Tìm xác suất để trong một giờ cả 3 máy sản xuất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỷ thuật?.. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở hộp thứ 1 bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đĩ từ hộp thứ 2 lấy n
Trang 1Nguyễn Đình Ái
97
PHẦN XÁC SUẤT
Bài tập chương I.
Định nghĩa xác suất cổ điển
1.1 Ba xạ thủ, mỗi người bắn một phát Gọi A là biến cố người thứ i bắn i
trúng Hãy biểu diểnA qua các biến cố sau: i
a A : chỉ cĩ người thứ nhất bắn trúng
b B : người thứ nhất bắn trúng cịn người thứ hai bắn trật
c C : cĩ ít nhất một người bắn trúng d D: cả 3 người đều bắn trúng
e E: cĩ ít nhất hai người bắn trúng f F: chỉ cĩ hai người bắn trúng
g G : khơng cĩ ai bắn trúng
h H : khơng cĩ hơn 2 người bắn trúng
i I: người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng
bắn trúng
j K : người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng
1.2.Một túi đựng 12 quả cầu, trong đĩ cĩ 7 quả màu xanh, 5 quả vàng.
Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) từ túi ra 4 quả cầu
a) Tính xác suất để cĩ 2 quả cầu xanh trong 4 quả cầu lấy ra từ túi
b) Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra cĩ ít nhất 1 quả cầu xanh
ĐS.a)C C72 52/C124 b)1−C54/C124
1.3.Một người gọi điện thoại quên mất hai chữ số cuối của số điện thoại
cần gọi và chỉ nhớ là hai chữ số đĩ khác nhau và chữ số cuối cùng là 1,
4, hoặc 5 gì đĩ
Tìm xác suất để xãy ra biến cố A: quay ngẫu nhiên một lần thì trúng
ngay số điện thoại đĩ
ĐS 1/27
1.4.Một hộp cĩ 10 sản phẩm (trong đĩ cĩ 3 phế phẩm).Lấy ngẫu nhiên
(khơng hồn lại) từ hộp ra 5 sản phẩm.Tính xác suất để cĩ khơng quá 1 phế
phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra
ĐS.(C75+C C74 31) /C105
1.5.Một kiện hàng cĩ 12 sản phẩm, trong đĩ cĩ 8 chính phẩm và 4 phế
phẩm Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ kiện hàng Tìm xác suất để trong 3 sản
phẩm lấy ra cĩ ít nhất 1 chính phẩm
ĐS.P(A) = 1− P( A )=1−C43/C123
1.6 Gieo đồng thời hai con xúc xắc được chế tạo cân đối, đồng chất Tìm
xác suất để:
1.7 Trên giá sách cĩ 50 cuốn sách, trong đĩ cĩ 3 cuốn sách của cùng một
tác giả Tìm xác suất để 3 cuốn đĩ khơng đứng cạnh nhau
1.8 Một dãy ghế trong hội trường rạp chiếu phim cĩ 20 chổ ngồi, xếp 20
người vào ngồi một cách ngẫu nhiên, trong đĩ cĩ Lan và Tuấn Tính xác
suất để:
a Lan được ngồi ở một trong hai đầu dãy ghế
b Lan và Tuấn được ngồi gần nhau
1.9 Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên Cĩ 6 người nộp đơn ( trong đĩ
cĩ 4 nữ và 2 nam ) Giả sử khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau Tính xác suất để:
a cả 2 người trúng tuyển đều là nam
b cả 2 người trúng tuyển đều là nữ
c cĩ ít nhất một nữ trúng tuyển
ĐS a)1/15 b)C42/C62 c)1−1/15 = …
1.10 Trong một lớp cĩ 25 sinh viên, trong đĩ cĩ 10 nam và 15 nữ Chọn
ngẫu nhiên một nhĩm gồm 8 sinh viên để đi chiến dịch sinh viên tình nguyện Tính xác suất để:
a Cĩ 4 nam trong số 8 sinh viên được chọn?
b Cĩ nhiều nhất 3 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
c Khơng cĩ sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
d Cĩ ít nhất 1 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
ĐS.a)C C104 154 /C b)1258 − P(A) = … c)P(C)=C158 /C258 c)P(D)=1−P(C)
1.11 Trong 30 đề thi, trong đĩ cĩ 10 đề khĩ, 20 đề trung bình Tìm xác
suất để:
a Một học sinh bốc 1 đề, gặp đề trung bình
b Một học sinh bốc 2 đề, gặp ít nhất một đề trung bình
ĐS.a)20/30 = … b)1−C102 /C302
1.12 Một cơng ty cĩ 60 nhân viên, trong đĩ cĩ 20 nam và 40 nữ Tỷ lệ
nhân viên nữ cĩ thể nĩi tiếng Anh lưu lốt là 15% và tỷ lệ này đối với nam là 20%
a Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của cơng ty Tìm xác suất để gặp được nhân viên nĩi tiếng Anh lưu lốt?
b Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên của cơng ty Tìm xác suất để cĩ ít nhất một người nĩi tiếng Anh lưu lốt trong số 2 người gặp?
HD&ĐS Số nhân viên giỏi tiếng Anh là 10 và kém là 50
a)10/60 = 1/6 b)1−C502 /C602 Cơng thức cộng và cơng thức nhân xác suất
Trang 21.13.Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh gan là 9%, bệnh sốt rét
là 12% và mắc cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng
Tính xác suất để người đó không mắc bệnh nào trong 2 bệnh Giả sử vùng
dân cư khoảng 100.000 người Số người không mắc bệnh nào trong 2 bệnh
khoảng chừng bao nhiêu ?
