Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6

Mục đích nghiên cứu: Mục đích của việc nghiên cứu đề tài này là khai thác, mở rộng dạng bài toán cơ bản về dãy các phân số có quy luật thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúphọc sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ

CÓ QUY LUẬT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Người thực hiện: Nguyễn Thị Lâm

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Thăng Long

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

NÔNG CỐNG, NĂM 2017

7 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 04

8 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII đã nêu rõ: “Giáo dục là quốc sách hàngđầu”, phát triển giáo dục luôn là động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp côngnghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước, là điều kiện phát huy nguồn nhân lực conngười, yếu tố cơ bản để phát triển xã hội Giáo dục đào tạo thực hiện mục đích

“nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong thời đại hội nhậphiện nay, sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ đòi hỏi dân trí ngày càngphải được nâng lên Vì vậy, ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường, học sinh cầnđược giáo dục nhân cách và trí tuệ một cách toàn diện nhất, tạo nền tảng vững chắc

để giúp các em trở thành những con người đủ phẩm chất và năng lực, có ích cho xãhội Muốn vậy, các em cần được rèn luyện lối tư duy sắc bén, lập luận chặt chẽ,linh hoạt và nhanh nhẹn, có khả năng phán đoán, phân tích, tổng hợp, khái quátvấn đề, Để đáp ứng những yêu cầu này trong giáo dục, bộ môn Toán chiếm một

vị trí vô cùng quan trọng vì toán học không chỉ giúp học sinh có khả năng tínhtoán, phát triển tư duy, suy luận lôgic mà toán học còn là tiền đề cho các môn khoahọc khác Tuy nhiên, trong toán học, có rất nhiều vấn đề trừu tượng, không phảichỉ cần vận dụng trực tiếp công thức là làm được Qua thực tế giảng dạy, tôi nhậnthấy có một số dạng toán mà học sinh khi gặp phải đều thấy có nhiều khó khăn,như dạng toán đòi hỏi vẽ đường phụ trong hình học, toán về bất đẳng thức, toánsuy luận lôgic, Đối với lớp 6, đặc biệt có dạng toán về dãy số viết theo quy luật,đây là dạng toán tương đối khó với các em khi mới tiếp xúc Nhiều học sinh khóhiểu khi gặp dạng toán này, chưa tìm ra quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúngtúng, chưa định ra phương pháp giải bài tập cho hợp lý Trong khi đề thi học sinhgiỏi các cấp thường hay gặp dạng toán này mà sách giáo khoa lại chưa đề cậpnhiều, sách nâng cao có đề cập đến nhưng cũng chưa sâu, thường cho các em một

số bài tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho các em biết cách khai thác bàitoán cơ bản thành bài toán mới đa dạng hơn hơn, nên khi gặp bài khác đi một chútthì các em lại lúng túng Vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác bài toán về

dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6” để nghiên cứu, tìm tòi

và viết sáng kiến kinh nghiệm

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của việc nghiên cứu đề tài này là khai thác, mở rộng dạng bài toán

cơ bản về dãy các phân số có quy luật thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúphọc sinh biết cách nhận ra quy luật của dãy một cách nhanh chóng để từ đó địnhhướng phương pháp giải Không chỉ vậy, đề tài còn giúp học sinh được rèn luyệnthói quen khi gặp một bài toán, không chỉ tìm cách giải bài toán đó mà còn phải cốgắng tìm cách khai thác bài toán để được những bài toán mới, góp phần nâng caokiến thức, khả năng tư duy toán học, suy luận lôgic cho học sinh, khuyến khích các

em luôn biết tìm tòi, khám phá, tăng đam mê và niềm yêu thích toán học cho các

em Đề tài cũng giúp cho giáo viên hệ thống hóa các dạng bài toán về dãy các phân

số có quy luật một cách rời rạc thành một chuỗi thống nhất, từ đó giúp học sinhtiếp thu bài dễ dàng, quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

a Đối tượng nghiên cứu:

- Nghiên cứu một số dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán lớp 6

- Nghiên cứu các hướng khai thác đối với bài toán về dãy các phân số có quy luật

Cụ thể, trong đề tài này, tôi nghiên cứu các hướng khai thác đối với hai bài toán cơbản về tổng của dãy các phân số có quy luật, đó là:

- Khai thác bài toán 1: tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân

số này đều là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

- Khai thác bài toán 2: tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân

số này đều là 1, mẫu các phân số là lũy thừa cơ số 2 với số mũ là các số tự nhiênliên tiếp

b Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này được tôi nghiên cứu trên phạm vi 33 em học sinh lớp 6D trườngTHCS Trần Phú năm học 2016 - 2017 (trường THCS Trần Phú là nơi tôi làmnhiệm vụ dạy tăng cường)

4 Phương pháp nghiên cứu:

a Phương pháp xây dựng, hệ thống kiến thức:

- Dựa trên vốn kiến thức sẵn có của bản thân

- Thảo luận, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

- Tham khảo tài liệu (sách vở, mạng internet) các kiến thức về đề tài

b Phương pháp điều tra, khảo sát tình hình thực tế:

