Gọi O là tâm của hình lục giác đều ABCDEF.. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD.. Liệt kê các vectơ nhận một trong các đỉnh của lục giác hoặc tâm làm điểm đầu hoặc đi
Trang 1PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ HAI VÉCTƠ
1 Chứng minh AB BC CAuuur uuur uuur r+ + =0
2 Cho vectơ ar và br Từ điểm O cho trước, dựng OAuuur=ar, uuurAB= br, OC buuur r= và CD auuur r= Chứng minh BDuuur r=0
3 Cho hình vuông ABCD cạnh a a) Tính độ dài của vectơ tổng của 2 vecto uuuurAB và BCuuur b) Tính độ dài của vectơ tổng của 2 vecto uuuurAB và ACuuur
4 Chứng minh rằng nếu: ar r=b và cr ur=d th, ì ar r r ur+ = +c b d 5 Chứng minh rằng nếu ar r=b thì ar r r r+ = +c b c và ngược lại
6 Gọi O là tâm của hình lục giác đều ABCDEF Chứng minh: OA OB OC OD OE OFuuur uuur uuur uuur uuur uuur r+ + + + + =0
7 Cho 2 vecto ar và br sao cho ar+br=0r a) Dựng OAuuur=arvà OBuuur= br.Chứng minh O là trung điểm của AB b) Dựng OAuuur=ar, uuurAB= br Chứng minh O≡B
8 Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Chứng minh : OA OB OCuuur uuur uuur r+ + =0
9 Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD Chứng minh OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
10 Cho lục giác đều ABCDEFG tâm O Liệt kê các vectơ nhận một trong các đỉnh của lục giác hoặc tâm làm điểm đầu hoặc điểm cuối là vectơ đối của vecto ABuuur
11 Cho 2 vecto ar và br Từ một điểm O bất kì, ta dựng OAuuur=arvà OBuuur= −ar Tiếp theo, dựng uuuur rAM=b và BN uuuur= −bur.Chứng minh : OMuuuur= −ONuuur
12 Cho hình ngũ giác ABCDE Chứng minh AB BC CD AE DEuuur uuur uuur uuur uuur+ + = −
13 Phát biểu một điều kiện đủ theo độ dài của các vectơ để giá của vectơ OA OBuuur uuur+ là phân giác của góc tạo bởi giá của 2 vecto OA vuuuur uuuurà OB
14 Vẽ hình biểu diễn tổng của 2 vectơ OA vuuuur uuuurà OB, biết rằng giá của 2 vectơ này vuông góc với nhau và OAuuur=3,OBuuur=4 Tính độ dài của vectơ OA OBuuur uuur+
15 Cho 2 điểm A và B Tìm tập hợp điểm M sao cho : a) MA MB BAuuur uuur uuur− = b) MA MB ABuuur uuur uuur− = c) MA MBuuur uuur r+ =0 d) MA MBuuur uuur uuur+ =AB
16 Cho các điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAD BE CF+ + =AE BF CD+ + =AF BD CE+ +
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉC TƠ.
1.Tìm giá trị của m sao cho a m br= r khi: a) a vuur à brkhác 0r và bằng nhau b) a vuur à brkhác 0r và đối nhau c) auur r , bcùng hướng và ar=20cm b,r=5cm d) auur r , b ngược hướng và ar=5cm b,r=15cm e) ar = 0 à b 0rv r ≠ r g) ar 0 à b = 0 ≠ rv r r h) ar = 0 à b = 0rv r r
2 Chứng minh rằng : a) Nếu ar = b ì m.arth ur=m b m R ,ur∀ ∈ b) Nếu m.aur=m b v , à m 0 ì aur ≠ th r r=b c) Nếu m.aur=n a v a àur r r≠0 ì th m n=
3 Tam giác ABC có trọng tâm là G Ba điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA Chứng minh GM GN GPuuuur uuur uuur r+ + =0
4 Chứng minh rằng : Hai tam giác ABC và A’B’C’ có các trọng tâm trùng nhau khi và chỉ khi uuuur uuuur uuuur rAA'+BB'+CC' 0=
5 Cho tam giác ABC Dựng uuuur uuur uuur uuurAB' =BC CA , ' =AB và BC'uuur uuur=CA
a) Chứng minh A là trung điểm của B’C’ b) Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’ và CC’ đồng quy
6 Chứng minh rằng nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì sẽ có một số k sao cho MCuuuur= −(1 k MA k MB).uuur+ uuur, với M là một điểm bất kì
7 Chứng minh rằng nếu MCuuuur= −(1 k MA k MB).uuur+ uuur thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng
8 Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuurAC BD+ =AD BC+ =2.MNuuuur
9 Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Gọi G là trung điểm của MN
