dãy phân số có quy luật

Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có một số bài toán đưa ra dạng toán có quy luật và đan xen vào đó là tính tổng của dãy (phần bài tập tự luyện). Ở chủ đề này, mục đầu tiên xin được đưa ra trong các phép toán trong tập hợp số tự nhiên là dạng toán có quy luật. Các em học sinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính toán sau: Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

2 CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN

Thực hiện phép tính

a) Dạng toán có quy luật: (Dãy cộng)

Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có một số bài toán đưa ra dạngtoán có quy luật và đan xen vào đó là tính tổng của dãy (phần bài tập

tự luyện) Ở chủ đề này, mục đầu tiên xin được đưa ra trong các phéptoán trong tập hợp số tự nhiên là dạng toán có quy luật Các em họcsinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính toán sau:

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thườnghướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy:

Khoa� ngca� ch so� ha� nglie� ntie� p

(quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi)

Với dãy số tăng dần ta có:

 

(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là

10, số hạng cuối của dãy là 99)

Tổng của dãy:

99 10

.90 49052

Khoa� ngca� ch so� ha� nglie� ntie� p

Ta có: So� so� ha� ng1 Khoa� ngca� ch so�2 ha� nglie� ntie� p So� ha� ngcuo� i So� ha� ng�a� u

�So� so� ha� ng 1 Khoa� ngca� ch so�2 ha� nglie� ntie� p � So� ha� ng�a� u So� ha� ngcuo� i

Phân tích: Như bài tập số 2 ta có:

Với dãy số tăng dần ta có:

Phân tích: Dựa vào công thức với dãy số có quy luật tăng dần:

Suy ra: 2.To� ngcu� ada� y : So� so� ha� ngSo� ha� ngcuo� i So� ha� ng�a� u

Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 sốhạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915 Từ bước 1

và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối

Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biếttổng và hiêu của hai số đó

Hướng dẫn giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: 15 1 2 28  

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 2 :15 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: 122 28 : 2 47  

(bài toán tổng hiệu quen thuộc)

Đáp số: 47

CÂU CHUYỆN VỀ VUA TOÁN HỌC GAUSS

Ba tuổi, thiên tài tính toán đã bộc lộ ở Gauss; Bảy tuổiđến trường và khiến cho các giáo viên phải kinh ngạctrước khả năng toán học của mình Mười chín tuổi,Gauss quyết tâm trở thành nhà toán học Khó có thểchỉ ra một ngành toán học nào mà ở đó lại không cónhững đóng góp của ông “Vua toán học” Carl FriedrichGauss

Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nướckiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777 Người ta còn kể mãimột câu chuyện về thời thơ ấu của ông như sau:

Cha của Gauss thường nhận thầu khoán công việc để cải thiện đờisống Ông hay thanh toán tiền nong vào chiều thứ bảy Lần ấy, ông vừađọc xong bảng thanh toán thì từ phía giường trẻ có tiếng của Gaussgọi:

- Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng…

Mọi người không tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tínhđúng Khi ấy, Gauss mới tròn 3 tuổi Có thể nói, Gauss đã học tính trướckhi học nói.

Những ngày đầu đến trường, Gauss không có gì đặc biệt so với các tròkhác Nhưng tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn sốhọc

Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ

1 – 100 Khi thầy vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:

- Thưa thầy, em giải xong rồi!

Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chếnhạo:

- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khónhư vậy đâu!

- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số này

có các tổng hai số của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phíacuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 =… 50 =

51 = 101 Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= … = 101 *

50 = 5050

Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài toán một cáchchính xác tuyệt đối, mà cách giải lại vô cùng độc đáo Từ đó,Gaussđược mọi người biết đến như một thiên tài toán học

Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen,Gauss đã đưa ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ vàcompa Đây là một phát hiện rất quan trọng, nên về sau người ta đãtheo di chúc của ông mà khắc trên mộ ông đa giác đều 17 cạnh nộitiếp trong một đường tròn

Sau này, nhờ có nghệ thuật tính toán mà Gauss đã phát hiện một hànhtinh mới Vào đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đãphát hiện ra hành tinh mới gọi là Xexera Ông quan sát được nó khônglâu, sau đó nó dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào những tia sáng mặttrời Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều không đạt kết quảnữa, họ không nhìn thấy được nó ở chỗ mà theo dự đoán nó phải hànhtrình đến Các kính viễn vọng đều bất lực Nhưng Gauss, với những sốliệu quan sát ban đầu, ông đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đó

và chỉ ra vị trí của nó với độ chính xác cao Nhờ thế, các nhà thiên văn

đã tìm thấy Xexera Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra nhiềuhành tinh mới khác Sau công trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss đượcxem như một nhà toán học vĩ đại của thế giới và được tôn là “Ônghoàng toán học”

C F Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ông là những cống hiến vĩ đạicho ngành toán học của nhân loại Cho đến tận ngày nay, câu chuyện

về khả năng tính toán thiên bẩm của Gauss vẫn còn được kể như lànhững huyền thoại

Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;…

a) Nêu quy luật của dãy số trên

c) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm

c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.

Bài 4: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456…

a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ baonhiêu?

b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào?

a, Tính tổng của dãy số trên?

Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?

Bài 6: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 + biết tổng trên có 100

số hạng?

Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các

số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000.Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?

b) Dạng toán có không có quy luật

* Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này:

- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng

có cùng cơ số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?

- Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b;

- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số

c) Chứng minh rằng : 14 – 114 Chia hết cho 13

d) Chứng minh rằng: 20152015– 1 Chia hết cho 2014

Nhận xét: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừ

cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liềnnhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32

Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là

1 Nên ta nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này

a) Ta có: 3A3 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 + 8.9       

  1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 -7.8.9 +8.9.10      �

8.9.10 720

Vậy A 720 : 3 240 

Ta chú ý tới đáp số 720 8.9.10 , trong đó 8.9 là số hạng cuối cùng của

A và 10 là số tự nhiên kề sau của 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp

98.99.100 8.9.10

3231603

Hướng dẫn giải câu B

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn

1 2

S  a  a  a Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc

bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụngphương pháp này để giải quyết bài toán

Ta dự đoán   Sn  n2

Với 1; 2; 3n  � ta đều thấy kết quả đúng, giả sử với n k k(  � ta có:1)

2    

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên?