033 đề thi HSG toán 9 tỉnh quảng bình 2018 2019

A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. nhận giá trị lớn nhất Câu 4.. Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG BÌNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI:TOÁN Ngày thi : 14.03.2019 Câu 1 (2,5 điểm)

A

    với x0.Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A

b) Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Xác định các hệ số a b để hệ thức ,   4 3 2

P x x  x  x axblà bình phương của một đa thức

b) Giải phương trình: 3 4 x 4x  1 16x2 8x1 (1)

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và dây cung BC a không đổi OBC A là một điểm di

động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao

, ,

AD BE CK cắt nhau tại H DBC E, AC K, AB

a) Trong trường hợp BHCBOC,tính AH theo a

b) Trong trường hợp bất kỳ, tìm vị trí của A để tích DH DA nhận giá trị lớn nhất

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C2019n 2020là số chính phương

Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x   y z 2 xyz

Chứng minh rằng: x   y z 6 2 yz zx  xy

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC có AB3,AC4,BC5.Xét các hình chữ nhật

MNPQ sao cho M N thuộc cạnh , BC P thuộc cạnh , AC Q, thuộc cạnh AB Hãy xác

định các kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Với x0ta có:

  

 

  

1

A



Ta có:

2



   



Và  2

x     x x x   x

1

x

A  x

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x1

)

b Ta có:

  

2

2

8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1

6 2 5

 

6 2 5 5 1( 0)

Câu 2

P x  x cxd x  cx  c  d  cdxd  x

Mà   4 3 2

P x  x  x  x axb

Do đó ta có hệ phương trình:

2

2

1

b

 



Vậy a 2,b1

b) ĐK: 1 3(*)

4 x 4



 

3 4 x  4x1  3 4x2 3 4 x 1 4 x  1 4x

4 2 3 4x 1 4x 4 3 4x 1 4x 2 (2)

16x 8x 1 2 4x 1 2(3)

Từ (2) và (3) ta có:

1

3 4

1 1

( (*))

4

x

x x

x



 



        

 



Vậy phương trình có nghiệm 1

4

x 

Câu 3

a) Xét tứ giác AKHE có K E 900 BACBHC1800mà BHCBOCvà

BOC  BAC BAC BAC

M

I

H

K

D

E O

B

C A

Kẻ đường kính BI suy ra tứ giác AICH là hình bình hành , AH CI(1)

Gọi M là trung điểm của BCIC2OM(2) (đường trung bình)

Từ (1) và (2) suy ra AH 2OM

Do M là trung điểm của BCOM BCOMlà tia phân giác của BOC

b) Ta có DBH DAC DB DH DA DH DB DC

Áp dụng bất đẳng thức  2

4

x y

xy 

 (Dấu " " xảy ra khi x y)

DB DC a

DA DH DB DC 

Dấu “=” xảy ra khi DBDChay D là trung điểm của BC

DA DH

 nhận giá trị lớn nhất là

2

4

a khi D là trung điểm của BC  ABCcân tại A  Alà điểm chính giữa của cung BC

Câu 4

Với mọi số tự nhiên a thì a khi chia cho 8 chỉ có các số dư là 0;1;4 2

Số 2019 chia 8 dư 3; 2020 chi 8 dư 42019n 3 (mod8)n

2 , 2019n 3 k mod8 5 mod8

n k k    C

Nên C không thể là số chính phương

-Nếu n lẻ thì n2k1,k 2019n 32k13.32k 3(mod8)Ckhông thể là

số chính phương

Kết luận: Không tồn tại n thỏa yêu cầu bài toán

Câu 5

   Khi đó x   y z 2 xyz   a b c 1

Và x 1 1 1 a b c,y c a,z a b

cyc

x y z



    

cyc

bc

Đẳng thức xảy ra khi a b c  hay x  y z 2

Câu 6

Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và PQ ,

Tam giác ABC vuông tại A nên . 12

5

AB AC AH

BC

Đặt PN x PQ,  y

CB  AH      

2 2

MNPQ

S x y x x   x  

Vậy giá trị lớn nhất của S MNPQbằng 3 khi 6

5

x và 5

2

y

K

M

P A

Q