Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản : . Xác định 1 điểm và 1 VTPT . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT =(A;B;C) A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và mp (Q) Từ ptmp(Q) VTPT Q = (A;B;C) Vì (P) (Q) VTPT P = Q = (A;B;C) PT mp (P) đi qua A và có VTPT P Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d Từ (d) VTCP d = (A;B;C)
Trang 1Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản :
<1> Xác định 1 điểm và 1 VTPT
<2> Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n r
=(A;B;C)
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
⇔Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) ⇒VTPT n v
Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q) ⇒ VTPT n v
P = n v
Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n v
P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d
- Từ (d) ⇒VTCP u r
d = (A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d) ⇒Chọn VTPT n r
P=u r
d =(A;B;C)
⇒Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n r
P
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và ⊥(Q) , ⊥(R)
- Từ pt mp (Q) và (R) ⇒VTPT n r
Q ; VTPT n r
R
- Vì (P) ⊥(Q) và ⊥(R) ⇒VTPT n r
P ⊥ n rQ
và n r
P ⊥ n r
R
⇒Chọn n r
P = [n r
Q; n r
R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n r
P = [n r
Q; n r
R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính uuur AB
, uuur AC
và a r
= [uuur AB
, uuur AC
]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n r
P= a r
= [uuur AB
, uuur AC
]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và ⊥(Q)
- Tính uuur AB
, vtpt n r
Q và tính [uuur AB
,n r
Q]
- Vì A, B ∈(P) ; (Q) ⊥(P) nên chọn n r
P=[uuur AB
,n r
Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; ⊥(Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT n r
Q của mp (Q); VTCP u r
d của đường thẳng (d)
Trang 2- Tính [u r
d,n r
Q]
- Vì (P) ⊥(Q) và // (d) nên VTPT n r
P = [u r
d,n r
Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà uuur AB
- Mp (P) đi qua I và nhận uuur AB
làm VTPT
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP u r
d của đường thẳng (d) và tìm điểm M∈(d)
- Tính uuuur AM
và [u r
d, uuuur AM
]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n r
P =[u r
d, uuuur AM
]
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (∆)
- Từ (d) ⇒ VTCP u r
d và điểm M ∈(d)
- Từ (∆) ⇒VTCP u r∆
và tính [u r
d, u r
∆]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n r
= [u r
d, u r
∆]
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và ⊥(Q)
- Từ (d)⇒ VTCP u r
d và điểm M ∈(d)
- Từ (Q) ⇒VTPT n r
Q và tính [u r
d, n r
Q]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n r
=[u r
d, n r
Q]
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D ≠DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là n r
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) ⇒ VTCP u r
d và điểm M ∈(d)
- Vì (d) nằm trong (P) ⇒ u rd. n r
P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc α ≠90 0
- Gọi VTPT của mp (P) là n r
= (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
Trang 3- Từ (d) ⇒ VTCP u r
d và điểm M ∈ (d)
- Vì d ⊂(P) ⇒ u rd. n r
P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(∆)một góc α ≠90 0
- Gọi VTPT của mp (P) là n r
P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) ⇒ VTCP u r
d và điểm M ∈ (d)
- Vì d ⊂(P) ⇒ u rd. n r
P=0 (1)
- Tính sin ((P),( ∆)) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu ⊥ của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK ≤AH
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max ⇔AK = AH ⇔K≡H
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠DQ)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R⇒tìm được D'
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính
r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 rπ và diện tích S = π r2 tính r
- d(I,(P)) = R2 − r2 (1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) ⇒Giải hệ (1), (2) tìm được D' ⇒viết được pt (P)
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
Trang 4- Gọi VTPT của mp (P) là n r
P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) ⇒ VTCP u r
d và điểm M ∈(d)
- d ⊂(P) ⇒ u rd. n r
P=0 (1)
- Mà (P) tiếp xỳc với (S) nờn d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tỡm được A,B theo C ⇒PT mp(P)
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trũn (C) cú bỏn kớnh r ( hoặc diện tớch , chu vi cho trước)
- Xỏc định tõm I, bỏn kớnh R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường trũn C = 2 rπ và diện tớch S = π r2 tớnh r
- Vỡ d ⊂(P) ⇒ u rd. n r
P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là n r
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0, chọn M trờn đường thẳng d
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vỡ (P) cắt (S) theo đường trũn bỏn kớnh r nờn d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tỡm được A,B theo C ⇒PT mp(P)
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trũn (C) cú bỏn kớnh nhỏ nhất (ỏp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xỏc định tõm I, bỏn kớnh R của mặt cầu (S)
- Bỏn kớnh r = R2 − d I p2( ,( )) để r min ⇒d(I,(P)) max
- Gọi H là hỡnh chiếu ⊥ của I lờn (d) ; K là hỡnh chiếu ⊥ của I lờn (P)
- Ta cú: d(I,(P))= IK≤Ih ( tớnh chất đường vuụng gúc và đường xiờn)
- Do đú: d(I,(P)) max⇔ AK = AH ⇔K≡H
- PT mp(P) đi qua H và nhận IHuuur làm VTPT