ĐS 0,86; 86000 (người)
1.14.Biết trong lớp 100 học sinh có 15 em giỏi môn toán và 20 em giỏi
Ngoại ngữ, trong đó có 5 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ Quy định giỏi
ít nhất một môn thì được thưởng Chọn ngẫu nhiên một em trong lớp
Tính xác suất để em đó được thưởng.Suy ra tỉ lệ học sinh được thưởng
của lớp
ĐS.30/100=… ; 30%
1.15 Ba xạ thủ A B C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu., ,
Xác suất bắn trúng của xạ thủ A B C tương ứng là 0,4; 0,5 và 0,6 Tính, ,
xác suất để:
a Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng
b Ít nhất một xạ thủ bắn trúng
HD Gọi các biến cố xạ thủ A, B, C bắn trúng lần lượt là A1, B1, C2
E : biến cố có duy nhất một xạ thủ bắn trúng
F : biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng
a)E= A B C1 1 1∪A B C1 1 1∪A B C1 1 1… b)F = A B C1 1 1,…
1.16.Một phân xưởng có 3 máy Xác suất các máy 1, 2, 3 bị hỏng trong
ngày tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,15 Tính các xác suất của các biến cố sau
a)A: có một máy bị hỏng trong ngày
b)B: có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày
HD Gọi các biến cố máy 1, máy 2, máy 3 hỏng lần lượt là A1, A2, A3
a)A = A A A1 2 3∪A A A1 2 3∪A A A1 2 3 b)B=A A A1 2 3
1.17.Một bộ đề thi vấn đáp gồm 10 đề, trong đó có 4 đề về câu hỏi lý thuyết
và 6 đề bài tập tính toán Có 4 sinh viên lần lượt vào thi, mỗi sinh viên chỉ
lấy một đề và không hoàn lại Tìm xác suất để xãy ra biến cố A : sinh viên
vào lần 1 gặp đề bài tập và 2 sinh viên kế tiếp gặp đề lý thuyết và sinh viên
thứ tư gặp đề bài tập
ĐS 6 4 3 5
10 9 8 7
1.18 Có hai túi đựng các quả cầu Túi thứ nhất đựng 3 quả trắng, 7 quả
đỏ và 15 quả xanh Túi thứ hai đựng 10 quả trắng, 6 quả đỏ và 9 quả
xanh Từ mỗi túi chọn ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất để 2 quả
cầu được chọn đều có cùng màu
HD.Gọi các biến cố lấy được ở túi i quả cầu là trắng, đỏ , xanh lần lượt
là Ti , Đi , Xi , i = 1, 2 Khi đó A = T1T2∪Đ1Đ2∪X1X2
1.19 Chị Lan có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài rất giống
nhau nhưng trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa tủ Chị Lan thử ngẫu nhiên từng chìa ( chìa nào không đúng thì bỏ ra) Tìm xác suất để chị Lan mở được cửa ở lần thử thứ 3
ĐS.7 6 2
9 8 7
1.20 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem phim Họ làm 3 lá thăm,
trong đó có 2 thăm có đánh dấu Mỗi người lần lượt rút một thăm Nếu ai rút được thăm có đánh dấu thì được vé đi xem phim Hãy chứng minh sự
công bằng của cách làm này
HD.Goi các biến cố sinh viên thứ i lấy được thăm có dấu là A1, A2, A3
A2 = A A1 2∪A A1 2,… , A3 = A A A1 2 3∪A A A1 2 3
Công thức Bernoulli
1.21.Cho một lô hạt giống với tỉ lệ hạt nảy mầm là 90 %.
a)Nếu 10 hạt thì xác suất để có 3 hạt nảy mầm là bao nhiêu?
b)Lấy một mẫu để kiểm tra Để xác suất mẫu có ít nhất một hạt lép không
bé hơn 0,9, cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu hạt?
HD.a)Coi việc kiểm tra 10 hạt là 10 phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm trong mỗi phép thử là p = 0,9.⇒ P(A) = C p q =…103 3 7
b)Giả sử mẫu kiểm tra có n hạt
Coi việc kiểm tra n hạt là n phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm trong mỗi phép thử là p = 0,9
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 hạt nảy mầm⇒B là biến cố không có hạt nảy
mầm.⇒ P(B) = … =1 0, 9− n Yêu cầu: P(B)≥ 0,9⇔ …⇔ 0, 9n≤0,1⇔ n.lg 0,9≤ lg 0,1
⇔ n≥−1/lg 0,9 = 21,8543.KL Mẫu phải có số hạt n1≥ 22
1.22 Có 3 lô hàng với số lượng sản phẩm rất lớn Tỷ lệ sản phẩm loại I
của lô hàng 1, 2, 3 lần lượt là: 70%, 80% và 90% Lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (không hoàn lại) Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó
a Tìm xác suất để lô hàng 1 được mua?
b Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua?
c.Nếu chỉ có một lô hàng được mua Tìm xác suất để đó là lô hàng 1?
Trang 3Nguyễn Đình Ái
101
HD&ĐS Các lơ hàng cĩ số lượng sản phẩm rất lớn Do đĩ trong quá
trình lấy các sản phẩm trên, tỉ lệ sản phẩm loại I của các lơ hàng coi như
khơng đổi
⇒Coi việc kiểm tra 10 sản phẩm là 10 phép thử Bernoulli với xác suất
được sản phẩm loại I trong mỗi phép thử là
+ p=0,7 đối với lơ 1 + p=0,8 đối với lơ 2 + p=0,9 đối với lơ 3
a)Gọi A1, A2, A3 là các biến cố lơ hàng 1, 2, 3 được mua
P(A1) = C108.0, 7 0, 38 2+C109.0, 7 0, 3 0, 79 + 10= 0,3828
b)Tương tự P(A2) = C108.0,8 0, 28 2+C109.0,8 0, 2 0, 79 + 10= 0,6778
P(A3) = C108.0, 9 0,18 2+C109.0, 9 0,1 0, 99 + 10= 0.9298
P(B)=1−P A A A( 1 2 3)=…
c)Gọi C là biến cố chỉ cĩ một lơ hàng được mua
C = A A A1 2 3∪A A A1 2 3∪A A A1 2 3…
P(A1/C)=P(A C)1 P(A A A )1 2 3
1.23 Một phân xưởng cĩ 3 máy Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản
phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9 ; 0,8 và 0,7 Trong một giờ
mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm Tìm xác suất để trong một giờ cả 3
máy sản xuất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỷ thuật?
