014 đề thi HSG toán 9 tỉnh thái bình 2018 2019

Cho tam giác ABC nhọn.. Vẽ các đường cao BE và AD Gọi H là trực tâm và G là.. trọng tâm tam giác ABC.. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội ti

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

P

Với ,x y0,xy1

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi 3 3

x    và yx2 6

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,cho các đường thẳng

  d : m1x y 3m4và  d' :xm1ym.Tìm m để (d) cắt  d tại điểm M sao ' cho MOx300

Câu 3 a) Giải phương trình 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0

b) Giải hệ phương trình:

2

x x x y x y

x xy x x y







Câu 4 Chứng minh rằng nếu a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 , , thì 3a2 3b2 3c24abc13

Câu 5 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ các đường cao BE và AD Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng HG/ /BC thì tan tan B C3

b) Chứng minh rằng t anA.tan tanB C tanAtanBtanC

Câu 6 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC ABH ACH Gọi giao điểm của các đường thẳng , , AJ AK với cạnh ,

BC lần lượt là E và F

a) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEF

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn ngoại tiếp ABC

 có bán kính bằng nhau

Câu 7 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x y z sao cho ; ;  2019

2019

x y

y z



 là số hữu tỉ và

2 2 2

x  y z là số nguyên tố

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Ta có:

:

P





b) Ta có:

 

2

4 8

Câu 2 Từ m1x y 3m   4 y 1 m x 3m4thế vào phương trình đường thắng  d ta có: '

x m x m m  m m m x m m

Để (d) và (d’) cắt nhau tại M thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất, suy ra

m m

m m

Kẻ MH vuông góc với Ox.Do MOx300nên tan tan 300 2

MOx



 2

2

3

Câu 3

a)ĐKXĐ: 1 6

3 x

3x 1 4 6 x 1 3x 14x 5 0

    

3 x

3x 1 4 6 x 1 x 

Do đó x5là nghiệm của phương trình

b) ĐKXĐ: 3x  y 7 0.Từ phương trình thứ nhất ta có  2   

x  x y 

Vì x2  2 0nên x    y 2 0 2 xthế vào phương trình (2) ta được:

2 2

Đặt 4x  5 2t 3,ta có hệ phương trình:

2

2

2



Xét

x

  

Xét

x

  

Vậy hệ phương trình đã cho  x y;  2 3; 3 ; 1   2;1 2 

Câu 4

Vì a b c là ba cạnh của một tam giác nên , , a      b c 3 c c 3 2c0

Đặt

P a  b  c  abc  ab  ab c  abc c  c  ab  c

Do đó:

         

       

13 13

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Câu 5

a) Gọi M là trung điểm BC

Ta có: tan tanB C tanABD.tanACB AD AD

BD CD

Xét BDH và ADC có: BDH  ADC 90 ;0 HBDHAE nên BDH ADC

BD CD AD DH

DH



Vì HG/ /BC nên AD AM 3 tan tanB C 3

DH GM   

N

G

M

H

D

E A

b) Ta có tan tan 1

tan tan

BHC ABC

B C

tan tan

CHA ABC

S

C A S ;

tan tan

AHB ABC

S

A B  S

tan tan tan tan tan tan

ABC

Suy ra tanAtanBtanCtan tan tanA B C

Câu 6

a) Ta có AECEAH CAEEAB900mà EAH EABAECCAE ACEcân

Tương tự ta cũng có BI là trung trực AF suy ra I là tâm đường tròn ngoai tiếp AEF

b) Kẻ IM BCtại M MEMF.Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC thì

IM r Ta có ABF cân tại B, ACE cân tại C nên EF  AB ACBC

Ta dễ dàng chứng minh được AB ACBC2rsuy ra EF 2 r Vì CI là trung trực AE nên KEC KACmà KAH KAC KAH; KFE900 KECKFE900

Hay KEFvuông tại K

2

EF

MK r MJ MI MK r

Câu 7

E

K J

I

H A

Đặt 2019

2019

b

y z

 với a b,  *và  a b, 1 Ta có: b x  y 2019 a yz 2019

2019

0



2

x  y z  xz  zx y  xz  y  x y z x z y

Vì , ,x y z nguyên dương nên x  y z 1.Vậy x2  y2 z2là số nguyên tố thi

2 2 2

1

1

   

2019

1 2019

x y

y z

2 2 2

1

x  y z 