2 phơng trình đờng thẳng
Cú 2 loại phương trỡnh đường thẳng : PT ThamSố và PT ChớnhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và cú VTCP u r
=(a,b,c) PP: phương trỡnh tham số của đường thẳng d là:
(d):
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
với t ∈R
* Chỳ ý : Nếu cả a, b, c ≠0 thỡ (d) cú PT chớnh tắc x x0 y y0 z z0
* Chỳ ý: Đõy là bài toỏn cơ bản Về nguyờn tắc muốn viết PT dt(d) thỡ cần phải biết 2 yếu tố đú là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tớnh uuur AB
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận uuur AB
làm VTCP
Trang 5Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (∆)
- Từ pt(∆) ⇒VTCP u r
∆
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u r
∆ làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và ⊥(P)
- Tìm VTPT của mp(P) là n r
P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u r
d = n r
P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)
- Từ (d1),(d2)⇒ VTCPd d l1, 2 à u à u uur uur1v 2 => tính [u uur1
,u uur2 ]
- Vì (d) ⊥(d1),(d2) nên có VTCP u r
d= [u uur1 ,u uur2 ]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u r
d= [u uur1 ,u uur2 ]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
- Từ (P) và (Q) ⇒ n rP ,n r
Q
- Tính [n r
P ,n r
Q]
- Xét hệ ' ' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A x B y C z D 0
Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó ⇒M∈d
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u r
d =[n r
P ,n r
Q]
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d' = (P)I (Q)
Cách 2: + Tìm A = d I ( ) P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
+ Lấy M∈ d và xác định hình chiếu H của M lên (P)
+ Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng (α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
* Tìm B = ( ) d α I 2
* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng (α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Viết pt mặt phẳng (β) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng cần tìm d = α β I
Trang 6Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
- Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
- Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( ) P I Q
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2
Cách 1 : - Viết pt mp( ) α qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = ( ) d α I 2
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp( ) α qua A và vuông góc d1
* Viết pt mp( ) β qua A và chứa d1
* Đường thẳng cần tìm d = α β I
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp( ) α , cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) α
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( ) P I Q
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) α
* Tìm B = ( ) P I d '
* Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
- Tìm giao điểm A=d1I ( ) P và B=d2I ( ) P
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P)
và d'.
* Tìm giao điểm I' = d'I ( ) P
* Tìm VTCP u r
của d' và VTPT n r
của (P) và tính v r = [u,n] r r
* Viết ptđt d qua I và có VTCP v r
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 :
- Gọi M x ( 0+ at y , 0+ bt z , 0 + ct ) ∈ d1,
và N x ( 0' + a t y ' ', 0' + b t z ' ', 0' + c t ' ') ∈ d2
là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
- Ta có hệ 1 1
0
, '
t t
=
uuuur r uuuur r
- Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt đi qua M,N
Trang 7( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2
* Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
* Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
* Đường thẳng d = ( ) ( ) Q I R
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1
- Viết pt mp( ) α qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = ( ) d α I 1
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc α ∈ (0 ;90 )0 0 (= 30 0 , 45 0 , 60 0 )
* Gọi VTCP của d là u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2 + b2 + c2 > 0
* Vì d ⊥ ⇒d1 u ur r 1 =0=>phương trình (1)
Vì 2
2
u u cos
u u
α =
r r
r r => phương trình (2) Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc α ∈ (0 ;90 )0 0 thì có .
P
P
u u sin
u u
α =
r r
r r )
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc α ∈ (0 ;90 )0 0 .
- Gọi VTCP của d là u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2 + b2 + c2 > 0
- Vì d//(P) nên u n r r p = 0=> phương trình (1)
- Vì 1 1
1
( , )
u u
r r
r r nên có phương trình (2)
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u r = ( ; ; ) a b c
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc α ∈ (0 ;90 )0 0 .
- Gọi VTCP của d là u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2 + b2 + c2 > 0
- Vì d∈(P) nên u n r r . p = 0=> phương trình (1)
- Vì 1 1
1
( , )
u u
r r
r r nên có phương trình (2)
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u r = ( ; ; ) a b c
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.
* Gọi VTCP của d là u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2 + b2 + c2 > 0
* Vì d⊥d1 nên u n r r = 0=> phương trình (1)
Trang 8* Vỡ ( , ) [ , ]
u
u AM
r uuuur
r => phương trỡnh (2)
*Giải hệ phương trỡnh (1), (2) tỡm a,b theo c=> chọn a,b,c
=>viết ptđt d đi qua A, cú vtcp u r = ( ; ; ) a b c
Gạo đem vào giã bao đau đớn, Gạo giã xong rồi trắng tựa bông Sống ở trên đời ngời cũng vậy, Gian nan rèn luyện mới thành công!
Hồ Chí Minh!