HD.Coi việc kiểm tra 5 sản phẩm là 5 phép thử Bernoulli với xác suất
đạt tiêu chuẩn trong mỗi phép thử là
+p=0,9 đối với máy 1 +p=0,8 đối với máy 2 +p=0,7 đối với máy 3
Gọi biến cố trong 1 giờ, máy 1, máy 2, máy 3 sản xuất được k sp tốt lần
lượt là Ak, Bk, Ck Gọi D là biến cố cần tìm xác suất Ta cĩ
D = A5.B5.C5∪ A4B5C5∪A5B4C5∪A5B5C4…
P(D) = 0.161
Cơng thức xác suất đầy đủ và xác suất điều kiện.
1.25 Trong hồ cĩ 10 con cá cảnh (trong đĩ cĩ 3 cá cĩ đuơi màu đỏ và 7
cá cĩ đuơi màu xanh) Bắt ngẫu nhiên từ hồ ra một con cá Nếu bắt ra cá
cĩ đuơi màu đỏ thì bỏ vào hồ một con cá cĩ đuơi màu xanh Nếu bắt ra
cá cĩ đuơi màu xanh thì bỏ vào một cá cĩ đuơi màu đỏ Sau đĩ từ hồ bắt
tiếp ra một con cá
a Tính xác suất để cá được bắt lần sau cĩ đuơi màu đỏ?
b Nếu hai con cá được bắt ra (lần 1 và lần 2) cĩ đuơi cùng màu Tính
xác suất để hai con cá này cĩ đuơi cùng màu xanh?
HD&ĐS.Gọi biến cố cá bắt lần đầu đuơi đỏ là A1
Hệ biến cố A1, A là đầy đủ và xung khắc.1
a)P(A)=…0,34 b)B=A A1 ∪A A1 , P(A A /B) = …=7/81
1.26 Một nhà máy cĩ 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm.
Phân xưởng 1 sản xuất 25%; phân xưởng 2 sản xuất 25% và phân xưởng
3 sản xuất 50% sản phẩm của tồn nhà máy Tỷ lệ phế phẩm của các
phân xưởng 1, 2 và 3 lần lượt là: 1%, 5% và 10% Lấy ngẫu nhiên một
sản phẩm từ lơ hàng do nhà máy sản xuất
a Tìm xác suất để lấy được phế phẩm? nêu ý nghĩa thực tế của xác suất này?
b Nếu lấy được một phế phẩm, khả năng cao nhất sản phẩm đĩ do phân
xưởng nào sản xuất?
c Nếu lấy được một chính phẩm, khả năng cao nhất sản phẩm đĩ do
phân xưởng nào sản xuất?
HD.a) Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy được do phân xưỡng i sản xuất, i=
1, 2, 3 Gọi B : biến cố sản phẩm đĩ là phế phẩm
a)P(B) = 0,065, …b)do phân xưỡng 3 c)Do phân xưỡng 3
1.27.Cho tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 3% Biết tỉ lệ
người viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60% và tỉ lệ người
viêm họng trong số người khơng nghiện lá thuốc là 20% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng
a)Tìm xác suất để người đĩ viêm họng Suy ra tỉ lệ người viêm họng trong vùng
b)Giả sử người đĩ viêm họng Tìm xác suất để người đĩ nghiện thuốc c)Giả sử người đĩ khơng viêm họng Tìm xác suất để người đĩ nghiện thuốc lá
HD.Gọi A1 : biến cố người đĩ nghiện thuốc lá
Hệ biến cố A1, A1là đầy đủ và xung khắc
a)P(A) =…=0, b) P(A1/A) =…=0,0849 c)P(A1/ A )=0,0152
1.28 Cĩ hai hộp sản phẩm, biết rằng:
Hộp thứ 1: cĩ 7 chính phẩm và 3 phế phẩm
Hộp thứ 2 : cĩ 5 chính phẩm và 3 phế phẩm
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở hộp thứ 1 bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đĩ từ hộp thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được chính phẩm
Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp từ hộp thứ 2 là sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ vào
HD.Gọi A1 : biến cố người đĩ nghiện thuốc lá
Hệ biến cố A1, A1là đầy đủ và xung khắc
Trang 4Gọi B : biến cố sản phẩm lấy lần 2 là phế phẩm P(B) = …= 57/90
C : biến cố sản phẩm lấy từ hộp 2 là do từ hộp 1 bỏ vào
P( C ) = …= 7/57
BÀI TẬP BỔ SUNG
1.Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập với xác suất bị hỏng
trong thời gian một năm làm việc của các máy 1, 2, 3 theo thứ tự là 0,2;
0, 3; 0,4 Biết rằng cuối năm có hai máy bị hỏng
Tìm xác suất để hai máy bị hỏng là máy 1 và máy 2
HD.Gọi các biến cố máy 1, 2, 3 bị hỏng trong năm lần lượt là A1, A2, A3
2.Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán hàng ở một công ty nọ Xác
suất để lần đầu bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán được hàng thì
xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu lần trước không bán
được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,4
a)Tìm xác suất để cả ba lần đều bán được hàng
b)Tìm xác suất để có đúng hai lần bán được hàng
3.Tại một siêu thị, hệ thống tự động phun nước tự động được lắp liên kết
với một hệ thống báo động hỏa hoạn Khả năng hệ thống phun nước bị
hỏng là 0,1 Khả năng hệ thống báo động bị hỏng là 0,2 Khả năng để hai
hệ thống cùng hỏng là 0,04 Tìm xác suất để
a)Có ít nhất một hệ thống hoạt động bình thường
b)cả hai hệ thống đều hoạt động bình thường
4.Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B như nhau.Lấy
ngẫu nhiên 1 chai rượu và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác
định đây là loại rượu nào.Khả năng đoán đúng của mỗi người là 80%.Có
3 người kết luận chai rượu là loại A và 1 người kết luận chai rượu là loại
B Tìm khả năng chai rượu đó là loại A
ĐS.0,9412
5.Trong một cửa hàng bán giày lớn, tỉ lệ đôi giày có 0 , có 1 hoặc có 2
chiếc bị hỏng lần lượt là 80%, 8% hoặc 2% Lấy ngẫu nhiên một đôi giày
và lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thì biết nó bị hỏng
Tìm xác suất để chiếc kia cũng hỏng
ĐS.1/3
6.Hai cửa hàng I và II cung cấp đĩa mềm cho một trung tâm tin học với tỉ
lệ 3 / 2 Tỉ lệ đĩa bị hỏng của cửa hàng I và II lân lượt là 1% và 2% Một
sinh viên thực tập ở trung tâm chọn ngẫu nhiên một hộp gồm 20 đĩa và
từ đó rút ngẫu nhiên ra 1 đĩa
a)Tìm xác suất để đĩa đó bị lỗi
b)Biết đĩa bị lỗi.Tính xác suất để đĩa đó của cửa hàng I
7.Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 1% và của máy II là 2% Một lô sản phẩm
gồm 40% sản phẩm của máy I và 60% sản phẩm của máy II Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm để kiểm tra
a)Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm đó b)Giả sử 2 sản phẩm kiểm tra đều là tốt Khả năng lấy tiếp được 2 sản phẩm tốt nữa là bao nhiêu?