a) Chứng minh GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0 b) Chứng minh 1( )
4
OGuuur= OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + + , với điểm O bất kì
4
OG= OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur uuur
thì G là trung điểm của MN
10 Cho lục giác đều ABCDEG tâm O cạnh a a) Biểu diễn vectouuurADtheo 2 vecto uuurABvà uuurAG b) Tính độ dài của vecto 1 1
2uuurAB+2BCuuur theo a
11 Cho 2 vecto không cùng phương ar và br Dựng vectơ: a) 2a br r+ b) ar−2br c) 1
2
a b
− +r r
12 Tam giác ABC có trung tuyến là AM (M là trng điểm của BC) Phân tích vectơ uuuurAM theo 2 vectoABuuur và ACuuur
13 M, N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng minh rằng uuuur uuur uuur rAM+BN CP+ =0
14 Cho tứ giác ABCD Biết và uuurAB=2uuurDC Tính diện tích tứ giác ABCD
15 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng u MA MBr uuur uuur= + −2MCuuuurlà 1 vectơ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
16 G là trọng tâm của tam giác đều ABC Gọi L, M và N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ điểm O tùy ý xuống các cạnh của tam giác ABC Chứng minh
3
2
OL OM ONuuur uuuur uuur+ + = OGuuur
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ.
1 Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M là trung điểm cạnh BC AM cắt BD tại H
a) Tính vectơ tổng HA HB HCuuur uuur uuur+ + b) Gọi K đối xứng của H qua O Chứng minh BHuuur uuuur uuur=HK=KD Tìm quan hệ điểm K đối với tam giác ACD
2 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA, ; M, N là trung điểm hai đường chéo BD, AC và O là trung điểm của EG Chứng minh: a)uuur uuur uuur uuurAB CD AD CB+ = + b) AB CDuuur uuur uuuuuur+ =2NM c)uuur uuur uuurAB AC AD+ + =4uuurAO và OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + + =0
d)OM ONuuuur uuur r+ =0và OH OFuuuur uuur r+ =0 Kết luận về quan hệ 3 đoạn thẳng EG, FH, MN
3 Cho ∆ABC Xét 2 điểm M, N định bởi MA MBuuur uuur r+ =0 và Gọi E, F là trung điểm của MN và BC Chứng minh : 1 1
EF= AB+ AC
uuur uuur uuur
4 Cho 2 đường tròn bằng nhau, tâm O, O’ tiếp xúc ngoài tại I Gọi A và A’ là 2 điểm đối xứng của I qua O và O’ MON và EO’F là 2 đường trung bình tùy ý của
2 đường tròn Xác định vecto tổng IMuuur uur uur uur+IN IE IF+ +
5 a) Gọi G và G’ là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’ Chứng minh : AAuuuur uuuur uuuur'+BB'+CC' 3= GGuuuur'
b) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P ,Q ,R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh 2 tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm
6 Cho ∆ABC có trung tuyến AD Xét 2 điểm M, N cho bởi 1
2
AM= AB
uuuur uuur
4
AN= AC
uuur uuur
Tìm điểm H∈AD sao cho M, H, N thẳng hàng
7 Cho hình bình hành ABCD Gọi M chia đoạn CB theo tỉ số 1-m N chia đoạn DB theo tỉ số: -m (m≠0, m≠-1).Chứng minh A, M, N thẳng hàng
8 Cho ∆ABC Xét 3 điểm M, N, P thỏa: MBuuur=3MC v NAuuuur à uuur= −3NC v PA PBuuur à uuur uuur r+ =0 Chứng minh M, N, P thẳng hàng
9 Cho ∆ABC cố định Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
a) MA k MB k MCuuur+ uuur= uuuur b) MAuuur+ −(1 k MB)uuuur+ +(1 k MC)uuuur r=0 c) MAuuur+ −(1 k MB k MC)uuuur− uuuur r=0
d) MAuuur+2MBuuur+3MC k BCuuuur= uuur e) MAuuur−2MBuuur+4MC k BCuuuur= uuur (k là số thay đổi)
10 Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa: a) 2MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3MB MCuuur uuuur+ b) MA MBuuur uuur+ −2MCuuuur=MB MCuuur uuuur+
c) MA MB MCuuur uuur uuuur+ − =MA MB MCuuur uuur uuuur− − d) MCuuuur+2MBuuur=MAuuur+2MCuuuur e) MCuuuur−2MBuuur=MAuuur−2MCuuuur