- Nghiên cứu các bài giải của học sinh

- Trò chuyện với học sinh về những khó khăn khi gặp dạng bài toán về dãycác phân số có quy luật, cách xử lý vấn đề của các em

c Phương pháp phân tích, tổng hợp:

- Phân tích các bài toán dạng dãy các phân số có quy luật

- Phân tích nguyên nhân những khó khăn của học sinh

- Tổng hợp kinh nghiệm khai thác bài toán một cách có hệ thống

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình dạy học và ôn tập cho học sinh thi học sinh giỏi môn toán lớp

6, dạng bài toán về dãy các phân số có quy luật là dạng bài thường gặp Nhưng0thực tế, khi mới gặp dạng này, nhiều học sinh tỏ ra lúng túng, không tìm ra cáchgiải, đặc biệt là với những dãy không phải dạng cơ bản mà đã có sự biến đổi phứctạp thì càng gây khó khăn cho học sinh, nhiều em thấy khó còn nản chí Vì vậy,việc tìm ra quy luật của dãy và khai thác bài toán cơ bản theo nhiều dạng bài tậpkhác nhau càng trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo hơn khi gặp dạng này và

tự tin hơn khi gặp đề thi có các bài tập liên quan

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình dạy chương III phần Số học lớp 6 - chương “Phân số”, tôithấy nhiều em rất lúng túng, không tìm ra phương pháp giải cho dạng bài toán vềdãy các phân số có quy luật Cả lớp được 18/33 em làm được bài tính tổng của dãycác phân số có quy luật cơ bản mà các em đã được học từ lớp 4, nhưng khi có sựthay đổi nhỏ trong đề bài thì hầu như không em nào làm được bài Trong quá trìnhtrao đổi, trò chuyện với học sinh và quá trình khảo sát bài làm thực tế của các em,tôi nhận ra một số khó khăn của các em thường gặp, đó là: không tìm ra quy luậtcủa dãy hoặc có em tìm được quy luật nhưng không biết cách giải quyết vấn đề,các em chưa biết cách khai thác dạng bài toán này nên khi thay đổi đề bài một chútthì lại không có hướng giải

3 Các giải pháp giải quyết vấn đề:

Qua tham khảo các tài liệu và quá trình tìm tòi, nghiên cứu cùng với kinhnghiệm thực tế giảng dạy của mình, tôi đã hướng dẫn học sinh khai thác bài toán

về chủ đề “dãy các phân số viết theo quy luật” thành những bài toán mới Cụ thểnhư sau:

là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

1 1 50 49 50

 



Từ bài toán này, ta có một số cách khai thác bài toán như sau:

Khai thác 1: Thêm vào biểu thức trên nhiều số hạng theo đúng quy luật của dãy, ta được bài toán mới.Chẳng hạn:

Tính giá trị biểu thức: A1 =

1 2  2 3 3 4     2015 2016  2016 2017 Giải: Ta có: A1 =

1 1

n n n

n n n

So sánh: A3 =

1 2  2 3 3 4  98 99 99 100 với 1.

20172016Giải: Ta có: A4 =

2017

2016 (đpcm).

Khai thác 5: Từ bài toán 1, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên liên tiếp, ta có bài toán khác Chẳng hạn:

2017 2016

Tính giá trị biểu thức: A7 =

1 6  6 11 11 16     2006.2011 2011.2016Giải: Ta có: A7 =

1 6  6 11 11 16     2006.2011 2011.2016

Khai thác 8: Từ bài toán trên, ta phát triển thành dãy các phân số có cùng

tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên cách đều một lượng khác tử số, ta

1 2  3 4  5 6   97 98 99 100   

Tính giá trị biểu thức: A10 =

2 14 3565 48505150Giải: Ta có: A10 =

1 2 3 2 3 4 3 4 5         97 98 99 98 99 100    

1 50

Lại có:

2017 2017 2017 2017 2017

51  52  53   99  100

Cho biểu thức: A17 =

2! 3! 4!   200! Chứng minh: A17 < 1

Giải: Nhận thấy:

Vậy a chia hết cho 151.

Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức: B = 2 3 10

2 2  2  2Nhận thấy: A là một tổng của các phân số có quy luật: tử các phân số này đều là 1,mẫu các phân số là lũy thừa cơ số 2 với số mũ là các số tự nhiên liên tiếp

B 10

112

 

1 1 1024 1023 1024

 

 Vậy B =

1023 1024

Từ bài toán này, ta có một số cách khai thác bài toán như sau:

Khai thác 1: Thêm vào biểu thức trên nhiều số hạng theo đúng quy luật của dãy, ta được bài toán mới Chẳng hạn:

Thu gọn biểu thức: B1 = 2 3 2017

2  2  2   2Giải: Ta có: B1 = 2 3 2017

1 1 2

1 1

2n

 