8.Ba anh công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm Xác suất để người
thứ nhất và thứ hai làm ra chính phẩm là 0,9, con người thứ hai là 0,8.Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm
Cho người đó làm tiếp 8 sản phẩm Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm
mới lại có 6 chính phẩm
ĐS.≈ 0,23
9.Một nhà máy có hai dây chuyền cùng sản xuất một loại sản phẩm năng
suất như nhau với tỉ lệ phế phẩm lần lượt 1% và 2% Một người mua 2 sản phẩm của nhà máy Tìm xác suất để có đúng 1 phế phẩm
10.Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta lắp đặt một thiết bị kiểm
tra tự động Thiết bị này vẩn còn sai sót Tỉ lệ kết luận sai khi gặp chính phẩm là 4%, còn khi gặp phế phẩm là 1%
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị đó kết luận sai
b)Tìm tỉ lệ sản phẩm là phế phẩm trong số các sản phẩm bị kết luận sai Tìm tỉ lệ sản phẩm là chính phẩm trong số các sản phẩm kết luận sai
ĐS.a)3,85% b)1,3%; 98,7%
11.Một công nhân đi về nhà theo hai cách: đi đường ngầm hoặc qua cầu.
Biết rằng anh ta đi đường ngầm trong 1/3 trường hợp về nhà
Nếu đi lối ngầm thì 75% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ
Nếu đi qua cầu thì có 70% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ
Biết anh ta về nhà sau 6 giờ Tìm xác suất để anh ta có qua cầu lúc về
Trang 5Nguyễn Đình Ái
105
2.1 Một dây chuyền gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau Xác suất
trong thời gian 1 tuần các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3
Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian 1 tuần
a Lập bảng phân phối xác suất của ĐLNN X
b Tìm hàm phân phối xác suất và vẽ đồ thị của nĩ
c Tính xác suất trong 1 tuần cĩ khơng quá 2 bộ phận bị hỏng
d Tính E(X), D(X), giá trị tin chắc nhất của X
HD
c) P(X ≤ 2) = 0,976; d)E(X) = 0,9; D(X)= 0,61; Mod(X) = 1
2.2 Cĩ hai lơ sản phẩm.
Lơ 1: Cĩ 8 chính phẩm và 2 phế phẩm
Lơ 2: Cĩ 7 chính phẩm và 3 phế phẩm
Từ lơ thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lơ thứ hai, sau đĩ từ lơ
thứ hai lấy ra 2 sản phẩm
Tìm qui luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra
HD
2.3 Cĩ hai kiện hàng, mỗi kiện cĩ 5 sản phẩm.
Kiện thứ nhất: Cĩ 2 sản phẩm loại A
Kiện thứ hai : Cĩ 3 sản phẩm loại A
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện một bỏ vào kiện hai, sau đĩ từ kiện
hai lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào kiện một Lập bảng phân phối xác
suất của số sản phẩm loại A trong kiện một?
HD
2.4 Cĩ hai hộp đựng bi:
Hộp thứ nhất: cĩ 2 bi xanh và 4 bi vàng Hộp thứ hai : cĩ 4 bi xanh
Rút ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đĩ từ hộp
thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 bi bỏ vào hộp thứ nhất Gọi X X lần lượt là1, 2
số bi xanh cĩ ở hộp thứ nhất, thứ hai sau khi thực hiện phép thử Tìm qui
luật phân phối xác suất của X X 1, 2
ĐS
2.5 Cĩ 3 kiện hàng.
Kiện thứ nhất: Cĩ 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B Kiện thứ hai : Cĩ 5 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B Kiện thứ ba : Cĩ 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B
a Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm loại A Lấy tiếp từ kiện đã chọn ra 2 sản phẩm Tìm qui luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại A cĩ trong 2 sản phẩm lấy ra lần sau?
b Chọn ngẫu nhiên 2 kiện rồi từ 2 kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại mỗi kiện 1 sản phẩm.Tìm qui luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại A cĩ trong 2 sản phẩm lấy ra?
ĐS
2.6 Lãi suất thu được trong một năm (tính theo %) khi đầu tư vào cơng ty
A, cơng ty B tương ứng là các ĐLNN X và Y (X và Y độc lập).
Cho biết qui luật phân phối xác suất của X và Y như sau:
a Đầu tư vào cơng ty nào cĩ lãi suất kỳ vọng cao hơn?
b Đầu tư vào cơng ty nào cĩ mức độ rủi ro ít hơn? Vì sao?
