhiêu lần URmax?

L Lmax L

R + Z U

(1)

= 3 = R = Z 8

2 2 L Cmax

Rmax

R + Z U

(1)

= (3)  U R (5)

Từ (4) và (5) →

8

3 U

U

max R

max

C 

Câu 9: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Điện dung C có giá trị thay đổi được và cuộn dây thuần cảm Điều chỉnh giá trị của C thì thấy: ở cùng thời

điểm số, chỉ của V1 cực đại thì số chỉ của V1 gấp đôi số chỉ của V2

Hỏi khi số chỉ của V2 cực đại thì số chỉ của V2 gấp bao nhiêu lần số

chỉ V1?

A 2 lần B 1,5 lần C 2,5 lần D 2 2lần

Khi V1 cực đại thì mạch cộng hưởng: UR = U = 2UC = 2UL hay R = 2ZL (1)

Tuyensinh247.com 35

Khi V2 cực đại ta có:

R

Z R U U

2 L 2 max

Z

Z R

1

H Đặt vào A , B một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi : u = U 2cos100πt(V) Điều chỉnh điện dung C để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu AM đạt cực đại ; điện dung của tụ điện

102

(F) C

25

102

(F) D

15

102

(F)

Giải: Ta có ZL = 100π

 10

1 = 10(Ω); UAM =

2 2

2 2

) ( L C

C

Z Z R

Z R U

2 2

) (

C

C L

Z R

Z Z R U

) (

C

C L

Z R

Z Z R

C

C L L

Z R

Z Z Z

R

Tuyensinh247.com 36

Giải:Ta có UC =

2 2

) ( L C

C

Z Z R

) (

C

C L

Z

Z Z R

U



1 2

2

2 2







C L C

L

Z

Z Z

Z R

0 ) ( L C

C

Z Z R

UZ



2 0

2

) (

Câu 12.Một đoạn mạch gồm điện trở thuần R không đổi mắc nối tiếp với 1 tụ điện có điện dung C biến thiên và cuộn dây thuần cảm L=0.3/π (H) Điện áp hai đầu đoạn mạch:

u=Uocos(100t) (V) Khi điều chỉnh điện dung của tụ điện dến giá trị C1 thì điện áp hiệu dụng URC o

 C

4 10 15



4 15.10

Giải

Tuyensinh247.com 37

tương ứng các đại lượng P max , I max , U Rmax khi xảy ra cộng hưởng: ZL = ZC hay 1

LC



2 1

CM

U L U

LM

U L U

R LC R C





Điều kiện để P đạt giá trị cực đại (cộng hưởng) khi: 2

=> Với  = 1 hoặc  = 2 thì I hoặc P hoặc cosφ hoặc UR có cùng một giá trị thì:

IMax hoặc PMax hoặc URMax khi 1 2 1 2 1

LC

        , f  f f1 2 =>Có hai giá trị của  để mạch có P, I, Z, cosφ, U R giống nhau thì : 1 2 2

1

m

LC

    

-Cho ω = ω 1 , ω = ω 2 thì U C như nhau Tính ω để U Cmax :

Điều kiện để U Cmax khi: 2  

-Cho ω = ω 1 , ω = ω 2 thì U L như nhau Tính ω để U Lmax

Điều kiện để U Lmax khi:

2 2

1 L R 1 1 1 C

C L R

C 2

 

 ;UCmax khi

2 2