Vậy B2

1 1

112

4  4  4   4 = 2 3 4 100

Khai thác 6: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán mới với dãy các phân

số có cùng tử số khác 1, mẫu các phân số là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ

Khai thác 7:Từ bài toán 2,đổi dấu giữa các phân số (dấu “+” thành dấu “-”, ta

có bài toán mới Chẳng hạn:

B7 10

112

 

1 1 1024 1023 1024

7  7 7  7  7  7 = 5 9 13 17 197 201

112

1

2

 x 22017Vậy x 22017

Khai thác 10: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số các phân số thành dãy các lũy thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới Chẳng hạn:

2 3 4  100 Giải: Nhận thấy:

Khai thác 11: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số

các phân số thành dãy các lũy thừa bậc ba của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới Chẳng hạn:

2 3 4  100  4Giải: Nhận thấy:

Vậy B11 <

1

4

Khai thác 12: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số

các phân số thành dãy các lũy thừa bậc bốn của các số tự nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới Chẳng hạn:

Khai thác 13: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán mới với tử số khác

1, dãy mẫu số là dãy các lũy thừa bậc năm của các số tự nhiên liên tiếp Chẳng

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Từ đây, ta còn có thể khai thác để phát triển bài toán thành nhiều bài toán mới

về dãy các phân số có quy luật mà trong giới hạn của đề tài chưa thể trình bày hếtđược

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Qua quá trình vận dụng những kinh nghiệm trong việc giúp học sinh biết cáchkhai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật mà trên đây tôi đã trình bày, tôinhận thấy đề tài đã đạt được một số hiệu quả sau:

- Học sinh biết nhận dạng quy luật ở những dãy mới nhanh hơn, vận dụng bàitoán về dãy cơ bản để làm bài toán mới thành thạo hơn Khi tôi thay đổi đề toán để

có bài toán mới, từ chỗ ban đầu các em lúng túng, nản chí vì chưa tìm ra cách giảithì nay các em đều nhận ra quy luật, biết cách làm bài và tỏ ra rất hứng thú vớidạng toán này

- Sự tò mò, thích khám phá của nhiều em như được kích thích, các em chủđộng tìm cách khai thác bài toán cơ bản để phát triển thành những bài toán mới cảkhi tôi chưa yêu cầu Bài tập các em đưa ra rất phong phú, đa dạng và đầy sángtạo Tham khảo hệ thống bài tập mà các em phát triển được khiến tôi có nhiều trảinghiệm bất ngờ và thú vị Nhiều bài tập hay mà các em khám phá được, tôi cho các

em trao đổi lẫn nhau để tăng cường khả năng rèn luyện cho bản thân cũng như tinhthần học hỏi từ bạn bè, từ đó các em còn đua nhau học tập và kết quả học tập củacác em đều được nâng lên

- Các em học tập tích cực, chủ động, tư duy linh hoạt, nhanh nhẹn hơn Nhiều

em không chỉ tìm cách khai thác dạng toán về dãy các phân số có quy luật mà còntích cực tìm cách khai thác, phát triển cả những bài toán dạng khác mà các em gặptrong quá trình học tập

- Sau đây là bảng so sánh kết quả thu được trước và sau khi thử nghiệm đề tài:+ Đánh giá theo sự hiểu biết, vận dụng làm bài:

Sau 30 90,91% 3 9,09%

III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc khai thác bài toán về dãy các phân

số có quy luật trong chương trình toán lớp 6 thật sự rất cần thiết và quan trọng, vìquy luật của nhiều dãy rất phong phú, đa dạng, các em được rèn luyện việc khaithác bài toán càng làm cho các em tự tin hơn khi gặp một đề toán ở dạng này,không những thế, việc thành thạo cách giải dạng bài toán khó mà lúc đầu thấy khókhăn, không có hướng giải quyết làm cho các em hứng thú hơn, yêu thích toán họchơn Và đặc biệt, qua đề tài này, các em tạo được thói quen khai thác những bàitoán khác, đó là điều vô cùng cần thiết để phát huy khả năng tư duy của các em,giúp các em có nhiều cơ hội để rèn luyện, phát triển tư duy lôgic toán học Nhưvậy, có thể nói “Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong

chương trình toán 6” là một đề tài rất có hiệu quả để rèn luyện và phát triển tưduy, cũng như rèn luyện tính kiên trì, sáng tạo của học sinh

2 Kiến nghị:

Bài toán về dãy các phân số có quy luật là dạng bài tập hay và khó, quy luậtcác dãy rất phong phú, bài tập liên quan đa dạng Đề tài hướng dẫn học sinh biếtcách khai thác dạng bài toán này là rất cần thiết và quan trọng Việc vận dụng đềtài này vào quá trình giảng dạy cũng dễ dàng vì các hướng khai thác của bài toánđược sắp xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng tiếp thu Tuy nhiên, trong quátrình trình bày đề tài, nếu có sai sót, kính mong được đồng nghiệp và chuyên môngóp ý để công việc chuyên môn của tôi ngày một tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nông Cống, ngày 19 tháng 3 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Thị Lâm