ĐS.a)E(X)=9; E(Y)=7,5⇒ … b) D(X)= 4,2; D(Y)=31,15⇒…
2.7 Số tiền lời trong năm tới (tính theo đơn vị: triệu đồng) thu được khi đầu tư 100 triệu đồng vào hai nghành A và B tùy thuộc vào tình hình
kinh tế trong nước và cho ở bảng sau:
Tình hình kinh tế
Số tiền lời
Kém phát triển ổn định Phát triển
Dự báo xác suất tình hình kinh tế
a Số tiền lời kỳ vọng ngành nào là cao hơn?
b Mức độ rủi ro ngành nào là ít hơn?
Trang 6ĐS.Gọi X(triệu đồng), Y(triệu đồng) lần lượt là tiền lời khi đầu tư 100
triệu tương ứng vào ngành A, nghành B
Lập các bảng phân phối xác suất của X , của Y và suy ra
a)E(X) = 44,5; E(Y) = 57⇒ … b)D(X)=684,75; D(Y) = 2811⇒ …
2.8 X (ngàn sản phẩm) là nhu cầu hàng năm về một loại hàng A là một
ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất
( ) (30 ) , ( (0, 30) )
0 , 0, 30
f x
x
a Tìm k b Tìm nhu cầu trung bình hàng năm của loại hàng A.
c Tìm xác suất để nhu cầu về mặt hàng A không vượt quá 12000 sản
phẩm trong năm?
ĐS.a)k= 1/450 b)E(X)=… c)P(X ≤ 12) = …
2.10 ĐLNN X liên tục và có hàm mật độ xác suất như sau:
( )
sin , 0, 2
0 , 0,
x x
f x
x
=
a Tìm hàm phân phối xác suất F x( ) b.Tìm 0
4
< <
c.Tìm E X( ), var( )X
HD.a)Hàm phân phối của X là F(x) =
0 , khi x ( , 0]
(1 cos x) / 2, khi x [0, ]
1 , khi x [ , )
∈ −∞
∈ π +∞
b)P(0 < X <π/4) = F(π/4)− F(0) = … c)E(X) = …=π/2; …
2.11 Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn là
như nhau và bằng 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn
trúng mục tiêu.Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy
HD Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu …⇒ X ~ B(5; 0,2)
P(X ≥ 3) = … = 0,0579
2.12 Trong cuộc thi nâng cao tay nghề mỗi công nhân chọn ngẫu nhiên
1 trong 2 máy Với máy đã chọn sản xuất ra 6 sản phẩm Nếu số sản
phẩm hỏng nhiều nhất là 2 thì đạt yêu cầu Giả sử với công nhân Đậu,
xác suất sản xuất sản phẩm hỏng khi dùng máy M là 0,2 và khi dùng1
máy M là 0,4 Tìm xác suất để anh công nhân Đậu thi đạt yêu cầu.2
HD.Coi việc kiểm tra 6 sản phẩm là 6 phép thử Bernoulli với xác suất bị
hỏng là + p=0,2 khi dùng máy 1 +p=0,4 khi dùng máy 2
Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 6 sản phẩm
+X~B(6; 0,2) khi dùng máy 1 +X~B(6; 0,4) khi dùng máy 2
Gọi Ai : bc anh Đậu chọn máy Mi , i=1, 2 Hệ bc A1, A2 đầy đủ&x/ khắc
P(X ≤ 2) = …= (1/2).0,9011+(1/2).0.5443 = 0,7227
2.13 Chị A nuôi 160 con vịt đẻ cùng loại Xác suất để 1 con vịt đẻ trứng
trong ngày là 0,8
a Tìm xác suất để chị A có được ít nhất 130 trứng trong ngày?
b Nếu mỗi quả trứng bán được 900 đồng, tiền cho vịt ăn trong ngày là
300 đồng Tính số tiền lãi trung bình chị A thu được trong ngày là bao
nhiêu?
HD Gọi X(trứng) là số trứng vịt đẻ trong ngày … X ~ B(160; 0,8) a)Trong tính toán coi X có phân phối chuẩn với µ=E(X)=np = 128 và
σ2
=D(X)=npq= 25,6 ,σ = 5,0596, ta có P(X ≥ 130) =ϕ(+∞ )− 130 128
0, 0596
−
ϕ = …= 0,4217
b)Tiền lãi mỗi ngày: U = 900X− 160×300⇒… E(U) = 67200 (đồng)
2.14 Một lô hàng có 10000 sản phẩm ( trong đó có 4000 sản phẩm loại
A) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng đó ra 10 sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy
2.17 Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 4 cuộc gọi trong 1
phút, biết rằng các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên và độc lập với nhau Tìm xác suất để:
a Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây
b Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 30 giây
c)Có nhiều nhất 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian 30 giây
2.18 Lãi suất X (%) đầu tư vào một dự án được xem như một ĐLNN
phân phối theo qui luật chuẩn Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất là 0,1587 và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228 Vậy khả năng đầu tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu? HD.+Tìmµ ,σ + Tính P( X ≥ 0) = …
2.19 Một đại lý Điện thoại di động dự định sẽ áp dụng một trong 2
phương án kinh doanh:
X1, X2 (triệu đồng/ tháng) là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ nhất,phương án thứ hai
Giả sử X1 ~N(140; 2500) và X2 ~N(200; 3600) Nếu biết rằng để đại lý tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ kinh doanh điện thoại phải
đạt ít nhất 80 (triệu/ tháng) Theo bạn công ty nên áp dụng phương án nào để kinh doanh điện thọai di động? vì sao?
HD P(X1≥ 80) = …= 0,8849; P(X2≥ 80) = … = 0,9772⇒ …
Trang 7Nguyễn Đình Ái
109
BÀI TẬP BỔ SUNG
1.Biết thời gian X (giây) phải chờ trước trụ giao thơng khi gặp đèn đỏ là
ĐLNN phân phối đều trên (0, 20) Thời gian trung bình chờ trước trụ
giao thơng mỗi khi gặp đèn đỏ khoảng bao nhiêu giây?
Mỗi ngày, một người đi xe đến chổ làm phải qua 4 ngã tư với xác suất
gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là 0,5 ; 0,3 ; 0,6 và 0,4 Tìm thời gian
trung bình dừng xe chờ các đèn đỏ mỗi khi người đĩ đi làm
ĐS.18 (giây)
2.Theo thơng kê, tỉ lệ để một người độ tuổi 40 sống thêm ít nhất 1 năm
nữa là 99,5% Một cơng ty nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho mỗi người
độ tuổi đĩ với giá 10(ngàn đồng) và trường hợp người mua bảo hiểm
chết sẽ cĩ số tiền bồi thường là 1 triệu đồng Tìm lợi nhuận trung bình
của cơng ty bảo hiểm khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này ĐS.5(ngàn)
3.Trong một tuyến bay người ta thống kê được 0,5% hành khách bị mất
hành lý và trung bình số tiền bồi thường cho mỗi khách mất hành lý là
600(ngàn đồng) Cơng ty hàng khơng muốn tăng giá vé để bù cho số tiền
bồi thường do khách mất hành lý Giá vé phải tăng thêm là bao nhiêu?
ĐS.3(ngàn)
4.Xác suất để máy hỏng trong một ngày làm việc là 1% Mỗi lần máy
hỏng, chi phí sữa chữa hết 1(triệu đồng) Vậy cĩ nên ký hợp đồng bảo
dưỡng 100(ngàn đồng/ tháng ) để giảm xác suất hỏng của máy đi một
nữa khơng và nếu ký thì hiệu quả TB mang lại mỗi năm là bao nhiêu?
ĐS.825(ngàn)
5.Thời gian bảo hành mỗi sản phẩm được qui định là 3 năm Nếu bán
được một sản phẩm thì cửa hàng lãi 150(ngàn ) Cịn nếu sản phẩm bị
hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi 500(ngàn) cho bảo
hành Biết tuổi thọ X(năm) của mỗi sản phẩm là ĐLNN phân phối chuẩn
với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm và độ lệch chuẩn là 1,8 năm
a)Tìm tiền lãi trung bình cửa hàng thu được sau khi bán mỗi sản phẩm
b)Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra là 50(ngàn
đồng) thì phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
c)Nếu qui định thời gian bảo hành là 4 năm thì tỉ lệ sản phẩm phải bảo
hành là bao nhiêu?
d)Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải qui định thời
gian bảo hành là bao nhiêu? ĐS.a)24,3(ngàn) b)2,688 năm
6.Độ dài chi tiết X (cm) do một máy sản suất là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn với độ lệch là 9 (cm).Biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất cĩ
độ dài khơng vượt quá 84 (cm) Lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết Tìm xác suất
cĩ ít nhất 1 chi tiết cĩ độ dài khơng dưới 80(cm) ĐS.0,6409
7.Một người cân nhắc giữa việc mua nhà bây giờ hay gửi tiết kiệm lãi
suất 12% một năm để chờ năm sau sẽ mua
Biết mức tăng giá nhà sau một năm X(%) là ĐLNN phân phối chuẩn với E(X) = 8(%) vàσ(X) = 10(%) Giả sử người đĩ quyết định gửi tiền vào tiết kiệm.Tìm khả năng để quyết định đĩ là sai lầm ĐS.0,3446
8.Thời gian hoạt động tốt ( khơng phải sữa chữa) X (giờ) của một loại
TV là một ĐLNN phân phối chuẩn N(µ , σ2
) với µ = 4300 (giờ) và
σ=250 (giờ) Giả thiết mỗi ngày trung bình người ta dùng TV 10 (giờ) và thời hạn bảo hành miễn phí là 360 ngày
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành
b)Phải nâng thời gian hoạt động tốt lên bao nhiêu để tỉ lệ bảo hành vẩn
như cũ nhưng thời gian bảo hành lên đến 720 ngày
ĐS.a)0,26% b)7900 (giờ)
9.Tuổi thọ X (giờ) của một trị chơi điện tử là một biến ngẫu nhiên cĩ
hàm mật độ f(x) = k.e x/100, khi x 0
0 , khi x<0
−
a)Tìm xác suất để tuổi thọ trị chơi trong khoảng từ 50 đến 100 giờ b)Tìm xác suất để tuổi thọ trị chơi ít hơn 80 giờ
10.Một hãng quảng cáo tuyên bố trung bình cứ 5 bác sĩ thì cĩ 2 bác sĩ chỉ
định cho bệnh nhân loại thuốc mà hãng đĩ quảng cáo
a)Giả sử tuyên bố của hãng là đúng, tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 20 bác sĩ cĩ đúng 1 bác sĩ chỉ định loại thuốc đĩ
b)Đi kiểm tra ngẫu nhiên 20 bác sĩ ta thấy chỉ cĩ 1 bác sĩ chỉ định loại
thuốc đĩ Bạn sẽ kết luận thế nào về tuyên bố của hảng quảng cáo
11.Một máy bay bay dọc theo cầu dài10m, rộng 4m và ném 2 quả bom.
Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox là trục đối xứng của cầu theo phương ngang và Oy là trục đối xứng theo phương dọc Biết rằng hồnh độ và
tung độ của vị trí rơi của mỗi quả bom là các biến độc lập cĩ phân phối
chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và các độ lệch chuẩn lần lượt là 4m
và 6m Tìm xác suất để cầu bị trúng bom
Trang 812.Một xí nghiệp cung cấp nguyên vật liệu gửi 5 giấy đòi nợ đến xí
nghiệp yêu cầu thanh toán cho 5 đợt giao hàng số lượng như nhau Mỗi
giấy cho một đợt.Trong 5 giấy đó có 2 giấy ghi sai số tiền nợ
Do đến hạn trả nợ cho ngân hàng, công ty yêu cầu xí nghiệp phải trả
ngay cho 3 giấy đòi nợ chọn ngẫu nhiên Công ty đã thỏa thuận với xí
nghiệp như sau: trong 3 giấy đòi nợ đó nếu có giấy nào ghi sai số tiền thì
hoãn trả nợ cho đợt giao hàng đó Mỗi giấy bị hoãn sẽ gây thiệt hại cho
công ty khoảng 5 triệu đồng vì phải trả nợ quá hạn cho ngân hàng
Tìm số tiền thiệt hại trung bình công ty phải chịu do cách làm trên
13 Tỉ lệ phế phẩm trong một lô sản phẩm do một công ty sản xuất là
0,4% Lô sản phẩm sẽ được mua nếu kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm,
có không quá 2 phế phẩm Tìm xác suất để lô hàng được mua
14.Tổng đài điện thoại phục vụ 1000 máy điện thoại.Xác suất trong mỗi
phút , mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,002
a)Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong một phút
b)Tìm xác suất để có 3, 4 máy gọi đến tổng đài trong một phút
15.Gọi X(KWh) là lượng điện tiêu thụ mỗi tháng của mỗi hộ gia đình ở
miền Trung Biết X có phân phối chuẩn với trung bình 100 (KWh) và độ
lệch chuẩn là 50 (KWh)
Giả sử trong 50 (KWh ) đầu tiên phải trả 1 (ngàn) cho mỗi (KWh)điện
Những (KWh) điện tiêu thụ tiếp theo phải trả 2(ngàn) cho mỗi
(KWh)điện
Gọi Y (ngàn) là số tiền điện phải trả mỗi tháng của mỗi hộ gia đình
a)Tìm tỉ lệ hộ gia đình tiêu thụ dưới 80(KWh) trong 1 tháng
b)Tìm tỉ lệ hộ gia đình trả tiền điện trong 1 tháng nhiều hơn 300(ngàn)
c)Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của Y
16.Gọi X (mm) là chiều dài mỗi sản phẩm do một phân xưởng sản xuất.
X có phân phối chuẩn với độ lệch là 0,5(mm) Sản phẩm gọi là đạt chất
lượng cao nếu chiều dài sản phẩm sai lệch chiều dài trung bình (chiều dài
qui định) không quá 0,1 (mm)
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng cao của phân xưởng
b)Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm
đạt chất lượng cao
*Một số suy diễn từ các thống kê X , F.
3 1.Xét ĐLNN X trên một tổng thể Cho E(X) =µ và D(X) =σ2
Lập mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …,Xn) kích thước n của ĐLNN X
Cho X có phân phối chuẩn CM: X có phân phối chuẩn N(µ,σ2
/n) và
ĐLNN K = X
/ n
− µ
σ có phân phối chuẩn tắc.
3.2.Xét một tổng thể với tỉ lệ có tính chất A nào đó là p Lấy mẫu ngẫu
nhiên n phần tử của tổng thể (với n đủ lớn, chẳng hạn np>5 và n(1−p)>5) Biết tỉ lệ mẫu F là biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N(p, p(1−p)/n) Chứng minh
ĐLNN
(1 ) /
K
−
=
− có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc.
3.3 Trọng lượng của một loại gia cầm trong đàn gia cầm là biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 2,5 kg mỗi con Biết với xác suất 0,9973 thì trọng lượng của loại gia cầm này nằm trong khoảng sai lệch so với trọng lượng trung bình là 0,3 kg
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên từ đàn ra 25 con thì trọng lượng trung bình của chúng nằm trong khoảng 2,4 kg đến 2,6 kg
3.4 Trọng lượng gạo đóng bao xuất khẩu là ĐLNN phân phối chuẩn với
trung bình (trọng lượng qui định) là 50kg và độ lệch chuẩn cho phép 0,5kg Nếu từ một lô gạo xuất khẩu đem cân ngẫu nhiên 16 bao thì với xác suất 0,95 trọng lượng trung bình của chúng chỉ được phép sai lệch so với trọng lượng qui định tối đa là bao nhiêu?
3.5 Kích thước chi tiết trong các lô chi tiết gia công là ĐLNN phân phối
chuẩn với độ lệch chuẩn cho phép là 0,1 cm Đem kiểm tra ngẫu nhiên
10 chi tiết từ lô chi tiết mới gia công Với xác suất 0,99, độ sai lệch tối đa
kích thước trung bình chúng so với kích thước qui định là bao nhiêu để
có thể chấp nhận được lô hàng đó
3.6 Biết tỉ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ trong nướclà 25% Lấy
một mẫu điều tra gồm 200 người của một thành phố lớn
a)Tìm xác suất để có 28% người mua bảo hiểm nhân thọ trong.mẫu đó b)Với mẫu nói trên, với xác suất 0,1 thì tỉ lệ mẫu có thể lớn hơn tỉ lệ tổng thể một lượng tối thiểu là bao nhiêu?
Trang 9Nguyễn Đình Ái
113
c)Với xác suất là 0,9, tìm tỉ lệ mẫu tối thiểu là bao nhiêu để cĩ thể kết
luận thành phố đĩ cĩ lượng người mua bảo hiểm nhân thọ≥ 25%
Lý thuyết mẫu và ước lượng
1.Đo chiều cao và đường kính của một
loại cây cĩ cùng độ tuổi Ta được kết quả
cho ở bảng
Tính trung bình và phương sai mẫu của
chiều cao và đường kính
HD Gọi X (cm) và Y (cm) lần lượt là chiều cao và đường kính mỗi cây
cùng độ tuổi của lồi cây đĩ
ĐS. x = 103,1667 (cm); s =6,1584; y =12,8333(cm);2X s =2,1677 Y2
2.Quan sát về thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta thu
được các số liệu cho ở bảng
Khoảng thời gian
Khoảng thời gian (phút) Số quan sát 20-25
25-30
30-35
35-40
2 14 26 32
40-45 45-50 50-55
14 8 4
Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một chi tiết máy với độ tin
cậy 95%
3 Điều tra năng suất của 100 hecta lúa ở một vùng, người ta thu được
kết quả cho ở bảng
Năng suất
(tạ/ha) Diện tích (ha)
Năng suất
(tạ/ha) Diện tích (ha) 30-35
35-40
40-45
45-50
7 12 18 27
50-55 55-60 60-65 65-70
20 8 5 3 Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu, độ lệch mẫu cụ thể?
Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đĩ với độ tin cậy 95%
Chiều cao (cm)
Đường kính
(cm) 104
99 105 103 102 106
11 13 15 14 12 12
4 Để nghiên cứu nhu cầu của một loại hàng hĩa ở một khu vực, người ta
tiến hành khảo sát 800 gia đình Kết quả cho ở bảng dưới Nhu cầu
(kg/tháng) Số gia đình (ni)
Nhu cầu (kg/tháng)
Số gia đình (ni) 30-35
35-40 40-45 45-50 50-55
25 48 83 159 189
55-60 60-65 65-70 70-75
142 94 50 10
Tính giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu?
Ước lượng nhu cầu trung bình mỗi gia đình với độ tin cậy 95%
Ước lượng tỉ lệ gia đình cĩ nhu cầu hơn 60 (kg/tháng) với độ tin cậy
90%
f = 0,1925 ;ε = 0,0229; ( f−ε, f +ε) = ( 0,1696; 0,2154)
5 Thống kê số hàng hĩa bán được mỗi ngày và số ngày bán được lượng
hàng tương ứng, ta cĩ bảng số liệu sau:
Lượng hàng
bán trong ngày (kg)
số ngày (ni)
Lượng hàng
bán trong ngày (kg)
số ngày (ni) 100-200
200-250 250-300 300-350 350-400
5 12 56 107 75
400-450 450-500 500-550 550-600
70 35 30 10
Tính trung bình mẫu và cho biết ý nghĩa thực tế của nĩ?
Ước lượng lượng hàng bán trung bình mỗi ngày với độ tin cậy 95% Ước lượng tỉ lệ ngày bán được nhiều hơn 500 (kg) với độ tin cậy 90%
f = 0,1;ε = 0,0247; (f−ε, f+ε) = (0,0753; 0,1247)
6.Điều tra năng suất lúa trên 81 ha lúa được chọn ngẫu nhiên của một
vùng lớn, người ta tính được trung bình mẫu cụ thể x= 40 tạ/ha và độ lệch mẫu cụ thể s = 2,1 tạ Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình cả vùng với độ tin cậy 95%
Trang 107.Lấy ngẫu nhiên 25 sản phẩm do một công ty sản xuất ra Ta tính được
trung bình mẫu cụ thể 995,8 g và phương sai mẫu cụ thể là 0,144 Giả
thiết trọng lượng các sản phẩm là ĐLNN X (g) có phân phối chuẩn
Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các sản phẩm do công ty sản
xuất với độ tin cậy 95%
ĐS.ε = 0,0594; ( x−ε, x +ε)=(995,7406; 995,8594)
8.Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy người ta theo dõi
ngẫu nhiên thời gian gia công 25 chi tiết và thu được bảng số liệu sau
đây:
Với mức tin cậy 0.95, hãy ước lượng thời gian gia công trung bình tối đa
với loại chi tiết trên Cho biết thời gian X (phút) để gia công chi tiết đó
tuân theo quy luật chuẩn
9 Năng suất ngô của một vùng A được báo cáo lên qua 25 điểm thu
hoạch là:
Với mức tin cậy là 0.95, hãy tính năng suất trung bình ngô tối thiểu của
vùng này Cho biết năng suất ngô tuân theo quy luật chuẩn
10 Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí nghiệp thì thấy lương
tháng trung bình là 380.000 đồng.Giả sử lương công nhân X ( ngàn
đồng) tuân theo quy luật chuẩn, với độ lệch chuẩn σ=14(ngàn đồng)
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân
trong toàn xí nghiệp trên
ĐS.ε = 4,7355; (375,4267; 384,5733)
11 Giả sử điểm trung bình X (điểm) môn toán của 100 thí sinh thi vào
ĐHNT là 5, với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 2.5
a)Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể sinh viên với độ tin
cậy 95%
b)Với độ chính xác là 0.25 điểm, hãy xác định độ tin cậy
12 Tuổi thọ X (giờ) của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn
với độ lệch chuẩnσ=100 (giờ)
a)Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy trung bình tuổi thọ mỗi bóng là 1000 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%
b)Với độ chính xác 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy
c)Với độ chính xác 25 giờ và độ tin cậy 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng
13 Trọng lượng một loại chi tiết là một biến số ngẫu nhiên quy theo quy
luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1.2 kg Phải chọn ít nhất bao nhiêu chi tiết để điều tra, nếu muốn độ chính xác của ước lượng không vượt quá 0.3 và mức tin cậy của ước lượng là 0.95
ĐS 62 (chi tiết)
14 Chiều dài của một loại sản phẩm A do một máy tự động sản xuất là
một biến số ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn
là 3cm Phải chọn ít nhất bao nhiêu chi tiết để đo, nếu muốn độ dài khoảng tin cậy không vượt quá 0,6 và mức tin cậy của ước lượng là 0,99
ĐS n1 = 664 (chi tiết)
15.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng một mặt hàng ở một thành phố, người
ta điều tra trên 1000 người được chọn ngẫu nhiên của thành phố và thấy
có 400 người có nhu cầu.Hãy ước lượng tỉ lệ người có nhu cầu về mặt
hàng đó trong toàn thành phố với độ tin cậy 95%
ĐS.ε = 0,0304 ; 36,96%→ 43,04%
16 Để điều tra số cá trong một hồ, người ta đánh bắt 1000 con cá, đánh
dấu rồi thả xuống hồ Lần sau bắt lại 200 con thì được 40 con đánh dấu Với độ tin cậy 95% hãy:
a) Ước lượng tỷ lệ cá được đánh dấu trong hồ
b) Ước lượng số cá trong hồ
17 Gieo 400 hạt giống thì có 20 hạt giống không nảy mầm Tỷ lệ hạt
giống không nảy mầm tối đa là bao nhiêu? Yêu cầu kết luận với mức tin cậy 0.95
ĐS.ε = 0,0214; 7,14%
18 Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 500 chiếc
xe tải trên đường quốc lộ Họ phát hiện ra 40 chiếc có phanh chưa đảm bảo an toàn Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an toàn
ĐS.ε = 0,0282; 5,18%→ 10,82%
19 Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu
nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó bỏ phiếu cho ứng